Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang & LehrerInnenteam Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 7-8 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG UND STATISTIK

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1 Mathematk: Mag. Schmd Wolfgag & LehrerIeteam Arbetsblatt Semester ARBEITSBLATT 7-8 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG UND STATISTIK STATISTISCHE GRUNDBEGRIFFE Statstk gledert sch zwe Telbereche De Beschrebede Statstk, de Date erfasst ud dese durch Tabelle, Graphke ud Kezahle möglchst überschtlch beschrebt. De Beurtelede Statstk, de auf Bass der Beschrebede Statstk progostzert ud verglecht, sch also z.b. mt der Qualtätskotrolle vo Produkte beschäftgt. Wr werde us vorweged mt der Beschrebede Statstk beschäftge ud zuächst emal de wchtgste Kezahle der Statstk kee lere. ) Absolute ud Relatve Häufgket Bespel: Ee ugeordete Zusammestellug vo Date et ma Urlste. Wr habe z.b. de Urlste zu Famle, we vele Kder dese jewels habe. De Urlste seht folgedermaße aus:,, 4, 0,,,,,, 3,, 0,,,, 3,,,, Wr solle u de absolute Häufgket des Merkmals Azahl der Kder agebe. Lösug: Wr mache us u ee Tabelle, wo alle möglche Kderazahle egetrage werde. Azahl der Kder Nu zähle wr ab, we vele Famle jewels ke Kd, bzw. Kd, Kder usw. habe. Des bezechet ma mathematsch als de absolute Häufgket deser Merkmalsausprägug: Azahl der Kder Absolute Häufgket

2 Mathematk: Mag. Schmd Wolfgag & LehrerIeteam Arbetsblatt Semester 4 Summe: Gesamtumfag der Stchprobe Defto: De Azahl der Stchprobewerte vo e ud derselbe Merkmalsausprägug heßt absolute Häufgket deser Merkmalsausprägug ud wrd mt H bezechet. Bespel: Zu obger Lste soll u de relatve Häufgket der Azahl der Kder agegebe werde. Lösug: Uter der relatve Häufgket versteht ma de Atel de ee bestmmte Merkmalsausprägug a der Gesamtmege hat. Defto: Das Verhälts der absolute Häufgket H eer Merkmalsausprägug zum Gesamtumfag der Stchprobe heßt relatve Häufgket ud wrd mt h bezechet. Es glt: Absolute Häufgket H Re latve Häufgket = h = Stchprobeumfag Azahl der Absolute Kder Häufgket Summe: Relatve Häufgket = 0% 0 = 0% 4 = % = 0% = % = % = 00% Satz: De Summe aller relatve Häufgkete st stets =00% Übug: Übugsblatt 9; Aufgabe 66

3 Mathematk: Mag. Schmd Wolfgag & LehrerIeteam Arbetsblatt Semester )Mttelwerte Der Mttelwert oder Durchschttswert st für us etwas gaz edeutges. Dem st aber leder cht so. Es gbt mehrere Möglchkete Mttelwerte zu bereche. Je ach Problemstellug st zu utersuche, welcher Mttelwert güstg, also aussagekräftg st. a) Der arthmetsche Mttelwert Des st der Mttelwert, de wr alle kee. Bespel: De Agestellte A, B ud C verdee 00.-, ud Schllg. We vel verdet jeder Agestellte m Durchschtt? Lösug: = = Defto: Das arthmetsche Mttel (sprch: quer) der Zahle,...,, erhält ma, dem ma de Summe deser Zahle durch hre Azahl dvdert = = = b)das gewogee arthmetsche Mttel Des st egetlch ledglch ee Erweterug des arthmetsche Mttelwertes. Bespel: Be eer Schularbet habe 3 Schüler e Sehr gut, 4 Schüler e Gut, 8 Schüler Befredged, 6 Schüler Geüged ud Schüler e Ncht geüged. We lautet der Notedurchschtt? Lösug: Es st ur gaz logsch, dass wr jetzt cht efach de Note addere köe ud durch dvdere, um de Mttelwert zu erhalte. Wr müsse atürlch gewchte, we oft jede Note vorkommt. Das Ausmaß, we oft jede Note vorkommt, et ma de Umfag m der Gruppe. Wr bereche de Mttelwert: = =,9 3

4 Mathematk: Mag. Schmd Wolfgag & LehrerIeteam Arbetsblatt Semester Defto: Das gewogee arthmetsche Mttel der Zahle dazugehörede Umfäge,,..., mt hre, m m erhält ma, dem ma de Summe m,..., der Produkte aus Zahl ud dazugehörge Umfag durch de Summe der Umfäge dvdert. m + m m = = = m + m m m = m c) Das geometrsche Mttel Bespel: Der Umsatz ees Betrebes steg m erste Jahr um de Faktor,3 ud m zwete um,8. Bereche de mttlere jährlche Stegerugsrate g. Her würde us das arthmetsche Mttel ee falsche Wert lefer, de es würde uberückschtgt blebe, dass ja de Stegerug m zwete Jahr de Stegerug des erste Jahres behaltet. Mathematsch gesproche würde also uberückschtgt blebe, dass es sch her um ee epoetelle Vorgag hadelt. Be dese epoetelle Vorgäge wrd das geometrsche Mttel berechet: Defto: Das geometrsche Mttel folgedermaße: g =... g der Faktore = Wede wr u de Formel auf user Bespel a: g =,3,8 =,3 =, errechet sch,..., d) Der Zetralwert Nehme wr weder user Schularbetsbespel: Bespel: I eer Schularbet gab es folgede Note:, 3,,, 4,,, 3, 3,, 4 We lautet der Notedurchschtt? Lösug: Wr habe bsher mmer als Notedurchschtt das gewogee arthmetsche Mttel gebldet. Ma köte sch be deser Berechug aber zu Recht frage, was es bedeute soll, we wr zb. 3, als Ergebs bekomme. Ee Note, de es ja gar cht gbt. Ee Möglchket, de des größtetels umgeht, st der Zetralwert. De Idee st folgede. Wr brge usere Urlste der Note ee geordete 4

5 Mathematk: Mag. Schmd Wolfgag & LehrerIeteam Arbetsblatt Semester Laufede Nummer Lste ud ummerere de Note durch (Wr stapel also de Hefte ach de Note): Note Da wr Hefte habe, legt das 6. Heft geau der Mtte. De Note de deses Heft hat st user Zetralwert: z = 3 Defto: Ordet ma ee Lste,...,, der Größe ach, so heßt derjege Wert, der de mttlere Lage aller Werte emmt, Zetralwert z. Laufede Nummer Ee besodere Problematk bem Zetralwert ergbt sch, we de Azahl der Date gerade st. Stelle se sch zum Bespel vor, wr hatte be obge Bespel och ee. Note, ämlch ee er Note Das Problem st, dass es dese Fälle kee mttlere Wert gbt. I desem Fall muss ma mttlere Werte ehme. Be us sd des de Hefte 6 ud 7. Der Zetralwert st da das arthmetsche Mttel der Note deser bede Hefte: z = = 3 e) Der Modalwert Bespel: Be eer Umfrage uter Jugedlche, sollte de Jugedlche auf eem Frageboge zu verschedee Frage Stellug ehme, wobe de Auswertug schleßlch folgedes ergab: Frage Stmmt Stmmt cht Welche Parte a der 4% % Regerug st, hat kee Efluss auf me Lebe Juge Mesche sollte 3% 77% heute de Fger vo der Poltk lasse. Ist mr egal, ob ch eer Demokrate lebe oder cht 9% 9% Welche durchschttlche Haltug ehme de Jugedlche zur Poltk e?

6 Mathematk: Mag. Schmd Wolfgag & LehrerIeteam Arbetsblatt Semester Lösug: De bsherge Mttelwerte sd her atürlch vollkomme ugeeget. Ezg der Modalwert mt Vorbehalt ka her agewadt werde; der Modalwert st de am häufgste auftretede Merkmalsausprägug. Mt eer Quote vo 9% st es de Jugedlche cht egal, ob se eer Demokrate lebe oder cht. Des st der Modalwert m. Defto: Der Modalwert m st de am häufgste vorkommede Merkmalsausprägug. Übug: Übugsblatt 9; Aufgabe )STREUUNGSMAßE Stelle se sch vor, wr blde eersets das arthmetsche Mttel der Zahle ud 999 ud aderersets das arthmetsche Mttel der Zahle 499 ud 0. I bede fälle erhalte wr 00 als Mttelwert. Durch de Mttelwert alle geht aber de Iformato, dass m erste Bespel de zahle vel weter vom Mttelwert etfert lege als bem zwete Bespel verlore. Dese Iformato st aber sehr oft äußerst teressat ud wchtg. Folglch wll ma auch e Maß agebe, we wet de Date um de Mttelwert gestreut sd, ma wll e Streuugsmaß. a) De mttlere leare Abwechug Gehe wr weder vo eem Bespel aus: Bespel: Be eer Schularbet habe 3 Schüler e Sehr gut, 4 Schüler e Gut, 8 Schüler Befredged, 6 Schüler Geüged ud Schüler e Ncht geüged. We lautet de mttlere leare Abwechug? Lösug: Wr möchte also ausreche, we stark de ezele Werte durchschttlch vom Notedurchschtt abweche. Dazu lege ch mr zuächst emal ee Notetabelle a: Note = Azahl der Note = m Nu bereche wr us de Mttelwert: 6

7 Mathematk: Mag. Schmd Wolfgag & LehrerIeteam Arbetsblatt Semester = =,9 Jetzt müsse wr us ermttel, we wet jede Note vom Notedurchschtt etfert st. Wr ermttel also de leare Abwechug vo jeder Note. Da es für de Größe der Abwechug egal st, ob de Note größer oder kleer als der Notedurchschtt st, blde wr de Betrag der leare Abwechug: Note = Azahl der Note = m Leare Abwechug 3,9 =, 9 4,9 = 0, ,9 = 0, ,9 =, 09,9 =, 09 Nu blde wr de Durchschtt deser leare Abwechuge. Beachte se, dass wr dabe das gewogee arthmetsche Mttel verwede müsse, da ja jede Note uterschedlch oft vorkommt., , ,09 8 +,09 6 +,09 e = = 0,8 Defto: Das arthmetsche Mttel aus de Absolutbeträge der Abwechuge aller Merkmalsauspräguge vo dere arthmetschem Mttel bezechet ma als mttlere leare Abwechug e. e m m = = = m m m = m b) De Varaz De mttlere leare Abwechug hat aber der Pras ee Nachtel. Es werde alle Abwechuge glech stark gewchtet. Des bedeutet, dass zum Bespel be eer Schularbet vo 30 Schüler, be der es 9 Sehr gut ud Ncht geüged gab, deses Ncht geüged be der mttlere leare Abwechug praktsch durch de Rost fällt, was aber cht güstg st. Ma möchte deshalb also de größere Abwechuge stärker betoe. Des erreche wr dem wr de ezele Abwechuge quadrere ud da de Mttelwert deser quadrerte Abwechuge blde. Deses Streuugsmaß et ma de Varaz. Sehe wr us des weder a userem Notebespel a: 7

8 Mathematk: Mag. Schmd Wolfgag & LehrerIeteam Arbetsblatt Semester Bespel: Be eer Schularbet habe 3 Schüler e Sehr gut, 4 Schüler e Gut, 8 Schüler Befredged, 6 Schüler Geüged ud Schüler e Ncht geüged. We lautet de mttlere leare Abwechug? Lösug: Wr blde weder de Notedurchschtt: Note = Azahl der Note = m Nu bereche wr us de Mttelwert: = =,9 Nu bereche wr weder de Abwechug jeder ezele Note vom Notedurchschtt. Quadrere aber jede deser Abwechuge. Beachte se, dass wr us dadurch de Betrag scheke köe, da ja durch das Quadrere jeder Wert postv wrd. Note = Azahl der Note = m Quadrerte Abwechug ( ) 3 (,9) = 3, 6 4 (,9) = 0, ( 3,9) = 0, ( 4,9) =, 9 (,9) = 4, 37 Nu bereche wr weder de Durchschtt deser quadrerte Abwechuge: 3, , ,0 8 +, ,37 V = =,8 Defto: Das arthmetsche Mttel aus de Quadrate der Abwechuge aller Merkmalsauspräguge vo dere arthmetschem Mttel bezechet ma als Varaz V. V ( ) m ( ) ( ) m = = = m m = m m 8

9 Mathematk: Mag. Schmd Wolfgag & LehrerIeteam Arbetsblatt Semester c) De Stadardabwechug Auch de Varaz hat aber ee Nachtel. Stelle se sch vor, se bereche de Varaz vo Läge, welche cm gegebe sd. Logscherwese sd auch de leare Abwechuge folglch cm. Durch das Quadrere deser Abwechuge erhält ma aber u cm. Des st aber u cht gerade sehr logsch, dass ma als durchschttlche Streuug vo Läge ee Fläche erhält. Ma behebt dese Fehler, dem ma aus der Varaz de Wurzel zeht. Deses Streuugsmaß et ma u de Stadardabwechug σ (sprch: Sgma). Des st auch das bedeutedste Streuugsmaß. Defto: De Stadardabwechug σ ergbt sch aus der Wurzel der Varaz. σ = V We wr be userem obge Notebespel auch och de Stadardabwechug ermttel wolle, so ergbt des: σ =,8 =,09 Übug: Übugsblatt 9; Aufgabe