Verteilungen und Schätzungen

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1 Verteluge ud Schätzuge Zufallseperet Grudbegrffe Vorgag ach eer bestte Vorschrft ausgeführt ( Przp) belebg oft wederholbar se Ergebs st zufallsabhägg be ehralge Durchführug des Eperets beeflusse de Ergebsse eader cht Bespele: I A? I A KAD.9. Würfelspel Roulett Blutgruppeversuch Fahrtversuch Eleetareregsse de ezele, cht ehr zerlegbare ud sch gegesetg ausschlessede Ausgäge oder Ergebsse ees Zufallseperetes Eregsege, Eregsrau ( ) Rehe aller öglche Eleetareregsse. Z.B: be Würfelspel: = {,, 3, 4, 5, } Defto der Wahrschelchket Beroull (54-75), Laplace (749-87) (klasssche Wahrschelchket) Be ee Zufallseperet, was edlch vele Ausgäge hat, de (zb. wege Syetregrüde) glechwahrschelch sd, de Wahrschelchket ees Eregsses (E) st: be Müzeeperet: = {Zahl, Kopf} be Blutgruppeversuch : ={I A I A, I A, I A, } be Fahrtversuch : {ke Ufall, Ufall} 3 Azahl der für E güstge Eleetareregsse E) Azahl aller glechöglche Eleetareregsse p=probablty, Probabltät 4

2 Würfeleperet: E) g Bespele Bespele Blutgruppeversuch E) g ) A A I I ) 4 {I A I A } {I A I A, I A, I A, } I A? I A ={I A I A, I A, I A, } gerade Zahl ) 3 Blutgruppe A) 3 4 {I A I A, I A, I A } {I A I A, I A, I A, } Müzeeperet: Kopf ) 5 Blutgruppe ) 4 {} {I A I A, I A, I A, } Fahrtversuch? kee Syetre! g E) Bespel Statstsche Wahrschelchket Zufallseperet Trtt be -alger Durchführug ees Zufallseperetes e besttes Eregs A k-al auf, so bezechet a de lage Versuchsrehe zu beobachtede relatve Häufgket als Wahrschelchket, A) : Eregs A Eregs B A) k 7 8

3 Egeschafte der Wahrschelchket A) scheres Eregs) = uöglches Eregs) = Populato Verteluge Wahrschelchketsvertelug?,?,... zb: Augezahl des Würfels <) = Augezahl des Würfels =) = usere Blutgruppeversuch: Blutgruppe = B) = Stchprobe M 5 Häufgketsdc hte, s,... 9 Pulszahl M Verteluge We ka a de theoretsche Vertelug beste? Verutug (ach de Hstogra) Glechvertelug? Modellaahe Laplace-Przp: we chts dagege sprcht, gehe wr davo aus, dass alle Eleetareregsse glech wahrschelch sd Laplace-Eperet: es et e Zufalls-Eperet be de davo ausgegage wrd, dass jeder Versuchsausgag glechwahrschelch st Glechvertelug dskrete Verteluge dskrete Glechvertelug Boalvertelug Posso Vertelug... dskrete Zufallsgröße zb: Azahl der Krake, Augezahl des Würfels Klassfzerug der Verteluge kotuerlche Verteluge kotuerlche Glechvertelug Noralvertelug Ch-Quadrat Vertelug t-vertelug... kotuerlche Zufallsgröße zb: Blutdruck, Körperhöhe,...

4 Bespel: Dskrete Glechvertelug Werteberech Wahrschelchket Lageparaeter der Vertelug Es se X ee dskrete Zufallsgröße t Werte, da hesst ) Erwartugswert vo X. k) / k wetere Bespele: Müzeversuch Würfeleperet t ee Ikosaeder Der Erwartugswert gbt dejege Wert a, de a als Mttelwert (durchschttlche Wert) über vele Versuchswederholuge erwarte ka. Dabe st es durchaus öglch, dass der Erwartugswert be kee ezge Versuch realsert wrd oder sogar überhaupt cht vorkoe ka. k ), k,,..., 3 4 Nützlche Forel des arthetsche Mttelwertes (ugewogees) arthetsches Mttel gewogees arthetsches Mttel Berechug aus Ezelbeobachtuge Berechug aus grupperte Date (Merkalauspräguge) h h Erwartugswert ud Durchschttswert ) 3.53 h() h() h(3) 3 h(4) 4 h(5) 5 h() P () P() P(3) 3 P(4) 4 P(5) 5 P() : absolute Häufgket, h : relatve Häufgket 5 Bespel: Würfeleperete.,5,4,3,,,,5,4,,3... Isgesat: h 5 5/ / 3 4 4/ 4 / 5 8 8/ 7 7/ : Augezahl : absolute Häufgket h : relatve Häufgket h

5 Streuug der Vertelug Es se X ee dskrete Zufallsgröße t Werte,,... ud t de Erwartugswert. Da et a de Zahl ( ) ) De ausgezechete kotuerlche Vertelug: Noralvertelug Vertelugsdchtefukto: f ) e ( ) ( als Varaz vo X, hre Wurzel als (theoretsche) Streuug (. s eprsche theoretsche Streuug Streuug (Stadardabwechug) 7 Paraeter der Noralvertelug: Erwartugswert: Streuug: f() Wedepukte (de Krüug der Kurve ädert sch) 8 Noralvertelug (Gauss-Vertelug) für de dargestellte Fukto: 3, = Posto des Maus ud de Brete der Kurve e Glockekurve ( ) e Posto des Maus be ( ) e de Fläche uter der Kurve st e ( ) de Brete der Kurve: ~ 9

6 Noralvertelug Stadard - Noralvertelug f ( ) e N(,) t-vertelugsfale Zetraler Grezwertsatz Es see,,. uabhägge Zufallsgröße, de alle derselbe Vertelug habe. De Vertelug der Sue S ähert sch eer Noralvertelug, we. Pr.Buch Ahag S.7. Glockekurve Je größer st der Frehetsgrad, desto schaler st de Kurve. t N(, ) 3 De Sue der Vertelugsfuktoe kovergert gege ee Noralvertelug auch we de ezele Zufallsgröße kee Noralvertelug habe. Bologsche Bedeutug: We e Paraeter (zb. Körpergröße, Blutzuckerkozetrato) durch vele ( ) adere Faktore (Zufallsgröße) beeflusst wrd, folgt deser Paraeter eer Noralvertelug. 4

7 Aalytsche Statstk Aufgabe der Schätztheore Populato N = uedlch Theoretsche Vertelug Erwartugswert Theoretsche Streuug Stchprobe = edlch Häufgketsvertelug Durchschtt Stadardabwechug Aus eer Stchprobe Schätzwerte für Wahrschelchkete Erwartugswert Streuug oder adere Paraeter eer Vertelug zu erttel. Type der Schätzuge: Puktschätzug Itervallschätzug Puktschätzuge Der Paraeter wrd t ee Wert geschätzt. Relatve Häufgket st e Schätzwert für de Wahrschelchket Durchschtt st e Schätzwert für de Erwartugswert Stadardabwechug st e Schätzwert für de Streuug Itervallschätzuge Itervallschätzug oder Kofdezschätzug gbt zu eer vorgewählte Scherhetswahrschelchket (Kofdezveau) e Itervall (c,c ) a, de der ubekate Paraeter (zb. oder ) t eer Wahrschelchket vo destes legt. c c Puktschätzuge sage Zb.: Erwartugswert der Pulszahl st be chts über de Geaugket bzw. Scherhet 95% Kofdezveau: 74± der Schätzug! / M 8

8 Kofdeztervall für de Erwartugswert f() f( ) zb:körperhöhe Streuug =? s Stadardfehler zb: durchschttlche Körperhöhe ee Studetegruppe vo 9 Studete f ( ) s Kofdeztervall für de Erwartugswert s 95% s s s we s s da s legt t 95% Wahrschelchket Itervall s s s s 95% Wahrsch. 95% Wahrsch. 3 f ( ) s Kofdeztervall für de Erwartugswert 95% s s s s s legt t 5% Wahrschelchket Itervall s s cht! Kofdeztervall für de Erwartugswert I de Itervall s, s (Kofdeztervall) legt der Erwartugswert ( t 95% Wahrschelchket Ee ählche Abletug gbt: legt -t 8% Wahrschelchket Itervall: s, s - t 99,7% Wahrschelchket Itervall: 3s, 3 Je größer st de Scherhetswahrschelchket desto breter st das Kofdeztervall! s s oder s s oder s 5% Wahrsch. 5% Wahrsch. 3 Beerkug: we da s 3

9 Zusaefassug der Schätzuge Puktsätzuge: Stchprobe _ Grudgesathet Itervallschätzug für de Erwartuswert: s 95% s Pr.Buch Abb

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