IV. Interpolation und Quadratur 4.1. Interpolation

Transkript

1 IV. Iteroato ud Quadratur 4.. Iteroato 4... Bese: Iteroato mt Taewere ür e s cos og Gesucht: e.454 ; Tabeert: e.45 ud e.46 Leare Iteroato. : e:

2 Verwade dsrete Pute otuerche Kurve oder Fäche: - Audosga - Gtterute Fäche - CAD 2

3 4..2. Agemee Probemsteug: Gegebe: Puteaare =... aarwese verschede ud ear uabhägge Futoe g =... Gesucht: Koezete c =... mt ür =... 3 g c G! c c g g g g ++ eares Gechugssstem

4 Iteroato ührt au quadratsches Gechugssstem! Geauso vee Bedguge we Frehetsgrade^! Ma uterschede Iteroato ud Aromato! Be Aromato mehr Bedguge Pute as Frehetsgrade Ubeate! Bese zu Aromato: Ausgechsgerade ührt au überbestmmtes Gechugssstem Normagechug QR 4

5 4..3. Sezaa Poom-Iteroato: Asatzutoe g sd Poome Gesucht: Koezete c =... mt ür =... 5 c! c c + Gechuge ür + Ubeate: Teuer! O 3

6 4..4. Lösug mt Lagrage-Poome Deere geschct Bass-Poome: + Poome vom Grad besser as : L as as L Egeschate der Lagrage-Poome: Grad mt L c Gesucht das de Iteroatosbedguge erüt.

7 7 c c c c L L L L Aus dese Egeschate ergbt sch zur Lösug des Iteroatosrobems e eares Gechugssstem ür de Koezete: - -

8 De Lösug st c = ; daher st das Iteroatosoom: de es st. Damt st de Estez ees teroerede Pooms gezegt! 8 Hautsatz der Agebra: Jedes Poom vom Grad a as Produt vo eare Fatore de ev. omee Nustee z geschrebe werde der Form 2 z z z L L L Edeutget?

9 Aahme: Es gbt zwe Poome ud q vom Grad <= de bede de Iteroatosbedguge erüe. Deere eues Poom h := - q. Da gt h z z2 z ud h : q ür =... Daher hat das Poom h de Grad ud + Nustee. Aus dem Hautsatz der Agebra ogt daher dass = se muss ud daher st h oder q. Aso es estert geau e Iteroatosoom! Lagrage zur Lösug der Iteroato cht geeget da umersch robematsch ud teuer! Aber wchtg ür theoretsche Resutate! 9

10 4..5. Berechug des Iteroatosooms Löse cht das eare Gechugssstem da des zu teuer st! Außerdem wrd ot ur der Wert des Pooms a eer ezge Stee gesucht! Idee: Bereche dutv teroerede Poome ür mmer mehr Stützstee. Setze dazu as das teroerede Poom vom Grade das geau a de Stee de Iteroatos-Bedguge erüt. Zur Bestmmug vo verwede de teroerede Poome vom Grade - ud de zu de Stützstee bzw. gehöre.

11 Wesetche Forme : Bewes: Nachrüe der Iteroatosbedgug. ud ür ae adere mt < < + :

12 Wege der Edeutget des teroerede Pooms st edes der so deerte Poome geau de edeutge Lösug des ewege Iteroatosrobems! Daher st de gesuchte Lösug! Awedug der Forme * zur utwese Auswertug des Iteroatosooms a eer Stee :? Egabe: Stützwerte =... ud Stee ; Ausgabe:. Tabeau-artge Berechug der Iteroatosoome austegede Grades aber ur a der Stee. Wr sd cht a theoretscher Kets des Pooms Iteressert soder ur a Auswertug! 2

13 Neve-Tabeau: Erste Sate sd ostate teroerede Poome aso geau de ewes vorgegebee Werte. Zwete Sate sd teroerede eare Poome zu ewes zwe beachbarte Stützstee. Letzte Sate ethät das teroerede Poom zu ae vorgegebee Stützstee. 3

14 Neue Stützstee _4 mt Wert _4 a das Tabeau egeügt werde ud ührt zu eer eue Zee ud eer eue Edsate _234. Auswertug des Tabeaus ewes ur a eer este Stee mögch. 3 2 Bese: Auswertug des teroerede Pooms a der Stee =2 mt Lagrage bzw. Neve-Tabeau: 4

15 Lagrage: Stützstee = 3 L 3 3 L 3 3 ud L L 2 3 L 2 2 L

16 ud daher auch Neve-Tabeau: Da ach *

17 Foge vo Iteroatosoome zu 3 ud 4 Stützstee: tero.m 7

18 4..6. Feher be der Poomteroato Satz: Gegebe Stützstee <...< ud geüged ot d bare Futo. se das teroerede Poom vom Grad mt = =... A eer beebge Stee gt da ür de Abwechug zwsche ud! Dabe st + de +-te Abetug vo a eer Zwschestee aus dem Iterva I ma : m Frage: We gut wrd durch dargestet? 8

19 Bewes: Deere Hsuto mt = das teroerede Poom ud K Kostate. Nustee vo g:... Durch de Festegug vo K K : g K wrd auch g Aso hat de Futo g +2 Nustee! Mt Mttewertsatz besagt der Satz vo Roe dass zwsche zwe Nustee eer stetg d bare Futo stets mdestes ee Nustee der Abetug ege muss reatves Etremum mt waagrechter Tagete 9

20 Aso hat de erste Abetug g mdestes och + Nustee m Iterva I. De zwete Abetug g och Nustee... de +-te Abetug och ee Nustee χ I 2! K d d K g! K Daher ogt: De de +-te Abetug vo st gech der +-te Abetug vo + ae.

21 De +-te Abetug st au dem Iterva I beschrät we +-ma stetg d bar st. Da estert M mt z.b. mt 2! M K ma M I!! M K g Isgesamt ergbt sch daher

22 Frage: We gut stet de gegebee Futo dar? Etscheded daür sd - de Größe der +-te Abetug vo au dem Iterva I w : - de Größe der Futo a der Stee abhägg vo Wah der Stützstee Verau der Futo w= -. * -.2 * * -.3 * -.4 *

23 Fogerug: Näherug am Rad schechter! Der Abstad zwsche Futo ud teroeredem Poom st e der Mtte der Stützstee. Am Rad ud außerhab a der Feher sche groß werde. Bese: Ruge-Futo R 2 25 R ud vom Grad 2 äqudstate Stützstee. 23

24 Bessere Wah der Stützstee um de Feher gechmäßg au dem gaze Iterva e zu hate: Wähe de Stützstee so dass w= = -... as Poom vom Grad + au dem Iterva I mögchst gechmäßg e wrd. Sezaa =2 = ud 2 =; Bestmme so dass w mögchst e: m : ma w ma ma Lösug: =.5 gebe Kurve 24

25 w ür verschedee. Otma we ae Werte schmaem Bad ege. Bese: stuetz.m Agemee Lösug m Iterva [-]: Tchebche-Poom Nustee: otm. Stützst.: 2 cos

26 Aso vertee Stützstee besser so dass am Rad mehr Pute sd um de ev. große Feher dort auszugeche. Ageme gt: Poomteroato mt Poome hohe Grades egt zu Oszatoe sehe Ruge-Futo ud wrd aum verwedet. A Stee vo äqudstate Stützstee a b a verwede ma besser ee Verteug be der am Rade mehr Stützstee sd z.b. Tchebche-ote s.o.. Ev. adatve Stützsteewah e ach Verhate vo. 26

27 4..7 Newtoorm des Iteroatosooms Machma st ma auch a eer ezte Darsteug des Iteroatosooms sebst teressert. Aerdgs eget sch dazu cht de übche Form a a a Ezete Auswertug deser Form mttes Horerschema: a a a a2 a durch das Programm: =a; FOR =- : =*+a; ENDFOR 27

28 28 ] [ ] [ ] [ ] [... 2 A Stee der Stadardorm verwedet ma eer Darsteug der de Stützstee egehe: ] [ ] [ ] [ De Koezete [... ] erhät ma weder aus der wesetche Forme * aus 4..5:

29 29 ] [ ] [ ] [ Se asse sch weder aus eem Tabeau Tabeau der Dvderte Dereze der Rehe ach bereche mttes Da a durch Horer-artges Schema a der Stee ausgewertet werde.

30 4..8. Wetere Iteroatosasätze a Hermte-Iteroato: Um Oszatoe zu vermede w ma auch de Abetuge a de Stützstee otroere m eachste Fa geau de erste Abetuge: Vorgegebe sd =... Gesucht e Poom vom Grad 2+ mt = ud = =... 3

31 3 Lösug durch Austee des dadurch gegebee eare Gechugssstems ür de gesuchte Koezete des Pooms: c c c 2 Lösug durch Lagrage -Poome de geau a eer Stützstee z.b. Wert ud Abetug habe sost a ae adere Stützstee Wert ud Abetug.