Verdichtete Informationen

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1 Verdchtete Iormatoe Maßzahle Statstke be Stchprobe Parameter be Grudgesamthete Maßzahle zur Beschrebug uvarater Verteluge Maßzahle der zetrale Tedez (Mttelwerte) Maßzahle der Varabltät (Streuugswerte)

2 MAßZAHLE DER ZETRALE TEDEZ Ee Maßzahl der zetrale Tedez (m Beghaus: Mttelwert) st der Kewert, der de gesamte Vertelug am beste repräsetert.. Modus (h) Der Modus st der Wert, der eer Vertelug am häugste vorkommt (dchtester Wert). Bespel: 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 0 h 7 Bespel: 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 0 h 7,5 augrud vo beachbarte Häugketsmama

3 Trete zwe cht beachbarte Messwerte mt relatve Häugketsmama au, da werde dese bede Messwerte als Modalwerte agegebe. De Vertelug st da bmodal. Bespel: h 6, 9

4 . Meda (Zetralwert) ~ Der Meda st der Wert, der ee ach hrer Größe geordete Rehe vo Messwerte halbert. De Bestmmug des Meda st abhägg vo der Azahl der Fälle: a) legt ee ugerade Azahl vo Fälle vor, so st der Meda der Wert des mttlere Falles: ~ + Bespel: gegebe se ee Stchprobe vo moatlche Ekomme ( Euro) vo Studete Da de Stchprobegröße 7 st, st der Meda ~

5 b) legt ee gerade Azahl vo Fälle vor, so st der Meda der Wert, der de bede mttlere Fälle halbert: ~ + + Bespel: gegebe se ee Stchprobe vo moatlche Ekomme ( Euro) vo Studete ~

6 Meda be klasszerte Häugkete: ) Ma bldet de kumulerte Häugkete. ) Ma ermttelt / bzw. +/. Damt st de Stellug des Medas estgelegt. 3) Ma bestmmt augrud der kumulerte Häugket dejege Messwertklasse, de der Meda ällt (Egrsspelraum). 4)Ma ormulert de eakte Greze des Egrsspelraumes. 5) Ma berechet de Meda ach der Formel: + FU ~ U + h Fm wobe: U eakte utere Greze des Egrsspelraumes (Medatervall) Azahl der Fälle FU kumulerte Häugket uterhalb des Medatervalls Fm Häugket m Medatervall h Klassebrete

7 Bespel: ) Ma bldet de kumulerte Häugket (cum ) 4) eakte Greze,5 Klassetervall cum ) Egrsspelraum (Medatervall) ) Ma ermttelt de Stellug des Medas: ~ + 5+ ( 6) der 6. Wert Eakte utere / cum Greze des uterhalb des 5) Egrsspelraumes + Medatervalls * h (Medatervalls) m Medatervall ~,5 + 5/ 3 * 3 4 ~ 4,8

8 3. Das arthmetsche Mttel ( ) Das arthmetsche Mttel (Durchschttswert) st deert als de Summe der Messwerte, getelt durch hre Azahl: Legt mehr als ee Häugket vor: K k k

9 Bespel: Saerugsgebet Alter der Häuser Jahre Σ 0 ( 30) + ( 9 40) + ( 7 50) + ( 00) + ( 400) 0 ( 30 ) + ( 360) + ( 350) + ( 00) + ( 400) ohe Ausreßer: ( 30) + ( 9 40) + ( 7 50) + ( 00) ,47

10 De Egeschate des arthmetsche Mttels: ) De Summe der Abwechuge aller Messwerte vo hrem arthmetsche Mttel st glech ull. ( ) 0 Bespel: 5, 6, 7, 8, Σ 0

11 ) De Summe der Quadrate der Abwechuge aller Messwerte vo hrem arthmetsche Mttel st kleer als de Summe der Quadrate der Abwechuge aller Messwerte vo eem belebge Wert der Vertelug. Mt adere Worte: De Summe der Abwechugsquadrate st ür das arthmetsche Mttel e Mmum. ( ) < ( ) 0 ( ) m!

12 : ( ) > ( ) Bespel: 5,6,7,8,9 0 7 ageomme: 0 6 ( ) 0 ( ) Also: 0 < 5

13 3) De Addto (Subtrakto) eer bestmmte Zahl zu alle Ezelwerte eer Vertelug vergrößert (verkleert) das arthmetsche Mttel um dese Zahl. ( + c) + c bzw. ( - c) c Augabe:. El Studete ehme a eem Elmeterscheße tel. Se erzele olgede Treerzahle be 0 Schüsse: 4, 6, 3,,, 8, 4, 5,, 0,. Bestmme Se Modalwert, Meda, arthmetsches Mttel.. I eem Flugblatt wrd verküdet: Be zwe Umrage uter Sudete habe sch emal 60% vo 00 Hörer eer Vorlesug ud zum adere 38% vo 000 vor der Mesa beragte Studete ür de Abschaug der Statstk ausgesproche. We vel Prozet der Beragte habe sch m Durchschtt ür de Abschaug der Statstk ausgesproche?

14 3) Welche Maßzahl der zetrale Tedez st agemesse? ) ) 3) 4) 5) 6) 7)

15 Maßzahle der zetrale Tedez ud Skaleveau Skaleveau Maßzahle der zetrale Tedez Modus Meda arthm. h ~ Mttel omal X Ordal X X Itervall X X X Merke: Maßzahle der zetrale Tedez - Modus ( h ): typscher Wert eer Vertelug - Meda ( ~ ): zetraler Wert eer Vertelug - Arthmetsches Mttel ( ): Durchschttswert Augabe: Bestmme Se de Modus, Meda ud arthmetsches Mttel!

16 Abbldug: Zwe Verteluge mt glecher zetraler Tedez ( ~ h 00 ), aber uglecher Streuug ~ h

17 STREUUGSWERTE (VARIABILITÄTSMAßE) De Streuugswerte habe de Augabe, de Varabltät des gemessee Merkmals zu beschrebe.. Der Rage Der Rage st deert als de Derez zwsche dem größte ud dem kleste Messwert eer Vertelug. R ma m. Der Quartlsabstad ud der mttlere Quartlsabstad Abbldug: Illustrato der Quartle ud des Quartlsabstades 50 % 4 Q 4 4 Q ~ Quartlsabstad Q 3 4 Quartlsabstad Q 3 - Q

18 Bespel: Häugket ees Schwps cum e 4 4 Gaz selte, ¼ 65 Machmal Quartltervall Recht häug 3, ¾ 95 Regelmäßg Quartltervall ) Ma ermttelt ¼ bzw. ¾ ) Ma bestmmt ahad der kumulerte Häugketsvertelug de Quartltervalle 3) Ma vergewssert sch der eakte utere Greze der Quartltervalle (,5 bzw. 3,5) Q U + ¼ FU * h, *, Fm 84 Q 3 U + ¾ FU * h 3, * 4,3 Fm 59 QA Q 3 - Q 4,3,,0 wobe: U eakte utere Greze des Quartlstervalls FU kumulerte Häugket uterhalb des Quartlstervalls Fm Häugket m Quartlstervall h Kl b t

19 Augabe: Gegebe sd Messwertpaare vo 0 Objekte: : y: a) bestmme Se ür bede Rehe de Modus Rehe Rehe b) bereche Se ür de erste Rehe de Meda ud ür de zwete Rehe de Rage (Spawete) Rehe Rehe

20 3. De durchschttlche Abwechug De durchschttlche Abwechug st deert als der Durchschtt der absolute Abwechuge aller Messwerte eer Vertelug vo hrem arthmetsche Mttel: AD k bzw.: AD k Abbldug: Darstellug der Abwechuge der Messwerte vo hrem arthmetsche Mttel

21 AD 6, ,93 4,93 9, ,93 9,93 78, ,93 4,93 78, ,07 0,07 0, ,07 5,07 45, ,07 0,07 0, ,07 5,07 30, ,07 0,07 80, ,63 AD 555, ,6

22 4. Varaz ud Stadardabwechug a) Varaz De Varaz (s be Stchprobe; σ be Grudgesamthete) st de Summe der Abwechugsquadrate (quadrerte Abwechuge aller Messwerte eer Vertelug vo hrem arthmetsche Mttel, dvdert durch de Azahl der Messuge. ( ) s ( ) s bzw. ( ) s ( ) s ( ) σ ( ) σ

23 b) Stadardabwechug De Stadardabwechug(s be Stchprobe; σ be Grudgesamthete) st deert als de Quadratwurzel aus der Varaz ( ) s ( ) s ( ) σ ( ) σ ( ) s ( ) s

24 Bespel: Klasszerte Gewchtsvertelug eer Studetegruppe m Kurs Statstk ( ) ( ) ,93, , ,93 98, , ,93 4, , ,07 0,005 0, ,07 5,700 3, ,07 0,400 6, ,07 7,00 454, ,07 40,800 6, ,37 Berechug der Varaz: s k ( ) s 6474, ,9

25 Berechug der Varaz be klasserte Date Bespel: Gegebe st de olgede Häugketsvertelug ees klasserte Merkmals: Klasse vo 0 bs uter 0 vo 0 bs uter 30 vo 30 bs uter 40 vo 40 bs uter 50 Häugket Klasse Klassemtte ( ) ( ) 0 9, , , , Σ s 77, s 77,67 8,8

26 5. Der Varatoskoezet s v Zum Zweck des Verglechs vo Streuuge aus verschedee Grudgesamthete oder Stchprobe beötgt ma e dmesosloses Maß der Streuug. Es solche Maß st der Varatoskoezet. Bespel: Mttelwert ud Stadardabwechug eer CD der BRD betrage 3,5 ; s,4 Großbrtae 9 $ ; s 8,8 $ I bede Läder streut, gemesse am Durchschtt, der Pres eer Cd ugeähr glech, da glt:,4 8,8 v 3,5 9 Augabe:. Für Waschpulver ees bestmmte Herstellers wurde 0 Geschäte Esses olgede Prese ür kg Paket ermttelt ( Euro):,40;,60;,70;,50;,40;,80;,70;,60;,50;,80 Bereche Se Varaz ud Stadardabwechug!. De Utersuchug des verügbare Ekommes vo Studete de USA ud der BRD ergab olgede Werte: USA: 470 $ ; s 60$ BRD: 70 Euro ; s 80 Euro Vergleche Se de relatve Streuug mteader!

27 Boplot HAUSHALTSEIKOMME <OFFEE+LISTEAGABE> ALTE BUDESLAEDER EUE BUDESLAEDER ERHEBUGSGEBIET: WEST - OST