Seminar: Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen - Unbegrenzt teilbare und stabile Verteilungen.

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1 Uverstät Ulm, Isttut Stochastk 5. Jul 200 Semar: Stochastsche Geometre ud hre Aweduge - Ubegrezt telbare ud stable Verteluge. Ausarbetug: Stefa Fuke Betreuer: Ju.-Prof. Dr. Zakhar Kabluchko Ubegrezt telbare ud stable Verteluge Zel deser Ausarbetug (des Vortrages) st es, de Aussage des bekate Zetrale Grezwertsatzes zu verallgemeer. Zetraler Grezwertsatz See X, X 2,... d Z.v. mt E X =: µ <, EX 2 < ud damt V ar(x) =: σ 2 <, S := = X, ES = µ, V ar(s ) = σ 2 Z := S µ σ Z N(0, ) für Wr betrachte u Folge vo Zufallsvarable, dere Varaz, bzw. dere Momete cht exstere oder ubestmmt se köe. Bespel: Cauchy-Vertelug De Dchte der Cauchy-Vertelug st gegebe durch: f(x) = π + De charakterstsche Fukto st gegebe durch: ϕ(t) = exp( t ) Bereche erste ud zwete Momet eer Z.v. X Cauchy EX = π x l(+x dx = lm 2 ) + R 2π R R = EX 2 = π x2 dx = + π ( dx [ ] d Bem: dx arcta(x) = + dx) = + π ( dx π) = Daraus folgt, dass wr auf ee Folge vo Cauchy vertelte Z.v. de Zetrale Grezwertsatz cht awede köe.

2 See X, X 2,... d mt X Cauchy S := k=0 X k { ϕ S (t) = exp( t ) ( ), t = 0 0, sost De Grezfukto st kee charakterstsche Fukto (da ustetg). Normert ma de Summe jedoch etspreched, so erhält ma m Grezfall weder ee Cauchy vertelte Z.V. ϕ S (t) = exp( t ) = exp( t ) Stable Verteluge Defto: Stable Verteluge Ee Zufallsvarable T mt charakterstscher Fukto ϕ T (t) heßt stabl, falls Kostate > 0, b s.d. glt: T + b d = X X, wobe X,..., X uabhägge Z.v. vertelt we T. Für de charakterstsche Fukto glt: (ϕ T (t)) = ϕ T ( t)e bt. Bespel: Normalvertelug De char. Fkt. eer ormalvertelte Z.v. X N(µ, σ 2 ) st gegebe durch: ϕ X (t) = exp(tµ 2 t2 σ 2 ) ach Defto: Gesucht sd Kotate > 0, b s.d. ϕ X ( t) e bt = exp(t µ + b t 2 a2 t 2 σ 2 ) = exp(t( µ + b }{{ ) } 2 t2 σ 2 a 2 ) }{{} =µ = exp(tµ) 2 t2 σ 2 ) =, b = ( )µ Normalvertelug st stabl. = I oberem, erste Bespel habe wr berets gesehe, dass auch de Cauchy-Vertelug stabl st. Satz: Betrachte Z.v. X, X 2,... d mt X F, falls > 0, b s.d. P ( X +...+X b x) F (x) wobe F cht etartet st, so folgt: F st stabl. Defto: Z.v. X bestzt ee etartete Vertelug m Pukt a, falls hre Wahrschelchketsfukto gegebe st durch P (X = a) =. Bewes: X, X 2,... d. mt X F. T = d X lm +...+X b G := X +...+X b T () F mt T F 2

3 G 2 := X X 2 b T (2) F X +...+X 2 2b = G + G 2 d T () + T (2) Außerdem glt: X +...+X 2 2b = α (2) }{{} a 2 a V 2 = V 2 + β (2) }{{} b 2 2b a [ ] X +...+X 2 2b β (2) a α (2) = X +...+X 2 b 2 +(b 2 2b ) a 2 mt V 2 = X +...+X 2 b 2 a 2 d T () +T (2) β (2) α (2) Ud V 2 d T Ma ka zege, dass α (2), β (2) exstere, s.d. lm α (2) = α (2) ud lm β (2) β (2) T d = T () +T (2) β (2) α (2) Des lässt sch verallgemeer auf: T d = T () +...+T (k) β (k) α (k) T st stabl. a 2 = Defto: Attraktor ud Azehugsbereche Ee stable Vertelug F heßt Attraktor (eer Summe vo d ud etspreched ormerte Z.v. X, X 2,...), falls se de Aussage obge Satzes erfüllt. Bzw.: De Vertelug der X gehört zum Azehugsberech der stable Vertelug F. Bespel: Jede Z.v. X mt edlcher Varaz legt m Azehugsberech der Normalvertelug. Mt = EX ud b = V ar(x). (Zetraler Grezwertsatz) Holtzmark Bespel 920 stellte ud löste Holtzmark folgedes Problem: ma betrachte zufällg m Raum vertelte, elektrsch geladee Telche. We st de Vertelug des resulterede elektrsche Felds eem bestmmte Pukt? 940 betrachtete Chadrasekhar e aaloges Problem: We seht das Gravtatosfeld vo zufällg m Raum vertelte Körper (Masse) aus? Wr betrachte e sehr verefachtes -dmesoales Modell. See Körper m Itervall [, ] glechvertelt ud uabh. mt Masse m > 0. (Gravtatoskostate als Ehet) Modellere de Kraft auf ee Ehetsmasse m Ursprug als F := m sg(x ) = X 2 }{{} =:X 3

4 mt X Koordate des -te Körpers. Wr zege u: F d = lm F Bereche zuächst char. Fukto ϕ F (t) E(exp(tX)) = m sg(x) exp(t ) = 0 cos( tm )dx ϕ F (t) = ( 0 cos( tm )dx) = ( 0 ( cos( tm ))dx) 2 dx exp( 0 ( cos( tm ))dx) für (glt, da das Itegral exstert.) = exp( c t /2 ), mt c > 0. (ach Substtuto, wobe c alle Kostate Faktore zusammefasst.) Dese Grezfukto st stetg 0 ud damt weder ee charakterstsche Fukto. Damt st ϕ(t) = exp( c t /2 ) de charakterstsche Fukto eer Vertelug, zu welcher F schwach kovergert. Außerdem lässt sch zege, dass alle symmetrsche, stable Verteluge ee charakterstsche Fukto der Form: ϕ(t) = e c t α mt 0 < α 2 ud c > 0 bestze. Obges Bespel st e Spezalfall für α = /2 Für α = erhält ma de Cauchy-Vertelug. Für α = 2 erhält ma de Normalvertelug. Bespel für α = 2: ϕ X (t) = e c t 2 = exp( 2 t2 }{{} 2c X N(0, 2c) =:σ 2 ) Bemerkug: zege: ϕ(t) = e c t α mt 0 < α 2 ud c > 0 st ee char. Fkt. eer stabl vertelte Z.v. X. Bewes: Suche Kostate > 0, b, s.d : [ϕ(t)] = ϕ( t)e bt exp( c t α ) = exp( c t α + b t) = exp( ca α t α + b t) b = 0, = a α = /α 4

5 Ubegrezt telbare Verteluge Defto: Ubegrezt telbare Verteluge Ee Zufallsvarable T ud hre charakterstsche Fukto ϕ T heße ubegrezt telbar, falls d Zufallsvarable η,..., η s.d. T d = η η bzw. ϕ T = (ϕ η ) Bespele : Posso-Vertelug:T P o(λ) mt P (T = k) = e λ λk k ϕ T (t) = λk k=0 ekt k e λ = e λ (λe t ) k k=0 k = e λ e λet = exp(λ(e t )) Setze: ϕ (t) = exp( λ (et )), wobe ϕ (t) char. Fkt. eer Posso vertelte Z.v. st, mt Parameter λ/. ϕ T (t) = (ϕ (t)) ud damt ubegrezt telbar. (oder: Setze: η P o(λ/) für =,..., η η P o(λ)) Normalvertelug: ϕ(t) = exp(tµ 2 t2 σ 2 ) Setze ϕ (t) = exp(t µ σ2 2t2 ) ϕ(t) = (ϕ (t)) ud damt ubegrezt telbar. Gamma-Vertelug: { x α e x/β Γ(α)β, x 0 X Γ(α, β) mt Dchte f(x) = α 0, sost ud char. Fkt. ϕ(t) = ( βt) α Setze ϕ (t) =, char. Fkt. eer Z.v. Y Γ(α/, β) ( βt) α/ ϕ(t) = (ϕ (t)) ud damt ubegrezt telbar. De Expoetalvertelug mt Parameter λ st als Spezalfall der Gammavertelug ebefalls ubegrezt telbar. (α =, β = /λ) Zusammehag: Se F stable Z.v. F ubegrezt telbar. Bewes: F stabl. Def. X,..., X d mt X d = T ud a > 0, b sodass T + b d = X X T d = X b } {{ } =:η mt η d für =,..., F ubegrezt telbar X b = η η a }{{ } =:η De Rückrchtug glt cht. Gegebespel: Se F P o(λ) 5

6 ϕ F (t) = exp(λ(e t )) ϕ F ( t) e bt = exp(λ(e } at {{ } ) + b t) = (ϕ }{{} F (t)) t R =(e t ) =0 b = 0 (wege Beschräkthet) e at = e t + t=2π e a2π = e 2π + = 2 π = l() = 0 = 0 Wderspruch zu > 0. Posso-Vertelug cht stabl. Defto: Dreecksschema Betrachte Z.v. X () Sowe X () Bespel: X () X (2) X (2) 2 X (3) X (3) 2 X (3) 3... mt =, 2,... ud =,..., zelewese uabhägg, d.h. X () uabh. für =,..., De Z.v. eem Dreecksschema erfülle ee u.a.. (uformly, asymptotcally eglgble) Bedgug, falls lm max k P ( X () > ɛ) = 0 ɛ > 0 Es folge zwe Grezwertsätze. k Satz: Ma ka zege: Falls X () Z.v. ees Dreecksschemas sd, welche belebg vertelt sd ud ee u.a.. Bedgug erfülle ud es glt: P (X () X () x) F (x) Da folgt, dass F ubegrezt telbar st. Es folgt e ählcher Satz, mt verefachte Voraussetzuge. Satz: Falls X () Z.v. ees Dreecksschemas zelewese d sd ud es glt: P (X () X () x) F (x) Da folgt, dass F ubegrezt telbar st. Bemerkug: Ma seht, dass der Spezalfall F stabl her ethalte st. Setze dafür X () := X b Wr betrachte e weteres Bespel eer ubegrezt telbare Vertelug. 6

7 Zusammegesetzte Posso-Vertelug Defto: N, X, X 2,... uabh. Z.v. SeN Po(µ) ud X, X 2,... d mt char. Fukto φ(t). Da heßt X := X X N zusammegesetzt Posso vertelt (compoud Posso). Bespel: Wr bereche de char. Fukto vo X. ϕ X (t) = E(e tx ) = l=0 E(etX N = l) P (N = l) = l=0 E(et(X +...+X l ) ) P (N = l) = l=0 φ(t)l e µ µ l l = exp(µφ(t) µ) = exp(µ(φ(t) )) k ϕ X (t) = exp(µ (φ(t) )) } k {{} ϕ Y (t) mt Y comp Po zusammegesetzte Posso-Verteluge sd ubegrezt telbar. Satz: Ee Vertelug F st ubegrezt telbar F d = lm F, mt F zusammegesetzt Posso. Lteratur: Lampwert, Probablty W. Feller, A Itroducto to Probablty Theory as Its Applcatos. Wley(97) B. Frstedt ad L. Gray, A Moder Approach to Probablty Theory. Brkhäuser(997) 7