Eine einfache Formel für den Flächeninhalt von Polygonen

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1 Ee efache Formel für de Flächehalt vo Polygoe Peter Beder Set ege Jahre hat der Mathematkddaktk de sogeate emprsche Uterrchtsforschug mt quattatve ud qualtatve Methode Kojuktur, währed stoffddaktsche Arbete fast scho verpöt sd. Es blebt abzuwarte, we sch der Tred der deutschsprachge Kommutät fortsetzt. Ich hoffe (ud b zuverschtlch), dass LUTZ FÜHRER Gefalle fdet a der vorlegede ddaktsch oreterte Sachaalyse der Gaußsche Dreecksformel für de Flächehalt vo efache Polygoe.. Motvato Auf eer seer zahlreche Rese de Ägäs hat der Müsteraer Mathematker WINFRIED SCHARLAU vo eem grechsche Ladvermesser folgede, vo desem re mechasch, aber durchaus erfolgrech beutzte Formel für de Flächehalt ees Polygos mt de Eckpukte A =(x ;y ), A =(x ;y ),, A =(x ;y ) kee gelert: y (x - x + ) () (wobe och A 0 =(x 0 ;y 0 ) A ud A + =(x + ;y + ) A gesetzt st). Dese Begebehet hat er seem Roma I megall stora de große Geschchte (999, ) beschrebe. Wege hrer bestechede Efachhet war ch sofort vo deser Formel faszert. Vor allem aber beschäftgte se mch, wel se mees Wsses ke Gegestad userer Schulmathematk ud der der mathematkddaktsche Kommutät geläufge Elemetargeometre st ud mr persölch ubekat war. Bs dah hatte ch de Flächehalt ees Polygos mmer als Summe der Flächehalte vo Zerlegugsdreecke dargestellt, dabe regelmäßg das Polygo hzeche müsse, um ee passede Tragulerug zu ermttel, ud da aufwädg für jedes Dreeck ee Seteläge ud de etsprechede Höhe bereche müsse. Ee Grud für de Abwesehet deser Formel userer Schulgeometre vermute ch dar, dass Koordate cht so recht zu eem be us typsche Lehrgag Elemetargeometre passe, se er kogruez-, se er abbldugsgeometrscher Natur. Es legt auf der Had, se durch vollstädge Idukto zu bewese, ud der Bewes, sbesodere der Schluss vo auf +, st arthmetsch betrachtet cht schwer. Nach eger Zet fad ch de Satz da auch mt eem

2 PETER BENDER Iduktosbewes ERICH WITTMANNs Elemetargeometre ud Wrklchket (987, 435ff.). Doch mr fehlte och ee aschaulche Deutug der Terme ud hres Zusammespels, mt der ma de Formel wrklch durchschaue ka. Außerdem wollte ch prüfe, welches begrfflche Nveau dabe erforderlch st, ud so de Egug deser Formel für de allgemebldede Schule ud gegebeefalls hre currculare Ort dort feststelle. Durch ee kurze Iteretrecherche stellte ch fest, dass () der Geodäse als Gaußsche Dreecksformel Folklore st. Dort fad ch auch dere Gegeüberstellug mt der sogeate Gaußsche Trapezformel: (y +y + ) (x x + ). () I deser erket ma drekt ee Zusammehag mt Trapeze. Lässt ma auch egatve Flächehalte zu, st () aschaulch klar, ud zusamme mt eer efache arthmetsche Umformug ka ma dese aschaulche Klarhet umttelbar auf () übertrage, we ch weter ute be der Sachaalyse zege werde. Ebefalls klar st de przpelle Glechberechtgug der bede Koordate. Der Flächehalt beträgt ach der Gaußsche Dreecksformel auch x (y + y - ). (3) Allerdgs fällt bem Verglech der Terme (3) ud () auf, dass de Dffereze umgekehrt gebldet sd: her y + y -, dort x - x +. I der Tat spelt be desem Thema de Oreterug vo Strecke bzw. Streckezüge (aschaulch: ee der bede Rchtuge bem Durchlaufe) ud vo efache Polygoe bzw. Polygofläche (aschaulch: ee der bede Rchtuge bem Durchlaufe hres Rades) ee wesetlche Rolle. Je ach Oreterug sd Streckeläge ud Flächehalt postv oder egatv, be jewels glechem Betrag. Her tut sch möglcherwese e weterer Grud für de Nchtbehadlug deses Themas m allgemebldede Geometreuterrcht auf. Der Begrff des egatve Flächehalts st metal besoders sperrg. I der Oberstufe kommt ma zwar cht um h herum, aber dort wrd er durch de och tefer gehede Probleme der Iftesmalrechug utergepflügt. Ma braucht h ur als Rechegröße zwecks Stmmgket der Itegralrechug ud verbdet kee geometrsche Vorstelluge mt hm, außer dass de egatve Fläche uterhalb ud de postve oberhalb der x-achse lege jedefalls we ma vo lks ach rechts tegrert. Da steckt da sogar doch e bssche Geometre dr, we ma sch de Fläche we be der Bldug des Rema- Darboux-Itegrals ageähert zusammegesetzt dekt aus lauter Trapeze mt postve Brete auf der x-achse ud postve bzw. egatve Höhe parallel zur y-achse.

3 EINE EINFACHE FORMEL 3. Grudsätzlches zur Ddaktk Weder emal hatte ch, desmal durch Beobachtug meer egee Lerprozesse, feststelle müsse, we uabdgbar wetgehede Areguge bzw. Vorgabe zur Iterug zelgerchteter mathematscher Lerprozesse sd ud das be mee güstge Voraussetzuge a Motvato, Zet, Erfahrug, Strategeverfügbarket, Wsse usw. Es blebt mr e Rätsel ud st mr och e durch lagfrstge stable Lererfolge belegt utergekomme, we gewöhlche Lerede ohe massve Iterveto durch Lehrede (sowohl drekt persölch, als auch drekt durch Bücher, Iteret o. ä.) e solches Gebet we de Gaußsche Flächeformel oder gar de Itegralrechug sogeate kostruktvstsche Lerumgebuge sch selbststädg erarbete köe solle. De Formel st ützlch. Um de Flächehalt ees (durchaus reale) Polygos zu bestmme, braucht ma ur e kartessches Koordatesystem darüber zu lege (evetuell och güstger Ausrchtug; der praktsche Geodäse sd de Koordate allerdgs.a. vorgegebe) ud da ach der Formel zu reche, gaz we es der grechsche Ladvermesser SCHARLAUs Erzählug geta hat. De Rechug ka ma sch och vo Excel abehme lasse: I de bede erste Spalte de Koordate der Eckpukte A 0 bs A +, de drtte Spalte vo der zwete bs zur vorletzte Zele de Terme y (x 0 x ) bs y (x - x + ), ud drekt daruter de halberte Summe aller Eträge der drtte Spalte. De Formel st schö efach ud efach schö. Ob gewöhlche Lerede sch auf de Ästhetk ees mathematsche Terms elasse, se dahgestellt. Aber de Efachhet köte ee überzeugede Wrkug etfalte, jedefalls be eem Mdestmaß a mathematscher Kultur m Uterrcht, besoders we ma dagege das Verfahre stellt, das Polygo Dreecke zu zerlege ud dere Flächehalt à la sythetscher Geometre auszureche. De Dreecksformel () st erschtlch och etwas sparsamer als de Trapezformel (), be Verwedug vo Excel spelt des aber kee Rolle. Sedelt ma de Ihalt m 0. oder. Schuljahr a, so lege be de Schüler Erfahruge vor zu egatve Zahle, egatve Wkelmaße, egatve Fuktoswerte, egatvem Drehs, atürlch zu Flächehalte vo Polygoe, spezell vo Trapeze, sowe hoffetlch ee gewsse Geläufgket der Arthmetk, möglchst Verbdug mt der geometrsche Veraschaulchug arthmetscher Sachverhalte ud umgekehrt. De Begrfflchket deser egatve Größe ka be der Explorerug der Formel wederum tesv gefördert ud u auf egatve Umlaufs ud egatve Flächehalte ausgedeht werde. Der besodere Vorzug herbe legt dar, dass egatve Flächehalte losgelöst vom ftesmale Deke behadelt werde köe ud dass de Förderug der arthmetsche Souverätät vor der Leare Algebra mt hrem dezdert formale Stl ud höherdmesoale Kalkül erfolgt. Im eujährge Gymasum hätte besoders dem. Schuljahr ee solche Berecherug durchaus gut geta. Nach dem Zusamme-

4 4 PETER BENDER presse der gymasale Schulzet fast überall auf acht Schuljahre fehlt es allerdgs och mehr a eer für das Lere egetlch uverzchtbare Muße, ud für ee zusätzlche Ihalt we de Gaußsche Formel st wohl ke Raum. 3. Ddaktsch oreterte Sachaalyse Ich bege de Sachaalyse mt eem Paradebespel zur Herletug der Trapezformel, bevor ch auf de Zusammehag vo Trapez- ud Dreecksformel äher egehe. Es folge de Klärug eger Fehete der bs dah verwedete Begrffe ud Vorschläge zur Erarbetug des Themas. Daach werde ch das Paradebespel verallgemeer ud mt eer Darstellug des Verhaltes der Flächeformel uter geometrsche Abblduge schleße. 3. Paradebespel Wr betrachte e Polygo P = A A A A (wr verwede de Begrff Polygo sowohl für de Streckezug als auch für de Fläche, beutze aber auch machmal de Wörter Rad ud Fläche) mt folgede Egeschafte: Es befdet sch komplett der obere Halbebee mt der Ecke A gaz lks ud eer Ecke A m gaz rechts. Se Rad st de Summe der bede oreterte Streckezüge A A A m- A m ud A m A m+ A A, de komplett erhalb des lotrechte Strefes zwsche A ud A m lege, ud zwar (außer A ud A m ) A m A m+ A A vollstädg oberhalb vo A A A m- A m. A A A m- A m verläuft durchweg vo lks ach rechts, A m A m+ A A durchweg vo rechts ach lks, d.h. für de x-koordate glt x x x m- x m ud x x x m+ x m. (Das Polygo muss cht kovex se.) Wr brauche och de Projektoe X =(x ;0) der Pukte A. Damt st das Polygo P de Dfferez der bede auf der x-achse stehede (weswege ma de x-achse auch als Stadle bezechet) verallgemeerte Trapeze: S X X m A m A m+ A A X ud S 0 X X m A m A m- A A X. Dese wederum sd jewels Summe vo auf der x-achse stehede Trapezsäule: S ergbt sch aus S X X A A X, S -, X X - A - A X,, S m,m+ X m+ X m A m A m+ X m+ ; S 0 ergbt sch etspreched aus S X X A A X, S 3 X X 3 A 3 A X,, S m,m- X m- X m A m A m- X m-. (Wr bezeche auch da och Trapeze als Trapeze, we se zu Dreecke etartet sd; sehe z.b. Abb. de bede Dreecke S ud S 3.) Uschö, aber uvermedlch st herbe e kleer Koflkt zwsche der Zählug der Ecke um das Polygo P herum ud dem üblche Arbete vo lks ach rechts: Be de Ecke ab A m läuft ma ja vo rechts ach lks, ud be de

5 EINE EINFACHE FORMEL 5 zugehörge Trapezsäule befde sch de Ecke mt de kleere Nummer rechts, ud des, obwohl geau se zum postve Flächehalt betrage. Abb.: Das Polygo P ud de Trapezsäule S 78 habe postve, S 54 hat egatve Flächehalt. Mt de Bezechuge des erste Abschtts ergbt sch schleßlch als Flächehalt: m m F(P) = F(S ) F(S 0 ) = F(S,+ ) m F(S +, ) m = (y +y + ) (x x + ) (y+ +y ) (x + x ) = (( = m m (y +y + ) (x x + ) + (y +y + ) (x x + ). (y + +y ) (x x + )) Dabe st de Umschrebug der zwete Summe (de vo bs m-) zuächst re arthmetsch vorgeomme worde. Des köte ma auch so terpretere: Statt postve Flächehalte zu subtrahere, addert ma egatve Flächehalte. Se sd (m Term) deswege egatv, wel de Grudsete egatv geomme werde ud dadurch der Umlaufs der Trapezsäule s Negatve (mt dem Uhrzegers) verkehrt wrd. Des passt dazu, dass der Weg A A A m A m+ A A be de Trapeze mt de Nummer bs m- ee Umlauf mt dem Uhrzegers ud be de mt de Nummer m bs gege de Uhrzegers duzert.

6 6 PETER BENDER 3. Zusammehag vo Gaußscher Trapez- ud Gaußscher Dreecksformel Der Streckezug A k- A k A k+ A k+ (als Tel ees Polygos) verlaufe der obere Halbebee vo lks ach rechts, es se also x k- x k x k+ x k+ (Abb.). Der Flächehalt der mttlere der dre Trapezsäule beträgt da (yk +y k+ ) (x k x k+ ), ud des st e Summad aus der Trapezformel (). I der Dreecksformel () müsse wr für de Ermttlug deses Flächehalts zwe Summade betrachte: y k (x k- x k+ ) lefert de Flächehalt für de bede Rechtecke mt Grudsete X k- X k bzw. X k X k+ ud der gemesame Höhe y k zusamme, währed y k+ (x k x k+ ) de Flächehalt für de bede Rechtecke mt Grudsete X k X k+ bzw. X k+ X k+ ud der gemesame Höhe y k+ Abb.: Zusammehag zwsche Dreecks- zusamme lefert. De bede formel () ud Trapezformel () her auftretede Rechtecke mt der gemesame Grudsete X k X k+ ud de bede Höhe y k bzw. y k+ ergebe multplzert mt dem Faktor gerade de mttlere Trapezsäule mt Flächehalt (yk +y k+ ) (x k x k+ ). Setzt ma de Eckpukte mt A k-, bzw. mt A k+3, fort, erhält ma auf dese Wese de Flächehalte sämtlcher Trapezsäule geau emal, ud zwar mt Vorzeche. De arthmetsche Umrechug zwsche der Dreecksformel () ud der Trapezformel () wederum st efach: y (x - x + ) = = = 0 = y (x - x ) + y + (x x + ) + (y +y + ) (x x + ). y (x - x +x x + ) y (x x + ) y (x x + )

7 EINE EINFACHE FORMEL 7 (Das vorletzte Glechhetszeche glt, wel wege der Setzug A 0 =A de Summerug vo 0 bs - detsch mt der vo bs st.) 3.3 Ege begrfflche Grudlage E efaches Polygo A A A st durch ee ebee efache geschlossee Streckezug A A A A (Jordakurve) gegebe; gemet st damt auch de dadurch bestmmte (edlche) Fläche m Iere. Dese Fläche st zusammehäged ud efach zusammehäged. De Rede vom efache Streckezug bezeht sch auf de Streckezug als Puktmege ud behaltet folgede Etartug: Ecke köe zusammefalle; we aber zwe Ecke A k ud A m ( k m ) zusammefalle, da glt etweder A k =A k+ = =A m- =A m oder A m =A m+ = =A =A = =A k- =A k. Es loht her cht, ee wasserdchte Defto aufzustelle; der Flächebegrff wrd gaz av verwedet; es komme ur edlche Bereche vor, ud es werde mmer ur edlch vele verküpft. Polygoe werde als Summe ud Dffereze vo adere Polygoe dargestellt. Als Fläche werde se zwar als abgeschlossee Mege betrachtet, de Megeveregug bzw. der Durchschtt eer Fläche mt dem Komplemet eer adere sd aber ugeegete Operatoe; velmehr geht ma auch her av-aschaulch vor ud lässt Räder etstehe bzw. wegfalle, we ma es braucht. Trapezsäule sd Trapeze, de folgedermaße auf der x-achse (Stadle) stehe: zwe Sete parallel zur y-achse, ee Sete (Grudsete) st Tel der x-achse, ud de verte Sete legt belebg (vgl. de gefärbte Fläche Abb.). Ma hat also e Vereck mt de Ecke X =(x ;0), X =(x ;0), A 3 =(x ;y 3 ) ud A 4 =(x ;y 4 ). Für jede der ver Sete, spezell für de bede Lotrechte, besteht de Möglchket, dass se de Läge 0 habe, wodurch Ecke zusammefalle ud de Trapezsäule zu eem Dreeck (oder gar zu eer Strecke oder gar zu eem Pukt) etartet (z.b. de Fläche X X A X ud X X 3 A 3 X Abb.). Lege de bede Lotrechte verschedee Halbebee bezüglch der x-achse, trtt der Fall der überschlagee Trapezsäule auf (vgl. Abb.8). Ersetzt ma be der Trapezsäule de Strecke, de de verte Sete bldet, durch ee efache Streckezug, der zwsche de bede lotrechte Parallele verläuft ud Mehrfachpukte ethalte ka, so hat ma de deser Arbet so bezechete verallgemeerte Trapezsäule (z.b. Abb. de Fläche X X 6 A 6 A 7 A 8 A 9 A X ).

8 8 PETER BENDER Jedem Polygo st se Flächehalt als chtegatve reelle Zahl zugeordet. Exstez (über Tragulerug) ud Edeutgket solle jetzt cht problematsert werde. Mt x x, y 0 ud y 0 lautet der Flächehalt eer Trapezsäule (y +y ) (x x ) (Mttelle mal Grudsete) ud eer verallgemeerte Trapezsäule (y + +y ) (x + x ). Sd de Nchtegatvtätsbedguge cht alle erfüllt, muss ma etspreched mt Beträge arbete bzw. egatve Flächehalte zulasse. Dese Terme sd verträglch mt der Oreterug eer Fläche, de der Oreterug hres Rades, her des geschlossee Streckezugs A A A A, etsprcht. Legt dese Folge vo Ecke e Durchlaufe gege de (bzw. m) Uhrzegers fest, da st der geschlossee Streckezug ud damt de Polygofläche postv (bzw. egatv) oretert, ud der Flächehaltsbetrag wrd mt eem Plus- (bzw. Mus-) Zeche versehe. Durchläuft ma h rückwärts, also der Folge A A A A, so habe alle dese Merkmale (Durchlaufugss bzw. Oreterug des Streckezugs, Oreterug der Fläche, Vorzeche des Flächehalts) de jewels umgekehrte Ausprägug. Dem gesude Mescheverstad wderstrebt besoders, dass der Flächehalt e ud derselbe Fläche sch alle dadurch ädert, dass ma se uterschedlche Rchtuge umwadert. Deser Umstad st aber kosttuered für das Durchschaue der Trapez- ud der Dreecksformel, ud er st auch lechter zu verstehe, we ma da tatsächlch Fläche addert ud subtrahert: der Erfolg befördert de Akzeptaz. Ee gute kogtve Grudlage lefert das edmesoale Pedat vo oreterte Strecke auf eer Gerade. Je ach dem, welche Rchtug ma se durchläuft, verseht ma hre Läge mt uterschedlche Vorzeche. Es st weger das Durchlaufe, das das Vorzeche bestmmt, soder de Schtwese, m übertragee ud drekte S: We ma bem Umwader eer Fläche dese mmer zur Lke (bzw. Rechte) hat, wrd hr Ihalt postv (bzw. egatv) geomme. Dese Mafestato vo Oreterug erwest sch be komplzerter geformte Polygoe als besoders ützlch, we ämlch jewels zu etschede st, ob ee Trapezsäule zu subtrahere oder zu addere st (vgl. Abb.5). 3.4 Vorberetuge für de Erarbetug der Gaußsche Dreecksformel De Trapezformel st lechter zugäglch als de Dreecksformel, ud es st svoll, zuächst se zu explorere ud vo hr aus zu deser überzugehe. De Formel sollte cht am Ede stehe, sozusage als Zel der Bemühuge, mt der Suggesto, de Schüler hätte se, mt mehr oder weger Hlfe, selbst gefude. Velmehr betet sch de Präsetato der fertge Gaußsche Dreecksformel () zum Esteg a, egebettet ee Vermessugsaufgabe etwa we SCHARLAUs

9 EINE EINFACHE FORMEL 9 Erzählug ud kotrastert mt dem aufwädge ud fehlerafällge Tragulerugsverfahre. De Schüler sollte de Formel a ege Bespele verfzere, großetels als Hausaufgabe. Güstgerwese behält der Lehrer de Auswahl der Bespele der Had, wel se Folgedes ethalte sollte: Polygoe, de durch Verschebug auseader hervorgehe, daruter ege (wet) ober- bzw. uterhalb der x-achse, adere, de vo der x-achse geschtte werde, weder adere, de weter lks bzw. rechts lege, kovexe ud cht-kovexe Polygoe, zwe kogruete Rechtecke, de durch Drehug auseader hervorgehe, ees kaoscher, ees schefer Lage, dere Kogruez etwa mt Hlfe des Pythagorassatzes achzuwese st, Fortführug des Rechtecksbespels zwe etwas komplexere Polygoe: z.b. das Vereck mt de Ecke (;4), (6;), (8;0), (4;0) ud se Bld uter eer 90 - Drehug um de Ursprug mt de Ecke (-4;), (-;6), (-0;8), (-0;4), wo ma mt der Dreecksformel () lecht de Flächehalte erhält, ämlch bedes Mal 30. Abb.3: Zwe kogruete Verecke Fgerübuge zu egatve Flächehalte m Zusammehag mt dem Umlaufs: Trapezsäule oberhalb ud uterhalb der x-achse, d. h. mt etweder postve oder egatve Lotrechte, ud Mtführe vo dere Vorzeche be der Flächehaltsformel; auf Umlaufs vo X X A 3 A 4 X aufmerksam mache; zuehmed verallgemeer: umgekehrter Umlaufs X A 4 A 3 X X, verallgemeerte Trapezsäule, dese vo der x-achse ablöse, dabe Erforders der Addto ud Subtrakto vo Säule suggerere usw., bs h zu dem obe behadelte Paradebespel, mt dem de Vorberetugsphase verlasse würde. Zweckmäßgerwese gbt ma de Koordate der Polygoecke vor, lässt de Polygoe zeche ud hre Flächehalt ach der Dreecksformel (), zum Kotrast auch emal ach dem Tragulerugsverfahre, bereche. Es empfehlt sch, efaches Zahlemateral zu verwede; dabe wrd de Struktur lechter durchschtg. Trotzdem st der Esatz vo Excel auch herbe hlfrech. Dem Awedugsgedake ka ma fröe, dem ma de da cht mehr gazzahlge Koordate aus Zechuge (bs h zu reale Ladkarte) ablese bzw. och das Koordatesystem aufpräge lässt oder sogar mt de Schüler s Geläde geht ud dort etsprechede Aufgabe stellt.

10 0 PETER BENDER 3.5 Verallgemeerug des Paradebespels Mt dem Paradebespel ud dem Verglech der Dreecks- mt der Trapezformel st das Wesetlche erfasst, ud ee Uterrchtsehet köte her ede. Im Folgede möchte ch aber och acheader zwe Eschräkuge aufhebe, de obe gemacht wurde, ämlch dass der Rad zwe Tele zerlegbar se soll, vo dee der ee vollstädg vo lks ach rechts ud der adere vollstädg vo rechts ach lks verläuft; das Polygo der obere Halbebee legt. Belebge efache Polygoe der obere Halbebee We ma mt der Matere geüged vertraut st, ka ma sch de bede Verallgemeeruge a eem etspreched komplexe Polygo przpell der o.a. Wese klar mache, dem ma be dem Term (y+ +y ) (x + x ) ud dem zugehörge Trapez verschedee Vorzechekombatoe ud der Trapezformel () verschedee Abfolge vo Vorzechekombatoe betrachtet. Im Folgede wrd e etwas aschaulcherer Weg beschrtte, der allerdgs auf desem Grudgedake basert. Abb.4: Fleterug des Polygos Das efache Polygo A A A A wrd parallel zur y-achse fletert (Abb.4). Durch jede Eckpukt A wrd de Gerade parallel zur y-achse gezechet. Auf jeder deser Gerade werde sämtlche Schttpukte mt dejege Sete des Polygos, de cht scho ee Eckpukt auf hr habe, als wetere Eckpukte egeführt. Durch etsprechede Nummererug etsteht e Polygo A' A' A' p A',

11 EINE EINFACHE FORMEL das als Puktmege, ud damt mt seem Flächehalt, mt dem Ausgagspolygo überestmmt. Dese Kostrukto lefert ee Zerlegug des Ausgagspolygos Trapeze, de parallel zur y-achse lege, ud ma braucht jetzt ur och solche Trapeze zu aalysere. We ma das Polygo gege de Uhrzegers umwadert, so hat ma de Fläche mmer zu seer Lke, ud der Flächehalt st postv. Auf deser Waderug kommt ma acheader zu jedem Trapez. Be eem solche zum erste Mal agekomme, durchläuft ma automatsch ee seer Sete, ka es da auf eem klee Umweg Form eer Schlefe gaz umwader ud st schleßlch weder auf dem Hauptweg. Be alle dese Schlefe legt de jewelge Trapezfläche auf der lke Sete, hr Ihalt st daher postv. Ist das Polygo komplzert geug aufgebaut, gbt es Parallelstrefe mt mehrere Trapeze, bzw. eem solche Parallelstrefe befde sch j (j gerade) quer laufede Sete des Polygos. Ohe Kets des gesamte Polygos weß ma zwar cht otwedg, we dese Sete be der Waderug zetlch aufeader folge. Aber ma weß, dass der Weg auf he abwechseld ach rechts ud ach lks verläuft, ud zwar sowohl, we ma se hrer zetlche Abfolge bem Durchwader betrachtet, als auch, we ma se hrer räumlche Abfolge m Strefe betrachtet. Immer zwe Sete begreze e Trapez, ud vo de j- Trapeze gehört mmer abwechseld es zum Polygo (gaz obe oder gaz ute agefage, sgesamt j ) ud es cht (sgesamt j -) Abb.5 Abb.5: Polygo mt j=0 jewels gefärbt bzw. cht gefärbt. Des alles fuktoert, wel de Ebee als Magfaltgket oreterbar st (aders als z.b. das Möbusbad) ud wr ur efache Polygoe mt edlch vele Sete betrachte. Nmmt ma de Waderug aders herum vor, so ergebe sch be alle Strecke(läge) ud Fläche(halte) de gegesge Oreterug bzw. das umgekehrte Vorzeche.

12 PETER BENDER Efache Polygoe mt Ecke ober- ud uterhalb der x-achse (Stadle) E solches Polygo der obere Halbebee ka also och so komplzert aufgebaut se es lässt sch mmer aus Trapeze mt Grudsete lotrecht zur x- Achse zusammesetze. Wr betrachte u e solches Trapez A A A 3 A 4 A mt x 4 =x <x =x 3. We es de Voraussetzuge des Paradebespels erfüllt, d.h. we 0 y y 4 ud 0 y y 3 glt (Abb.6.), da wsse wr, dass wr see Flächehalt ((y3 y )+(y 4 y )) (x x ) (4) als Dfferez der Flächehalte zweer Trapezsäule X X A 3 A 4 X ud X X A A X darstelle köe: Abb.6. (y3 +y 4 ) (x 3 x 4 ) (y +y ) (x x ); womt wr h auf de Trapezformel () zurückgeführt habe: ((y3 +y 4 ) (x 3 x 4 ) + (y +y ) (x x )). Befdet sch u das Trapez, ach we vor mt postvem Umlaufs, der utere Halbebee, d.h. glt y y 4 0 ud y y 3 0 (Abb.6.), da hat es weder de Flächehalt gemäß Term (4). De bede Trapezsäule X X A 3 A 4 X ud X X A A X habe jetzt egatve Umlaufs. Nach we vor lefert de (postve) Dfferez hrer (egatve) Flächehalte (y3 +y 4 ) (x 3 x 4 ) (y +y ) (x x ) de Flächehalt des Trapezes, ud ma hat weder geau de Nummererug der Trapezformel () für de Abb.6. Term (4). We ma sch e solches Trapez der obere Halbebee postoert ud da kogruet stetg ach ute verschobe dekt ud dabe fortwähred de Flächehalte der bede Trapezsäule ud des Trapezes otert, güstgerwese mt Hlfe eer Software für Dyamsche Geometre (DGS), da wrd de Kostaz der Dfferez be glechartger Veräderug vo Mued ud Subtrahed ( Form vo Fläche) llustrert. Möchte ma, der utere Halbebee, de bede Trapezsäule mt postvem Umlaufs habe, muss ma se X X A 4 A 3 X ud X X A A X schrebe. Ihre x-achseabschtte werde da vo X ach X, also m

13 EINE EINFACHE FORMEL 3 egatve S, durchlaufe. Der Flächehalt des Trapezes ergbt sch ereut als (postve) Dfferez der (u postve) Flächehalte der bede Trapezsäule zu (y +y ) (x x ) (y4 +y 3 ) (x 4 x 3 ). Überschlagee Trapezsäule Abb Durch de Betrachtug solcher Trapeze astelle ees komplexe Polygos hat ma de Oreterugs- ud Vorzecheproblematk m Zwedmesoale fast auf ee Dmeso reduzert tatsächlch ur fast; de es gbt och de Fall, dass de x-achse durch das Trapez geht (vgl. Abb.7 mt mehrere Uterfälle). Be der (o.a.) stetge Bewegug des Trapezes vo obe ach ute habe wr dese Fall schebar ubemerkt mt erledgt. Er st aber cht erledgt, wel wr da auf emal überschlagee Trapezsäule erhalte (das Wort wrd, uter Htastellug der Begrffsproblematk, ur zur Beschrebug der Stuato verwedet). Als geschlossee Streckezüge sd überschlagee Polygoe wohl lecht zugäglch, cht aber als Fläche. Wege deser begrfflche Problematk ud Awedugsfere solle allgemee überschlagee Polygoe m Folgede cht weter Betracht gezoge werde. Net ma z.b. be eer überschlagee Trapezsäule X X A 3 A 4 X (we Abb.7.3) de Schttpukt der Sete A 3 A 4 mt der x-achse och X 0, da ka ma de Trapezsäule als Veregug der bede Dreecke X X 0 A 4 X ud X 0 X A 3 X 0 auffasse, dere Flächehalte wege hrer uterschedlche Oreterug uterschedlches Vorzeche habe. Dere Summe wrd als der Flächehalt der überschlagee Trapezsäule geomme:

14 4 PETER BENDER y4 (x 0 x ) + y3 (x x 0 ). (5) We wr beachte, dass X 0 auf der Sete A 3 A 4 legt, ergbt sch de Verhältsglechug y 4 : (x 0 x ) = y 3 : (x 0 x ) (Strahlesatz oder Stegugsdreeck, mt Beachtug der Vorzeche), ud daraus y 4 (x 0 x ) = y 3 (x 0 x ) ud weter y 4 x 0 y 3 x 0 = y 4 x y 3 x. Des (5) egesetzt, führt zu dem Ausdruck (y3 +y 4 ) (x x ), ud das st gerade Term (4) mt y =y =0, also de Flächehaltsformel für de Trapezsäule (als spezelles Trapez), wo y 3 ud y 4 u belebge Vorzeche habe köe. Abb.8: Überschlagee Trapezsäule De her vorgeommee Festlegug des Flächehalts eer überschlagee Trapezsäule st verträglch mt dem Flächehaltsbegrff efacher Polygoe. Es se allerdgs och emal betot, dass dese Erweterug de Begrff der oreterte Fläche ud des mt eem Vorzeche versehee Flächehalts voraussetzt. Dese Verträglchket ka ma z.b. veraschaulche, dem ma, mt Hlfe eer DGS, be eer Trapezsäule X X A 3 A 4 X etwa de Eckpukt A 3 vo oberhalb der x-achse ach ute laufe lässt ud de Flächehalt Abhäggket vo y 3 beobachtet. We y 3 egatv wrd, lässt ma sch zusätzlch de Flächehalte der bede Dreecke ausgebe (Abb.8). Be eem Trapez mt z.b. y 0<y 4 ud y y 3 <0 (Abb.7.3) hat ma da ach we vor de bede Trapezsäule X X A 3 A 4 X ud X X A A X, wobe erstere überschlage st. Es ergbt sch weder geau de o.a. Flächehaltsdfferez (y3 +y 4 ) (x 3 x 4 ) (y +y ) (x x ) ud damt ereut geau de Nummererug der Trapezformel () für de Term (4). Währed der Übergag vo der obere zur utere Halbebee durchaus eger zusätzlcher Überleguge bedarf, macht der etsprechede Übergag vo der rechte zur lke Halbebee keerle Probleme, wel de x-werte

15 EINE EINFACHE FORMEL 5 mmer ur Dffereze vorkomme. Deswege durfte das Paradebespel vo vorehere auch egatve x-werte habe. We u der Rad des Polygos cht zwe Tele zerlegbar st, so dass der ee vollstädg vo lks ach rechts ud der adere vollstädg vo rechts ach lks verläuft, da trete auch Parallelstrefe auf, de mehr als e Trapez ethalte (vgl. Abb.5). Nach we vor ka jedes Trapez als Dfferez zweer Trapezsäule dargestellt werde, ud jeder solche Trapezsäule etsprcht geau e Summad der Trapezformel (). Ivaraz des Flächehalts bem Hzufüge vo Ecke Dass sch durch das Hzufüge euer Eckpukte auf vorhadee Sete ees Polygos der Flächehalt cht ädert, st geometrsch klar, muss aber a der Trapezformel () och verfzert werde. Für dre aufeader folgede Eckpukte A, A 0, A ees efache Polygos, de auf eer Gerade lege, mt x <x 0 <x (Abb.9) oder x <x 0 <x, ergbt sch aalog zu de Berechuge Abb.9 m Aschluss a (5) der Tat ((y +y 0 ) (x x 0 ) + (y 0 +y ) (x 0 x )) = (y +y ) (x x ). We ma also durch Wegehme der Zusatzpukte vom Polygo A' A' A' p A' weder zum Polygo A A A A zurückkehrt, geht der Term p (y' +y' + ) (x' x' + ) weder de geaue Form der Trapezformel () über. 3.6 Verhalte der Gaußsche Formel uter geometrsche Abblduge I der Dreecks- we auch der Trapezformel werde de x- ud de y-koordate erschtlch jewels uterschedlch verwedet. De Trapezsäule, de für das Verstäds kosttuered sd, werde auf der x-achse als Stadle errchtet. Ihre Brete sd x-dffereze, hre mttlere Höhe y-werte. Natürlch ka ma das alles auch auf de y-achse bezehe: Be eem gegebee efache Polygo errchtet ma de Trapezsäule auf der y-achse als Stadle, ud we ma der Dreecksformel () bzw. der Trapezformel de Koordate vertauscht, hat ma de Flächehalt des Polygos allerdgs, we berets ausgeführt, mt umgekehrtem Vorzeche, bzw. ma zeht das Muszeche

16 6 PETER BENDER de x-dffereze ud erhält de Dreecksformel (3) mt der y-achse als Stadle. Dese Operato veraschaulcht ma am efachste mt Hlfe ees kovexe Polygos m. Quadrate. We ma es gege de Uhrzegers umwadert, so werde auf dem Stück, das der x-achse äher st (also dort, wo sch de zu subtraherede Trapezsäule befde), de x-werte größer usw. Auf dem Stück, das der y-achse äher st, werde de y-werte aber kleer usw. Mt der Spegelug a der. Wkelhalberede wrd e Polygo A A A A auf das Bldpolygo A' A' A' A' mt A' k =(y k ;x k ) ud dem Flächehalt x (y - y + ) gemäß Dreecksformel () mt der x-achse als Stadle abgebldet. Wege der Oreterugsverkehrug der Spegelug hat deser Flächehalt das umgekehrte Vorzeche we der des Ausgagspolygos gemäß Dreecksformel (3) mt der y-achse als Stadle. Be Spegeluge a der x-achse oder der y-achse seht ma de Erhaltug des Betrags ud de Umkehrug des Vorzeches bem Flächehalt och klarer, wel ledglch jewels das Vorzeche eer der bede Koordate verkehrt wrd. Ebeso offeschtlch ädert sch be eer Traslato parallel zur x-achse chts am Wert der Dreecksformel (), wel de x-werte ur Dffereze vorkomme ud dese uter glechmäßge glechsge Veräderug varat sd. Aalog ka ma auf der Bass der Dreecksformel (3) drekt begrüde, dass auch be Traslatoe parallel zur y-achse der Flächehalt glech blebt. Nu soll allerdgs och ee drekte Begrüdug ur uter Verwedug der Dreecksformel () gelefert werde: Be eem komplette Umlauf um das Polygo st ma sgesamt glechwet ach lks we ach rechts gegage, d.h. (x x + ) = 0. Be eer Traslato parallel zur y-achse (um de Zahl c) hat das Bldpolygo de Flächehalt (y +c) (x - x + ) = = y (x - x + ). y (x - x + ) + c (x x + ) Bem Umlauf (gege de Uhrzegers) um das Polygo durchläuft ma ämlch Sete, wo der x-wert größer wrd: vo lks ach rechts, m Term x -x + < 0; Sete, wo er kleer wrd: vo rechts ach lks, m Term x -x + > 0; ud Sete, wo er glech blebt: lotrecht, m Term x x + = 0. De Trapezsäule, de zur erste Sorte vo Sete gehöre ee wr U, de, de zur zwete Sorte vo Sete gehöre, V, ud de, de zur drtte Sorte vo

17 EINE EINFACHE FORMEL 7 Sete gehöre, habe de Brete 0 ud köe weggelasse werde. Be der Traslato parallel zur y-achse um c werde de U zusamme um e Rechteck größer, desse Brete de aufsummerte Brete aller U ud desse Höhe c st. Etspreched werde de V zusamme um e Rechteck größer, desse Brete de aufsummerte Brete aller V st, mt derselbe Höhe c. Da de Gesamtbrete aller U glech der egatve Gesamtbrete aller V st, aullere sch de bede Rechtecke. Be der Drehug um de Ursprug um ee Wkel α wrd der Pukt (x;y) bekatlch auf de Pukt (cosα x sα y; sα x + cosα y) abgebldet, ud be eem Polygo mt Flächehalt Form der Dreecksformel () hat das Bldpolygo de Flächehalt (sα x + cosα y) (cosα (x - x + ) sα (y - y + )). Selbstverstädlch stmmt deser Flächehalt mt dem des Ausgagspolygos übere, wel das Bldpolygo ja kogruet zu desem st. I deser schebar baale Begrüdug stecke aber ege tefer legede Sätze der Abbldugsgeometre. Dagege macht de folgede läglche Kette vo algebrasche Umformuge ee recht aufwädge Edruck gaz m Gegesatz zum efache Charakter der Gaußsche Dreecksformel. Wohl setzt dese Rechug ee souveräe Umgag mt Formelstrukture voraus sbesodere wrd mehrfach de zyklsche Nummererug der Puktkoordate ausgeutzt, aber m Przp köte de Verfzerug der Überestmmug auch maschell erfolge. Her habe wr e typsches Bespel für das Verhälts vo aalytscher ud sythetscher Geometre. De aalytsche Geometre trvalsert vele geometrsche Bewese, brgt dese aber ee geradezu uästhetsche Form. Zuglech lefert se efach schöe Formel we de Gaußsche Dreecksformel, mt dee schö efach gerechet werde ka. ( cos α y (x - -x + ) s α x (y - -y + ) + sα cosα x (x - -x + ) cosα sα y (y - -y + )) = cos α y (x - x + ) s α x y - + s α x y + + sα cosα x x - sα cosα x x + cosα sα y y - + cosα sα y y +

18 8 PETER BENDER = cos α y (x - -x + ) s α = + sα cosα x cosα sα y y + = cos α y (x - -x + ) s α x + sα cosα x + + cosα sα y y + x + y + s α + 0 x y x sα cosα x x + cosα sα y 0 + y + s α x y x sα cosα x x + cosα sα y = cos α y (x - x + ) + s α y (x - x + ) = y (x - -x + ). Für α=90 st cosα=0 ud sα=, ud es ergbt sch ohe Weteres de Dreecksformel (3). Weterh seht ma drekt, dass uter eer zetrsche Streckug am Ursprug mt dem Streckfaktor c 0 der Flächehalt ees Polygos ver-c -facht wrd. + + y y Lteratur SCHARLAU, W. (999): I megall stora de große Geschchte. Roma. Havxbeck: Selbstverlag WITTMANN, E. CH. (987): Elemetargeometre ud Wrklchket. Eführug geometrsches Deke, Brauschweg & Wesbade: Veweg