Z Z, kurz. Zählt die Reihenfolge der Buchstaben (ja/nein) Daraus ergeben sich wiederum vier Möglichkeiten, Wörter der Länge k zu bilden.

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1 Kombator Problemstellug Ausgagsput be ombatorsche Fragestelluge st mmer ee edlche Mege M, aus dere Elemete ma edlche Zusammestelluge vo Elemete aus M bldet Formal gesproche bedeutet das: Ist M a,, a ee belebge Mege mt Elemete, so bldet ma edlche Zusammestelluge vo Elemete vo M Wr wolle solche Zusammestelluge vo Elemete aus M als Zusammestelluge der Läge oder (we üblch) als Stchprobe der Läge bezeche Etscheded wchtg sd de bede Bass-Frage der Kombator: (K) Darf es der Stchprobe Wederholuge vo Elemete gebe? (ja / e) (K) Ist de Rehefolge der Elemete der Stchprobe zu beachte? (ja / e) (a) Uremodell Ure mt Kugel; Zehug vo Kugel: 4 Möglchete des Zehes! a) Mt Wederholug (mt Zurüclege), Rehefolge wchtg; urz: [mw Rw] b) Ohe Wederholug (ohe Zurüclege), Rehefolge wchtg; urz: [ow Rw] c) Mt Wederholug (mt Zurüclege), Rehefolge uwchtg; urz: [mw Ruw] d) Ohe Wederholug (ohe Zurüclege), Rehefolge uwchtg; urz: [ow Ruw] Bespel: <Sehe Vorlesug!> (b) Alphabetmodell Gegebe: Alphabet mt Zeche; also,, Falluterschedug: Wederholug vo Buchstabe (ja/e) Z Z, urz,, Zählt de Rehefolge der Buchstabe (ja/e) Daraus ergebe sch wederum ver Möglchete, Wörter der Läge zu blde (c) Allgemees Zählprzp (AZP) Gegebe ZE mt Telversuche, de acheader ausgeführt werde Ist m de Azahl der Ergebsse be Telversuch, so hat das ZE sgesamt m möglche Er- gebsse Bewes: Es wrd Iduto über beutzt IA: = Be eem ezge Telversuch gbt es m Ergebsse IS: IV ud IB sd lar Wr führe dret de Idutosbewes: Se m de Azahl der Ergebsse ees wetere Telversuchs Da gbt es zu jedem der m Ergebsse des -stufge ZE geau m Ergebsse des ( + )-te Telversuchs Das ergbt sgesamt m m m Ergebsse

2 Stchprobe mt Wederholug der Elemete ud mt Beachtug der Rehefolge der Elemete (Kombator-Fgur [mw Rw] ) (a) Satz Es gbt Stchprobe der Form [mw Rw ] Bewes: Be jedem der Telversuche gbt es Möglchete Awedug des AZP: Isgesamt gbt es Möglchete (b) Bespele: Vorlesug! Stchprobe ohe Wederholug der Elemete ud mt Beachtug der Rehefolge der Elemete (Kombator-Fgur [ow; Rw] ) (a) Satz Es gbt Stchprobe der Form [ow; Rw] Bewes: Zehug: Möglchete, Zehug: Möglchete, Zehug: Möglchete, Möglchete Zehug: Awedug des AZP: Isgesamt gbt es Multplato mt ergbt <Nachreche!>: Möglchete! (b) Bespele Wahl vo Vorstzedem ud stellvertretedem Vorstzede eem Ausschuss Gegebe: Ausschuss, der aus 4 Mäer ud Fraue besteht Gesucht: Azahl der Wahlergebsse be Wahl vo Vorstzedem ud Stellvertreter ( V ud S ) a) Azahl der Möglchete sgesamt? 76 4Möglchete b) Azahl der Möglchete uter der folgede Bedgug: V ud S vom gleche Geschlecht <Übug!> c) Azahl der Möglchete uter der folgede Bedgug: Mdestes ee Frau be dem Paar V / S <Übug!>

3 Bespel für W Berechuge: Geburtstagsproblem zufällg ausgewählte Persoe Gesucht: Wahrschelchet des Eregsses E: Mdestes zwe der Persoe habe am gleche Tag Geburtstag Lösugsasatz: Ma trfft folgede Modellaahme: Ma lammert Persoe, de de 9 Februar als Geburtstag habe, aus Da sd alle 65 Tage des Jahres glech wahrschelch Damt hadelt es sch bem Nee des Geburtstagsdatums u um e Laplace-Expermet Etschedede Idee für de Lösug st u, dass ma zuächst de Wahrschelchet des Gegeeregsses berechet, also de Wahrschelchet vo E : De Geburtstage der Persoe sd paarwese verschede De wetere Lösug der Aufgabe wrd ee Übugsaufgabe se (c) Spezalfall deser Kombator-Fgur: Permutato ohe Wederholuge [also Spezalfall vo (a) mt ] Satz: Objete öe auf Wese permutert werde Bespel: We vele füfstellge Zahle a ma aus ugerade Zffer, de jewels ur emal auftauche dürfe, blde? 4 Stchprobe ohe Wederholug der Elemete ud ohe Beachtug der Rehefolge der Elemete (Kombator-Fgur [ow Ruw] ) (a) Satz Es gbt Stchprobe der Form [ow Ruw] Bewes: Aus Satz (a) wsse wr, dass de Zahl der Stchprobe der Form [ow Rw] geau st Be deser Zahl habe wr alle Aorduge der jewelge -elemetge Telmege mtgezählt; das dürfe wr her u aber cht: Wr müsse alle dese Aorduge eer -elemetge Telmege detfzere Da es! Aorduge eer -elemetge Mege gbt (Aussage (c)), müsse wr also durch! dvdere Somt st de gesuchte Azahl: (b) Bespele Bespel für W - Berechuge: Lotto [Hwes: Lotto: Auf dem Lottosche sd 6 Zahle aus der Mege der Zahle,,49 azureuze Auf dem Lottosche st außerdem ee Superzahl aufgedruct Zehug we folgt: Trommel :6 Zahle aus 49 Kugel; Trommel : Superzahl aus0 Kugel]

4 P (6 Rchtge ud rchtge Superzahl) = [Gewlasse ] P (6 Rchtge) = [Übug!] [Gewlasse ] P (5 Rchtge ud rchtge Superzahl) = P (5 Rchtge) = [Gewlasse ] [Gewlasse 4] Aufgabe: Präzse Begrüduge für de auftauchede Neer ud de auftauchede Zähler! Begrüßugsstuato Persoe begrüße sch; dabe gbt jeder jedem geau emal de Had We vele Hadschläge sd es?, = (c) Wchtge Awedug be orete W-Berechuge Ure mt N Kugel, durchummerert vo bs N Vo de N Kugel see S Kugel schwarz ud N - S Kugel weß 0 S N Zehug vo Kugel ohe Zurüclege Se der Ergebsraum solcher Zehuge N Ma seht: Frage: P (vo de Kugel sd Kugel schwarz)? Also: Es geht ur um schwarze Kugel, cht um dere Aordug E : Vo de Kugel sd Kugel schwarz S Es gbt Möglchete, aus de S schwarze Kugel schwarze Kugel auszuwähle; N S es gbt Möglchete, aus de N S weße Kugel weße Kugel auszuwähle S N S Also gbt es für E güstge Fälle Somt: P (E) = S N S N

5 5 Stchprobe mt Wederholug der Elemete ud ohe Beachtug der Rehefolge der Elemete (Kombator-Fgur [mw Ruw] ) (a) Satz Es gbt Stchprobe der Form [mw Ruw] Bewes: Wr beutze das Uremodell ud e Coderugsverfahre mttels des Alphabets 0, Deses Coderugsverfahre se zuächst a eem orete Bespel mt de Zahle ud 6 erläutert Dazu: Afertge eer Tabelle mt de Spalte: Kugel, Kugel, Kugel Code: Zehe der jewelge Kugel: Zffer, Übergag: Zffer 0 Bespele für Zehuge: Zehug Kugel Kugel Kugel Coderug Zehug Zehug Zehug Zehug 4 Zehug 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Frage: We vele Coderuge gbt es? Jede Coderug besteht aus 6 Ese ud Nulle Trc: Wr tu zuächst so, als ob de 6 Ese ud de Nulle jewels uterschedbar wäre; ma hat also,, 6 ud 6 8 Objete Frage also: We vele Möglchete gbt es, de 6 uterschedbare Ese ud de uterschedbare Nulle auf 8 Plätze zu vertele? Atwort mttels der Aussage (c): Es gbt 8! Möglchete, 8 uterschedbare Objete auf 8 Plätze zu vertele Da aber de 6 Ese bzw de Nulle cht uterschedbar sd, müsse wr alle 6! Aorduge der 6 Ese bzw alle! Aorduge der Nulle detfzere; dh wr müsse durch 6 dvdere 8 Atwort also: Es gbt 6 möglche Koderuge Rechug lefert ,0 Das sd Nu zum allgemee Bewes: Jede Coderug für e Zehugsergebs besteht aus Ese ud Nulle; de Ese ud de Nulle sd cht uterschedbar Frage: We vele Coderuge gbt es? Trc: Wr tu zuächst so, als ob de Ese ud de Nulle jewels uterschedbar wäre; ma hat also,, ud 0,,0 Das sd Objete

6 Frage also: We vele Möglchete gbt es, de uterschedbare Ese ud de uterschedbare Nulle auf Plätze zu vertele? Atwort mttels der Aussage (c): Es gbt geau Möglchete, de Objete auf Plätze azuorde Da aber de Ese ud de Nulle gar cht uterschedbar sd, müsse wr alle! möglche Aorduge der uterschedbare Ese ud alle Aorduge der uterschedbare Nulle jewels detfzere Das heßt: Wr müsse de obge Zahl durch! ud durch dvdere Das ergbt Rechug zegt: (b) Bespel Zwe cht uterschedbare Spatze öe sch auf 4 Bäume vertele We vele Möglchete gbt es? , Also: 0 Uremodell: 4 Kugel: A,B,C,D (ver Bäume); Zehug vo Kugel: Bäume (Baum), de (der) vo de Spatze ausgesucht wrd Alphabet-Modell: ABCD,,,, Wortläge: 6 Stchprobe, be dee sch de Elemete mt vorgegebee Azahle wederhole (Kombator-Fgur: [mw va] ) < Alteratve Bezechug deser Fgur der Lteratur: Permutatoe mt Wederholuge > (a) Aufgabestellug Alphabet-Modell: Gegebe se e Alphabet Z,, Z mt Zeche Nu solle Wörter der Läge gebldet werde, wobe das Zeche Z geau -mal voromme soll Aders formulert: Es solle Wörter der Läge gebldet werde, wobe jedes Zeche Z mt eer vorgegebee Azahl auftauche soll Frage: We vele solcher Wörter gbt es? Uremodell: Ure mt Kugel Farbe, wobe glt: I jeder Farbe F gbt es cht uterschedbare Kugel Also Frage: We vele Möglchete gbt es, dese Kugel auf vorgegebee Plätze zu vertele?

7 (b) Satz Werde aus dem Alphabet Z,, Z Permutatoe mt Wederholuge gebldet (Wörter der Läge, be dee jedes Zeche Z geau -mal vorommt), so gbt es Möglchete dafür Bewes: Wr mache zuächst de Zeche uterschedbar! Zeche Z gbt es geau Mal, wr bezeche dese Zeche mt Z,, Z, Zeche Z gbt es geau Mal, wr bezeche dese Zeche mt Z,, Z, Zeche Z gbt es geau Mal, wr bezeche dese Zeche mt Z,, Z, Zeche Z gbt es geau Mal, wr bezeche dese Zeche mt Z,, Z Es gbt (wege der Aussage (c) ) geau! Möglchete, de uterschedbare Zeche Z,, Z,, Z,, Z azuorde (auf Plätze zu vertele) Da jewels de Zeche Z,, Z aber ebe cht uterschedbar sd, müsse wr alle! Aorduge der Zeche Z,, Z detfzere; ud das bedeutet, dass wr de Zahl! durch! dvdere müsse Dese Dvso müsse wr für jedes,, durchführe Somt ergbt sch (c) Bespele MISSISSIPPI-Aufgabe Alphabet I, M, P, S We vele Wörter der Läge lasse sch aus dese ver Zeche blde, we gelte soll I, M, P, S 4 Lösug: Da 4 ud, hat ma Permutatoe mt Wederholug Mdestes ees deser Wörter st svoll, ämlch das Wort MISSISSIPPI! Sat-Spel (Vertelug der Karte: Speler: A, B, C: Je 0 Karte, Stoc S: Karte) Es gbt dre Speler (A, B, C), jeder beommt 0 Karte Zwe Karte omme de Tschmtte (Sat oder Stoc) Zu de Karte: Es gbt de ver Farbe Kreuz, P, Herz, Karo I jeder Farbe gbt es de acht Werte As, Kög, Dame, Bube, 0, 9, 8, 7

8 Frage : We vele Ausgagspostoe für e Sat-Spel gbt es? Wr wolle de Frage auf zwe verschedee Wese beatworte! Erste Möglchet zur Lösug (pragmatsche Lösug): Msche, da Vertelug der Karte auf de Speler we folgt: Speler A erhält 0 Karte (etwa de Karte, 4, 7, 0,, 6, 9,, 5, 8) Speler B erhält 0 Karte (etwa de Karte, 5, 8,, 4, 7, 0,, 6, 9) Speler C erhält 0 Karte (etwa de Karte, 6, 9,, 5, 8,, 4, 7, 0) Der Sat (Stoc) der Mtte des Tsches erhält da de Karte, Aufgabe: We lautet de Atwort auf de Frage (be Beutzug der Fgur [ow Ruw] )? Zwete Möglchet zur Lösug (mathematsche Modellbldug mttels der Fgur [mw va] ): Es gbt Plätze, ämlch de Karte Wr otere dese Plätze: Kreuz-As Kreuz-Sebe P-As P-Sebe Herz-As Herz-Sebe Karo-As Karo-Sebe Da Vertelug der Symbole A, B, C, S auf de Plätze < Bespel otere! > ABCS,,, () Alphabet-Modell: 4 Zeche Velfachhete der Zeche: A B C S 0, Nu: Wörter der Läge blde! () Uremodell: Kugel [0 mal A, 0 mal B, 0 mal C, mal S ] Nu: Zehuge ohe Zurüclege ud Vertelug der Kugel auf de Plätze Es gbt! Möglchete, de Objete A,, A0, B,, B0, C,, C0, S, S auf Plätze zu vertele Aber: De zeh Zeche A,, A0, de zeh Zeche B,, B0, de zeh Zeche C,, C0 ud de zwe Zeche S, S sd ebe cht zu uterschede Also muss ee Idetfato der 0! Aorduge der Zeche A,, A0, ee Idetfato der 0! Aorduge der Zeche B,, B0, ee Idetfato der 0! Aorduge der Zeche C,, C0 ud ee Idetfato der! Aorduge der Zeche S, S erfolge Das bedeutet Dvso durch 0! 0! 0!!! De Atwort auf obge Frage lautet da: 0! 0! 0!! Frage : [Bespel für W - Berechuge] Wr wolle p PJeder Speler erhält geau ee Bube bereche Azahl der güstge Fälle: Verteluge der Bube auf A, B, C, Sat Da wchtg st, welcher Speler welche Bube hat, sd de Aorduge der Bube auf de ver Plätze A, B, C, Sat wchtg Also: 4! möglche Verteluge für de Bube auf dese ver Plätze 8 Verteluge der restlche 8 Karte: 999 Möglchete Azahl der möglche Fälle: Sehe Atwort auf Frage!

9 Isgesamt ergbt sch als Atwort auf Frage : p