Vorlesung Multivariate Statistik. Sommersemester 2009

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1 P.Martus, Multvarate Statstk, SoSe 009 Free Uverstät Berl Charté Uverstätsmedz Berl Bachelor Studegag Boformatk Vorlesug Multvarate Statstk Sommersemester 009 Prof. Dr. rer. at. Peter Martus Isttut für Bometre ud Klsche Epdemologe Charté Uverstätsmedz Berl

2 P.Martus, Multvarate Statstk, SoSe 009 Tel Wederholug der Wahrschelchketsrechug. Vorbemerkug De Wahrschelchketsrechug erlaubt es, Phäomee zu beschrebe, de durch de Zufall gesteuert sd. Der zugrude legede Zufallsmechasmus wrd als bekat vorausgesetzt. I der kofrmatorsche Statstk versucht ma dagege, aufgrud vo Beobachtuge auf de zugrude legede Zufallsmechasmus zurückzuschleße. Grudlage st aber mmer de Wahrschelchketsrechug. Im erste Tel der Vorlesug werde de Begrffsblduge ud de für statstsche Aweduge wchtgste Ihalte der Wahrschelchketsrechug aufgefrscht.. Awedugsbespel (klsche Stude) I eer klsche Stude wrd e Medkamet a Patete überprüft. De Helugswahrschelchket für jede Patete beträgt p. Ma teressert sch für de Wahrschelchket, dass mdestes k Patete (0 k ) gehelt werde. Lösug: De gesuchte Wahrschelchket heßt Bomalwahrschelchket, wrd mt b(,p,k) abgekürzt ud lautet b(, p, k) Der Bomalkoeffzet st defert als : p k k k ( p). k : k!! ( k)!..3 Awedugsbespel (Hardy Weberg Gesetz) E Ge kommt eer Populato mt zwe Allele, A ud a, mt de relatve Häufgkete p ud q:-p vor. Mt welche Häufgkete trete be zufällger Durchmschug de Geotype AA, Aa, aa auf? Lösug: De Häufgkete der 3 Geotype laute AA: p, Aa: pq, aa: q.

3 P.Martus, Multvarate Statstk, SoSe Awedugsbespel (DNA-Sequezaalyse, vgl. Ewes ud Grat, 005) Be der DNA-Sequezaalyse betrachtet ma sogeate Aker, kurze DNA-Sequeze, de m Geom edeutg sd ud dere Postoe bekat sd. DNA-Fragmete, de Aker ethalte, sd somt m Geom lokalserbar. I eer efache Modellerug geht ma vo folgede Aahme aus: De Azahl vo Aker eer DNA-Sequez st a jeder Stelle des Geoms proportoal zur Läge L deser Sequez mt detschem Proportoaltätsfaktor. Bem Durchlaufe der Sequez st das Neuauftrete ees Akers uabhägg davo, wevele Aker berets aufgetrete sd. We groß st de Wahrschelchket für das Auftrete vo k Aker eer Sequez der Läge L? Lösug: De Wahrschelchkete der etsprechede Häufgkete laute für k 0,,,... p( λ, k) : e λ k λ k! ud de etsprechede Wahrschelchketsvertelug heßt Possovertelug mt Parameter λ. Deser Parameter st proportoal zur Läge L des Itervalls..5 Awedugsbespel (Geexpresso) Be Geexpressosmessuge vo Patete mt Aderhautmelaom st für das Olgoukleotd 00657_at ach Logarthmerug de Itestät ormalvertelt mt Erwartugswert 5 ud Streuug.5. I welchem Berech lege de 90% edrgste Werte? Lösug: De Dchtefukto der Normalvertelug lautet allgeme f ( xμ ) σ ( x) e πσ ud m Bespel f ( x) π.5 e ( x5) *.5. Der gesuchte Berech ergbt sch als de obere Itegralgreze T, für de erfüllt st. Ma erhält T 6.9. T f ( t) dt 0.9 3

4 P.Martus, Multvarate Statstk, SoSe Defto (Edlcher Wahrschelchketsraum) Ee edlche Mege Ω {ω, ω,... ω m } zusamme mt eer Fukto P, für de glt ud P(ω ) 0 für,...,m m P(ω ) bezeche wr als edlche Wahrschelchketsraum. Eelemetge Telmege vo Ω heße Elemetareregsse, belebge Telmege heße Eregsse. De Fukto P wrd für belebge Eregsse A durch de Defto P ( A ) P ω A (ω) auf de Potezmege vo Ω fortgesetzt. Für de leere Mege setze wr P( ) 0..7 Awedugsbespel (Fortsetzug klsche Stude) Der Wahrschelchketsraum Ω {0,} mt P() p, P(0) -p beschrebt de Behadlugserfolg für ee Patete. Welcher Wahrschelchketsraum beschrebt de Behadlugserfolg vo Patete? Lösug : Ω s {0,,,...,} Das (Elemetar)-Eregs {k} steht für de Helug vo exakt k Patete, das Eregs {k,k+,...,} steht für de Helug vo mdestes k Patete. Lösug : Ω Ω Ω... Ω (kartessches Produkt mt detsche Faktore Ω {0,}). Jeder Faktor Ω steht für de Behadlugserfolg ees Patete. Elemetareregsse habe de Form (x, x,..., x ) mt x, we Patet gehelt wrd ud x 0, we Patet cht gehelt wrd. Ω hat Elemete. 4

5 P.Martus, Multvarate Statstk, SoSe Bemerkug Lösug erschet uötg komplzert, ma teressert sch für Eregsse aus Ω s, cht aber aus Ω. Mt Hlfe des "Umwegs" über Ω lasse sch aber de gesuchte Wahrschelchkete für Ω s herlete. Herfür werde dre wetere Deftoe beötgt..9 Defto (Uabhäggket) I eem edlche Wahrschelchketsraum heße zwe Eregsse A ud B uabhägg, we glt: P(A B) P(A) P(B)..0 Awedugsbespel (Fortsetzug Hardy Weberg Gesetz) Vom Vater wrd das Allel A mt der Wahrschelchket p, das Allel a mt der Wahrschelchket -p vererbt. Gleches glt für de Mutter. Somt st be uabhägger Kombato de Wahrschelchket für de Geotyp AA p ud für de Geotyp aa q. De Wahrschelchket für de Geotyp Aa st p(-p), wel A sowohl vom Vater als auch vo der Mutter vererbt se ka.. Defto (Produktraum) Für zwe edlche Wahrschelchketsräume Ω a {ω a, ω a,... ω ma } ud Ω b {ω b, ω b,... ω mb } heßt das kartessche Produkt Ω a Ω b Produktraum, we P (ω ja, ω b ) P(ω ja ) P(ω b ) für alle Paare vo Elemetareregsse glt. Ma seht lecht, dass da dese Egeschaft sofort auf belebge Eregsse A Ω a ud B Ω b verallgemeerbar st, d.h., dass P(A B) P(A) P(B) glt. De Defto ka sofort auf edlch vele Faktore erwetert werde.. Bemerkuge Das Symbol " " wrd sowohl für de Bldug des kartessche Produkts als auch für de Multplkato vo Zahle verwedet. Das Symbol "P" trtt de Formel.9 drefacher Bedeutug auf: P(A B) bezeht sch auf de Wahrschelchketsvertelug Ω a Ω b, P(A) auf dejege Ω a ud P(B) auf dejege Ω b. 5

6 P.Martus, Multvarate Statstk, SoSe 009 Streg geomme wäre es. falsch, zu sage, de Eregsse A ud B see uabhägg. De bede Eregsse A ud B stamme aus verschedee Wahrschelchketsräume ud ma köte (A B) überhaupt cht blde. Korrekt st de folgede Formulerug: Im Produktraum Ω a Ω b sd de Eregsse A Ω b ud Ω a B vo eader uabhägg, de P(A Ω b Ω a B) P(A B) P(A) P(B). Der Efachhet halber darf ma aber A ud B als uabhägg bezeche, we ma weß, was damt gemet st..3 Defto (Zufallsvarable) Für ee edlche Wahrschelchketsraum (Ω 0, P 0 ) ud ee belebge Mege Ω heßt ee Abbldug X: Ω 0 Ω Zufallsvarable (oder Zufallsgröße). Durch P (ω) P(X - (ω)) wrd auf Ω ee Wahrschelchketsvertelug P (auch P X ) defert. Dese Wahrschelchketsvertelug heßt auch Vertelug vo X..4 Awedugsbespel (Fortsetzug klsche Stude) De Lösug aus Bespel.7 Ω Ω Ω... Ω stellt ee Produktraum dar, we ma davo ausgeht, dass de Helug für ee Patete uabhägg st vo der Helug für belebge adere Patete. De Wahrschelchket des Elemetareregsses {x, x,..., x } st da ud das st glech we P(x ) P(x )... P(x ) p k -p (-k), S( x, x, K x ) : ω k glt. De gesuchte Wahrschelchkete für Lösug des Bespels.7 erhält ma also als Vertelug der Zufallsgröße S (Summebldug) vo Ω ach Ω s. Ma muss ur och bestmme, welche Mächtgket S - (k) hat. Ma seht lecht, dass der Tat S - (k) de Mächtgket hat. k 6

7 P.Martus, Multvarate Statstk, SoSe Bemerkug I vele Aweduge bezeht ma sch auf ee Zufallsvarable mt eer bestmmte Vertelug (z.b. Normalvertelug) ohe sch über das "dahter legede" Ω Gedake zu mache..6 Dskusso des Awedugsbespels (.,.7,.4) De Aahme, dass jeder Patet uabhägg vo de adere behadelt wrd, st realstsch. De Aahme, dass jeder Patet de gleche Helugswahrschelchket hat, st urealstsch. So köte z.b. der Schweregrad der Erkrakug für Patete verschede se. Deoch wrd das etsprechede Modell als Stadard z.b. für sog. Phase II Stude der Medkameteprüfug verwedet..7 Weterführug (Belebge Wahrschelchketsräume) Für abzählbar uedlche Mege (z.b. {0,,,...}) lässt sch de Begrffsbldug des Wahrschelchketsraums drekt übertrage. De Summe P ( A ) P ω A (ω) wrd be abzählbar uedlche Mege zu eer Rehe mt uedlch vele Summade. Be überabzählbar uedlche Mege, z.b. oder [0,], R +, R {0,} {0,}...(abzählbar vele Faktore) trete dagege schwerge mathematsche Probleme auf. I eem egee Telgebet der Mathematk, der Maßtheore, werde dese Probleme gelöst. De Maßtheore wr her cht behadelt. Ee wchtge Kosequez aus der Maßtheore st, dass be überabzählbarem Ω alle Elemetareregsse de Wahrschelchket 0 habe köe. Außerdem ka cht mehr für alle Telmege vo Ω ee Wahrschelchket agegebe werde, soder ur für de messbare Telmege. Für de reelle Zahle R sd z.b. alle Itervalle messbar (vgl. z.b. Bauer 990, her sbesodere S.3 ff). Wr gehe m Folgede stllschweged davo aus, dass usere Aweduge mt uedlche Wahrschelchketsräume de Deftoe ud Sätze für edlche Wahrschelchketsräume hre Gültgket behalte. 7

8 P.Martus, Multvarate Statstk, SoSe Defto (Vertelugsfukto ud Dchte) De für Aweduge relevate Wahrschelchketsverteluge auf R oder Teltervalle vo R köe durch Dchtefuktoe f(x) beschrebe werde (vgl. Bespel.4). Ist also Ω ee messbare Telmege vo R ud glt für ee Wahrschelchketsvertelug P P ( A) A f ( t) dt, für alle messbare A Ω, da heßt f de Dchte vo P ud F ( T ) T f ( t) dt de Vertelugsfukto vo P. Dabe ehme wr jetzt ud m folgede a, dass f auf R \ Ω kostat 0 st. Es glt ud P ( Ω) f ( t) dt Ω lm T F( T ), lmt F( T ) 0. De Vertelugsfukto lässt sch aalog für edlches oder abzählbares Ω R durch defere. F ( T ) P ω T (ω).9 Bemerkuge Mt Begrfflchkete aus der Maßtheore lässt sch P(ω) auch be edlchem Ω als Dchte terpretere ud de etsprechede Summe als Itegrale. Im folgede werde wr mmer de Itegralschrebwese verwede. I der multvarate Statstk werde de Begrffe vo Vertelugsfukto ud Dchte auf Wahrschelchketsräume m R p verallgemeert..0 Bespel (Glechvertelug) Ee Zufallsgröße X heßt glechvertelt auf eem Itervall [a,b] (- < a < b < ), we für de Dchtefukto f glt f(x) /(b-a) für x [a, b] f(x) 0 für x <a, x > b. 8

9 P.Martus, Multvarate Statstk, SoSe 009 Für edlches Ω Ω {ω, ω,... ω m } mt P(ω ) /m heßt P aalog Glechvertelug ud der Wahrschelchketsraum Laplaceraum mt m Elemete.. Satz (Glechvertelug der Vertelugsfukto) Es se X ee reelle Zufallsvarable mt stetger Dchtefukto f(t) > 0 ud es se F ( T ) T f ( t) dt de zugehörge Vertelugsfukto. Da glt: De Zufallsvarable Y:F(X) mmt Werte zwsche 0 ud a ud st auf [0,] glechvertelt. Bewes: sehe Übug.. Defto (Erwartugswert ud Varaz) Für ee Zufallsgröße X mt Dchtefukto f(x) st der Erwartugswert μ(x) ud de Varaz σ (X) defert durch μ ( X ) : t f ( t) dt falls de etsprechede Itegrale exstere. [ t μ( X ) ] σ ( X ) : f ( t) dt,.3 Satz (Erwartugswert ud Varaz vo Summe vo Zufallsvarable) See X ud Y belebge reelle Zufallsvarable, für de Erwartugswert ud Varaz exstere. Da glt μ(x+y) μ(x) + μ(y), μ(ax) aμ(x) ud σ (ax) a σ (X) für a belebg aus R. Für uabhägge X, Y glt σ (X+Y) σ (X) + σ (Y). Bewes: Bs auf de letzte Aussage folgt alles drekt aus de Deftoe vo Erwartugswert ud Varaz. E Bewes für de letzte Aussage fdet sch z.b. be Chug (978), Sete Bespel (Bomalvertelug) Der Erwartugswert der Bomalvertelug b(,p,k) st p, de Varaz st pq. Des folgt sofort aus Satz.3 ud μ(x) p ud σ (X) p(-p) für. 9

10 P.Martus, Multvarate Statstk, SoSe 009 0

11 P.Martus, Multvarate Statstk, SoSe Possoscher Grezwertsatz Wr betrachte ee Folge X (,,... ) vo Zufallsgröße, de alle ach b(,p,k) vertelt sd mt kostatem Erwartugswert p λ für belebges. Da glt für alle k )., ( ),, ( lm k p k p b λ Bemerkug: Es geügt vorauszusetze, dass p λ für. Bewes: Wr betrachte De erste ud de drtte Klammer habe berets de gewüschte Form. De zwete Klammer geht (be festem k) für gege, de letzte Klammer erfüllt k k λ λ λ. De erste Klammer geht gege e -λ, de zwete gege wel k fest st ud λ/ p 0..6 Dskusso des Awedugsbespels.4 Im Bespel zur DNA-Sequezerug ka ma sch vorstelle, dass mmer zahlrechere ud mmer kleere Telsequeze des utersuchte DNA-Strags mmer ur e oder ke Aker auftrtt. Be Auftelug glechlage Telsequeze st also de Zahl der Aker ach b(,p,k) vertelt, de Gesamtzahl der Aker ach b(,p,k). Der vorhergehede Satz rechtfertgt also de Aahme eer Possovertelug für de Gesamtzahl der Aker. De Gesamtzahl der Aker ka atürlch e größer als de Zahl der Basepaare der utersuchte Gesequez se. Außerdem st de Uabhäggketsaahme.4 sehr problematsch. Deoch eget sch das Modell zur efache Beschrebug der Vertelug vo Akerpukte. [ ].! : ),, ( + k k k k k k k k b λ λ λ λ λ K

12 P.Martus, Multvarate Statstk, SoSe Defto (Stadardserug) Es se X ee reelle Zufallsvarable, für de μ (X) ud σ (X) exstere. Da heßt de Zufallsvarable Z mt Z X μ( X ) σ ( X ) de stadardserte Zufallsvarable für X. Für Z glt μ(x) 0 ud σ (X). Der Neer σ ( X ) heßt auch Stadardabwechug oder Streuug ud wrd mt σ (X) bezechet..8 Satz vo de Movre Laplace Es se X, ee Folge vo bomal vertelte Zufallsgröße mt festem p, also X ~ b(,p,k) ud es se Z de zugehörge Folge stadardserter Zufallsgröße Z X p. pq Da lässt sch de Vertelug vo Z durch de Normalvertelug aäher. Damt st gemet: Für belebge Kostate - < a < b < + glt Bewesskzze b ( a < Z b) e dx lm P π a x Im erste Schrtt ähert ma de Fakultäte der Bomalvertelug mt der Strlgsche Formel a: p k k k ( p)! π. e Setzt ma für de dre Fakultäte des Bomalkoeffzete de etsprechede Terme der Strlgformel e, so erhält ma p k k ( p) k k e k π e k k π k e π ( k) p k k ( p)

13 P.Martus, Multvarate Statstk, SoSe ud daraus durch Kürze I der Übug wrd bewese, dass erfüllt, wobe z k der stadardserte Wert für k st. Isgesamt erhalte wr also Durch Aufsummere der Wahrschelchkete aller Trefferzahle k, für de z k m gewüschte Itervall ]a,b] legt, erhalte wr ee Remasumme, de gege das m Satz geate Itegral kovergert (vgl. Chug, 978, Sete 8-30). Der Satz vo de Movre Laplace st e Spezalfall des Zetrale Grezwertsatzes..9 Zetraler Grezwertsatz für detsch vertelte uabhägge Zufallsvarable Es se X ee reelle Zufallsvarable, für de Erwartugswert ud Varaz exstert, X (,...,) see detsch vertelte, uabhägge Zufallsvarable mt der Vertelug vo X. Mt S bezeche wr de Summe der X S X ud mt Z de Stadardserug vo S, also ) ( ) ( X X S Z σ μ Da st ( ) dx e b Z a P b a x < lm π. Bewes: z.b. Chug, 978, Sete ( ) ( ). ) ( k k k k k k p p p p k k p p k π ( ) z k k k k k e p p k k ( ) ) ( z k k k k k e p p p p k k π

14 P.Martus, Multvarate Statstk, SoSe Bemerkug Der Zetrale Grezwertsatz lässt sch och allgemeer formulere. Es geügt z.b., dass für cht detsch vertelte, aber uabhägge Zufallsvarable X de Erwartugswerte μ (X ) ud Varaze σ (X ) exstere ud für de Varaze σ (S ) der Summevarable de folgede Summe vo Itegrale S X Var ( S ) ( x E( X ) PX dx x E( X ) εs für belebges ε > 0 gege Null kovergert (Ldeberg-Bedgug, Bauer, 99, Sete 38-45)..3 Schlussbemerkug Der Zetrale Grezwertsatz stellt be vele statstsche Aweduge de "Rechtfertgug" für de Gebrauch der Normalvertelug dar. So ka ma aus der Formulerug.9 ablete, dass wederholte Messuge derselbe Größe am selbe Idvduum, we se uabhägg erfolge, zu ormalvertelte Durchschttswerte führe (Normalvertelug der Messfehler). Aus der allgemeere Formulerug.30 ka ma folger, dass de wahre (Messfehlerberegte) Werte vo uterschedlche Idvdue eer Populato ormalvertelt sd we der gesuchte Wert sch addtv aus vele klee Eflüsse zusammesetzt, de uabhägg sd ud vo dee keer domert (Normalvertelug der tatsächlche bologsche Varabltät). Lteratur Bauer H. Maß- ud Itegratostheore (de Gruyter 990). Bauer H. Wahrschelchketstheore, 4. Auflage (de Gruyter, 99). Chug KL. Elemetare Wahrschelchketstheore ud stochastsche Prozesse (Sprger, 978). Ewes WJ, Grat GR. Statstcal Methods Boformatcs.ed. (Sprger 005). 4

15 P.Martus, Multvarate Statstk, SoSe 009 Tel Statstsche Hypothesetests. Vorbemerkuge Statstsche Hypothesetests stelle das wchtgste Hlfsmttel der kofrmatorsche Statstk dar. Se ermöglche, Etscheduge über wsseschaftlche Hypothese aufgrud emprscher Date zu treffe. Dabe köe zwar Fehletscheduge cht ausgeschlosse werde, aber dere Wahrschelchket ka begrezt werde. De Awedug statstscher Tests st aber cht fre vo Fehlerquelle: Ma muss sch über de "Natur" der Fehlerwahrschelchkete m Klare se, we ma statstsche Tests korrekt awedet. Ee Hauptaufgabe des Statstkers besteht dar, dem Aweder de korrekte Iterpretato vo Testergebsse zu ermöglche. Wrd de zu testede Hypothese oder de akzepterte Fehlerwahrschelchket erst achträglch, ach Kets aller oder ees Tels der Date, festgelegt, brcht dese Abscherug gaz oder telwese zusamme. Im Rahme deses Tels der Vorlesug wrd der frequetstsche Asatz dargestellt. I eem adere Abschtt wrd de Bayesasche Schtwese dargestellt. Das Przp des statstsche Tests wrd zuächst a eem efache Bespel dargestellt. De formal korrekte Behadlug schleßt sch a.. Awedugsbespel (Klsche Stude, vgl..,.7,.4,.6) Für e eues Medkamet soll gezegt werde, dass de Helugswahrschelchket π größer als 0.5 st. Herfür werde 5 Patete mt desem Medkamet behadelt ud de Häufgket k vo Heluge beobachtet. Wevele Patete müsse mdestes gehelt werde, um mt eer Fehlerwahrschelchket vo α0.05 de Nachwes vo π > 0.5 zu erbrge? Gemet st der Fehler, sch rrtümlch zuguste des eue Medkamets zu etschede: De Helugswahrschelchket st maxmal 0.5, der Stude werde aber zufällg sehr vele Patete gehelt, d.h. de beobachtete relatve Häufgket k/ st deutlch größer als 0.5. De Mdestzahl K vo Heluge, ab der der Nachwes vo π > 0.5 erbracht st, muss also so hoch lege, dass de Wahrschelchket für das Eregs k K etspreched gerg, d.h. maxmal 0.05 st. Dese Wahrschelchket ka für belebges π mt Hlfe der Bomalvertelug berechet werde. Se st scher für jede Wahl vo K am größte, we π exakt glech 0.5 st. Wr werde us also für dese Fall abscher ud köe us darauf verlasse, dass de Fehlerwahrschelchket ur gerger werde ka, we π sogar kleer als 0.5 st. 5

16 P.Martus, Multvarate Statstk, SoSe Bespel (Fortsetzug) Im folgede Dagramm sd de Bomalwahrschelchkete b(5,0.5,k) dargestellt: 5 5 Patete - H0: Helugsrate 50% Wahrschelchket [%] %.8% Azahl gehelter Patete Uter der Aahme π 0.5 st de Wahrschelchket, oder mehr Patete zu hele, Ma seht lecht durch Nachreche, dass b(5,0.5,) 0.04 ud somt b(5,0.5,k ) 0.06 > Ma muss also mdestes Patete hele, um π > 0.5 statstsch zu bewese..4 Bespel (Fortsetzug) Für de Nachwes vo π > 0.5 wrd ee beobachtete Helugshäufgket vo /5 80%, also deutlch mehr als 50%, verlagt! De beschrebee Stude wrd atürlch mt der Abscht durchgeführt, dese Nachwes zu erbrge (aderfalls müsste der statstsche Asatz geädert werde!). De Itator der Stude teressert also, we groß de Wahrschelchket für de Erfolg der Stude st. Dese Wahrschelchket hägt u aber vo der tatsächlche Helugswahrschelchket des Medkamets ab. De folgede Grafke zege, we groß für uterschedlches π de Wahrschelchket ees Studeerfolgs (k ) st. Aus de Grafke geht klar hervor, dass de Stude egetlch ur für π 0.9 (oder größer) erfolgverspreched st. De Bezechug H 0 ud H de Grafke wrd später erklärt. 6

17 P.Martus, Multvarate Statstk, SoSe Patete - H: Helugsrate 60% Wahrschelchket [%] % 9.% Azahl gehelter Patete Wahrschelchket [%] Patete - H: Helugsrate 70% 70.3% 9.7% Azahl gehelter Patete 7

18 P.Martus, Multvarate Statstk, SoSe Patete - H: Helugsrate 80% Wahrschelchket [%] % 64.8% Azahl gehelter Patete Wahrschelchket [%] Patete - H: Helugsrate 90% 5.6% 94.4% Azahl gehelter Patete 8

19 P.Martus, Multvarate Statstk, SoSe Bemerkug Für de Itator der Stude st ee zwete Fehlerwahrschelchket vo Iteresse: De Wahrschelchket β dafür, dass de Stude cht das Zel vo mdestes Heluge errecht, obwohl de Helugswahrschelchket π größer als 0.5 st. Ist de tatsächlche Helugswahrschelchket also z.b. π 0.6, da köe wr aus der etsprechede Grafk ablese, dass β Dese Stude wäre also usg. Der Ausweg besteht dar, de Zahl der Patete zu erhöhe..6 Bespel (Fortsetzug) Es werde 50 Patete behadelt. Wege b(50,0.5,k 86) ud b(50,0.5,k 85) > 0.05 müsse mdestes 86 Patete gehelt werde. Aus de folgede Grafke ka abgelese werde, dass dese Stude recht erfolgverspreched st: 7 50 Patete - H0: Helugsrate 50% Wahrschelchket [%] % 4.3% Azahl gehelter Patete 7 50 Patete - H: Helugsrate 60% Wahrschelcket [%] % 77.4% Azahl gehelter Patete 9

20 P.Martus, Multvarate Statstk, SoSe Bemerkug Zur Berechug der Bomalwahrschelchkete.6 beutzt ma cht de Rohwert k soder de stadardserte Zufallsgröße Z X μ( k) σ ( k) mt μ(k) π ud σ (k) π(-π). Mt dem Zetrale Grezwertsatz erhält ma b(, p, k K) π Z ( K ) e z dz π p( p) K e ( xp) p( p) dx..8 Bespel (Fortsetzug) I Medkametestude st ma dazu verpflchtet, auch mmer mt zu überprüfe, ob de Stude (etgege der Iteto des Itators) statstsch bewest, dass das eue Medkamet sogar deutlch schlechter als erwartet st. Des bedeutet, dass ma auch de Fall π < 0.05 berückschtge muss. Praktsch erfolgt des dadurch, dass ma de zulässge Fehler vo 0.05 zu gleche Tele auf besoders hohe ud besoders edrge Helugshäufgkete vertelt: 50 Patete - H0: Helugsrate 50% Wahrschelchket [%] Zwesetger Test.04%.04% Azahl gehelter Patete Ma verlagt jetzt mdestes 87 Heluge, statt 86. 0

21 P.Martus, Multvarate Statstk, SoSe Bemerkug We der Stude statt der geforderte 87 Patete z.b. 78 gehelt werde, hat ma de geforderte Nachwes vo π > 0.5 cht erbracht. Werde z.b. 90 Patete gehelt, hat ma h erbracht. Um zu demostrere, we "ahe" das Ergebs a der vorgeschrebee Greze K 87 lag, betrachtet ma de Fehlerwahrschelchket, de zum beobachtete k gehört. Im erste Fall mt k 87 glt b(50,0.5,k 78) 0.34, m zwete Fall b(50,0.5,k 90) Beachtet ma de.8 geforderte Erweterug auf de Nachwes vo π < 0.5, so ka ma folgede Aussage treffe: Wäre de zulässge Fehlerwahrschelchket α 0.68 gewese, hätte de 78 Patete zum Nachwes π > 0.5 ausgerecht, wäre de Fehlerwahrschelchket dagege α gewese, hätte 90 Patete zum Nachwes π > 0.5 ausgerecht. I de folgede Abschtte werde de bsher formell verwedete Begrffsblduge eer Sere vo mathematsche Deftoe präzsert. Es wrd drged empfohle, das Bespel.-.8 jewels gege zu lese..0 Defto (statstscher Raum) Gegebe se ee Mege Ω zusamme mt eer Mege vo Wahrschelchketsverteluge P auf Ω. Da heßt das Paar (Ω,P) statstscher Raum. Wr spreche vo eem parametrsche statstsche Raum, we sch de Wahrschelchketsverteluge P durch ee (üblcherwese reellwertge) Parameter (oder Parametervektor m R ) beschrebe lasse, d.h.we ma schrebe ka P {P θ θ Θ}.. Bemerkuge Für edlches Ω {ω, ω,... ω m } oder abzählbares Ω {ω, ω,...} köe wr ohe Eschräkug davo ausgehe, dass de ezele Wahrschelchketsverteluge P aus P jewels für alle Telmege vo Ω defert sd. Für belebges Ω müsse wr zusätzlch verlage, dass jedes P aus P für deselbe Eregsse A Ω defert st. I vele Aweduge verlagt ma zusätzlch, dass cht ur jedes P für deselbe Eregsse defert st, soder auch dass P(A) > 0 etweder für alle oder für ke P aus P erfüllt st. Lässt ma belebge Parametermege Θ zu, ka ma ma jede statstsche Raum als parametrsch auffasse. Im egere Se sprcht ma vo eem parametrsche Raum,

22 P.Martus, Multvarate Statstk, SoSe 009 we der Parameter we obe erwäht e- oder mehrdmesoal reell st. Als Parameter werde häufg Erwartugswert ud/oder Varaz gewählt. Dese Wahl st aber cht zwged, mache Fälle wählt ma efache Fuktoe deser Größe. Wr werde fast mmer davo ausgehe, dass der Raum, de wr betrachte, m egere Se parametrsch st. I sehr vele Fälle hat ma de Wahl, Ω der Form (Ω ) oder glech als de Bldraum eer Abbldug vo (Ω ) ee efache Raum (Ω ) festzulege.. Bespel (Fortsetzug) I der klsche Stude wähle wr ud Ω {0,,,... 5 } bzw. Ω {0,,,... 50} P {b(5,p,k) p ]0,[} bzw. P {b(50,p,k) p ]0,[}. Her st p der Parameter, wrd als kostat betrachtet. De Werte p 0 ud p werde bewusst cht zugelasse, wel da de Bedgug "P(A) > 0 etweder für alle oder für ke P aus P " verletzt wäre. Ee alteratve Parametrserug wäre p/(-p) oder l[p/(-p)]. Ee alteratve Wahl für Ω wäre {0,} 5. P wäre da de Mege aller Wahrschelchketsverteluge auf de Tupel (ω, ω,... ω 5 ) mt ω {0,} ud für Σw k P(ω, ω,... ω 5 ) p k (-p) 5-k. De Parametermege würde sch cht äder, wäre also z.b. weder ]0,[..3 Defto (Testprobleme, Nullhypothese ud Alteratve, Etschedugsfukto, krtscher Berech, krtscher Wert) Es se (Ω, P) e statstscher Raum mt P {P θ θ Θ}. Θ 0 ud Θ see zwe Telmege vo Θ mt Θ 0 Θ. Als Testproblem bezechet ma de Aufgabe, aufgrud vo Stchprobedate zu etschede, ob ma de Aahme H 0 : P Θ 0 zuguste der Aahme H : P Θ ablehe ka. H 0 heßt Nullhypothese ud H heßt Alteratve. Falls Θ R, Θ 0 ]a,b] ud Θ ]b,c[, sprcht ma vo eem esetge Testproblem, falls Θ 0 {b} ud Θ ]a,b[ ]b,c[ sprcht ma vo eem zwesetge Testproblem (- a < b < c ). Als Etschedugsfukto bezechet ma dejege Fukto δ:ω {0,}, de jedem möglche Versuchsergebs ω de Wert 0 (kee Ablehug der Nullhypothese) oder (Ablehug der Nullhypothese) zuordet.

23 P.Martus, Multvarate Statstk, SoSe 009 Als krtsche Berech K bezechet ma de Mege δ - (), also dejege Versuchsergebsse, de zur Ablehug der Nullhypothese führe. Ist Ω reell ud hat der krtsche Berech de Gestalt ees Itervalls K [K, [, bezechet ma K als krtsche Wert. We ma vor de Etschedugsfukto ee Zufallsgröße X vo Ω ee efachere Ω' "zwscheschaltet", bezechet ma X als Prüfgröße ud sprcht da aalog vom krtsche Wert für de Prüfgröße..4 Bemerkuge Mestes, aber cht mmer glt Θ 0 Θ Ω.. Es ka also P Wahrschelchketsverteluge gebe, de weder zur Nullhypothese och zur Alteratve gehöre. Das Testproblem st bewusst asymmetrsch formulert: We ma de Nullhypothese ablehe ka, glt de Alteratve als statstsch bewese. We ma de Nullhypothese cht ablehe ka, glt se deswege och lage cht als statstsch bewese. I vele Aweduge mt esetge Testprobleme bezeht ma aus Θ 0 ur de ugüstgste Wahrschelchketsvertelug, also dejege, de der Alteratve am "äheste" kommt, de wetere Überleguge e. I eem allgemeere Asatz ka de Etschedugsfukto auch Werte zwsche ull ud es aehme. Gemet st folgedes: We δ(ω) ρ, da sollte ma sch mt Wahrschelchket ρ für de Ablehug der Nullhypothese etschede, also für de Etschedug selbst och emal e Zufallsexpermet durchführe. Ma sprcht deswege vo radomserte Etschedugsfuktoe. Dese werde der Praxs cht agewedet..5 Bespel (Fortsetzug) I der klsche Stude mt lautet das esetge Testproblem ud das zwesetge Testproblem Ω {0,,,... 5 } ud P {b(5,p,k) p ]0,[} H 0 : P ]0,0.5], H : P ]0.5, [ H 0 : P {0.5}, H : P ]0, 0.5[ ]0.5, [. De Etschedugsfukto δ geht vo {0,,...,5} ach {0,}. Bem esetge Testproblem hatte wr us etschede, δ{k} zu wähle, falls k. Der krtsche Wert K war also 3

24 P.Martus, Multvarate Statstk, SoSe 009. De Wahl vo K war aufgrud der Vorgabe erfolgt, dass de Wahrschelchket, H0 abulehe obwohl H 0 zutrfft maxmal 0.05 se sollte. Be Verwedug eer radomserte Etschedugsfukto dürfte ma für k Heluge mt Wahrschelchket 0.03/ % de Nullhypothese ablehe. Be Verwedug vo Ω {0,} 5 wäre de Prüfgröße X defert durch X(ω, ω,... ω 5 ) Σw ( k)..6 Defto (Fehler erster ud Fehler zweter Art, Macht, Machtfukto) Be gegebeem Testproblem et ma Maxθ Θ P ( K) 0 θ de Fehler erster Art oder Sgfkazveau ud bezechet es mt α. (K st der krtsche Berech). Für festes θ Θ et ma de Fehler zweter Art. ( K) P θ De Fukto ( θ ) P ( ) M : Θ [0,], M K θ bezechet ma als Machtfukto..7 Bemerkuge Machmal bezechet ma auch de Etschedug selbst als Fehler erster oder zweter Art ud cht de Wahrschelchket der jewelge Etschedug. I Aweduge wrd der Fehler erster Art als der wchtgere agesehe, desse Wahrschelchket jeder Stude vorher begrezt werde muss. I der Medz wrd üblcherwese α0.05 verlagt. Um überhaupt vom Fehler zweter Art zu spreche, muss ma sch auf ee spezelle Alteratve θ Θ festlege. Demgegeüber st der Fehler erster Art ja e Maxmalwert vo Wahrschelchkete, ma muss sch her cht auf e spezelles θ Θ 0 festlege. I gute Stude wrd der Fehler zweter Art vor der Stude für ee realstsche Alteratve bestmmt. Ma ka für festes θ Θ de Fehler zweter Art durch Erhöhug des Stchprobeumfags verrger (s.u. Fallzahlschätzug). Allerdgs wrd sch be fester Fallzahl der Fehler zweter Art für Alteratve, de sch mmer mehr der Nullhypothese aähere, mmer mehr dem 4

25 P.Martus, Multvarate Statstk, SoSe 009 Wert -α aäher, der Medz also 95%. Extrem klee Abwechuge vo der Nullhypothese köe also statstsch kaum achgewese werde...8 Bespel (Fortsetzug) Im Bespel mt 5 Patete wurde der Fehler erster Art auf 0.05 begrezt. Für de esetge Test wurde der Fehler zweter Art für de spezelle Alteratve θ 0.60, θ 0.70, θ 0.80 ud θ 0.90 bestmmt. De Machtfukto hat auf ]0.5,[ de Gestalt,00 0,80 macht 0,60 0,40 0,0 0,00 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90,00 p.9 Defto (Überschretugswahrschelchket) Be bekatem Versuchsergebs ka ma das edrgste Sgfkazveau agebe, für das das Studeergebs och sgfkat gewese wäre. Es legt be maxmal α, we das Studeergebs sgfkat für α war ud be größer α, we das Studeergebs cht sgfkat für α war. Deses "optmale" Sgfkazveau bezechet ma als Überschretugswahrschelchket oder kürzer als p-wert..0 Bemerkug P-Werte ethalte mehr Iformato als de Agabe zur Ablehug oder Nchtablehug der Nullhypothese. P-Werte stelle aber kee Begrezuge für de Wahrschelchkete vo Fehletscheduge dar, auch we se oft deser Art terpretert werde. P-Werte werde der Medz extrem häufg berechet.. Bespel (Fortsetzug) 5

26 P.Martus, Multvarate Statstk, SoSe 009 Der p-wert für k Heluge war 0.06, derjege für k Heluge Algorthmus (Fallzahlschätzug) We ma für ee Stude de Fehler zweter Art begreze wll, muss ma de otwedge Mdestfallzahl bestmme. Dabe geht ma folgedermaße vor: Ma legt durch de Wahl voθ 0 de Nullhypothese ud durch de Wahl vo Θ de Alteratve fest. Ma fxert das Sgfkazveau α. Weterh legt ma für e spezelles θ Θ de gewüschte Fehler zweter Art β fest. Für ee tale Festlegug der Fallzahl bestmmt ma zuächst de maxmal möglche krtsche Berech K aufgrud der Bedgug Max θ Θ Pθ ( ) 0 K α Für das gefudee K ud das spezelle θ Θ bestmmt ma de Fehler zweter Art P ( K) β ( ). θ We β() > β muss erhöht werde, we β() < β ka verrgert werde. Durch Ausprobere fdet ma de otwedge Fallzahl. Be sehr efache Testprobleme ka ma geschlossee Formel für de Fallzahl agebe..3 Bespel (Fortsetzug) Für de Approxmato der Bomal- durch de Normalvertelug lautet de geschlossee Form der Fallzahlschätzug für de esetge Test { z α [ π 0 ( π 0 )] + z β [ π ( π )]} ( π π ) 0 Dabe bezechet z γ das γ-quatl der Stadardormalvertelug, also de z-wert für de glt: π zγ z e dz γ Es glt z ud z De otwedge Fallzahl für π ud π 0.60 st {.645 [ 0.5 ( 0.5) ] [ 0.6 ( 0.6) ]} ( ) 57. 6

27 P.Martus, Multvarate Statstk, SoSe 009 Für de zwesetge Test muss ma α halbere, also mt z (.96) statt z 0.95 a(.645) arbete. 7

28 P.Martus, Multvarate Statstk, SoSe 009 Tel 3 Methodekatalog 3. Vorbemerkuge ud Überblck I de folgede Abschtte werde wr ege statstsche Tests vorstelle, de für medzsch / bologsche Aweduge vo Bedeutug sd. De zugrude legede Theore werde wrd ur adeutugswese behadel, de Fehler erster Art mmer auf 0.05 fxere. Be de ausgewählte statstsche Tests lasse sch dre Stchprobestrukture uterschede: Ee Stchprobe wrd gege ee bekate Wert verglche. Zwe Stchprobe werde gegeeader verglche. Alle Werte köe als uabhägg betrachtet werde (mestes, wel se vo verschedee Patete stamme, de z.b. uterschedlche Therape erhalte oder zu uterschedlche Dagosegruppe gehöre). Zwe Stchprobe werde gegeeader verglche. Jewels e Wert der erste ud der zwete Stchprobe sd voeader abhägg. Asoste sd de Werte uabhägg (mestes zwe Messuge am selbe Patete uter verschedee Bedguge, z.b. uter zwe Therape, vo der lke ud rechte Körpersete, a gesudem ud krakem Gewebe). Aus der Stchprobestruktur ud der Vertelug des zu utersuchede Merkmals ergbt sch da jewels der azuwedede Test. Wr werde sehe, dass der drtte Fall efach auf de erste zurückgeführt werde ka. De desem Abschtt vorgestellte Bespele solle ledglch de Recheweg verdeutlche ud stamme cht aus realstsche Aweduge. I der Übug werde reale Awedugsbespele behadelt. Um klar zwsche de theoretsche Parameter der Wahrschelchketsmodelle ud de Parameter der beobachtete Stchprobe uterschede zu köe, werde wr für de theoretsche Parameter grechsche ud für de Stchprobeparameter latesche Buchstabe verwede. Bespel: Wr werde Wahrschelchkete mt π, beobachtete relatve Häufgkete mt p bezeche. 8

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