14. Folgen und Reihen, Grenzwerte

Transkript

1 4. Folge ud Rehe, Grezwerte 4. Folge ud Rehe, Grezwerte 4. Ee Folge defere Eplzte Defto Reursve Defto 4. Gleder eer vorher deferte Folge bereche E Gled Mehrere Gleder Ee Folge defere ud ege hrer Gleder bereche Ege oder uedlch vele Gleder eer Folge zusammezähle: a Defere de Folge (a ) mt a =+: a():=*+ (Eter) Fertg 3, falls = Defere de Folge (b ), b = : b + sost b() : = whe( =, 3, b( ) + ) (Eter) Fertg () Bedgug () () (3) () So wrd b berechet, we de Bedgug erfüllt st. (3) So wrd b berechet, we de Bedgug cht erfüllt st. Bereche das 7. Gled der Folge (a ) : a(7) (Eter) 5 Bereche de Gleder mt de Nummer 3 bs 6 der Folge (a ) :. Weg: a() ={3, 4, 5, 6} (Eter) {7, 9,, 3}. Weg: seq(a(),, 3, 6) (Eter) {7, 9,, 3} Be reursver Defto a der erste Weg zu eem Memory-Error führe. Bereche vo der Folge (a ) mt a =+ de Gleder mt de Nummer 3 bs 7: seq(*+,, 3, 7) (Eter) {7, 9,, 3, 5} Zähle alle Gleder der Folge (a ) mt a =+ zusamme, dere Ide zwsche ud legt:. Weg: mt dem Befehl sumseq sumseq(a(),,, ) (Eter) +. Weg: mt der Vorlage für das Summezeche Σ b Ausfülle der Vorlage:. Möglchet: a() (Eter) +. Möglchet: De ver leere Felder der Vorlage jewels alce ud ausfülle: a() (Eter) + 8 Pythagoras Lehrmttel

2 4. Folge ud Rehe, Grezwerte Addere alle Gleder der Folge (c ) mt c = :. Weg: mt dem Befehl sumseq sumseq(/(^ ),,, fty) (Eter). Weg: mt der Vorlage für das Summezeche Σ b Ausfülle der Vorlage: / (^ ) (Eter) We astatt ^ das Zeche î erschet, st zwsche ^ ud e Leerschlag zu drüce. Das Zeche 4.5 Ege oder uedlch vele Gleder eer Folge multplzere: a Das Zeche wrd folgedermasse egegebe:. Weg: fty. Weg: ¹¹¹ (Eter) PC: Mauslc rechts / 7: Soderzeche / durch Doppellc efüge Mac: Ctrl+Mauslc / 7: Soderzeche / durch Doppellc efüge Multplzere alle Gleder der Folge (a ) mt a =*+, dere Ide zwsche 3 ud 8 legt:. Weg: mt dem Befehl prodseq prodseq(a(),, 3, 8) (Eter) Weg: mt der Vorlage für das Produtzeche Π b Ausfülle der Vorlage:. Möglchet: 3 a() 8 (Eter) Möglchet: De ver leere Felder der Vorlage jewels alce ud ausfülle: a() (Eter) 9795 Multplzere alle Gleder der Folge (c ) mt c = :. Weg: mt dem Befehl prodseq prodseq(/(^ ),,, fty) (Eter). Weg: mt der Vorlage für das Produtzeche Π Pythagoras Lehrmttel 83

3 4. Folge ud Rehe, Grezwerte 4.6 De Wertetabelle für ee oder mehrere Folge aufstelle Vorberetug -Werte agebe, de der Tabelle erschee solle Tabelle bereche b Ausfülle der Vorlage: / (^) (Eter). Weg: Geeget auch für mehrere Folge: Erzeuge ee Wertetabelle für de Folge (u ) mt u = ud de reursv deferte Folge (v ) mt, falls = v = : v + sost. Schrtt: De Folge m Recheblatt defere: u():=^ / (Eter) Fertg v():=whe(=,, v( )+) (Eter) Fertg. Schrtt: E Tabelleblatt der rechte Hälfte der Azege ( 3.) eröffe. 3. Schrtt: Zur Futostabelle wechsel: Fahre das Tabelleblatt, (Ctrl) T. 4. Schrtt: Lege de -Werte fest: b 5 5 Tabelleafag: Schrttwete: (Eter) 5. Schrtt: Wähle de Folge aus, für welche de Wertetabelle berechet werde soll: b 3 Wähle mt ud de Folge u aus, (Eter). Gehe mt de ächste Spalte. Wähle mt ud de Folge v aus, (Eter). Vo der Wertetabelle für v seht ma ur och de Afag der bede Kopfzele. 84 Pythagoras Lehrmttel

4 4. Folge ud Rehe, Grezwerte Spaltebrete apasse Gezelt ege Gleder bereche 4.7 Ee Folge graphsch darstelle Folge() defere Gleder bereche Graphblatt eröffe Graph(e) zeche Mt dem Touchpad a der dargestellte Tabelleausschtt verädert werde. 3 Wähle durch Alce de Folge u aus. Fahre de ächste Spalte. Wähle durch Alce de Folge v aus. Mt (¼) ud (½) a der dargestellte Tabelleausschtt verädert werde. Durch Verbreter des Programmfesters werde auch de Werte der zwete Folge schtbar. Fahre de gewüschte Spalte, b. Bewege mt ud de rechte Begrezug der Spalte a de gewüschte Stelle. (Eter) Fahre de gewüschte Spalte,. Bewege mt der Maus oder mt de Cursortaste ud de rechte Begrezug der Spalte a de gewüschte Stelle. (Eter) oder Mauslc.. Weg (etwas uüberschtlch, aber schell): Bereche das erste, zehte, zwazgste, dressgste ud füfzgste Gled der Folge u = : ^ / ={,,, 3, 5} (Eter) { / } Erzeuge de Graphe für de eplzt deferte Folge u = :. Schrtt: De Folge m Recheblatt defere: u():=^ / (Eter) Fertg. Schrtt: De Gleder mt de Nummer bs bereche ud specher: :=seq(,,, ) (Eter) {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, } uwerte:=u() (Eter) ,,, 4,,,, 4,, 4 3. Schrtt: E Graphblatt eröffe der rechte Hälfte der Azege ( 3., aber bem 4. Schrtt st e leeres Graphblatt ezufüge. Des gescheht bem Recher mt b, bem Computer durch Alce der Opto :Graphs hzufüge). 4. Schrtt: De Graphe zeche b 3 6 Pythagoras Lehrmttel 85

5 4. Folge ud Rehe, Grezwerte Wähle für das Feld de Varable aus: (Eter), ach Bedarf bzw., (Eter) Fahre mt auf das Feld y ud wähle dort uwerte aus: (Eter), ach Bedarf bzw., (Eter) Egabezele e- ud ausblede Äderug des dargestellte Ausschttes Klce rgedwo s Graphblatt, 3 6. Wähle für das Feld de Varable aus, für das Feld y de Varable uwerte. 5. Schrtt: Blede be Bedarf de Egabezele e ud aus: [Ctrl] G. Stelle ee adere Ausschtt des Graphe dar: 3.5 Zwecmässg st her bespelswese de Estellug, be welcher der Put O(, ) der Nähe der Ece ls ute legt (3.5, 8. Weg). Svoll st auch de Apassug a de gegebee Werte. De y-achse wrd automatsch so egetelt, dass der Plot für de gewählte -Werte vollstädg agezegt wrd. b Pythagoras Lehrmttel

6 4.8 De Beschräthet eer Folge utersuche Gege obe Gege ute 4.9 De Grezwert eer Folge bereche Folge ud Rehe, Grezwerte Be deser Estellug st ee Ehet auf der - Achse cht mehr glech lag we ee Ehet auf der y-achse. Ist de Folge (a ) mt a = 4 gege obe beschrät? Welches st allefalls ee obere Schrae? a():=4 * (Eter) Fertg fma(a(), ) >= (Eter) = a() as (Eter) De Folge st gege obe beschrät, ud st ee obere Schrae. Ist de Folge (a ) mt a = 4 gege ute beschrät? Welches st allefalls ee utere Schrae? a():=4 * (Eter) Fertg fm(a(), ) >= (Eter) = a() as (Eter) De Folge st cht gege ute beschrät. lm =?. Weg: lmt((/)^,, fty) (Eter). Weg: Egabe des Befehls per Vorlage. Schrtt: Erzeuge der Vorlage für das Grezwertzeche: b Schrtt: Ausfülle der Vorlage:. Weg: /(^ ) (Eter). Weg: Dre der ver leere Felder alce ud ausfülle: lm (/ ^ ) (Eter) De Resultate des Rechers sd mt Vorscht zu geesse; Schwergete ud Probleme, Nr. 6. Das Resultat udef hat be Grezwerte zwe verschedee Bedeutuge: Der Lmes estert cht, oder der Recher fdet de Lmes cht. Pythagoras Lehrmttel 87

7 4. Folge ud Rehe, Grezwerte Schwergete ud Probleme 9. (.9) =? Lösug: = 9 (.9) (Eter) Fehler: Ncht-reelles Ergebs = Abhlfe: = ( 9 ) (Eter) Notlösug: Addere Summade, um wegstes ee Näherugswert zu erhalte. (.9) (Eter) = 9 9. Verefache: Lösug:, (Eter) + + ( ), ( ), + + ( ), l, π/4, π / ( π) ( ) cos (Eter) ( ) cos( π) (Eter) ( ) cos( π) (Eter) Kee deser recht beate Rehe wrd erat. 3. a := a():= +, a + a =? + (Eter) a(+) a() (Eter) Der Term wrd cht ausgewertet. Lösug: Fertg ( + ) = + = Bereche v für v < ud <v< Lösug: = v v> ad v< (Eter) (v ) = = = v v> ad v< (Eter) v v Be der erste Aufgabe erhält ma e weg hlfreches Resultat., v 88 Pythagoras Lehrmttel

8 4. Folge ud Rehe, Grezwerte 5. Verefache: Lösug: c c für c Werte das Resultat der zwete Aufgabe aus für =. c c + c c c c c c¹ (Eter) c +c 99 +c 98 +c 97 +c 96 +c 95 +c Das Zeche ¹ wrd auf dem Recher mt p= egegebe, auf dem PC/Mac mt / =. c (Eter) + c c c as = (Eter) c +c 99 +c 98 +c 97 +c 96 +c 95 +c Wa wrd de Summe zusammegefasst? 6. Verefache: Lösug: a) b) c) d) a) lm, falls <m m b) lm, falls >m m c) lm, falls = + ½ d) lm, falls < + lm m <m (Eter) udef Deftosberech des Ergebsses a größer se als der der Egabe. Beschräug a gorert werde lm m >m (Eter) udef lm + lm + = (Eter) udef Beschräug a gorert werde < (Eter) Fehler: Ncht-reelles Ergebs Pythagoras Lehrmttel 89