EINLEITUNG, FEHLERRECHNUNG

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1 Eletug FEHLERRECHNUNG ohe Dfferetalrechug Blatt 1 EINLEITUNG, FEHLERRECHNUNG Aufgabe des physkalsche Praktkums st es, dem Studerede de Physk durch das Expermet äher zu brge, h mt der Methode des Expermeteres vertraut zu mache ud h zur Krtk der Methode zu motvere. Wege der orgasatorsch bedgte Etkopplug des Praktkums vom Gag der Vorlesug st es uumgäglch, daß sch de Telehmer vor jedem Versuch auch theoretsch vorberete. Dazu sollte se ebe de Awesuge auch adere Eführuge de Physk verwede. Währed des Praktkums stehe de Telehmer de Assstete des Praktkums für de Ertelug vo Ausküfte zur Verfügug. Zur Durchführug der Versuche beötgt ma e Protokollheft, ee Tascherecher, Blestft, Leal ud ormales Mllmeterpaper. Nach Abschluß des Expermets soll erhalb eer Woche ee Ausarbetug abgegebe werde. Es sollte ethalte: Name, Datum, Name des Assstete, de Aufgabestellug, Erläuterug der Methode, kurze Beschrebug der Versuchsaordug mt Skzze, ee überschtlche Zusammestellug der Messuge, Edresultat mt Fehleragabe ud ee Dskusso. Das Wesetlche st, ee Darstellug zu gebe, de alles Wchtge brgt, aber dabe so kurz we möglch st. 1. Messug ud Geaugket Ee Größe messe heßt, ee Maßzahl zu bestmme, de agbt, wevel mal ee kovetoell festgelegte Ehet der ubekate Größe ethalte st. Nu gbt es kee geaue Istrumete ud kee exakte Methode der Physk, soder Istrumete ud Methode erschee ur mtuter als exakt. Ee Messug führt daher cht zu eer gaz edeutge Maßzahl, soder zur Agabe ees Bereches, erhalb desse de Maßzahl legt. Nach dem jewelge Geaugketsaspruch rchtet es sch, welche Methode zweckmäßgerwese zur Awedug gebracht werde ka ud wevel Zet zu hrer Durchführug beötgt wrd. De Dchte eer Flüssgket z.b. auf 1% geau zu bestmme, wrd sch mt eem Meßzylder ud eer Brefwaage etwa eer Mute ausführe lasse. Auf 0,1% wrd ma se mt eer Mohrsche Waage eer Vertelstude bestmme köe. Ee Geaugket vo 0,001% wrd ma mt eem Pykometer, eem Thermostate ud eer gute Waage be eem Zetaufwad vo ege Stude erreche. Ee och 100-mal größere Geaugket zu erzele, wrd selbst be Esatz größter Mttel kaum durchführbar se. De Begrff geau ud ugeau gbt es daher cht eem absolute Se, soder es gbt ur de Frage, was sch aus eem vorgegebee Istrumet ud eer bestmmte Methode eer vorgegebee Zet vo eem bestmmte Expermetator a Geaugket heraushole läßt. Darüber soll der Studet m Praktkum Erfahruge sammel, de er für de wetere Praxs braucht.

2 Eletug FEHLERRECHNUNG ohe Dfferetalrechug Blatt. Statstsche Schwakuge ees Meßwerts Ee erste Begrezug der Geaugket stellt de Ableseuscherhet der beutzte Istrumete dar. We ma ee Läge mt eem Mllmetermaßstab bestmmt, so wrd ma de Bruchtele des Mllmeters ur der Schätzug ach ermttel ud daher agebe, daß das Resultat ee Uscherhet vo ca. ± 0,1 mm bestzt. Dgtalstrumete habe zwar kee Ableseuscherhet, deoch st abgesehe vo tatsächlche Schwakuge das letzte Dgt uscher. Der Ablesefehler st jedoch cht das ezge, was berückschtgt werde muß. Mestes wrd ma feststelle, daß be Wederholug der Messug erhalb eer Meßrehe Schwakuge auftrete, de größer sd als de Ableseuscherhet. Das Beobachte deser Schwakuge st sehr wchtg, de se lefer e Maß für de wsseschaftlche Aussagekraft des Expermets. Das Wederhole der Messuge uter möglchst gleche oder uter kotrollert veräderte Bedguge st daher e Grudprzp der expermetelle Arbet. Im folgede wrd beschrebe, we ma aus de beobachtete Schwakuge ee Wert für de Geaugket des Expermets ermttel ka. 3. Stadardabwechug vo Ezelmessug ud Mttelwert Betrachte wr ee Meßrehe, be der ee physkalsche Größe x uter möglchst gleche Bedguge -mal gemesse wrd. De gewoee Meßwerte bezeche wr als x 1,..., x,..., x. Wr utertele de Berech der gemessee Werte ee Rehe vo glech große Itervalle der Brete Δx ud bestmme de Azahl der Meßwerte (x) pro Itervall. Dese Häufgketsvertelug ka eem Balkedagramm dargestellt werde, das Hstogramm geat wrd. Fgur 1 zegt e solches Bespel, dem sgesamt = ( x) = 00 Messuge eer Varable x dargestellt sd. De Itervallbrete st Δx = 1. Ma erket, daß de Meßwerte cht glechmäßg vertelt sd, soder sch ahäufe. Für de meste kotuerlch veräderlche Meßgröße mmt ma a, daß de Vertelug für mmer größere ud mmer kleere Itervallbrete Δx de sog. Gauß- oder Normalvertelug astrebt. Dese Vertelug wrd auch Glockekurve geat ud st charaktersert durch hre Brete ud hre Schwerpukt. Dese bede Größe ethalte de beötgte Iformato. Der Schwerpukt wrd be eer symmetrsche Vertelug durch de arthmetsche Mttelwert x gegebe: x 1 x = 1 = (1). Er gbt de gesuchte Meßwert a. E velbeutztes Maß für de Brete der Kurve ud damt für de Geaugket eer Ezelmessug st de sogeate Stadardabwechug der Ezelmessug σ: 1 σ = ( x ) x (). 1 = 1 Für = 1 ( - 1 = 0) st σ ach Gl.() udefert. Das brgt de Tatsache zum Ausdruck, daß ma für ee Fehlerabschätzug mdestes zwe Meßwerte braucht. Be der theoretsche

3 Eletug FEHLERRECHNUNG ohe Dfferetalrechug Blatt 3 Gaußvertelug (, Δx 0) lege geau 68,3% der Meßwerte dem Berech zwsche x + σ ud x σ (schrafferter Berech Fgur 1). Für edlches st σ mt eer Uscherhet behaftet, trotzdem aber brauchbar als Idkator der Meßgeaugket. Als Faustregel ka ma behalte, daß für cht zu klees ( > 5) zwe Drttel der Meßwerte zwsche x + σ ud x σ lege ud scho über 90% zwsche x + σ ud x σ. Fgur 1: Hstogramm ud zugehörge Gaußkurve Aus Fgur 1 wrd eschtg, daß de Uscherhet des Mttelwerts (ud damt des Meßwerts) mt stegeder Azahl a Messuge kleer wrd als der Fehler eer ezele Messug. Ma uterschedet daher zwsche der Stadardabwechug der Ezelmessug σ ud der Stadardabwechug des Mttelwerts m. Der Zusammehag zwsche bede Größe st gegebe durch: σ m = (3). Obwohl de Geaugket der Ezelmessug σ mt stegedem ee mmer weger schwakede, kostate Wert astrebt, ka ma durch Wederholug der Messug de Präzso des Meßresultats m verbesser. σ st e statstsches Maß für de Qualtät der jewelge Kombato Meßaufstellug Expermetator, m für de Fleß des Expermetators ud für de errechte Geaugket des Meßresultats. Der Fehler des Mttelwertes m st proportoal zu 1 ; durch Wederholug der Messuge läßt sch zuächst ee rasche Stegerug der Geaugket erzele. Ma errecht mt eer Meßwederholug jedoch bald ee Greze der Nützlchket. Für ee 3-fache Geaugket st e 9-fache Azahl vo Messuge erforderlch, für ee 10-fache Geaugket braucht ma scho de 100-fache Azahl.

4 Eletug FEHLERRECHNUNG ohe Dfferetalrechug Blatt 4 Ee wetaus größere Geaugketsstegerug wrd erzelt, we astatt der -malge Messug vo x sofort de -fache Größe x gemesse werde ka. Des st z.b. der Fall be der Utersuchug der Schwgugsdauer ees Pedels. Astatt 10-mal de Zet eer ezele Schwgugsperode T zu ermttel, wertet ma sofort de Schwgugsdauer vo 10 Pedelschwguge 10 T aus. Da ma ee 10-fache Zetdauer mt dem gleche Absolutfehler we ee 1-fache bestmme ka, st der Fehler T zehmal kleer als der Fehler eer Ezelmessug vo T. Zehmal T zu messe st mehr Aufwad, ud der Fehler m Mttelwert wäre ur um e Faktor 10 3 kleer. Soll ee ubekate Skala mt Hlfe eer bekate geecht werde, schätzt ma cht de Läge ees ezele Skaletels ab, soder verglecht ebefalls möglchst wete Skalebereche mteader. Nebe der her behadelte Gaußvertelug be statstsch streuede Meßwerte gbt es och adere Wahrschelchketsverteluge we de Bomalvertelug (für Kopf-oder- Zahl-ählche Prozesse), de Loretzvertelug (be Resoazphäomee) oder de Possovertelug (für Vorgäge mt sehr edrge Wahrschelchkete). Für alle ka ma Abwechuge vom Mttelwert bestmme, oft auch Lebrete geat. Sehe z.b. de Versuch 1/1 Posso-Statstk ud Referez [1]. 4. Statstsche ud systematsche Fehler De bsher behadelte Fehler eer Messug resultere aus statstsche Schwakuge der Meßwerte um de Mttelwert. Ma bezechet se daher als statstsche Fehler. Se habe mal ee zu hohe, mal ee zu edrge Meßwert zur Folge, beeflusse de Mttelwert der Messug aber cht. De Ursache vo statstsche Fehler sd z.b. magelhafte Reproduzerbarket wege Lagerrebug, begrezte Empfdlchket der Meßstrumete (auch Auge ud Ohre sd als Meßstrumete esetzbar), Schwakuge der Meßgröße selbst z.b. wege ugewollter Temperaturschwakuge, usw. Machmal sd de Greze der maxmal errechbare Geaugket auch fudametalerer Art. So wrd z.b. das Auflösugsvermöge ees Mkroskops beschräkt durch de Welleläge der verwedete Strahlug. Nebe de statstsche Fehler ka e Meßresultat auch durch systematsche Fehler beeflußt werde. Systematsche Fehler uterschede sch vo statstsche Fehler dadurch, daß se etweder ee zu große oder ee zu klee Meßwert zur Folge habe ud daher de Mttelwert ee Rchtug verschebe. Ee Wederholug der Messug ka de systematsche Fehler des Mttelwerts cht verrger. Ursache für systematsche Fehler sd z.b. de ukorrekte Echug eer Waage, ee falsch abgelesee Zetbassestellug ees Oszllographe, cht kossteter Esatz vo Ehete, verlaufede Nullestellug, usw. Zur Erfassug vo systematsche Fehler sollte ma etwas messe, was scho bekat oder der Lteratur zu etehme st. Mt eer Mohrsche Waage bestmme ma z.b. zuächst de Dchte vo ormalem Wasser. We das Resultat cht etwa de Wert vo 1 g/cm 3 errecht, sollte ma sch auf de Suche ach systematsche Fehler begebe. E Abbe- Refraktometer wrd ebefalls mt Hlfe eer Messug a destllertem Wasser geecht. Be dem Gebrauch eer Pra-Druckmeßröhre läßt sch de Skala durch Messug mt

5 Eletug FEHLERRECHNUNG ohe Dfferetalrechug Blatt 5 edrgstem Druck ud Atmosphäredruck kotrollere ud justere. We zu eem Meßverfahre emal kee Echgröße vorhade st, gbt ee Awedug verschedeer Meßmethode auf de gleche Meßgröße möglcherwese Aufschluß. Des wrd z.b. be der Messug der Luftfeuchtgket (Versuch 7/1 Hygrometre ) praktzert. Machmal sd systematsche Fehler theoretsch oder emprsch so gut zu erfasse, daß se als Korrektur des Meßresultates de Meßmethode korporert werde köe. Zum Bespel läßt sch bem Versuch Pyrometre (Temperaturmessug ees Körpers mt Hlfe des Placksche Strahlugsgesetzes) de falsch abgelesee Temperatur ees glühede Palladumblechs korrgere, we ma de Abwechug sees Verhaltes vo dem ees deale schwarze Strahlers mt Betracht zeht. 5. Ermttlug ud Auswertug des Meßfehlers Be vele Expermete lefert de egesetzte Meßapparatur umttelbar de gesuchte Meßgröße. Des st z.b. der Fall be der Verwedug eer Waage zur Massebestmmug oder be der Messug eer Läge mt eem Maßstab. I solche Fälle lasse sch Meßwert ud Meßfehler, sehe wr vo systematsche Fehler emal ab, über ee mehrfache Meßwederholug ermttel. Der Meßwert ergbt sch da aus dem Mttelwert der Ezelmessuge, see Uscherhet aus der Stadardabwechug des Mttelwerts. Nebe der statstsche Erfassug sollte ma jedoch mmer ee Plausbltätsbetrachtug bezüglch des Meßwerts ud ee quattatve Abschätzug des Meßfehlers afüge. Se vermttel dem Expermetator e Gefühl für de Aussagekraft der Messug. Ist ee Wederholug der Messug ud damt ee statstsche Auswertug cht möglch oder de Azahl der Wederholuge zu gerg, ka der Meßfehler ausschleßlch über ee dvduelle Abschätzug ermttelt werde. Herzu sollte alle wesetlche Störeflüsse berückschtgt ud quattatv erfaßt werde, was ee krtsche Auseadersetzug mt dem Expermet erfordert. Lefert de Meßapparatur cht sofort de gesuchte Wert, soder muß deser aus verschedee Meßwerte ermttelt werde, fleße de verschedee Meßfehler ebefalls s Ergebs e. De ezele Meßwerte werde herzu als separate Meßgröße aufgefaßt, hre jewelge Meßfehler werde für jede Größe aus der jewelge Stadardabwechug oder über eer quattatve Geaugketsabschätzug gewoe. Wrd bespelswese zur Dchtebestmmug ees Körpers de Masse ud das Volume separat gemesse, muß für bede Größe ee Fehleraalyse stattfde. De Gesamtfehler des Edresultats (her de Dchte des Körpers) erhält ma ach de Regel der Fehlerfortpflazug, de weter uter besproche werde (Abschtte 7 ud 8). Ee weterführede Auswertugsmethode st de Leare Regresso, de be der Utersuchug fuktoaler Zusammehäge zwsche Edergebs ud ezele Meßvarable (z.b. Temperatur) agewedet werde ka. Se lefert ählch der Stadardabwechug be der statstsche Auswertug sofort e Maß für de Uscherhet des Resultats (sehe Abschtt 9).

6 Eletug FEHLERRECHNUNG ohe Dfferetalrechug Blatt 6 6. Notato vo Meßwert ud Meßfehler De efachste Methode, ee Meßfehler darzustelle, besteht dar, daß ur dejege Dezmalstelle der Meßgröße agebe werde, de bs auf de letzte deftv scher sd (sogeate sgfkate Stelle). So bedeutet ee Masseagabe vo M = 5,4 g, daß de erste Nachkommastelle berets uscher st. I desem Praktkum wrd jedoch ee Schrebwese geforgert, be der der Uscherhetsberech explzt azugebe st. Beträgt de Uscherhet der Masse etwa ΔM = ± 0, g, wrd des folgedermaße agegebe: M = ( 5, 4 ± 0, ) g Her wurde der Fehler des Meßwerts als absolute Größe (ΔM = ± 0, g) erfaßt (absoluter Fehler). I desem Fall habe Messwert ud Fehler de gleche Ehet. Ma ka de Fehler aber auch als relatve Größe bezüglch des Meßwertes beschrebe ud erhält ee relatve bzw. prozetuale Fehler Δ M M =± 0,g 5,4g =± 0,04 =± 0,04 100% =± 4% : ΔM M ±Δ M = M(1 ± ) = 5, 4 g ( 1± 0,04) oder M = 5, 4 g ± 4%. M E relatver Fehler st mmer ehetslos, e prozetualer Fehler wrd Prozet (%), Promlle ( ) oder Mllostel (ppm) agegebe. Auf welche der bede Notatoe, der des absolute oder der des relatve bzw. prozetuale Fehlers, zurückgegrffe wrd, st oft ur ee Geschmacksfrage. We e Relatvfehler agegebe wrd, da empfehlt sch der Prozetualfehler, wel de Verwechslugsgefahr mt eem Absolutfehler kleer st. Für de Fehlerfortpflazug (sehe ute) braucht ma sowohl Absolutfehler als auch Relatvfehler der Zwscheresultate. Weterh sd für ee klare ud überschtlche Protokollerug folgede Pukte zu beachte: a.) Vo eem Meßresultat werde geerell ur de sgfkate Stelle agegebe. De sgfkate Stelle werde mt Hlfe der Fehleragabe ermttelt. Dese Fehleragabe soll, we möglch, de Stadardabwechug des Mttelwerts m se, asoste der Ablesefehler oder ee verüftge Fehlerabschätzug. Ee Agabe weterer Stelle täuscht ee Geaugket vor, de cht vorhade st! b.) Da der Fehler aufgrud der edlche Azahl der Messuge selbst ee erheblche Uscherhet bestzt, west de Fehleragabe selbst ur ee, maxmal zwe sgfkate Stelle auf. Der Meßfehler wrd dabe großzügg aufgerudet. So wrd aus de zuächst per Tascherecher ermttelte Mttelwert M sowe Stadardabwechug des Mttelwerts m: M =5, g ; m = 0, g; M = (5,4 ± 0,) g oder 5,4 g ± 4% oder höchstes M = (5,37 ± 0,18) g oder 5,37 g ± 3,5%. c.) Der Meßwert ud se absoluter Fehler bestze de gleche Dmeso, be expoeteller Schrebwese ebefalls de gleche Expoete. M = (5,4 ± 0,) g = 5,4 g ± 0, g oder M = (5,4 ± 0,) 10-3 kg. Falsche Agabe sd z.b.: M = 5, kg ± 0, g ; M = 5,4 g ± 0, (?) etc. Meßergebsse ohe Agabe der Ehet, des Fehlers oder uverüftger Darstellug sd aus wsseschaftlcher Scht cht akzeptabel ud werde m Praktkum cht aerkat.

7 Eletug FEHLERRECHNUNG ohe Dfferetalrechug Blatt 7 7. Fehlerfortpflazug Wr ehme a, daß das Resultat ees Expermetes cht umttelbar mt eem Meßwert gegebe st, soder erst über ee mathematsche Fukto aus uterschedlche Meßparameter erhalte werde ka. Es stellt sch da de Frage ach der Fortpflazug der ezele Meßfehler zum Gesamtfehler m Edergebs. E Bespel st de obe erwähte Dchtebestmmug ees Körpers. Da das gesuchte Ergebs, de Dchte des Körpers ( ρ = M V ), ee Fukto vo dem Meßwert Masse M ud dem Meßwert Volume V st, erhält ma über de Meßfehler, ΔM ud ΔV, mt de Regel der Fehlerfortpflazug de Fehler der Dchte Δρ. 8. Praktsche Spezalfälle Wr wolle de bede Spezalfälle der Fehlerfortpflazug betrachte, be dee das gesuchte Resultat etweder aus eer Summe (Dfferez) oder aus eem Produkt (Quotet) vo Meßwerte besteht. I bede Fälle soll der Fehler ach dem Gaußsche Gesetz berechet werde. SPEZIALFALL I: Be eer SUMME C = A + B oder DIFFERENZ C = A - B vo Meßwerte mt hre respektve Fehler A ± ΔA ud B ± ΔB erfolgt de Fehlerfortpflazug mt Absolutfehler: Δ C = ( Δ A) + ( Δ B) 1. Abschätzug der Vorberetugszet τ für de ächste Praktkumsversuch. Zwemalges Lese der Aletug: (t 1 ± Δt 1 ) = (5 m ± 5 m) Lteraturstudum: (t ± Δt ) = (40 m ± 10 m) Vorhadees Vorwsse spart de Zet: (t 3 ± Δt 3 ) = (0 m ± 10 m) 1 3 τ = ( t 1 ) + t - t 3 = 70 m τ ( t ) ( t ) ( t ) Δ = Δ + Δ + Δ = 18 m De Vorberetugszet legt also be τ = (70 ± 18) m. Vorscht! Der relatve Fehler be der Dfferezbldug ka stark awachse, we m ächste Bespel gezegt werde soll.. Aus der Wägug ees Gefäßes mt ud ohe Substrat soll de Masse des Substrates M bestmmt werde. Gefäß mt Substrat: (M 1 ± ΔM 1 ) = (10,1 ± 0,5) g Gefäß ohe Substrat: (M ± ΔM ) = (99,8 ± 0,5) g ( ) ( ) 1 1 M = M M =,3g Δ M = Δ M + Δ M = 0,7 g Das Substrat bestzt mt M = (,3 ± 0,7) g ee relatve Fehler vo währed er be de Ezelmessuge be Δ M M = 0,5% legt! ΔM M 0.7 = 30%,.3

8 Eletug FEHLERRECHNUNG ohe Dfferetalrechug Blatt 8 SPEZIALFALL II: Be eem PRODUKT R = PQ oder QUOTIENT R = P/Q vo Meßwerte mt hre respektve Fehler P ± ΔP ud Q ± ΔQ erfolgt de Fehlerfortpflazug mt Relatvfehler: ΔR ΔP ΔQ = + R P Q Vorscht: Ee Potez köte ma als Produkt auffasse, der relatver Fehler A z.b. st jedoch A A A A + = Δ Δ Δ Δ, soder A A A A ΔA A ΔA =. A Der Grud st, dass e Fehler vo A de gleche Fehler A e kompesere ka, ΔA ΔA soder mmer ur verschlmmert. Des glt zemlch allgeme, = für = 1,, A A 3, 0.5, -1, usw. Aus ählche Grud (ma köte A auffasse als A+A) st der Absolutfehler A cht Δ( A) ΔA Δ A, soder Δ A. Für de Relatvfehler bedeutet des: =. A A Zusamme bedeutet des: Der Relatvfehler ka (wobe k ee belebge Kostate st), st Δ( ka ) ΔA glech mal dem Relatvfehler A selbst: =. ka A BEISPIELE FÜR REGEL II: Δ 1 Der Fehler k π 1 Δ ees Wellevektors k = = k = πλ, we der Fehler λ der k λ λ Welleläge λ 3% beträgt, st ebefalls 3%. I Worte: Der relatve Fehler eem Wert st glech dem relatve Fehler des Kehrwerts, wobe evetuelle Kostate kee Rolle spele.

9 Eletug FEHLERRECHNUNG ohe Dfferetalrechug Blatt 9 Es soll das Fassugsvermöge V ees zyldrsche Becherglases bestmmt werde. Gemesse werde Durchmesser d ± Δd ud Höhe h ± Δh. Durchmesser: (d ± Δd) = (75, ± 0,5) mm = 75,mm ± 0,7% Höhe: (h ± Δh) = (13,8 ± 0,5) mm = 13,8 mm ± 0,4% 5 3 V d h π Δ Δ Δ V = d h = 5,50 10 mm ; = + = ( 0, 007) + 0, 004 = 1,5% 4 V d h Das Volume beträgt also V = 5, mm 3 ± 1,5% = (5,50 ± 0,08) 10 5 mm 3. Be Verküpfuge aus de ezele Recheoperatoe köe de bede Fortpflazugsregel acheader agewedet werde. Des erschet e weg umstädlch, läßt sch der Praxs jedoch recht zügg bewerkstellge. BEISPIEL FÜR DIE VERKNÜPFUNG DER REGELN 5. Der Satz des Pythagoras a + b = c soll expermetell achgewese werde. Ma mßt zu desem Zweck de Läge ees glechschekelge Dreecks ud erhält de Meßgröße a ± Δa, b ± Δb ud c ± Δc. Läge a: (a ± Δa) = (90 ± 1) mm = 90 mm ± 1% Läge b: (b ± Δb) = (173 ± 1) mm = 173 mm ± 0,6% Läge c: (c ± Δc) = (194 ± 1) mm = 194 mm ± 0,5% Es soll gezegt werde: f = a + b -c = 0 f ± Δf = ( ) mm ± Δf = 393 mm ± Δf Be der Quadrerug verdoppelt sch zuächst der relatve Fehler der ezele Läge, er wrd aschleßed für de Adderug der Quadrate (Regel I) ee Absolutfehler umgerechet: Awedug vo Regel II: Δ(a )/a = Δa/a = % Δ(a ) = (90 mm) 0,0 = 180 mm Δ(b )/b = Δb/b = 1,% Δ(b ) = (173 mm) 0,01 = 346 mm Δ(c )/c = Δc/c = 1% Δ(c ) = (194 mm) 0,01 = 388 mm Awedug vo Regel I: ( ( )) ( ) ( ) ( ( )) Δ f = Δ a + Δ b + Δ c Δ f = mm = 550 mm Der Satz des Pythagoras st somt mt f = (393 ± 550)mm 0 erhalb des Meßfehlers bestätgt worde.

10 Eletug FEHLERRECHNUNG ohe Dfferetalrechug Blatt Leare Regresso Wsseschaftlche Expermete habe cht alle das Zel, separate Meßgröße oder Naturkostate zu bestmme. Velmehr teressere fuktoale Zusammehäge zwsche verschedee Meßparameter we bespelswese der temperaturabhägge Verlauf der Dchte ρ = ρ(t) ees Körpers oder de Frequezabhäggket des Brechugsdex ees Prsmas. De Formulerug der bsher bekate Naturgesetze geht ebefalls auf de expermetelle Utersuchug fuktoaler Zusammehäge zurück. Zur Utersuchug eer gegesetge Abhäggket zweer Meßgröße, x ud y, werde mehrere Wertepaare (x, y ) be verschedee x aufgeomme. Aschleßed werde de (x, y ) graphsch gegeeader aufgetrage, ud es läßt sch der fuktoale Zusammehag y = y(x) erkee ud quattatv auswerte. De Auswertug brgt dabe ee gewsse Uscherhet, de de Meßwerte streue aufgrud hrer Meßfehler um de deale Verlauf. Ee Aalyse ach desem Verfahre st sehr überschaubar, we es sch um ee leare Zusammehag zwsche de Größe y ud x hadelt. E solcher ka durch folgede Geradeglechug beschrebe werde: y(x) = α x + β (10). α beschrebt de Stegug der Gerade, β de y-achseabschtt. Dese bede Parameter trage de gesuchte Iformato der physkalsche Abhäggket zwsche bede Meßgröße. α ud β köe auf graphschem Wege ermttelt werde, dem ma durch de Meßpukte ee Ausglechsgerade legt. Aus der Stegug erhält ma mttels ees Stegugsdreecks de Wert für α, der etsprechede Wert für β ka aus dem Schttpukt mt der y-achse abgelese werde (sehe Fgur ). Aufgrud der Streuug der Meßwerte behalte α ud β aber ee Fehler Δα ud Δβ. Er läßt sch ebefalls aus der Graphk bestmme. Herzu werde ebe der optmale Ausglechsgerade och zwe wetere Gerade mt egezechet, de emal ee gergere, emal ee größere Stegug bestze, aber mt der Streuug der Meßwerte och gerade verebar sd (Fgur ). Nebe der graphsche Auswertug gbt es de rechersche Methode der leare Regresso. Be hr werde mt Hlfe der Methode der kleste Quadrate e α ud β errechet, de de Summe der Abstäde vo de gemessee Wertepaare (x, y ) zur Regressosgerade y(x) = α x + β mmalsere. Geegete Tascherecher oder Computerprogramme erzeuge ach Egabe der (x, y )-Paare α, β ud hre Fehler als Stadardabwechuge σ α respektve σ β. De Formel sd am Ede deses Kaptels aufgelstet. Uter güstge Umstäde steht m Praktkum e Recher mt dem etsprechede Programm zur Verfügug. De graphsche Aalyse bestzt gegeüber der rechersche jedoch de Vortel, daß ma sch ee optsche Kotrolle über de Ergebsse verschaffe ka. So lasse sch z.b. Ausreßer eer Meßrehe erkee. Ferer ka ma umttelbar überprüfe, wewet de Aahme ees leare Zusammehags der Meßgröße überhaupt gerechtfertgt st. Besteht zwsche de Meßgröße ee fuktoale Abhäggket, de cht durch ee Geradeglechug gegebe st, empfehlt es sch, de Meßparameter auf ee leare Zusammehag umzureche.

11 Eletug FEHLERRECHNUNG ohe Dfferetalrechug Blatt 11 E Bespel st de Lumeszez des Rubs (sehe Versuch 3/1 Lumeszez ). Nach Bestrahlug mt weßem Lcht leuchtet e Rub roter Farbe ach. De Itestät des rote Lchts I(t) klgt dabe mt zuehmeder Zet t expoetell ab: t I t = I 0 e κ (11). ( ) ( ) κ st ee für de Rub charakterstsche Kostate. Zu hrer Bestmmug wrd ma zu verschedee Zete t Itestätsmessuge I (t ) uterehme. De Auswertug soll eer learserte Auftragug erfolge. Logarthmert ma bede Sete Gl.(11), erhält ma de gewüschte leare Zusammehag: l I t = κ t + l I 0 (1). ( ( )) ( ( )) Trage wr de l(i (t ))-Werte gege de t -Werte auf, sollte de Meßpukte auf eer Gerade lege mt der Stegug α = -κ ud dem y-achseabschtt β = l(i(0)) (Fgur ). [1] H.-J.Kuze, Physkalsche Meßmethode. Teuber Studebücher, Physk. Fgur : Leare Regresso

12 Eletug FEHLERRECHNUNG ohe Dfferetalrechug Blatt Formelsammlug für de Fehlerrechug 1. Statstk: Es lege Ezelmessuge x vor. Arthmetscher Mttelwert: x 1 x = 1 = 1 σ = x 1 Stadardabwechug der Ezelmessug: ( ) Stadardabwechug des Mttelwertes: Absoluter Fehler: Relatver Fehler: σ m = = 1 σ ud m bzw. Δx be Ezelmessug σ x ud m x bzw. x Δx x be Ezelmessug. Fehlerfortpflazug: f = f(x 1,x,...) st ee Fukto der Meßwerte x 1 ± Δx 1, x ± Δx,...; f Δ f = Δ x x Fehler f aufgrud Δx : ( ) Gesamtfehler f: f f Δ f = Δ x1 + Δ x + x1 x Maxmalfehler f: Δ f f f = max x1 x x Δ + x Δ + Spezalfall I: 1 f = a 1 x 1 + a x + f ( a x ) ( a x ) Δ = Δ + Δ Spezalfall II: f = a x x 1 1 Δ f Δx 1 Δx = f x1 x

13 Eletug FEHLERRECHNUNG ohe Dfferetalrechug Blatt Leare Regresso: Es lege Wertepaare (x, y ) vor. De Ausglechsgerade se y(x) = αx + β. Summert wrd vo 1 bs. Maß für de Streuug der y -Werte um de Ausglechsgerade: α = β = σ y x y xy ( ) x x ( x) x = x xy y x ( αx + β y ) Stadardabwechug der Stegug: Stadardabwechug des y-achseabschtts: σα σβ = σ = σ y y ( ) x x x ( ) x x

Einführung Fehlerrechnung

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