Dr. Monika Meiler. Inhalt

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1 Uverstät Lepzg Isttut für Iforatk Dr. Moka Meler Ihalt Zahle ud hre Darstellug Addtossystee Postossystee Dezal- ud Dualsyste Dezalsyste Dualsyste Wetere Bespele für Postossystee Zusaefassug Zahledarstellug Zwe Awedugsaufgabe Reche Postossystee Addto Multplkato Ukehroperatoe Dualsyste > - Relato Subtrakto Dvso Dre Awedugsaufgabe Zusaefassug Reche t Zahle Ahag A Ahag B Iforatk/Nuerk -/6

2 Uverstät Lepzg Isttut für Iforatk Dr. Moka Meler Zahle ud hre Darstellug De de Abschtt verwedete Aufgabe sd z.t. aus de Matheatkbuch der Klasse 5 für Gyase des Lades Sachse vo Oldeburg Verlag.. Addtossystee Jedes Zeche eer Zahledarstellug hat geau ee Wert. Der Zahlewert wrd durch Addto bzw. Subtrakto deser Werte erttelt. Efachstes Bespel Grudzeche I Werte Zahledarstellug IIII Addto der Zechewerte Rösche Zahledarstellug Grudzeche I X C M Werte Hlfszeche V L D Werte Zahledarstellug VIII Addto der Zechewerte IX - 9 Subtrakto ur für Grudzechewerte erlaubt CML LM wäre falsch, da L Hlfszeche. Postossystee Der Zahlewert st abhägg vo der Posto der Zffer der Zahledarstellug. Zffer Edlche Mege vo destes Zeche Z Zffer z Z.d.R. hdu-arabsche Zffer Z ausgezechetes Eleet Bass b card Z Z # Z Azahl der Zffer Wert eer Zffer z st ee edeutge Abbldug, welche jeder Zffer ee Zahl zuordet. atürlche Zahle z z z z z ), wobe z ( Zahledarstellug b b Zahlewert z z * b Iforatk/Nuerk -/6

3 Uverstät Lepzg Isttut für Iforatk Dr. Moka Meler ratoale Zahle z * b z * b z * b z z * b z * b z b z. * Zahledarstellug z b z. z b z b. z b t z b z z z b ud. z b. z z z b Zahlewert z. z z * b z * b z z * b. t z z * b z * b z * b z (s. o.) ud. z z * b z / b z / b z / b z b z / b z b. / /.3 Dezal- ud Dualsyste.3. Dezalsyste Zehersyste, Dezalsyste (lat.: dece = zeh), dekadsches Postossyste Z,,,9 Bass b z z atürlche Zahle Bespel (37) = * + 3 * + 7 * = Stellewerttafel Zahledarstellug Tauseder Huderter Zeher Eer Zahlewert b 3 (37) ratoale Zahle Bespel (3.565) = = 3 * + * * * -3 + * * -5 = 3 + / + 5/ + 6/ + / + 5/ Stellewerttafel Zahledarstellug Zehtel Hudertstel Tausedstel Zehtausedstel Huderttausedstel b (.565) Iforatk/Nuerk -3/6

4 Uverstät Lepzg Isttut für Iforatk Dr. Moka Meler Verebarug I Zehersyste werde de Zahle ugeklaert dargestellt, d.h. z (z)..3. Dualsyste Zweersyste, Dualsyste (lat.: duo = zwe), O,L Z Bass b z atürlche Zahle Zweerpoteze z Coputer reche Zweersyste Bespel 37 = ( ) Urechug 37 = = * 7 + * 3 + * = ( ) oder 37 : = 68 Rest 68 : = 34 Rest 34 : = 7 Rest 7 : = 8 Rest 8 : = 4 Rest 4 : = Rest : = Rest : = Rest ( ) = * 7 + * 3 + * = = 37 oder ( ) = (((((( * + ) * + ) * + ) * + ) * + ) * + ) * + = 37 ratoale Zahle Urechug z z z z.. z zz z. z z z zz z. z z z = = () + (.) = (.) Berechug der Dualdarstellug der Zahl.565:.565 = = /8 + /3 = (.) oder.565 * = * = * =.5.5 * =.5.5 * =. Iforatk/Nuerk -4/6

5 Uverstät Lepzg Isttut für Iforatk Dr. Moka Meler (.) = () + (.) = = Berechug der Dezaldarstellug der Zahl (.) : (.) = * -3 + * -5 = /8 + /3 = =.565 oder (.) = (((( / + ) / + ) / + ) / + ) / =.565 E weteres Bespel. = (.). * =.. * =.4.4 * =.8.8 * =.6.6 * =.. * =.4... Satz Se z.... z z z e edlcher Dezalbruch. z lässt sch als edlcher Dualbruch darstelle, geau da we Bewes 5 Z t Z z * st. (*) (z) st edlcher Dualbruch gdw. k k * z. (**) Z z * z * z ( ). * Z Z * z 5 Z, (**) * z, (*) z st als edlcher Dualbruch darstellbar., setze Z k * z, (**) k * Z Z k Z 5 * * Z. Fall: k k * Z 5 Z. ( ) (*) k k * z l. Fall: k Se k = + l, so l > ud Z 5 * * Z l * Z 5 * Z 5 Z, wege Telerfredhet vo ud 5. Bespele z =.565 = 5, 5 5 = 35, Z = z * 5 = ud (z) = (.). z =. =, 5 = 5, Z = z * = 5 ud (z) = (.) z =.875 = 4, 5 4 = 65, Z = z * 4 = ud (z) = (.). z =.3 =, 5 = 5, Z = z * = ud (z) =. Iforatk/Nuerk -5/6

6 Uverstät Lepzg Isttut für Iforatk Dr. Moka Meler.4 Wetere Bespele für Postossystee Zwölfersyste, Duodezalsyste (lat.: duodec = zwölf) Z,,,9,A,B Bass b z A B z Bespel 37 = (B5) Urechug (B5) = * + 5 * = = = = * + 5 = (B5) oder 37 : = Rest 5 37 = (B5) : = Rest Sechzehersyste, Hexadezalsyste Z,,,9,A,B,C,D,E, F Bass b 6 z A B C D E F z Bespel 37 = (89) 6 Achtersyste, Oktalsyste (lat.: octo = acht) Z,,,7 Bass b 8 Sadäche hat ur acht Fger. We rechet es? z z Bespel 37 = () 8 Urechug zwsche chtdezale Postossystee b b': b b' Bespel () 8 = (?) : () 8 = 37 = (B5) Iforatk/Nuerk -6/6

7 Uverstät Lepzg Isttut für Iforatk Dr. Moka Meler Zusaehag zwsche Dual-, Oktal ud Hexadezalzahle I der Iforatk spelt das Dualsyste aus physkalsche Grüde ee große Rolle. Da das Dualsyste sehr lage Zahle erzeugt, verwedet a statt dese oft Darstelluge Oktal- oder Hexadezalsyste. De Base deser Systee sd Zweerpoteze t de Expoet, 3 bzw. 4. Das erlechtert de Urechug wesetlch, da a cht über das Dezalsyste gehe uss. 8 6 Utertelt a ee Dualzahldarstellug Gruppe vo dre (ver) Zffer ud wadelt dese Oktalzffer (Hexadezalzffer) u, so erhält a de äquvalete Darstellug der Zahl Oktalsyste (Hexadezalsyste). Bespel: (57) 8 = ( ) = (7A) 6 dual : ( ) oktal 3 : ( 5 7 ) 8 = (57) 8 hexadezal 4 : ( 7 A ) 6 = (7A) 6 Kotrolle durch Urechug s Dezalsyste (378). Bewesskzze für 8: ( z z z z ) Ausgehed vo der Dualdarstellug se z z z * z * [ z * z * z * ] [ z5 * z4 * z3 * ] z * z * * ] [ z Blde, vo rechts beged, Dreergruppe ud klaere dabe de höchstöglche Zweerpotez aus: z * [ z * z * z * ]* [ z5 * z4 * z3* ]* [ z * z * * ] z Fasse de dre Dualzffer als ee Oktalzffer zusae: z * [ z * z* * ] z *8 z *8 z *8 z * [ z ] z* 8 We a lecht seht, ergbt sch sot für de Oktaldarstellug 8 z 6. 8 ( z z z z ).5 Zusaefassug Zahledarstellug E ud deselbe Zahl lässt sch uterschedlch darstelle: 37 = () 8 = ( ) = (B5) = (89) 6 = CXXXVII. Zu jeder atürlche Bass b> ka a e Postossyste zur Zahledarstellug festlege. De Darstellug eer Zahl ee Postossyste st stets edeutg. Je kleer de Bass b, desto läger st de Zahledarstellug eer atürlche Zahl. Iforatk/Nuerk -7/6

8 Uverstät Lepzg Isttut für Iforatk Dr. Moka Meler.6 Zwe Awedugsaufgabe. Uwe führt ee Zaubertrck vor. Er fordert ee Mtschüler auf, sch ee atürlche Zahl vo bs 3 zu erke. Da zegt er h füf Karte t Zahle ud fragt, auf welche Karte de geerkte Zahl steht. Daraus erttelt er dese Zahl. We berechet Uwe de Zahl?. Aufgabe aus ee alte Rechebuch Iforatk/Nuerk -8/6

9 Uverstät Lepzg Isttut für Iforatk Dr. Moka Meler.7 Reche Postossystee.7. Addto Dezalsyste Addtostafel (syetrsch) Ü Ü... Übertrag Addtostafel + Addtosalgorthus Addto Oktalsyste Addtostafel (7) 8 Probe: 5 + () Ü (3) 8 4 Dualsyste () Probe: 6 + () + 3 Ü () 9 Addtostafel + Iforatk/Nuerk -9/6

10 Uverstät Lepzg Hexadezalsyste Isttut für Iforatk Dr. Moka Meler Addtostafel A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F 3 5 A B C D E F C D E F E F A B A C 8 9 A B D A B C E C D F E (ABCD) 6 Probe: (953) Ü (B5) Zusaefassug Addto Für de Addto beötgt a ee vo Postossyste abhägge Addtostafel ud ee vo Postossyste uabhägge Addtosalgorthus. Nur de Addtostafel uss für jedes Postossyste abgeädert werde, der Addtosalgorthus blebt uverädert..7. Multplkato Dezalsyste Multplkatostafel (syetrsch) * Iforatk/Nuerk -/6

11 Uverstät Lepzg Isttut für Iforatk Dr. Moka Meler 3 * 3 3 * * * Multplkatostafel +Multplkatosalgorthus Multplkato De Multplkato wrd auf de Addto zurückgeführt. Dualsyste () * () Probe: * = () Multplkatostafel * Hexadezalsyste Multplkatostafel * A B C D E F C 5 5 A F C 8 E E 5 C 3 A B 4 D 36 3F 48 5 A A 4 E 8 3 3C A 64 B B 6 C D E 79 C C C C D D A E 5B F 9C A9 E E C A E 8C 9A A8 B6 C4 F F E D 3C 4B 4A A5 B4 C3 D E (3) 6 * (A) 6 Probe: 9 * 4 = 46 B5E (FBE) 6 Zusaefassug Multplkato Für de Multplkato beötgt a ee vo Postossyste abhägge Multplkatostafel (Eales) ud ee vo Postossyste uabhägge Multplkatosalgorthus. Nur de Multplkatostafel uss für jedes Postossyste abgeädert werde, der Multplkatosalgorthus blebt uverädert. De Multplkato wrd auf de Addto zurückgeführt. Iforatk/Nuerk -/6

12 Uverstät Lepzg Isttut für Iforatk Dr. Moka Meler.8 Ukehroperatoe Dualsyste.8. > - Relato I Berech der atürlche Zahle st de Subtrakto x y ur für x y ausführbar. I jede Postossyste glt für x b x x x b ud y b y y y b x y () oder () ud es gbt e t (B9F) 6 > (C) 6, wege () ( ) > ( ), wege () t = x y ud für alle j glt : x y. j j.8. Subtrakto. Möglchket (durch de üblche Subtraktosalgorthus) ( ) Probe: 57 - () - Ü ( ) Möglchket (durch Kopleetbldug ud Addto) Kopleetbldug: z z z z De Kopleetbldug (auch: Zweerkopleet) wrd auf de Subtrahede agewedet, wobe deser durch Afüge führeder Nulle zuächst destes auf de gleche Läge des Muede gesetzt wrd. Bereche ( ) - () :. Ergäze de Subtrahede durch führede Nulle auf de Läge des Muede:. Kopleetbldug des Subtrahed: 3. Addto des Mued t de Kopleet: + Ü 4. De erste Es ud führede Nulle Ergebs wrd weggestrche: ( ) - () = ( ).8.3 Dvso ( ) / () = () ( / 3) = 7 Iforatk/Nuerk -/6

13 Uverstät Lepzg ohe Kopleet Isttut für Iforatk Dr. Moka Meler t Kopleet. Dvsor wrd u ee führede ergäzt:. Kopleetbldug: 3. Ersetze der Subtrakto durch Addto ( ) / () = () oder ( ) / () = () Dre Awedugsaufgabe. Pupperechug, übertrage de Aufgabe das Dezalsyste!. Aufgabe aus ee alte Rechebuch 3. Aufgabe aus ee alte Rechebuch Iforatk/Nuerk -3/6

14 Uverstät Lepzg Isttut für Iforatk Dr. Moka Meler. Zusaefassug Reche t Zahle I alle Postossystee gelte deselbe Rechegesetze. Das Ergebs eer Aufgabe st uabhägg vo Postossyste, de gerechet wurde. Es wrd er deselbe Zahl uterschedlcher Darstellug gelefert. Alle Operatoe werde auf de Addto zurückgeführt. Der Coputer braucht ur addere zu köe! Iforatk/Nuerk -4/6

15 Uverstät Lepzg Isttut für Iforatk Dr. Moka Meler. Ahag A Addtos- ud Multplkatostafel des Hexadezalsystes * \ A B C D E F \ A B C D E F \ A B C D E F 4 \ A B C D E F \ A B C D E F C \ 8 9 A B C D E F A F 4 9 \ A B C D E F C 8 E 4 \ C D E F E 5 C 3 A 3 \ E F \ B 4 D 36 3F 48 5\ A A 4 E 8 3 3C A 64\ B B 6 C D E 79\ A C C C C \ 8 9 A B D D A E 5B F 9C A9\A B C E E C A E 8C 9A A8 B6 C4\C D F F E D 3C 4B 4A A5 B4 C3 D E\E Iforatk/Nuerk -5/6

16 Uverstät Lepzg Isttut für Iforatk Dr. Moka Meler. Ahag B Addtos- ud Multplkatostafel des Oktalsystes *\ \ \ \ \ \ \ \ \6 Iforatk/Nuerk -6/6