Maße der zentralen Tendenz (10)

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1 Maße der zentralen Tendenz (10) - De Berechnung der zentralen Tendenz be ategorserten Daten mt offenen Endlassen I - Bespel 1: offene Endlasse Alter x f x f p x p p cum bs 20 1? 3? 6? u. älter 4? 10? 0.20? 1.00 Σ N=50? 1.00 AM=? Modus: 23 Medan: 26.1 berechenbar nach C p = IA + b p cum ( IA ) AM: ncht berechenbar nach AM = m x f m = 1 = x N = 1 p Maße der zentralen Tendenz (11) - De Berechnung der zentralen Tendenz be ategorserten Daten mt offenen Endlassen II - Bespel 2: Medan/Modus fällt n offene Endlasse Alter x f p p cum bs 20 1? u. älter 4? Σ N= Modus: Medan: AM: ncht angebbar ncht berechenbar ncht berechenbar

2 Maße der zentralen Tendenz (12) - De Mnmumsegenschaften der dre Maße zentraler Tendenz I - Wenn man enen Kennwert der zentralen Tendenz angbt, dann möchte man, dass er de Gesamthet der beobachteten Messwerte möglchst gut repräsentert. D.h. das Maß der zentralen Tendenz soll rgendwe nsgesamt mnmal von den beobachteten Messwerten abwechen. Modus, Medan und arthmetsches Mttel wesen ene solche Mnmumsegenschaft des rgendwe nsgesamt mnmal n verschedener Wese auf. Mnmumsegenschaft des Modus De Wahrschenlchet p, dass ene belebge Person der Stchprobe aus der Modalategore ommt, st maxmal, wel der Modus der relatv häufgste Wert st. D.h. de Wahrschenlchet des Irrtums (1- p ), wenn ch be ener belebgen Person das Vorlegen des Modalwerts annehme, st verglchen mt allen anderen Werten mnmal. Maße der zentralen Tendenz (13) - De Mnmumsegenschaften der dre Maße zentraler Tendenz II - Mnmumsegenschaft des Medan Bem Medan st de Summe der absoluten Abwechungen aller Messwerte mnmal m Verglech zu allen anderen denbaren Salenwerten. Formal: N x a = mn a = Md( x) = 1 Wrd der Medan als Schätzwert für enen zufällg gezogenen Messwert genommen, st der durchschnttlche absolute Schätzfehler mnmal.

3 Maße der zentralen Tendenz (14) - De Mnmumsegenschaften der dre Maße zentraler Tendenz III - Mnmumsegenschaft des AM Um en Maß der zentralen Tendenz zu erhalten, dass große Abwechungen stärer berücschtgt als lene, ann man de Abwechungen quadreren. Bem arthmetschen Mttel st de Summe der quadrerten Abwechungen (urz: Quadratsumme QS) mnmal. Formal: N 2 ( x a) = mn a = x = 1 Wrd das arthmetsche Mttel als Schätzwert für enen zufällg gezogenen Messwert genommen, st der durchschnttlche quadrerte Schätzfehler mnmal. Maße der zentralen Tendenz (15) - De Mnmumsegenschaften der dre Maße zentraler Tendenz IV - Bespel Wrtz & Nachtgall (1998), S. 75f.: x x 5.6 x 6.0 x 5.6 x 6.0 (x 5.6)² (x 6.0)² AM = ( )/5 = 5.6 Medan = 6.0 Modus = 6.0

4 Maße der zentralen Tendenz (16) - De Mnmumsegenschaften der dre Maße zentraler Tendenz V - Mnmumsegenschaften von AM und Medan (MD): Summe der Abwechungsquadrate sum((x-a)^2) AM MD a Mnmumsegenschaften von AM und Medan (MD): Summe der absoluten Abwechungen sum(abs(x-a)) AM MD a Maße der zentralen Tendenz (17) Egenschaften der Maße zentraler Tendenz - Zusammenfassender Verglech I - verbale Defnton Mndestsalennveau zur snnvollen Interpretaton Transformatonen, de mtgemacht werden Mnmumsegenschaft Summe der mt Vorzechen versehenen Abwechungen der Messwerte Modus Medan arthmetsches Mttel häufgster Wert ener Vertelung mttlerer Wert ener Vertelung nomnal ordnal ntervall enendeutg monoton lnear 1-relatve Häufget Summe der der Modallasse Abwechungsbeträge (="Vorhersage- Irrtum für ene belebge Person der Stchprobe") "Schwerpunt" ener Vertelung Summe der Abwechungsquadrate (Das AM st der optmale Schätzwert nach dem "Krterum der lensten Quadrate") unbestmmt unbestmmt mmer glech 0

5 Bestmmung aus grupperten Daten Bestmmung aus grupperten Daten mt offenen Endlassen Maße der zentralen Tendenz (18) Egenschaften der Maße zentraler Tendenz - Zusammenfassender Verglech II - Modus Medan arthmetsches Mttel Wert der Kategorenmtte der Modallasse möglch, wenn Modallasse ncht offene Endlasse Bezehung zur Kategore mt der Darstellung als höchsten Säule Säulendagramm (Modus) bzw. Hstogramm (Medan, AM) Reaton auf Ausreßerwerte relatve Lage n Abhängget von der Schefe der Vertelung Interpolaton des 50. Centls (nur be ünstlch dsreten Daten) Summe über das Produt aus Kategorenmtte relatver Häufget möglch, wenn 50. ncht möglch Centl ncht n offene Endlasse fällt De Senrechte auf den Medan halbert de Fläche unter dem Hstogramm Der Schwerpunt des Hstogramms befndet sch genau über dem AM ncht relevant unsensbel sensbel, besonders n lenen Stchproben lnsstele Vertelung: AM > Md > Mod rechtsstele Vertelung: Mod > Md > AM symmetrsche Vertelung: AM = Md = Mod Maße der zentralen Tendenz (19) - Der gewchtete Durchschntt I - Be der Berechnung des gewchteten Durchschntts erhalten de Messwerte be der Summenbldung en verschedenes Gewcht und gehen ncht - we be der regulären Durchschnttsbldung - mt glechem Gewcht en. x gewchtet = x g g mt: x = -ter Messwert g = Gewcht, das dem -ten Messwert zuommt GAM n j j = 1 = j = 1 x n j j GAM zur Berechnung enes Gesamtmttelwertes aus verschedenen Enzelmttelwerten mt: = Anzahl der Kolletve n j = Größe des Kolletvs j x j = AM der Kolletvs j

6 Maße der zentralen Tendenz (20) - Der gewchtete Durchschntt II - Bespel: Berechnung ener gewchteten Durchschnttsnote Fach Note Gewcht x g x g Deutsch ungewchtet: Mathemat Englsch x 32 = Phys x = 2.67 N 12 Bologe Cheme gewchtet: Geschchte Erdunde x g 32.5 Mus xgewchtet = = 2.32 g 14 Sport Kunst Relgon Summe