Lösungen zum Übungs-Blatt 7 Wahrscheinlichkeitsrechnung

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1 Lösuge zum Übugs-Blatt 7 Wahrschelchketsrechug BMT Bostatstk Prof. Dr. B. Grabowsk Satz vo Bayes ud totale Wahrschelchket Formel der totale Wahrschelchket : P ( B + B B Formel vo Bayes: P ( A / Zu Aufgabe ) E bestmmtes Bautel wrd auf see Zuverlässgket utersucht. De techsche Prüfug erfolgt dabe so: Das Bautel Gerät wrd als defekt egestuft, we ee Lampe be Egabe ees bestmmte Stromsgals aufleuchtet (Eregs. I jedem adere Fall wrd das Bautel als O.K. egestuft. Es soll de Es soll de Zuverlässgket deses Testverfahres, d.h. de Treschärfe des Verfahres, utersucht werde. Se A also das Eregs das Bautel st defekt ud B das Eregs: das Bautel wrd als defekt egestuft, bzw. de Lampe bret. Aus vorhergehede Utersuchuge se bekat, dass 2 % aller Bautele defekt sd. Es se weterh bekat, dass be 90% aller Bautele, de defekt sd, de Lampe tatsächlch aufleuchtet, aber leder auch be % aller Bautele, de O.K. sd. a) We groß st de Wahrschelchket dafür, dass e Bautel, welches als defekt egestuft wurde auch wrklch defekt st? b) We groß st de Wahrschelchket dafür, dass e cht defekt egestuftes Bautel O.K. st? c) Sd de Eregsse A (Bautel st defekt) ud B ( Lampe leuchtet ) stochastsch uabhägg voeader? (Zwe Eregsse A ud B heße stochastsch uabhägg, falls glt A/). Lösug: Gegebe: Eregsse: B Wrd als defekt egestuft A Bautel st defekt Wahrschelchkete: 0,02, B/ 0,9, B/ A ) 0,0 Zu a) Ges: A/ A / Satzvo Bayes B / totale Wahrschelchket B / Á) B / + B / 0,9 0,02 0,08 0,9 0,02 + 0,0( 0,02) 0,08 + 0, ,647 64,7% D.h. 64,7% aller Bautele, de als defekt egestuft wurde sd auch wrklch defekt.

2 Zu b) A / Satzvo Bayes B / totale Wahrschelchket B / B / + B / ( 0,0) ( 0,02) 0, ,998 99,8% ( 0,0) ( 0,02) + ( 0,9)0,02 0, , D.h. 99,8% aller Bautele, de als OK egestuft wurde sd auch wrklch OK. Damt st das Kosumetersko sehr gerg. (Das st gut!) Zu c) Es st A/0,647 0,02. Damt sd A ud B cht stochastsch uabhägg voeader. Zu Aufgabe 2) E praktsches Bespel für de Awedug des Satzes vo Bayes ud de Besoderhete be der Auswertug der Ergebsse st der sogeate Elsa-Test auf HIV. Der Elsa-Test hat zwe Kezeche:. De Sestvtät; das st de Wahrschelchket, mt der der Test korrekterwese e postves Ergebs lefert (Ads azegt), sofer de Perso fzert st. Dese Wahrschelchket beträgt 99.9%. 2. De Spezftät, das st de Wahrschelchket, dass der Test ebefalls korrekterwese ke postves Ergebs lefert, we de Perso cht fzert st. Bem Elsa-Test beträgt se 99.5%. Weterh se de Prävalez, das st de Häufgket der HIV-Ifekto eer bestmmte Bevölkerugsgruppe glech 0,%. a) Bereche Se de Wahrschelchket dafür, dass ee Perso tatsächlch fzert st, we se e postves Testresultat hat. b) Utersuche Se, we sch bem Elsa-Test de Wahrschelchket für e falsch postves Resultat (d.h. ee als HIV-fzert dagostzerte Perso st gesud) ädert, we Se de Prävalez auf 0.0 ud 0.02 erhöhe (ud de Egeschafte des Tests, also Sestvtät ud Spezftät, sost uverädert lasse). Was stelle Se fest? c) Bereche Se für ee Prävalez vo 0,% de Wahrschelchket dafür, dass ee Perso tatsächlch cht fzert st, we se e egatves Testresultat hat. Lösug: Um das formal zu fasse, übersetze wr de Agabe formale Schrebwese. Gegebe sd zwe Eregsse: 2

3 Für dese Eregsse sd folgede Wahrschelchkete bekat: 0,00 Prävalez B/ 0,999 B / 0,995 Gesucht: Zu a) A/, Zu b) A /, Zu c) P ( A / für verschedee ( 0,0 ud 0,02) Lösug zu a) Damt ergbt sch für de Wahrschelchket für das Vorlege eer Ifekto be postvem Testergebs: D.h., es kommt ee relatv gerge Wahrschelchket zustade, dass jemad tatsächlch fzert st, we er e postves Testresultat hat. Adersherum: Mt großer Wahrschelchket erhält er e falsch postves Ergebs P ( A / A / 0,67 0,833 wrd also zu Urecht beuruhgt. Zu b) Wr erhöhe de Prävalez auf 0.0, also 0,0 bzw. 0,02 ud lasse Sestvtät ud Spezftät uberückschtgt. Da ädert sch de Wahrschelchket für das Vorlege eer Ifekto be postvem Testergebs we folgt: Für 0,0 3

4 Für 0,02 Wr sehe, dass de Wahrschelchket für e falsch postves Ergebs stark vo der Prävalez (Häufgket des Auftretes der HIV-Krakhet der Bevölkerug) st. Je kleer dese Häufgket st, desto größer st de Wahrschelchket ees falsch postve Ergebsses. Ist gerg, 0,%, so st be eem postve Testergebs de Wahrschelchket ur ca. 6,7%, dass tatsächlch ee Ifekto vorlegt. Für % erhöht sch dese Wahrschelchket berets auf ca. 67 % ud für 80% Zu c) B ,999 0, P ( A (0,999 0,00+ 0,005 0,999) 0, D.h., mt ahezu 00 % Scherhet st ee Perso tatsächlch gesud, we se e egatves Testergebs hat. (Das Patetersko st glech 0). Satz vo Bayes ud totale Wahrschelchket für mehr als 2 Eregsse See A,...,A Eregsse aus der Grudmege Ω mt folgede Egeschafte:. A A Φ für j (kee 2 Eregsse trete glechzetg e) j 2. A A2... A Ω (A blde ee vollstädge Zerlegug vo Ω) Da glt: Formel der totale Wahrschelchket : Formel vo Bayes: A / B A ) A ) B / A ) A ) Zu Aufgabe 3) Im Ezugsberech ees Arztes befde sch folgede Bevölkerugsgruppe: 30 % m Alter vo 8 bs 50 Jahre (A), 20% uter 8 Jahre (A2) ud 50% über 50 Jahre (A3). Aus statstsche Erhebuge st bekat, dass sch de Patete, de de Arzt aufsuche, sch pro Moat we folgt auf de Altersgruppe vertele: % der Patete stamme aus A, 2% sd uter 8 jährg ud 0,5 % der über 50 jährg. 4

5 a) We vel % aller Persoe suche de Arzt sgesamt pro Moat auf? b) Mt welcher Wahrschelchket gehört e Patet zur. Gruppe der zwsche 8 ud 50 jährge? c) Sd de bede Eregsse: Perso st krak (sucht Arzt auf) ud Perso gehört zu de zwsche 8 ud 50 jährge stochastsch uabhägg voeader? (Begrüdug!) Lösug: Gegebe: Eregsse: A Perso gehoert zur Alterskalsse A,,2,3. K Perso st Patet (Krak, bzw. geht zum Arzt) Wahrschelchkete: A) 0,3, A2)0,2, A3)0,5, K/A)0,0, K/A2)0,02, K/A3)0,005. Wr löse de Aufgabe mt Hlfe der Formel der totale Wahrschelchket ud dem Satz vo Bayes. Zu a) Gesucht: K) Wr bereche K) gemäß der Formel der totale Wahrschelchket: K) K/A)A) + K/A2)A2) + K/A3)A3) 0,0*0,3 + 0,02*0,2 + 0,005*0,5 0,0095 Zu b) Gesucht: A/K) Wr bereche A/ K) gemäß dem Satz vo Bayes: K / A) A) 0, P ( A/ K) 0,36 K) 0, Zu c) 30 P ( A/ K) 0,36 A) 0,3 95 d.h. es glt cht A/K)A). Demzufolge sd de bede Eregsse A ud K cht stochastsch uabhägg voeader! Zu Aufgabe 4) Ee Frma bezeht jewels 30 %, 20% bzw. 50% vo beötgte Tele vo 3 verschedee Zuleferer Z, Z2 bzw. Z3. Über de Ausschussrate (Atel der defekte Tele uter de geleferte) se bekat, dass se be Z %, be Z2 ud Z3 0,5 % beträgt. d) We vel % Ausschuss (Eregs erhält de Frma sgesamt? e) Mt welcher Wahrschelchket stammt e defektes Tel vo Z? f) Sd de bede Eregsse: Tel st Ausschuss ud Tel stammt vo Zuleferer Z stochastsch uabhägg voeader? (Begrüdug!) Lösug: Wr defere folgede Eregsse: Z Tel kommt vo Zuleferer Z A Tel st Ausschuss 5

6 Da sd folgede Wahrschelchkete gegebe: A/Z) 0,0 Z)0,3 A/Z2) 0,005 Z2)0,2 A/Z3)0,005 Z3)0,5 Zu a) A/Z)Z)+A/Z2)Z2)+A/Z3)Z3) 0,0065 Zu b) Z/ A/Z)Z) / 0,003/0,0065 0,645 Zu c) 0,0065 A/Z) 0,0 Demzufolge sd A ud Z cht stochastsch uabhägg (A hägt vo Z ab)! Bedgte Wahrschelchket ud stochastsche Uabhäggket Zu Aufgabe 5) Se G e System, welches aus 2 htereadergeschaltete Bauehete E ud E2 besteht. Das System G arbetet ur da fehlerfre, we bede Bauehete fehlerfre arbete. Bereche Se für de Szeare a) ud b) de Wahrschelchket dafür, dass das Gesamtsystem G fehlerfre arbetet! a) De Fehlerrate vo E2 wrd durch de vo E beeflusst. De Wahrschelchket, dass E2 fehlerfre arbetet uter der Vorrausetzug, dass auch E fehlerfre arbetet, st 0,90. De Wahrschelchket, dass E fehlerfre arbetet se 0,85. b) De Fehlerrate vo E2 wrd cht durch de vo E beeflusst, d.h., E ud E2 verhalte sch stochastsch uabhägg!. De Wahrschelchket, dass E fehlerhaft arbetet se 20 % ud de Wahrschelchket dafür, dass E2 fehlerhaft arbetet se 0 %. Lösug: Se G Gerät arbetet fehlerfre, E E arbetet fehlerfre, E2 E2 arbetet fehlerfre. Zu a) P ( G) E E2) E2 / E) E) 0,9 0,85 0, 765 Zu b) P ( G) E E2) E2) E) ( 0,) ( 0,2) 0, 72 Zu Aufgabe 6) S Beobachter überseht das Sgal) Gesuchte Wahrschelchket: S SN ) N P ( S) p N 6

7 Zuverlässgketstheore mt stochastscher Uabhäggket Zu Aufgabe 7) G se e Gerät mt parallele Rehe, de jewels 2 Bauelemete Rehe geschaltet ethalte. Das Gerät fällt aus, falls alle Rehe ausfalle. Ee Rehe fällt aus, falls ees der bede Bauelemete der Rehe ausfällt. De Bauelemete E j falle stochastsch uabhägg voeader mt der gleche Wahrschelchket E j ot OK) 0, für alle,...,; j, 2, aus. Wevele Rehe muß das Gerät habe, damt de Ausfallwahrschelchket p des Gerätes 0, % cht überschretet, d.h. damt glt p P G ot OK 0, 00? Lösug: Es st: p P ( G ot OK ) uabhäggket Uabhäggket ( ) Rehe otok Rehe2 otok Rehe otok) Rehe ( E OK E2 OK)) ( 0,8) otok) ( E OK) E2 OK)) 0,9 ( Rehe OK)) ( ( 0,) Wr löse jetzt de Uglechug P ( G otok) 0,9 0,00 ach auf! Es st: l(0,00) 0,9 0,00 l(0,9) l(0,00) 4,59 l(0,9) D.h. dass Gerät muss mdestes 5 Rehe bestze! 2 ) 7