Vorkurs, Teil 1. (3) Matrizen, lineare Gleichungssysteme, Determinanten (Lehrbuch Kap )

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1 Vorkurs, Tel Lehrbuch: Sydsaeter / Hammod, Mathematk für Wrtschaftswsseschaftler, Pearso Studum, ISBN Skrpt vo Sevtap Kestel Ihalt () Eführug: Zahle, Fuktoe Potezfukto, Expoetalfukto (Lehrbuch Kap. 4) () stetge Fuktoe, Grezwerte, Abletuge, Extremwerte, Expoetalfukto, Logarthmus (Lehrbuch Kap. 6 8) (3) Matrze, leare Glechugssysteme, Determate (Lehrbuch Kap. 5 6) Natürlche Zahle ud vollstädge Idukto atürlche Zahle N:,, 3,... Bewes durch vollstädge Idukto: Zu jeder atürlche Zahl se ee Aussage A() gegebe. Da sd alle Aussage A() rchtg, we () ad () bewese werde köe: () A() st rchtg (Iduktosafag). () We A() wahr st, da st auch A( + ) wahr für jede atürlche Zahl (Iduktosschluss). Nach () st de Aussage für rchtg; ach () also, we dort gesetzt wrd, auch für +. Da umehr de Vorraussetzug für () auch für gegebe st, st de Aussage also auch für 3 rchtg usw.

2 Bespele:. Für jede atürlche Zahl glt: A() : ( + ) () () De Formel stmmt für. () Schluss vo A() auf A( + ): Glt de Formel für A(), so glt se auch für A( + ), da aus A() folgt ( + ) A() ( + ) + ( + ) ( + )( + ). (3). (geometrsche Summeformel) Für jede Zahl x glt + x + x + x x x x+ x. (4) Für st de Formel rchtg. Der Schluss vo auf + folgt da aus + x + x + + x + x + x+ x + x+ x+ x. (5) (Glechug (4) ka z.b. auch we folgt abgeletet werde: Defere S : + x + x 3 + x. (6) We wr bede Sete mt ( x) multplzere, ergbt sch woraus (4) folgt.) S( x) x +, (7) Wetere Bespele, de durch Idukto bewese werde köe (Übug): Dabe st das Summezeche: Für Zahle a, a,... a ud gaze Zahle p q st Für p > q st () glech Null. a p + a p+ + + a q q a. () p

3 Summe der Quadrat ud Kubkzahle ( + )( + ) 6 [ ] ( + ) ( + ) ( ) 4 Summe der erste ugerade Zahle: ( ). Für x st ( + x)( + x )( + x 4 ) ( + x ) x+ x. (8) Bomalkoeffzete Für N defert ma! ( Fakultät) durch Es glt de Festsetzug!.! : 3. (9) De Azahl aller Aorduge verschedeer Elemete st!. So köe z.b. de Elemete,,3 we folgt ageordet werde:,, 3, 3,,, 3, 3, 3,, 3,,, () es gbt also 3! 3 6 Aorduge. Bomalkoeffzete: Für N ud k,,,... st ( ) ( k + ) :. () k k! Z.B. st ( ) () 4 4! Für k > st also ( ( k), ud z.b. ) ( ). Ma defert außerdem. (3) 3

4 Es glt k m Bespel () also ( ) ( k + ) k! ( ) ( ) ( k + ) ( k)! k! ( k)!! k!( k)!, k ( ) 7 4 ( ) 7 7! 3 4!3! Bomalkoeffzete spele ee wchtge Rolle der Kombatork ud der Wahrschelchketsrechug. So st z.b. durch ( k) mt k de Azahl der k elemetge Telmege eer cht leere Mege mt Elemete gegebe. Ee oft verwedete Idettät st + k k + +. (4) k + Dese Idettät bldet de Grudlage des Pascalsche Dreecks zur Berechug der Bomalkoeffzete (sehe Lehrbuch S. 86) ud folgt aus ( ) ( k + )( (k + ) + ) k + (k + )! ( ) ( k + )( k) (k + )! ( ) ( ) ( k + ) ( k) k k! (k + ) k k +. Somt st also + k k + ( ) ( + k ) k k + Bomallehrsatz: Für belebge Zahle a ud b st + k k + (a + b) a + b ( ) ( ) ( ) (a + b) a + ab + b a + ab + b ( ) ( ) 3 3 (a + b) 3 a 3 + 3a b + 3ab + b 3 a 3 + a b + (a + b) 4 a 4 + 4a 3 b + 6a b + 4ab 3 + b 4 ( ) ( ) ( ) a 4 + a 3 b + a b + 4 ( ) 4 ab (5) k + ( ) 3 ab + ( ) 4 b 4. 4 ( ) 3 b 3 3

5 Allgeme glt für N ( (a + b) a + ( ) a b + ( ) ( ) ( ) a b + + a b + ab + b ) a b. (6) Setzt ma a b (6), so ergbt sch de dettät ( + ) + ud mt a ud b ergbt sch ( ) ( ) ( ) + ( ), (7) ( ). (8) Der Bomallehrsatz (6) ka durch vollstädge Idukto uter Verwedug der Relato (4) bewese werde, we folgt: Für glt der Satz offeschtlch. Nehme wr also a, (6) glt für. Da st ( (a + b) (a + b)(a + b) (a + b) ( a b + ) a b (9) ) a b +. () Für de erste der Summe der letzte Zele vo Glechug () Glechug ka ma schrebe a b a + a b ud für de zwete Summe () glt a b + a ( ) b ( )+ a b + b. a b 5

6 Also st (a + b) a + a b + a b + b [( ) ( )] a + + a b + b a + a b + b a b, wobe der letzte Zele de Idettät (4) verwedet wurde. Zahle atürlche Zahle N:,, 3,... gaze Zahle Z:, ±, ±, ±3,... de Mege Q der ratoale Zahle m, wobe m Z ud N De Mege der ratoale Zahle st och cht vollstädg dem Se, dass zum Bespel ud π cht der agegebee Form m mt m Z ud N geschrebe werde köe. Solche Zahle et ma de rratoale Zahle. De rratoale Zahle uterschede sch vo de ratoale Zahle durch hre Dezmaldarstellug: Ratoale Zahle habe edlch vele oder perdosch wederkehrede Dezmalstelle, währed de Dezmaldarstellug rratoaler Zahle cht abbrcht ud cht durch e perodsch wederkehredes Muster gekezechet st. de reelle Zahle R: dese ethalte auch de rratoale Zahle, de cht der obge Form als Bruch gazer Zahle geschrebe werde köe, etwa ud π. De rratoale Zahle schleße de Lücke zwsche de ratoale Zahle. Absolutbetrag ud Dreecksuglechug: Für x R setzt ma x falls x x : x falls x < () 6

7 Es glt xy x y ud de Dreeckugsuglechug: x + y x + y. () () folgt aus x + y x + y ud (x + y) x + y. Fuktoe Defto: Ee Fukto eer reelle Varable x mt Deftosberech D st ee Vorschrft f, de jeder Zahl x D edeutg ee reelle Zahl f(x) zuordet. Ma schrebt dafür f : D R, x f(x) oder efach f(x). Oft wrd der Fuktoswert vo f a der Stelle x mt y bezechet, d.h., y f(x), (3) x st de uabhägge Varable ud y st de abhägge Varable. De Mege der Werte f(d) : {f(x) x D}, (4) de ma erhält, we x de Deftosberech D durchläuft, et ma de Werteberech (Symbol oft: R für rage). De Vorschrft f uterlegt dabe keer (wetere) Eschräkug, z.b. muss se cht durch ee geschlossee Formel darstellbar se. Ee Fukto f : D R heßt mooto wachsed bzw. falled, we für Paare x, x D mt x < x glt f(x ) f(x ) bzw. f(x ) f(x ). Se heßt streg mooto wachsed bzw. falled, we sogar f(x ) < f(x ) bzw. f(x ) > f(x ) glt. Potezfuktoe: De allgemee Potezfukto st durch de Formel f(x) Ax r, x, A, r R (5) beschrebe. 7

8 Betrachte wr zuächst gazzahlge Expoete r (5). Für dese ka x (5) belebge Werte aehme (also auch x < ). Für N st de te Potez vo x ud deftosgemäß glt x x } x {{ x}, (6) Faktore x für x. (7) Negatve Poteze sd ebefalls defert, Es gelte de Regel x x. (8) x x m x +m, (x ) m x m, x y (xy). (9) Aus (9) lasse sch folgede Regel ablete: We ud m belebge gaze ud x ud y belebge reelle Zahle sd, so glt x x m x m, x y x. y Betrachte wr als ächstes ratoale Expoete, d.h., der Expoet r Glechug (5) hat ee Darstellug r p/q mt p Z ud q N. Wr defere zuächst de q te Wurzel eer postve Zahl x für q N. De q te Wurzel vo x >, x /q q x, q N (3) st de edeutg bestmmte postve Zahl, dere q te Potez x ergbt, also z.b. 4 / 4, 7 / Kosstet mt de Regel (9) st da für ratoale Expoete de Defto x p/q (x /q ) p (x p ) /q. (3) Es st z.b. ud 4 5/ ( 4) , (3) / (33) 8

9 3 y x r, r> y x r, <r< 5.5 y x 5 y x r, r< y.5 3 x 4 3 y x Fgure : Potezfuktoe für uterschedlche Werte des Expoete r. Auch für rratoale Expoete r köe Poteze (mt Hlfe der Expoetalfukto) defert werde. De Potezfukto (5) st also for alle r R defert. De (auch qualtatve) Gestalt eer Potezfukto (5) hägt etscheded vom Wert des Expoete r ab. So st de Potezfukto f(x) x r, x >, streg mooto wachsed für r > ud streg mooto falled für r <. Typsche Verläufe für r >, r (, ) ud r < fde sch Abbldug. Expoetalfuktoe: De allgemee Expoetalfukto mt Bass a > st f(x) Aa x, A ee Kostate. (34) 9

10 8 f(x) a x, a> 8 f(x) a x, a< y 4 y x x Fgure : Expoetalfuktoe (34) für a > ud a <. We x sch um ee Ehet ädert, so ädert sch f(x) um de Faktor a. Solche Fuktoe werde oft zur Modellerug vo Wachstumsprozesse egesetzt. We sch zum Bespel e Afagskaptal K() jährlch zum Zssatz p ( Prozet) verzst, so wrd das Kaptal ach t Jahre auf agewachse se. ( K(t) K() + p ) t (35) De Fukto st mooto wachsed für a > ud mooto falled für < a < (vgl. Abbldug ). Polyome: Ee Fukto der Gestalt f(x) a x + a x + + a x + a (36)

11 mt reelle Koeffzete a, a,..., a ud a heßt reelles Polyom -te Grades. a st der Letkoeffzet. Sd alle a k, k,...,, so st f das Nullpolyom. Ee Zahl α st ee Nullstelle vo f, we f(α). Für, also quadratsche Fuktoe, ka ma de Nullstelle mt Hlfe der pq Formel geschlosseer Form agebe (se der Efachhet halber a a ): x + px + q ( p ) ( p ) x + px + + q ( x + p ( p ) q ) x p ± (p ) q. (37) De Nullstelle des quadratsche Polyoms (37) sd aber ur reell, we p > 4q. Für de quadratsche Glechug x + x + 4 z.b. ergbt de pq Formel de Lösuge x / ± 4 4 ± 6 ± 5, (38) d.h., de Glechug hat kee reelle Lösuge. Ma führt daher de magäre Ehet mt ( ) e. Es glt, 3, 4 ( ) ( ) (39) 5 4, 6,... (4) Da hat de obge quadratsche Glechug de komplexe Lösuge ± 5 ± 5 ± 5. (4)

12 Ee komplexe Zahl st allgeme vo der Form z x + y mt x, y R. De reelle Zahle x ud y heße Real ud Imagärtel vo z, ud werde mt Re z ud Im z bezechet. z heßt re magär, we z y, y R. De Körper der komplexe Zahle bezeche wr mt C. Algebrasche Operatoe sd uter Berückschtgug der Regel da we gewoht defert. Se z x + y ud w u + v. Addto: z + w (x + u) + (y + v), (4) d.h., x + u ud y + v sd Real ud Imagärtel der Zahl z + w. Multplkato: Dvso: z w (x + y)(u + v) xu + yv + (uy + xv) (43) xu yv + (uy + xv). (44) z w x + y (x + y)(u v) u + v (u + v)(u v) xu + vy + (uy xv) xu + vy u + v (45) u + v (46) xv + uy u + v. (47) Kojugato: Für z x+y st z x y de zu z kojugert komplexe Zahl. De Lösuge obger quadratscher Glechug blde also e paar kojugert komplexer Zahle. Es glt: z + w z + w (48) z w z w (49) z z geau da, we z R (5) z z x + y (5)

13 Der Betrag der kompexe Zahl z st z x + y z z x + y. (5) Der Betrag st also ee reelle Zahl. We für reelle Zahle glt für zwe komplexe Zahle z ud w, zw z w, z + w z + w. (53) Bespele: Stelle Se de folgede komplexe Zahle der Form x + y dar: (a) (b) (c) ( + )( ) (3 + 4)( + ) ( + )( ) (3 + 8) ( + ) ( )( + ) + + (54) (55). (56) (d) : Der Asatz a + b führt auf (a + b) a b + ab, woraus a b ud ab folgt, also a b ±. Also ± ( + ). (57) Wr komme zurück zu de Nullstelle vo Polyome. Ist z ee (reelle oder komplexe) Nullstelle vo f, d.h., es glt f(z ), so lässt sch der Faktor z z abspalte, d.h., f(z) (z z )q(z), (58) wobe q e Polyom vom Grade Grad f st. Nach dem Fudametalsatz der Algebra hat jedes Polyom te Grades geau (m allgemee komplexe) Nullstelle (Velfachhete egerechet). Wr köe also mal ee Learfaktor abspalte, f(z) a (z z ) k (z z ) k (z z s ) k s, (59) 3

14 we Polyom f de s verschedee Nullstelle z, z,..., z s jewels mt de Velfachhete k, k,..., k s hat, mt k + k + + k s s k. (z st ee k fache Nullstelle vo f.) Bespel: Das Polyom f(z) 3z 3 3z 5z 9 3(z 3)(z + ) (6) hat de fache Nullstelle ud de efache Nullstelle 3. 4