Analyse und praktische Umsetzung unterschiedlicher Methoden des Randomized Branch Sampling

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1 Aalse ud praktsche Umsetzug uterschedlcher Methode des Radomzed Brach Samplg Dssertato zur Erlagug des Doktorgrades der Fakultät für Forstwsseschafte ud Waldökologe der GeorgAugustUverstät Göttge vorgelegt vo Jorge Orlado Caco Caco gebore Sauzal (Chle) Göttge, 003

2 D7. Berchterstatter Prof. Dr. Joachm Saborowsk. Berchterstatter Prof. Dr. Chrstoph Kle Tag der müdlche Prüfug 6. Ju 003

3 Vorwort De Erstellug deser Doktorarbet wurde durch de wohlwollede Uterstützug uterschedlcher Persoe gefördert. Ihe alle b ch Dakbarket verbude. Me Dak glt vor allem Herr Prof. Dr. Joachm Saborowsk, der als Betreuer de Fortgag der Arbet mt stetem Iteresse verfolgt ud mt uedlcher Höflchket geletet hat. Ich b hm besoders dakbar für de Abletug der Formel, de m Ahag A deser Arbet zusammegestellt sd. Ich dake auch Herr Prof. Dr. Chrstoph Kle, dere Empfehluge als zweter Berchterstatter zur Besserug der Arbet begetrage habe. Zu Dak b ch auch Herr Prof. Dr. S. Wager verpflchtet, der de Etwcklug des Programms BRACH durch ee fazelle Uterstützug gefördert hat. Date für de Aalse wurde vo Herr Dr. Wfred Kurth ud Frau Soja Gockel zur Verfügug erstellt. Ich bedake mch dafür. Frau Gockel dake ch auch für hre Hlfe zur Aufahme vo Date zu eer Zetstude m Feld. Mee Dakbarket schleßt auch Herr Prof. Dr. Dr. h.c. Braslav Sloboda, Leter des Isttuts für Forstlche Bometre ud Iformatk der Uverstät Göttge, e. Dort habe ch mehr als dre Jahre gearbetet. Währed deser Zet habe ch de Erchtuge des Isttuts beutzt ud de Freudschaft ud Höflchket der Mtarbeter ud Mtarbetere geosse. Ebefalls dake ch Herr Prof. Ferado Drake, Deka der Forstlche Fakultät der Uverstät vo Cocepcó, desse Bemühuge de fazelle Uterstützug der Uverstät vo Cocepcó zu meem Aufethalt währed meer Promoto Deutschlad ermöglchte. Ich dake mee Kollege Herr Prof. Dr. Pedro Real ud Herr Prof. Dr. Víctor Sadoval, de mr vor meer Rese ach Deutschlad geholfe habe, mt meem Doktorvater Kotakt aufzuehme. Meer Ehefrau atala Decarl dake ch für hre Awesehet a meer Sete deser wchtge Etappe mees Lebesweges.

4 v

5 IHALT. Eführug.... Zelsetzuge Softwareetwcklug Methodeverglech ud Verfahresoptmerug Stad der Forschug über Radomzed Brach Samplg Grudlage des RBSVerfahres Das RBSVerfahre als allgemees mehrstufges Stchprobeverfahre De modfzerte RBSVerfahre RBS mt Zehe ohe Zurücklege auf Stufe, mt Zurücklege auf alle folgede (ZoZZmZ) 3.3. RBS mt Zehe mt Zurücklege auf Stufe, ohe Zurücklege auf Stufe ud mt Zurücklege auf alle folgede Stufe (ZmZZoZZmZ) De Methode Sampfords zur Schätzug ud Auswahl ohe Zurücklege mt ugleche Wahrschelchkete Effzezstegerug der RBSSchätzug, theoretsche Ergebsse De Bezehug zwsche der Hlfs ud der Zelgröße ud hre Bedeutug m Rahme mehrstufger Stchprobe mt ugleche Auswahlwahrschelchkete De Baumkroestruktur, das Lösche vo Segmete ud de Stratfzerug De Effzez des Zehes ohe Zurücklege auf der Stufe m Verglech zum Zehe mt Zurücklege Folgeruge des Zehes ohe Zurücklege De theoretsche Effzez des Zehes ohe Zurücklege auf der Stufe Alteratve Schätzer der Varaz be Zehe ohe Zurücklege auf der Stufe, mt m Optmerug des mehrstufge Verfahres mt Zehe mt Zurücklege Materale ud Methode Datebass Das BRACHProgramm Probeetahme Aalse vo vollstädge Bäume Dagose Smulato Modfzerug der Struktur der Baumkroe Zeloreterte Aalseverfahre Aufwrkug der Wahl der Hlfsgröße ud der Baumkroestruktur auf de Varaz des Schätzers Verglech zwsche dem klasssche RBS ud ZoZZmZ bezüglch der Präzso Aalse der aäherde Varazschätzer für das Zehe ohe Zurücklege auf Stufe, mt auf Stufe Zetstude Techsche Detals zur Programmetwcklug Struktur ud Kompoete Flußdagramme vo zeloreterte Prozedure Erzeugug eer eue Date Efügug vo Date Durchführug vo Schätzuge Durchführug vo Smulatoe Durchführug vo Dagose (Lösche ud Stratfzerug) m v

6 6..6 Lade vo Date Expermetelle Ergebsse ud Dskusso Auswrkuge der Wahl der Hlfsgröße auf de Varaz des Schätzers Auswrkug der Kroestruktur auf de Varaz des Schätzers Auswrkuge des Lösches vo größere Segmete Auswrkuge der Stratfzerug der Baumkroe ud des Lösches vo größere Segmete Verglech zwsche de RBSVerfahre De Effzez des Zehes ohe Zurücklege auf der Stufe der Praxs De Präzso des Zehes ohe Zurücklege mt m m Verglech zum Zehe mt Zurücklege Zur Varazschätzug be Zehe ohe Zurücklege auf Stufe mt m Zetaufwad m Feld Der Zetaufwad des Zehes ohe Zurücklege m Verglech zum Zehe mt Zurücklege Zusammefassug... 8 Summar... 0 Resume... Lteratur... 4 Ahag A. Formelsammlug für de RBSMethode... 6 A. Grudlegede Bezechuge... 6 A. Zufallsauswahl mt Zurücklege ud ugleche Auswahlwahrschelchkete auf alle Stufe... 6 A.. Allgemee mehrstufge ppzstchprobe... 6 A.. Klasssches RBS... 7 A.3 Zufallsauswahl mt ugleche Auswahlwahrschelchkete auf alle Stufe ohe Zurücklege auf Stufe, mt Zurücklege auf alle folgede... 9 A.3. Mehrstufge Stchprobe, Zehe ohe Zurücklege auf der erste Stufe... 9 A.3. RBS mt Zehe ohe Zurücklege auf der erste Stufe A.4 Zufallsauswahl mt ugleche Auswahlwahrschelchkete auf alle Stufe mt Zurücklege auf Stufe, ohe Zurücklege auf Stufe ud mt Zurücklege auf alle folgede Stufe... 3 A.4. Grudlage... 3 A.4. RBS mt Zehe ohe Zurücklege auf der zwete Stufe Ahag B. Kurzer Letfade des BRACHProgramms B. Hauptmeü B.. Meü Date B.. Meü Bercht B..3 Meü Schätzug B..4 Modfzerug der Baumkroe ud Dagose B. Grudlegede Operatoe mt BRACH B.. eue Date erstelle B... Etahme eer Stchprobe B... Etahme ees vollstädge Baumes... 4 B.. Schätzug der Zelgröße B..3 Smulato der Aufahme vo Stchprobe B..4 Dagose B..5 Veräderug der Struktur der Baumkroe Ahag C. Tabelle mt Ergebsse der Aalse... 5 v

7 . Eführug Das Radomzed Brach Samplg (RBS) wurde vo Jesse (955) zur Schätzug der Azahl vo Früchte a Obstbäume etwckelt. Setdem st deses Stchprobeverfahre zur Schätzug sowohl vo dskrete als auch vo stetge Parameter dvdueller Bäume uterschedlcher Spezes agewadt worde. Uter de Aweduge des RBS fdet ma Schätzuge der adel bzw. Blattbomasse (Valete et al. 994, Rauler et al. 999, Good et al. 00), der adel bzw. Blattfläche (Mudso et al. 999, Xao et al. 000) ud sogar der gesamte oberrdsche Bomasse (Valete et al. 984, Wllams 989). De Methode beutzt de atürlche Verzwegug erhalb ees Baumes, um schrttwese Stchprobe zu ehme. Ihre Beutzug erfordert de Defto vo Kote a bestmmte Verzwegugspukte (e Pukt, a dem sch e Ast oder Asttel zwe oder mehrere Äste verzwegt) ud Segmete (e Asttel zwsche zwe aufeaderfolgede Kote). Ma begt de Aufahme der Stchprobe am erste Kote mt der Auswahl ees der vo dort ausgehede Segmete, folgt desem ausgewählte Segmet ud wederholt de Auswahl, falls am Ede deses Segmets e weterer Kote exstert. Ma beedet de seuetelle Auswahl, we e Edsegmet ausgewählt wrd, d.h. e Segmet, a desse Ede ke Kote mehr vorlegt. De Mege der aufeaderfolgede Segmete zwsche dem erste Kote ud eem Edsegmet et ma Pfad. Um ee wetere Pfad auszuwähle, wederholt ma de selbe Prozedur. De Schätzug des Zelparameters für de vollstädge Baum realsert ma aufgrud der Werte der Zelvarable, de etlag des Pfades gesammelt werde. Obwohl de Schätzug des Zelparameters für de Baum aufgrud ees ezge Pfades realsert werde ka, braucht ma mdestes zwe Pfade, um de Stadardfehler der Schätzug bereche zu köe. Um de Auswahl der Segmete ees Pfades durchzuführe, ka ma ee Hlfsvarable defere, de durch Messe oder Schätze a de Segmete ees Kotes erfasst werde ka. Das RBSVerfahre schleßt Auswahlwahrschelchkete proportoal zur Größe der Hlfsvarable ud Zehe mt Zurücklege a jedem Kote e, zwe Aspekte de eger Verbdug mt der Präzso des Schätzers stehe. Zum ee muss ma erkee, dass es svoll st, ee Hlfsgröße zu wähle, welche ee ege Bezehug zur Zelgröße aufwest, um ee möglchst klee Varabltät der Schätzug zu erreche (Jesse 955, Grosebaugh 967), obwohl grudsätzlch jede Segmetegeschaft als Hlfsgröße defert werde ka. Zur Defto der Auswahlwahrschelchkete darf ma cht ur phssch bestehede (we

8 Durchmesser oder Läge), soder auch abgeletete (we Fuktoe vo phssch bestehede) Segmetegeschafte berückschtge. Des st besoders güstg, we de zu schätzede Zelgröße mt de phssche Egeschafte des Segmetes ur schwach korrelert st (Grosebaugh 967). Zum adere muss ma beachte, dass das Zehe mt Zurücklege bedeutet, dass be der Auswahl mehrerer Pfade e Segmet a eem bestmmte Kote mehrere Male ausgewählt werde ka. Dese Stuato ka ee Verlust a Effzez der Methode bedeute (Saborowsk ud Gaffre 999). Jeder ausgewählte Pfad lefert ee Schätzug der Zelgröße für de vollstädge Baum. Zur Schätzug wrd der Wert der Zelgröße a jedem Segmet des Pfades durch de rezproke Wert des kumulerte Produkts der bedgte Auswahlwahrschelchkete bs zu dem etsprechede Segmet vergrößert. De Summe der so vergrößerte Werte m Pfad gbt ee Schätzug der Zelgröße für de vollstädge Baum. Das RBSVerfahre fad m forstlche Gebet Awedug de Arbete vo Valete et al. (977, 984), Gregore et al. (995) sowe Gaffre ud Saborowsk (999). Dese ud adere Arbete über das RBSVerfahre beutze ohe Modfzeruge das selbe Auswahlud Schätzverfahre zur Schätzug vo Parameter a Waldbäume, be dee der Hauptstamm, we er exstert (z.b. Spezes mt moopodalem Wachstum), als e weteres Segmet berückschtgt werde ka. Z.B. schätze Valete ud Hlto (977) de Blattklumpeazahl a Quercus spp. Se wede das RBSVerfahre erhalb aller Hauptäste a, de als Strate berückschtgt werde. Jeder Pfad wrd beedet, we e ezger Blattklumpe errecht wrd. De vsuell geschätzte Blattbomasse wurde als Hlfsgröße defert. Valete et al. (984) schätze das gesamte oberrdsche Frschgewcht vo Blätter ud Holz eem gemschte Laubbestad. Se wede das Verfahre m ezele Baum a ud defere das Produkt Segmetdurchmesser mal restlche Astläge als Hlfsvarable; jeder Pfad wrd beedet, we ur och Segmete mt Durchmesser kleer oder glech 5 cm errecht werde. De selbe Hlfsvarable defert Wllams (989), um de gesamte oberrdsche Bomasse a Pus taeda L. zu schätze. Als Kote gelte ur de Qurle des Hauptstammes, ud er beedet jede Pfad, sobald e Ast ausgewählt wrd oder we der Stammdurchmesser a eem Qurl kleer oder glech 5 cm st. Valete et al. (994) stratfzere de Baumkroe Drttelabschtte ud wede das RBSVerfahre erhalb eger Äste a, um de adelbomasse a Pus taeda L. zu schätze. Se beutze das Quadrat des Segmetdurchmessers als Hlfsgröße.

9 Dese Bespele zege edeutg de Flexbltät des RBSVerfahres ud de otwedgket eer geegete Hlfsgröße. Das RBSVerfahre betet zahlreche Möglchkete zur Awedug. Sowohl der erste Kote ees Pfades als auch se letztes Segmet köe sehr uterschedlch defert se, Egeschafte auf de Gregore et al. (995) achdruck lege. Her muss ma bemerke, dass de Fxerug des erste Kotes de Baumtel bestmmt, für welche de Schätzug gültg st. Für jede Zelvarable st ee güstge Hlfsvarable zu fde. Jesse (955) empfehlt z.b. de Astuerschttsfläche als Hlfsgröße zur Schätzug der Fruchtazahl, ee Empfehlug, de mt der Theore vo Shozak et al. (964a ud b) überestmmt. Dese Theore geht davo aus, dass de Blattuattät ees Baumes eger Bezehug zu de Ast ud Stammuerschttsfläche steht. Zur Schätzug vo Zelgröße, de mt de phssche Egeschafte des Segmetes schwach korrelert sd, darf ma wllkürlche Hlfsgröße defere (Grosebaugh 967). So ka z.b. de geschätzte Zelgröße auch als ee güstge Hlfsgröße dee (Valete ud Hlto 977). Das RBSVerfahre st über mehr als 40 Jahre uverädert agewedet worde. Währed deser Zetperode gab es ur kleere kozeptoelle Beträge we de Eführug der Begrffe der bedgte ud ubedgte Wahrschelchkete das RBSVerfahre (Valete et al. 984). Dese Autore habe auch ee elegate mathematsche omeklatur verwedet. Weterh wurde de Awedug der Stratfzerug vorgeschlage, e bekates Hlfsmttel zur Varazreduzerug. So stratfzere z.b. Valete et al. (994) de Baumkroe Drttel, d.h. Strate vo kostater Größe (Läge). Später empfahle Gaffre ud Saborowsk (999) ee güstgere Stratfzerug. Se halte es für wchtg, de Läge der Kroesektoe varabel zu halte, mt dem Zel Hauptäste mt verglechbare adelmasse erhalb jedes Stratums zu habe, um damt kleere Varaze zu erreche. Auf jede Fall soll de Stratfzerug mmer das Zel der Schätzug betrachte; z.b. ka es svoll se, de Kroe Lcht ud Schattekroe zu stratfzere (s. Rauler et al. 999). E weterer Vorschlag zur Varazreduzerug wurde vo Saborowsk ud Gaffre (999) gemacht. Se schlage de Auswahl der Segmete des erste oder zwete Kotes ohe Zurücklege vor, woraus sch zwe modfzerte Verfahre ergebe. Der Vorschlag basert auf der bekate Tatsache, dass be efache Zufallsstchprobe das Zehe ohe Zurücklege ZoZ) effzeter als Zehe mt Zurücklege (ZmZ) st (s. Cochra 977). De Autore wähle zur Auswahl mt ugleche Wahrschelchkete ud ohe Zurücklege de Methode vo Sampford (967) ud baue se de Schätzer für mehrstufge Stchprobe (s. Saborowsk 990) e. Der Schätzer kombert das ZmZ ud ugleche 3

10 Auswahlwahrschelchkete mt dem HorvtzThompsoSchätzer (Horvtz ud Thompso 95), der für das ZoZ ud mt ugleche Auswahlwahrschelchkete etwckelt wurde. Dese modfzerte Verfahre sd bslag och cht a kokrete Date geprüft worde. I desem Dokumet werde de uterschedlche Varate des RBSVerfahres mathematsch dargestellt. Es werde statstsch theoretsche Überleguge zur Verbesserug der Präzso gemacht ud de Ergebsse ees Vergleches zwsche dem klasssche RBS Verfahre ud eer seer Varate präsetert. Das Dokumet besteht aus 7 Kaptel ud 3 Ahäge. Im Kaptel werde de Zelsetzuge der Arbet erläutert. Im Kaptel 3 werde ausführlche Beschrebuge des klasssche ud der modfzerte RBSVerfahre präsetert. Im Kaptel 4 werde uterschedlche Möglchkete zur Effzezstegerug der RBSSchätzug dskutert. Im Kaptel 5 werde de zur Aalse verfügbare Date (Kaptel 5.), das Programm BRACH (Kaptel 5.) sowe de uterschedlche Asätze zur Verfolgug der Zele (Kaptel 5.3) beschrebe. Techsche Detals zur Programmetwcklug werde m Kaptel 6 präsetert. Im Kaptel 7 werde de Ergebsse der Aalse präsetert. Zuerst werde de Auswrkuge der Wahl der Hlfsgröße, des Lösches vo Segmete ud der Stratfzerug der Baumkroe auf de Präzso des Schätzers präsetert. Daach werde de Ergebsse des Verglechs zwsche de RBS Verfahre behadelt. Ee Zusammefassug der Arbet st m Aschluss a Kaptel 7 zu fde. Im Ahag A werde de Formel für de RBSMethode gesammelt. Im Ahag B wrd e kurzer Letfade des BRACHProgramms präsetert. Dort werde zuerst de uterschedlche Meüs des Programms vorgestellt ud daach werde kurz ege Operatoe mt dem Programm beschrebe. Der Ahag C schleßt Tabelle mt Ergebsse der durchgeführte Aalse e. Gute Beschrebuge des klasssche RBSVerfahres fdet ma auch Gregore et al. (995), Good et al. (00), Parresol (999), ud Sowdo et al. (00). 4

11 . Zelsetzuge De gegewärtge Arbet hat als Hauptzel, ee Verglech zwsche dem klasssche RBS ud dem ZoZ (auf der erste Stufe) durchzuführe. Außerdem werde de Wrkuge der Wahl der Hlfsgröße ud spezell der Baumkroestruktur auf de Varaz des Schätzers aalsert. Dazu wurde e Computerprogramm (Delph) agefertgt.. Softwareetwcklug Das erste Zel der gegewärtge Arbet st de Afertgug ees Computerprogramms (Delph) zur Aufahme vo Stchprobe auf dem Feld sowohl mt dem klasssche als auch mt de modfzerte RBSVerfahre. E aderer Tel des Programms soll sch mt der Smulato vo RBSStchprobe a vollstädg gemessee Bäume beschäftge. Dabe soll es de Beutzug vo uterschedlche Hlfsgröße ud de Modfzerug ud Stratfzerug der Baumkroe erlaube, sowe de Aalse des Eflusses deser Faktore sowohl auf de Präzso des Schätzers als auch auf de Zetaufwad (Kaptel 5. ud 6, Ahag B).. Methodeverglech ud Verfahresoptmerug Das zwete Zel der vorlegede Arbet st der Verglech zwsche dem klasssche RBS (ZmZ) ud dem Zehe ohe Zurücklege auf der Stufe (ZoZZmZ). Dabe wrd versucht, de Faktore zu detfzere, de für Vor bzw. achtele der Verfahre veratwortlch sd. Dazu gehöre de Frage ach de Auswrkuge der Wahl der Hlfsgröße ud de Frage ach eer für de Stchprobeverfahre optmale Modfzerug der Baumkroestruktur. Bede Frage habe mt der Bezehug zwsche de kumulerte Werte der Zelgröße a de Segmete ud dere etsprechede ubedgte Auswahlwahrschelchkete zu tu, de m folgede Bezehug ZelgrößeAuswahlwahrschelchket geat wrd. Im Detal verberge sch dahter folgede Telzele: a) Aalse der Auswrkuge der Wahl der Hlfsgröße auf de Straffhet der Bezehug ZelgrößeAuswahlwahrschelchket ud dadurch auf de Varaz des Schätzers (Kaptel 7.). b) Aalse der Auswrkuge des Lösches der größte Segmete auf de Straffhet der Bezehug ZelgrößeAuswahlwahrschelchket ud dadurch auf de Varaz des 5

12 Schätzers, sowe auf de maxmal möglche Stchprobeumfag für das ZoZ (Kaptel 7..). c) Aalse des Eflusses der Stratfzerug der Baumkroe m Zusammewrke mt dem Lösches der größte Segmete auf de Straffhet der Bezehug Zelgröße Auswahlwahrschelchket ud auf de Varaz des Schätzers (Kaptel 7..). d) Aalse der Effzez uterschedlcher Kombatoe vo (Azahl vo Prmärehete) ud m (Azahl vo Sekudärehete je ausgewählte Prmärehet) für uterschedlche mehrstufge Verfahre (ohe Berückschtgug vo Koste) (Kaptel 4.4. ud 7.3.). e) Durchführug eer Zetstude zur Bestmmug des Zetaufwades der Außeaufahme sowohl für das ZmZ als auch für das ZoZZmZ (Kaptel 7.3.4). f) Verglech zwsche dem ZmZ ud dem ZoZZmZ ahad der Präzso des Schätzers uter gleche Stchprobeumfäge (d.h. mt m )(Kaptel 7.3.). g) Verglech zwsche dem ZmZ ud dem ZoZZmZ ahad des Zetaufwades für e bestmmtes Präzsosveau (Kaptel 7.3.5). 6

13 3. Stad der Forschug über Radomzed Brach Samplg I desem Kaptel werde ausführlche Beschrebuge des klasssche ud der modfzerte RBSVerfahre präsetert. Zuerst wrd de Grudlage des klasssche RBS gegebe ud werde de klasssche Formel zur Berechug ud zur Schätzug der Parameter vorgestellt. Daach wrd das Problem aus eem allgemeere mehrstufge Geschtspukt beschrebe. Zuletzt werde de modfzerte RBSVerfahre präsetert. 3. Grudlage des RBSVerfahres Das klasssche Radomzed Brach Samplg (RBS) beutzt de atürlche Verzwegug erhalb des Baumes, um schrttwese ee oder mehrere Rehe vo Segmete (Pfade) aufzuehme. Ma begt de Aufahme ees Pfades am erste Kote mt der Auswahl ees der vo dort ausgehede Segmete, folgt desem ausgewählte Segmet ud wederholt de Auswahl, falls am Ede deses Segmetes e weterer Kote exstert. Ma beedet de seuetelle Auswahl, we am Ede des ausgewählte Segmetes ke Kote mehr vorlegt (Abbldug 3.). Um ee wetere Pfad auszuwähle, wederholt ma de selbe Prozedur. Der Abbldug 3. schematserte Baum hat sgesamt 0 Pfade uterschedlcher Läge (vo bs 5 Segmete je Pfad). De Auswahl ees deser Pfade fägt am Kote a ud köte sch bs zum Kote 5 fortsetze. Abb. 3.: Schema ees Baumes mt 7 Kote ud 6 Segmete, daruter 0 Edsegmete. De Kote bs 5 blde de Hauptstamm. Das klasssche RBSVerfahre schleßt Zehe mt Zurücklege (ZmZ) ud Auswahlwahrschelchkete proportoal zu eer Hlfsgröße e. Zur Abletug der geforderte Wahrschelchkete zur Auswahl der Segmete ees Pfades, ka ma ee Hlfsgröße defere, de durch Messe oder Schätze a de Segmete ees Kotes erfasst werde ka. Setzt ma voraus, dass das Quadrat des Segmetdurchmessers als Hlfsgröße defert wrd, da st de Auswahlwahrschelchket des ste Segmetes a 7

14 eem bestmmte Kote mt Segmete durch s d s / ds gegebe, wobe d s der Durchmesser des ste Segmetes st. Dese Auswahlwahrschelchket et ma bedgte Wahrschelchket ud gbt de Wahrschelchket ees Segmetes ausgewählt zu werde a, we ma sch scho a desem Kote befdet. Das kumulerte Produkt der bedgte Wahrschelchkete, das zur Schätzug der Zelgröße beutzt wrd, et ma ubedgte Wahrschelchket. Jeder ausgewählte Pfad brgt ee Schätzug der Zelgröße, de we folgt abgeletet wrd. De bedgte Auswahlwahrschelchket des erste ausgewählte Segmetes ees Pfades ka ma als bezechet, als de des zwete, als 3 de des drtte usw. De ubedgte Wahrschelchkete deser Segmete werde als Q, Q, Q 3 usw. bezechet, wobe Q, Q, Q 3 3, d.h. de ubedgte Wahrschelchket des rte ausgewählte Segmetes ees Pfades st durch Q r s r s s gegebe. De Schätzug der Zelgröße realsert ma aufgrud der Werte der Zelgröße a jedem Segmet des Pfades ud der ubedgte Wahrschelchket des Segmetes. Msst ma z.b. ee Wert der Zelgröße f r am rte Segmet des Pfades, da st der Betrag deses Segmetes zur Schätzug der Zelgröße für de Tel des Baumes über dem Asatzpukt des Pfades mt R Segmete, der am erste Kote des Baumes begt, st also Fˆ f R f + s Q s s f / Q. Der Schätzer aus eem Pfad r r [3.] da das Segmet vor dem erste Kote mt dem Merkmalswert f mt Wahrschelchket ausgewählt wrd. De Berechug des Schätzers, de schrttwese durch de Summe der dvduelle Beträge der Segmete erhalb ees Pfades realsert wrd (s. [3.]), ka auch umgekehrt realsert werde. ähme ma z.b. ee Pfad mt 3 Segmete, der am erste Kote des Baumes begt, da st de Schätzug der Zelgröße für de Tel des Baumes über dem erste Kote f Q f Q f Q 3 f f f3 f f3 + + f , so dass 8

15 ˆ f 3 F f + f + + f [3.] 3 de Schätzug für de gesamte Baum darstellt. Aus [3.] ka ma ersehe, dass der Schätzer sch efacher regressv aus de Segmete des Pfades bereche lässt; jeder Schrtt der Berechug produzert ee Schätzer für ee bestmmte Tel der Kroe. Es erschet klar, dass f / 3 3 ee Schätzug für sämtlche a das Sekudärsegmet aschleßede Tertärsegmete st ud f + f3 / 3 ee Schätzug für das Sekudärsegmet klusve aller aschleßede Tertärsegmete; so dass ( f + f3 / 3) / f + + / Schätzuge für alle Sekudär ud Tertärsegmete, zugehörg f f / ud ( 3 3) zum Prmärsegmet, bzw. für de vollstädge mt dem Prmärsegmet begede Asttel sd. Schleßlch st f [ f + ( f + f3 / 3) / ]/ Baum. + ee Schätzug für de vollstädge Wählt ma Pfade uabhägg voeader, d.h. mt Zurücklege (ZmZ), dere Auswahlwahrschelchket Q R p st mt dem etsprechede Schätzer Fˆ p (gemäß [3.]), so erhält ma de erwartugstreue Schätzer für de Zelgröße F des vollstädge Baumes efach durch de Berechug des arthmetsche Mttels der Fˆ p ˆ Fˆ, mt p Fp f + F p R p s ˆ fs, s Qs u Q s u [3.3] De wahre Varaz vo Fˆ st Pfade ˆ VarF Q p Rp ud wrd erwartugstreu geschätzt durch ( Fˆ F ) p p, mt Q p R s R s [3.4] p ( ˆ ˆ ) F p F V ( ) [3.5] wobe R p de Azahl vo Segmete am Pfad p st. Pfade st de Azahl aller möglche Pfade am Baum. 9

16 3. Das RBSVerfahre als allgemees mehrstufges Stchprobeverfahre Sowohl de seuetelle Auswahl der Segmete jedes Pfades bem klasssche RBS Verfahre als auch de stufewese Kalkulato zege edeutg, dass dese Prozedur offeschtlch zur Kategore der mehrstufge Stchprobeverfahre gehört. Jedes Segmet des Pfades ka eer bestmmte Stufe zugewese werde. De erste Auswahl etsprcht der erste Stufe ud de Segmete, de aus dem erste Kote abzwege, etspreche de prmäre Stchprobeehete; de zwete Auswahl etsprcht der zwete Stufe ud de dazugehörge Segmete de sekudäre Stchprobeehete usw. So ka e Kote als Übergag vo eem Segmet zu de Segmete der ächste Stufe bezechet werde ud der Pfad als ee zusammehägede Folge vo Segmete uterschedlcher Stufe (Saborowsk ud Gaffre 999; s. Abbldug 3.). So st e Bespel mt Pfade aus maxmal dre Segmete äuvalet zu eem üblche drestufge Stchprobeverfahre, für das ma ee Populato vo Prmärehete, M Sekudärehete der te Prmärehet ud K j Tertärehete der Sekudärehet j vo Prmärehet zu Grude legt. De bedgte Auswahlwahrschelchkete werde als, j ud jl bezechet. etsprcht also, j ud jl 3. I desem Fall wrd de wahre Zelgröße sgesamt, vo Prmärehet bzw. vo Sekudärehet j Prmärehet we M j, j K j ud j l jl defert. De etsprechede Schätzer sd Y, Y ud Y j. mmt ma ee Stchprobe auf alle Stufe zufällg mt Zurücklege ud proportoal zu de bedgte Auswahlwahrschelchkete, mt Stchprobeumfäge, m ud k j, da erlagt ma de erwartugstreue Schätzer Y (s. [A.]) Y Y m Y, mt Y m j j j k j Y, Yj k j l jl jl [3.6] dere Varaz st (s.[ A.]) wobe VarY + Var Y [3.7] Var Y de bedgte Varaz vo Y be gegebeer Stchprobeauswahl auf der erste Stufe st. E erwartugstreuer Schätzer für VarY st (s. [A.3]) 0

17 V Y ( ) Y [3.8] De Merkmalswerte der aufeaderfolgede Segmete f, f, f, f 3 köe etspreched mt f, f, f j, f jl usw. bezechet werde ud mt F, F, F j, F jl usw. de kumulerte Merkmalssumme (s. Abbldug 3.). So etsprcht F, F, j F j ud jl F jl, wobe F de gesamte Merkmalssumme des Baumes st. D.h. F f + F M M j, mt F + + f Fj f fj + j K j l f jl. Abb. 3.: Dre uterschedlche Arte vo Segmete, de aus dem Baum Abbldug 3. stamme, ud de dazugehörge utergeordete Segmete: Prmär (; lks), Sekudär (j; Mtte) ud Tertärsegmet (l; rechts), de etsprechede Zelgröße a de Segmete (f, f j, f jl ) ud de kumulerte Werte (F, F j, F jl ). Das klasssche RBS beutzt Zehe mt Zurücklege auf der erste Stufe, st belebg vorgegebe ud m k j, d.h. zu jedem prmäre Astsegmet (Prmärehet) wrd auf alle folgede Stufe mmer ur je e Astsegmet ausgewählt. E weterer Utersched zu de allgemee mehrstufge Stchprobeverfahre legt der Zusammesetzug der Merkmalssumme, we ma scho obe gesehe hat. Im Fall des klasssche RBS köe cht ur de Ehete auf der letzte Stufe soder auch de Ehete aller übergeordete Stufe zur Zelgröße betrage (s. [3.]). E erwartugstreuer Schätzer für F, de zu Segmet gehörge Merkmalssumme, st u Y f + Y / j j jl jl j Y f + f + f + + j j j E erwartugstreuer Schätzer für de gesamte Merkmalssumme F st demach Y Y f + f fj f jl f [3.9] j jjl mt der Varaz (s. [A.5]) VarY F F + f Var Y f j jl jl. [3.0]

18 wobe (s. [A.6]) Var Y ud m M M M F j j F + j j j j m j Var Y 3 j k K j K j jl jl j l jl l f f jl Var Y 3 j j [3.] ud dem Varazschätzer (s. [3.8]) V Y Y ( ) [3.] Des stmmt mt [3.5] übere, da sch f dort der Klammer ach dem Summezeche durch de Dfferez weghebt. Isgesamt erket ma u uschwer das klasssche RBS als Spezalfall mehrstufger Stchprobeverfahre. 3.3 De modfzerte RBSVerfahre De modfzerte RBSMethode wede das Zehe ohe Zurücklege etweder auf der erste oder auf der zwete Stufe a. Saborowsk ud Gaffre (999), de dese modfzerte RBSMethode etwckelte, empfehle zur Auswahl ohe Zurücklege mt ugleche Wahrschelchkete de Methode vo Sampford (967). Her wrd zuerst de RBSMethode vo Saborowsk ud Gaffre ud daach de Methode Sampfords präsetert RBS mt Zehe ohe Zurücklege auf Stufe, mt Zurücklege auf alle folgede (ZoZZmZ) Be desem Verfahre zeht ma Ehete ohe Zurücklege auf Stufe, m Ehete mt Zurücklege auf Stufe Prmärehet ud k... Ehete mt Zurücklege auf alle folgede Stufe. Zur Awedug des Verfahres braucht ma ee Prozedur zur Auswahl ohe Zurücklege auf der erste Stufe. Ee solche st de Methode Sampfords (967), welche de Berechug der Wahrschelchkete π (für ee Aufahme der Ehet j de Stchprobe) ud π (für de gemesame Aufahme der Ehete ud de Stchprobe; s. Kaptel 3.3.3) erlaubt. Be deser Methode st π proportoal zur bedgte Auswahlwahrschelchket, d.h. π. Da es sch also um Wahrschelchkete hadelt, muss scher gestellt se, dass < st. Ma erhält de mt [3.6] formal detsche Schätzer

19 Y Y π m Y Y, mt Y m j j j k j Y, Yj k j l De Varaz vo Y ud hr Schätzer (s. [A.0] bzw. [A.]) sd u aber jl jl [3.3] VarY ud V > ( π π π ) + VarY [3.4] π π π π π > π π Y Y π π + V π [3.5] De Folge des Zehes ohe Zurücklege st, dass auf der ächste Stufe zur Varazschätzug mdestes zwe Segmete ausgewählt werde müsse, also m >. E erwartugstreuer Schätzer für F, de zu Segmet gehörge Merkmalssumme, st mt k j Y f + m m j Y j j f + m m j f j + Y jl j / jl f + m m j f j j + m m j f j jl jl, d.h. auf der zwete Stufe köe m Segmete ausgewählt werde, währed auf der drtte ud alle folgede ur je Segmet gewählt wrd. Daraus ergbt sch der erwartugstreue Schätzer für de gesamte Merkmalssumme F Y f + Y f m j f mt der Varaz gemäß [3.4] wobe (s. [A.3]) Var Y m m m j j j F M M j j j j j mt Var Y F j f + m M K j K j jl jl l jl l 3 j f f jl j m Var Y 3 j j f jl j jl [3.6] [3.7] Der erwartugstreue Schätzer der Varaz [3.4] wrd gemäß [3.5] ud aalog [3.] mt V m ( m ) Y m m m j j j j Y j j [3.8] gebldet (s. [A.4]). De Auswahl auf Stufe st äuvalet zu der Auswahl vo m Pfade aus eer Populato vo M Pfad. Pfade erhalb der Prmärehet, de a der erste Stufe mt dem Segmet 3

20 bege. Jeder deser Pfade bekommt ee Auswahlwahrschelchket QR p ud brgt de klasssche RBSSchätzer Fˆ p der gesamte Merkmalssumme ab der Prmärehet. Also erhält ma de erwartugstreue Schätzer für de gesamte Merkmalssumme F des Baumes Y f + Y π f + I desem Fall werde [3.7] bzw. [3.8] durch m Y, mt Y Fˆ Fˆ m p p [3.9] Var Y m M Pfad. p Q Rp ( Fˆ F ) p [3.0] bzw. gebldet. m V, Fˆ F ˆ m ( m ) m m ( Fˆ p Fˆ ) p p p [3.] 3.3. RBS mt Zehe mt Zurücklege auf Stufe, ohe Zurücklege auf Stufe ud mt Zurücklege auf alle folgede Stufe (ZmZZoZZmZ) Be desem Verfahre zeht ma Ehete mt Zurücklege auf Stufe, t m Ehete ohe Zurücklege auf Stufe, k > Ehete mt Zurücklege auf Stufe 3 ud Ehet j mt Zurücklege auf alle folgede Stufe. We ee Prmärehet mehrfach (t mal) gezoge wrd, so wrd be eem vorgesehee Stchprobeumfag m der zwete Stufe ee Stchprobe vom Umfag t m ohe Zurücklege ausgewählt (s. Kaptel A.4., Ahag A). T T Mt der Gewchtsfukto W ( S) ud dem Schätzer m Y Y T m der zwete Stufe ergbt sch der Schätzer für de Gesamtsumme F Y W ( S) Y T Y T m T Y T m j j j j j j [3.] Her st S de Stchprobe ud T gbt a, we oft de Prmärehet deser Stchprobe auftrtt. Für cht ausgewählte Ehete st T 0. E erwartugstreuer Schätzer der Varaz vo [3.] gemäß [A.0] st V Y TY T T T + V ( ) [3.3] 4

21 5 Be deser Varate des RBS zeht ma zuächst Segmete der erste Stufe zufällg mt Zurücklege ud Auswahlwahrschelchkete. So erhält ma ee Realserug ),..., ( ) ( t t s T r. Auf der zwete Stufe werde da m Spezalfall m a jedem ausgewählte Segmet geau t Segmete ohe Zurücklege mt Aufahmewahrschelchkete j t de Stchprobe aufgeomme. Auf der drtte Stufe st weder > j k otwedg, we ee Varazschätzug erfolge soll. Sost ka ma sch dort we auch auf alle folgede Stufe weder auf de Stchprobeumfag sowe Zehe mt Zurücklege mt ugleche Auswahlwahrschelchkete beschräke. Für m ergbt sch also der Schätzer (her 4 Stufe) j j k l jlr jlr jl jl j j T j j k l jl jl j j T j j T j j j f f k f T f T f Y k f T f T f Y T f T f Y T f Y mt [3.3] als Varazschätzer, wobe > + T j j j T j T j j j j j j jj jj j j V Y Y V π π π π π π π ud aalog [3.8] ) ( k j j l k l jl jl j jl jl j j j Y k Y k k V [3.4] De Auswahl auf Stufe 3 st ämlch weder äuvalet zur Auswahl vo k j Pfade aus eer Populato vo j Pfad K. Pfade erhalb der Sekudärehet j der Prmärehet, de a der zwete Stufe mt dem Segmet j bege. Jeder Pfad bekommt ee Auswahlwahrschelchket R jp Q ud brgt de klasssche RBSSchätzer jp Fˆ der gesamte Merkmalssumme a der Sekudärehet j der Prmärehet. Also erhält ma de Schätzer j k p jp j T j j T j j j F k T f T f Y T f T f Y T f Y ˆ [3.5] wobe weder Y bzw. Y j erwartugstreue Schätzer für F bzw. F j, de totale Merkmalssumme ausgehed vo Prmärehet, bzw. vo Sekudärehet j der

22 Prmärehet, eschleßlch aller auf dese Ehete folgede Astsegmete der achfolgede Stufe sd. I desem Fall wrd [3.4] mt gebldet. Vj k ( k ) j j k j ( Fˆ jp Fˆ j) p k j, Fˆ j F ˆ k j p jp [3.6] De Auswahlwahrschelchketπ der Sekudärehet j erhalb der Prmärehet ud j de Auswahlwahrschelchket π für de gemesame Aufahme der Ehete j ud j j j (erhalb der Prmärehet ) de Stchprobe werde weder durch de Methode vo Sampford berechet (s. Kaptel 3.3.3). We ma ach eem Verfahre sucht, das vortelhaftere Ergebsse m Verglech zum klasssche RBSVerfahre (ZmZ) auswest, erschet das Zehe ohe Zurücklege auf der erste Stufe (ZoZZmZ) teressater als das Zehe ohe Zurücklege auf der zwete Stufe (ZmZZoZZmZ). Des legt mdestes a dre Aspekte. Der erste Aspekt hat mt der Wahrschelchket der Wederholug vo ausgewählte Ehete zu tu. Das ZmZZoZ ZmZ uterschedet sch ur vo klasssche RBSVerfahre (ZmZ), we wederholte Auswahle vo Prmärehete vorkomme. D.h., we es a eem Baum zahlreche Prmärehete gbt, wrd ur selte de wederholte Auswahl vo Ehete vorkomme, also wrd das ZmZZoZZmZ ählche Ergebsse we das ZmZ produzere. Der zwete Aspekt bezeht sch auf de Beschräkug <. Wege der Beschräkug < für das ZoZZmZ braucht ma zur Auswahl ohe Zurücklege auf der Stufe ee geügede Azahl vo Prmärehete (s. Kaptel 4.4), ud we dabe e Problem auftaucht, wrd es erhalb ees ezge Kotes gelöst. Dagege verschebt (ud multplzert) das ZmZ ZoZZmZ das Problem zur zwete Stufe vo jeder wederholt ausgewählte Prmärehet mt dem erhöhte Stchprobeumfag t m. Der drtte Aspekt betrfft de Quelle des Vortels des Zehes ohe Zurücklege m Verglech zum Zehe mt Zurücklege. Der möglche Vortel der bede modfzerte gegeüber dem klasssche RBSVerfahre stammt vom Zehe ohe Zurücklege ab. Wahrschelch wrd der Vortel größer, we das Zehe ohe Zurücklege auf der kleste Stufe praktzert wrd, d.h. mt der Awedug des ZoZZmZ. 6

23 3.3.3 De Methode Sampfords zur Schätzug ud Auswahl ohe Zurücklege mt ugleche Wahrschelchkete Uterschedlche Auswahlmethode sd vorgeschlage worde, um π ud π, d.h. de Auswahlwahrschelchket der Ehet bzw. de Wahrschelchket für de gemesame Aufahme der Ehete ud de Stchprobe, zur Verfügug zu stelle (sehe z.b. Grud 954, Felleg 963, Hartle ud Rao 96). Mt de meste deser Methode st de Bestmmug der π fast umöglch für Stchprobeumfäge grösser als (Sampford 967, Steves 958; sehe auch Yates ud Grud 953, Durb 967, Brewer ud Haf 970), mt dem Resultat, dass äherugsformel für de Stadardfehler verwedet werde müsse. Sampford (967) löst das obe geate Problem. Er verallgemeert das Verfahre vo Durb (967) (sehe Cochra 967, S. 66) auf > ud gbt Formel zur Berechug vo π ud π sowe Prozedure zur Auswahl der Stchprobe. Gemäß Sampford (967) st π ud π K λ λ [ t ( + )] t t L t ( ) mt K t tl t t ud λ. Sampford bezechet als S(m) ee Mege vo m Ehete,,..., m ud defert L m als L 0, Lm S ( m) λ λ... λ ( m ), wobe de Summe alle möglche Telmege m vo m Ehete der Populato eschleßt; ( ) st ählch defert, aber se bezeht sch auf ee Populato wo ma de Ehete ud gelöscht hat. L m Zur Auswahl eer Stchprobe vom Umfag ohe Zurücklege ud mt ugleche Auswahlwahrschelchkete beschrebt Sampford (967) dre Varate: (a) Ma berechet de Wahrschelchkete P(s) für alle möglche Stchprobe s vom Umfag ud wählt ee davo dese Wahrschelchkete gemäß aus; (b) Ma zeht de Segmete ohe Zurücklege seuetell mt ach jedem Zug agepasste Auswahlwahrschelchkete, d.h. m erste Zug mt Wahrschelchket p (berechet aus de ), m zwete mt korrgerte Wahrschelchkete p j aus de verblebede Segmete, usw.; ud (c) Ma zeht Segmete mt Zurücklege, das erste mt Wahrschelchket, alle wetere mt Wahrschelchket λ / λ. Ethält dese Stchprobe uterschedlche Segmete, so 7

24 8 wrd se akzeptert, sost wrd ee eue ach dem selbe Verfahre gezoge, so lage bs alle Segmete eer Stchprobe uterschedlch sd. De Varate (b), de mt Blck auf de erforderlche Rechezete am geegetste erschet, wrd m folgede äher beschrebe. Gemäß Varate (b) vo Sampford (967) zur Auswahl eer Stchprobe vom Umfag ohe Zurücklege ud ugleche Auswahlwahrschelchkete sd de Auswahlwahrschelchkete für das erste bzw. letzte Zehe ( ) ) ( L K c, mt K c ;... j j De Auswahlwahrschelchkete für jedes adere Zehe z mt ( z ) berechet ma durch + z t z t t z j j z z L t c z z... )... ( λ, mt z z z z z c c λ.

25 4. Effzezstegerug der RBSSchätzug, theoretsche Ergebsse Her werde Faktore aalsert, welche de Varaz der RBSSchätzug beeflusse. De drekte oder drekte Veräderug deser Faktore wrkt sch auf de Varaz des Schätzers aus. De Aalse schleßt ee aaltsche Verglech zwsche Zehe ohe ud Zehe mt Zurücklege e, sowe Möglchkete zur Varazreduzerug. 4. De Bezehug zwsche der Hlfs ud der Zelgröße ud hre Bedeutug m Rahme mehrstufger Stchprobe mt ugleche Auswahlwahrschelchkete Im Rahme der Auswahl mt ugleche Wahrschelchkete st ee geegete Hlfsgröße zu defere, mt der de Auswahlwahrschelchket jeder Ehet bestmmt werde ka. De Hlfsgröße soll bllg bzw. efach zu messe oder schätze als auch stark mt der zu schätzede Zelgröße korrelert se. Im Fall estufger Stchprobe mt sowe ohe Zurücklege st de beste Hlfsgröße dejege, de proportoal zum Wert der Zelgröße jeder Ehet st; we ee geaue Proportoaltät exsterte, wäre de Varaz des Schätzers glech ull ud de Stchprobeaufahme optmal (Horvtz ud Thompso 95, Hartle ud Rao 96, Cochra 977, S. 55). Im Fall des klasssche RBS mt z.b. 3 Stufe, st de Varaz des Schätzers Y, gemäß [3.0] ud [3.] mt m k j VarY + F M F Fj M j j j j F j + f M K K j j jl jjl j l jjl j l f jl [4.] u see x / x, j xj / x j ud jl xjl / x jl, wobe x bzw. x j ud x jl M j der Wert der Hlfsgröße der Prmärehet bzw. der Sekudärehet j vo Prmärehet ud der Tertärehet l der Sekudärehet j der Prmärehet sd. Im Falle, dass x F, d.h. we de Hlfsgröße (oder de etsprechede Auswahlwahrschelchket) proportoal zum Wert der kumulerte Zelgröße ab der te Prmärehet st, st K j l F F ud der / Wert zwsche de Klammer m erste Summad [4.] wäre F ( F / F ) F 0 ; etspreched wäre m Fall xj Fj auch j Fj / F, ud der Wert zwsche de Klammer m zwete Summad [4.] wäre FF [ Fj /( F Fj )] F 0 ; schleßlch folgt für xjl fjl 9

26 da f / F ud auch der Wert zwsche de Klammer m drtte Summad [4.] jl jl j wäre FF F [ f /( F F f )] F 0, so dass letztedlch [4.] glech ull wäre. j jl j jl Das selbe Resultat ka ma be RBS mt Zehe ohe Zurücklege auf Stufe erwarte. De Varaz ees solche Schätzers gemäß [3.4] ud [3.7] st VarY > + ( π π m M π ) π F π M m j j j jl + j Fj jjl j j j j l j jl j l M K f K f jl [4.] Her st F, F, π ud π. Im Falle, dass x, folgt /, ud der Wert zwsche de große Klammer m erste Summad [4.] wäre [ ( / ) ( / )] 0, usw. So lässt sch de obe zterte Aussage vo Cochra ohe weteres auf mehrstufge Stchprobe übertrage. De Aalse zegt edeutg, dass be RBSStchprobe ee Hlfsgröße ausgewählt werde sollte, de ee starke Bezehug zwsche F ud, bzw. F j ud j, f jl ud jl usw., d.h. zwsche der bedgte Auswahlwahrschelchket ees Segmetes ud dem kumulerte Wert der Zelgröße a alle zugehörge utergeordete Segmete, erzeugt. Ee graphsche Darstellug eer solche starke Bezehug soll erhalb jeder Stufe ee Gerade durch de ullpukt blde. Für de Verglech uterschedlcher Hlfsgröße ahad voll aufgeommeer Bäume st deser Zusammehag ur schwer zu aalsere. Dazu müsste a jedem Kote de agestrebte Proportoaltät geprüft werde, was vele Fälle allzu aufwedg se wrd. Als praktkable äherugslösug hat sch stattdesse de Gegeüberstellug der ubedgte Auswahlwahrschelchkete aller Segmete ud der zugehörge Zelgröße oberhalb jedes Segmetes erwese, also der, j, jl usw. ud der F, F j, F jl usw. Ee straffe Bezehug zwsche der Zelgröße ud der Auswahlwahrschelchket schert Schätzuge mt hoher Präzso. Umgekehrt st ee große Varabltät des Schätzers uter schwache Bezehuge zu erwarte. Im Fall eer schwache Bezehug zwsche de bedgte Wahrschelchkete der Segmete ud de etsprechede kumulerte Werte ka ma klasssche Maßahme we Trasformatoe der Hlfsgröße verwede oder ee eue Hlfsgröße auswähle. Adere 0

27 Möglchkete sd das Lösche vo größere Segmete ud de Stratfzerug der Baumkroe (s. Kaptel 4.). 4. De Baumkroestruktur, das Lösche vo Segmete ud de Stratfzerug Der Schätzer aus RBSStchprobe hägt sowohl vom kumulerte Wert der Zelgröße ab eer bestmmte Stufe als auch vo der bedgte (ud damt auch vo der ubedgte) Auswahlwahrschelchket der Segmete der Pfade ab. Also köte de Varabltät der Läge der Pfade (Segmetazahl jedes Pfades), de abhägg vo der Struktur der Baumkroe st, ee Rolle für de Varaz des Schätzers spele (s. Kaptel 4.), d.h. ma ka durch geegete Veräderug eer deser Varable de Varaz des Schätzers reduzere. Im folgede Abschtt werde Faktore aalsert, de mt der Kroestruktur ud der Auswahlwahrschelchket zusammehäge. Der Begrff Kroestruktur, we er her agewadt wrd, bezeht sch auf de Vertelug der Astsegmete erhalb der Baumkroe. So ka ma, mt Blck auf de Azahl vo Segmete je Pfad, regelmäßge ud uregelmäßge Kroe uterschede. Obwohl dese Utertelug grob st, st se güstg zur Erklärug der Rolle der Kroestruktur für de Schätzug vo Kroemerkmale. De regelmäßge Kroe besteht aus Pfade mt gleche Läge ud betet, so lage de Zelgröße auf de Segmete güstg vertelt st, ee gute Möglchket zur Awedug des RBS ohe zusätzlche Behadlug am Baum. Solche Kroe ka ma z.b. juge, fre gewachsee adelbäume fde (s. Abbldug 4.). Abb. 4.: Zwedmesoale Darstellug vo zwe verschedee Kroestrukture: regelmäßg (lks), mt Pfade, de sämtlch aus dre Segmete bestehe, ud uregelmäßg (rechts) mt Pfade uterschedlcher Läge (zwe bs füf Segmete). De uregelmäßge Kroe st vor allem Bäume zu fde, de erhalb vo dchte Bestäde aufgewachse sd. Deser Kroetp besteht aus Pfade mt ugleche Läge, de wege der uterschedlche Auswahlwahrschelchkete der Pfade ee große Varaz

28 des Schätzers verursache köe. I desem Kroetp st es möglch, große Segmete zu lösche oder de Kroe zu stratfzere, um damt de Varaz des Schätzers zu verrger. Das Kozept Lösche vo Segmete, we es her agewadt wrd, bedeutet de Auswahl mt Wahrschelchket derjege Segmete, de ee große Auswahlwahrschelchket bestze. Das bedeutet zum ee, dass dese Segmete auf alle Fälle gemesse werde, zum adere ee Veräderug der Struktur der Baumkroe ud der Kategorserug der Segmete erhalb der Baumkroe, d.h. mache Sekudärsegmete werde Prmärsegmete, Tertärsegmete werde Sekudärsegmete usw. Das Lösche ees Segmetes ees Kotes bedeutet, dass der Kote am Ede des gelöschte Segmetes gelöst wrd ud alle see etsprechede Segmete m vorhergehede Kote egegledert werde. Durch das Lösche werde mache Pfade kürzer ud de Segmete, de am Kote blebe, blde zusamme mt de Segmete des aufgelöste Kotes ee größere Kote (s. Abbldug 4.). So werde cht ur de bedgte Auswahlwahrschelchkete deser Segmete, soder auch de ubedgte Auswahlwahrschelchkete alle Segmete de utergeordete Stufe verädert. We ma de dckste Segmete löscht, de sch ormalerwese m utere Tel des Baumes befde, ka sch des auf de ubedgte Auswahlwahrschelchket aller Segmete des Baumes auswrke. Also wrd de Varaz des Schätzers durch das Lösche beeflusst (s. [4.] ud [4.]). Abb. 4.: Lösche des mttlere Segmetes des Kotes des Baumes Abbldug 4. rechts. De Stratfzerug der Baumkroe erschet ebefalls als e effzetes Hlfsmttel zur Varazreduzerug. Ihre Awedug a der Baumkroe produzert ee Redukto der Läge der Pfade ud ee Veräderug der ubedgte Wahrschelchkete aller Pfade alle Strate außer dem erste Stratum m utere Tel der Kroe. Telt ma z.b. de Kroe

29 Abbldug 4.3 lks zwe Strate, so ka ma m obere Tel der Kroe ee Bezehug zwsche der ubedgte Auswahlwahrschelchket ud dem kumulerte Wert der Zelgröße we m ustratfzerte Baum erwarte. Im utere Stratum dagege st e starker Efluß der größere Segmete zu erwarte (s. Abbldug 4.3), dem gerade dem wahrschelch starke Segmet zwsche de Kote ud ur och ee sehr gerge kumulerte Zelgröße a de utergeordete Segmete gegeübersteht. Her wäre das Lösche vo größere Segmete svoll. Abb. 4.3: Bldug vo zwe Strate aus dem Baum Abbldug 4. rechts. De Stratfzerug homogesert de Läge der Pfade. Der ursprüglche Baum (lks) besteht aus Pfade vo bs 5 Segmete. Dagege bestze bede Strate (Mtte ud rechts) Pfade mt ud 3 Segmete. Alle Pfade m Stratum (rechts) sd kürzer geworde. 4.3 De Effzez des Zehes ohe Zurücklege auf der Stufe m Verglech zum Zehe mt Zurücklege De wederholte Auswahl vo Ehete, de durch das Zehe mt Zurücklege (ZmZ) wahrschelch st, köte zu eer gergere Effzez des ZmZ gegeüber dem Zehe ohe Zurücklege (ZoZ) führe. Be efache Zufallsstchprobe mt gleche Auswahlwahrschelchkete st das Verhälts der Fehlervaraze vo ZmZ zu ZoZ ( ) /( ) (s. Saborowsk ud Gaffre 999); d.h. der Präzsosgew, de das ZoZ verursacht, hägt ur vom Stchprobeumfag ab. Je größer der Stchprobeumfag desto präzser st das ZoZ m Verglech zu ZmZ. Be mehrstufge Verfahre wrd der Präzsosgew erhalb der Stufe Abhäggket vo de Varaze erhalb der Folgestufe reduzert. Des erket ma folgedermaße. Be mehrstufge Verfahre mt gleche Auswahlwahrschelchkete st das Verhälts der Fehlervaraze vo ZmZ zu ZoZ (Schätzug vo ) 3

30 Y Var Y Var Y Var Y Var Y Var Y Var ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( σ σ σ σ σ σ σ d.h. der Präzsosgew fdet ur der Stufe statt, wo das ZoZ agewadt wrd, da der Betrag der folgede Stufe zur Varaz uverädert blebt. Der Präzsosgew, der erhalb der Stufe wege des ZoZ produzert wrd, wrd Abhäggket vo de Varaze erhalb der Folgestufe reduzert. Der Vortel des ZoZ m Verglech zu ZmZ hägt vom Verhälts der Varaz zwsche de Prmärehete zu de Varaze erhalb der Folgestufe ud vom Stchprobeumfag ab. Je größer das Verhälts ud je größer der Stchprobeumfag desto größer st der Präzsosgew des ZoZ m Verglech zu ZmZ. Be mehrstufge Verfahre mt ugleche Auswahlwahrschelchkete st das Verhälts der Fehlervaraze vo ZmZ (Var m Y) zu ZoZ (Var o Y) gemäß [3.7] ud [3.4] > + + o m Y Var Y Var Y Var Y Var ) ( π π π π π π [4.3] Daraus wrd klar, dass der Präzsosgew, de das ZoZ erhalb der Stufe verursacht, weder Abhäggket vo de Varaze erhalb der Folgestufe reduzert wrd. Je größer das Verhälts der Varaz zwsche de Prmärehete zu der gesamte Varaz st, desto größer st der Präzsosgew. Der erste Summad m Zähler vo [4.3] st äuvalet zu ( ) ( ) + + d.h. wege

31 5 + m Var Y Y Var [4.4] Der erste Summad m eer vo [4.3] mt + st ach Cochra (977, S. 60) äuvalet zu ) ( ) ( ) ( π π π π π π π π π π π π π π π π π π π ud mt π ud m für das ZoZZmZ Y Var Y Var o ) ( + + π π π, d.h. m o Y Var Y Var ) ( π π π [4.5] Daraus erschet klar, dass der Präzsosgew des ZoZ vo der Dfferez der Klammer abhägt. De Größeordug des Präzsosgews hägt also auch weder vo der Varaz erhalb der utergeordete Stufe (zwete usw.) ab, ud e Vortel für ZoZ exstert mmer, we 0 > π π π [4.6] Falls ee exakt proportoale Bezehug zwsche der Auswahlwahrschelchket ud der Zelgröße a de Prmärehete exstert, sd sowohl π / als auch π / fehlerfree Schätzuge vo / ud de Uglechug [4.6] mt π π ) ( ach Cochra (977, S. 59) wrd 0 ) ( π. D.h. we ee straffe Bezehug zwsche der Zelgröße a de Prmärehete ud der Auswahlwahrschelchket exstert, ka ma ur ee klee Präzsosgew des ZoZ m Verglech zu ZmZ erwarte, oder umgekehrt,

32 ur we ee schwache Bezehug zwsche der Auswahlwahrschelchket ud der Zelgröße a de Prmärehete exstert, ka ma präzsere Schätzuge mt der Awedug des ZoZ als mt ZmZ erwarte. Cochra (977, S. 309) berchtet über Fälle, dee der Vortel des ZoZ be estufge Verfahre m Durchschtt be 9% legt ud be mehrstufge Verfahre be 8%. 4.4 Folgeruge des Zehes ohe Zurücklege Das ZoZ auf eer Stufe hat zwe Beschräkuge als Folge. Erstes, für jede Ehet der Stufe, auf de das ZoZ agewadt wrd (z.b. Stufe ) muss scher gestellt se, dass < (sehe 3.3.). Zwetes, auf der folgede Stufe (z.b. Stufe ) müsse zur Varazschätzug mdestes zwe Segmete ausgewählt werde. De Beschräkug < begrezt de Stchprobeumfag ud köte uter bestmmte Umstäde problematsch se. Wege deser Beschräkug st das maxmal möglche durch das maxmale, d.h. de Wert der Hlfsgröße des größte Segmetes am Kote, gegebe ( < / ). Das maxmal möglche st sehr kle, we groß st, z.b. we ma de Hauptstamm als e Segmet berückschtgt. Deses Problem ka telwese durch das Lösche vo größere Segmete gelöst werde, ee Operato, de sch auch auf de Varaz des Schätzers auswrke wrd (s. Kaptel 4.). E weteres Thema st de Frage der Stchprobeumfäge de uterschedlche Stufe, d.h. we wählt ma ud m, um de Varaz des Schätzers zu mmere. Im folgede wrd ee Aalse zu deser Frage präsetert De theoretsche Effzez des Zehes ohe Zurücklege auf der Stufe Ohe Berückschtgug vo Koste ka de effzeteste Kombato vo ud m durch folgede Aalse hergeletet werde. λ se der Faktor, der de Vergrößerug bzw. Verkleerug vo ud m beschrebt, d.h. telt ma m durch λ, so multplzert ma mt λ, damt de gesamte Azahl gemesseer Segmete kostat blebt (Telbarket vorausgesetzt). Bem zwestufge Verfahre mt gleche Auswahlwahrschelchkete ud ZmZ auf bede Stufe st das Verhälts der Fehlervaraze vo ZmZ (λ) zu ZmZ 6

33 7 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( < m M M m M M m M M m M M σ σ σ σ λ σ σ σ λ λ σ λ d.h. be ZmZ auf bede Stufe st es mmer besser, vele Prmärehete ud dafür etspreched weger Sekudärehete aufzuehme, solage Koste außer Acht blebe. Des uterstützt de Wahl m k j... bem klasssche RBS. De Verrgerug der Varaz des Schätzers st das Resultat der erhöhte Präzso erhalb der erste Stufe. Da der Betrag der zwete Stufe zur Varaz uverädert blebt, hägt de Größeordug des Präzsosgews auch vo der Varaz erhalb der utergeordete Stufe ab. Be eem zwestufge Verfahre mt gleche Auswahlwahrschelchkete ud ZoZ auf der erste Stufe ud ZmZ auf der zwete Stufe st das Verhälts der Fehlervaraze vo ZoZZmZ (λ) zu ZoZZmZ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( < m M M m M M m M M m M M σ σ σ σ λ λ σ σ σ λ λ σ λ λ d.h. de Varaz erhalb der erste Stufe wrd gemäß )] ( /[ ) ( λ λ reduzert. Das Verhälts des ZmZ (λ) zu ZoZ (λ) erhalb der erste Stufe st ) ) /( ( λ. D.h. für das ZoZ auf der erste Stufe ergbt sch durch > λ e och stärkerer Präzsosgew m Verglech zu ZmZ, da der Faktor λ a zwe Stelle zu eer Verkleerug der Varazkompoete ) ( σ beträgt. Be mehrstufge Verfahre mt ugleche Auswahlwahrschelchkete sd de selbe Auswrkuge der Vergrößerug bzw. Verkleerug vo ud m durch de Faktor λ zu erwarte. Das st edeutg m Fall ees zwestufge Verfahres mt ugleche Auswahlwahrschelchkete ud ZmZ auf bede Stufe, da für das Verhälts der Fehlervaraze vo ZmZZmZ (λ) zu ZmZZmZ glt

34 8 < + + M j M j j j j j M j M j j j j j m m λ λ λ Daraus erschet klar, dass es weder besser st, vele Prmärehete ud dafür etspreched weger Sekudärehete aufzuehme. Solage Koste außer Acht blebe, st de effzeteste Opto zur Awedug des Verfahres dejege mt m. Be mehrstufge Verfahre ZoZZmZ mt ugleche Auswahlwahrschelchkete st das Verhälts der Fehlervaraze vo ZoZZmZ (λ) zu ZoZZmZ ach [3.4] ud [3.7] sowe mt π ud + π π π π, eem Zwscheergebs vor [4.5], das de Varaz erhalb Prmärehete für das ZoZ repräsetert ) ( < M j M j j j j j M j M j j j j j m m π π λ λ λ Aus deser Relato sd de Auswrkuge des Faktors λ cht klar zu erkee, da der Faktor λ m zwete Summad m Zähler der Relato sowohl de eer als auch de Wahrschelchket π beeflußt Alteratve Schätzer der Varaz be Zehe ohe Zurücklege auf der Stufe, mt m Das ZoZ auf der Stufe mt m wäre ohe Berückschtgug vo Koste optmal (s. obe), aber deser Stuato st es umöglch de Varaz des Schätzers erwartugstreu zu schätze. Dre möglche Varazschätzer solle u dskutert werde. De erste Möglchket für das ZoZ auf der Stufe mt m wäre de Schätzug der Varaz durch de Formel des klasssche RBS. Dese Schätzug st jedoch verzerrt (Durb 953, 967). De Frage st, we groß de Verzerrug st ud vo welche Faktore se abhägt.

35 Der Präzsosgew des ZoZ m Verglech zu ZmZ hägt vo der Straffhet der Bezehug zwsche der Zelgröße ud der Auswahlwahrschelchket a de Prmärehete ab (s. Kaptel 4.3). Obwohl de Größeordug des Uterschedes zwsche de etsprechede Varaze aaltsch schwer zu erkee st, ka ma kee Utersched zwsche de etsprechede Varaze erwarte, we de Bezehug Zelgröße Auswahlwahrschelchket exakt proportoal st. De Formel des ZmZ sollte gute Schätzuge der Varaz des ZoZ bete, we ee straffe Bezehug zwsche der Zelgröße ud der Auswahlwahrschelchket exstert. Da de Formel des ZmZ de Varaz des ZoZ überschätzt, sollte dese Schätzug als koservatv berückschtgt werde. Der Varazschätzer gemäß [3.5] st ( ˆ ˆ ) Fp F V a ( ), mt F Fˆ p p p ˆ ud + fs Fˆ p f Q R p s s [4.6] De Größeordug der Überschätzug der Varaz des ZoZ, welche de Formel des ZmZ Fälle mt eer schwache Bezehug zwsche der Zelgröße ud der Auswahlwahrschelchket brge sollte, hägt vom Stchprobeumfag ab. Ma köte dese Überschätzug durch ee Korrekturfaktor verrger. Deser Faktor, der aus de Auswahlwahrschelchkete der ausgewählte Pfade abgeletet wrd, spelt de Rolle der Edlchketskorrektur ( / ) be der efache Zufallsstchprobe. We ma jede Pfad als ezgartge Ehet berückschtgt, etsprcht das ZoZ vo Prmärehete ud m k... Ehete auf de folgede Stufe etwa eer Auswahl ohe Zurücklege j vo Pfade aus eer Populato vo sgesamt Pfade Pfade. Jeder ausgewählte Pfad bekommt ee Auswahlwahrschelchket π p Q Rp ud ergbt ee Schätzug Fˆ p der gesamte Zelgröße am Baum. Da Q R p be detsche Auswahlwahrschelchkete / etsprcht, köte ma versuche, aalog zu ( / ) de Korrekturfaktor QR p zu verwede. Der Varazschätzer st da V Y) K Va ( ), mt K Q Rp [4.7] a ( Y wobe V a ( ) de Varazschätzug des ZoZ durch de Formel des ZmZ st. Y p p De drtte Varazschätzer erlagt ma drekt durch de Awedug des HorvtzThompso Schätzers. Dazu wrd jeder ausgewählte Pfad als Stchprobeehet betrachtet, welche de 9

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