( ) ( ) ( ) E ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Def Erwartungswert. 1. Diskreter Fall X sei diskrete Zufallsgröße mit = { 1, x2,

Transkript

1 Def.. Erwarugswer. Dsreer Fall se dsree Zufallsgröße m = {, x, } p = P( = x ),( =,, ), so e ma µ = E = xp = de Erwarugswer vo, falls W x ud de Ezelwahrschelchee = x p <. (overger). Seger Fall se sege Zufallsgröße m Dchefuo, µ = = xf x E de Erwarugswer vo, falls x f f x so e ma x < exser..7. Varaz (Dsperso) Def.. ( ) s Zufallsgröße, so heß D = E E Bezechug V Varaz vo. D ( ) - Sadardabwechug vo D ( ) ( ) = - Varaosoeffze vo ( E ( ) Dsreer Fall: σ = D = ( µ ) x p = Seger Fall: σ = D ( ) = ( x µ ) f ( x) E exser ud E ) Egeschafe des Erwarugsweres (dsre ud seg): E c = c E, c ( + ) = ( ) + ( ) E c + d = c E + d E d = d E E E E = = = E ( ) 4

2 .7.3 Ergäzede Bemeruge zu Erwarugswer ud Varaz. Erwarugswer vo Fuoe eer Zufallsgröße = = ( ) = ( p = P( = x) ) Es se Y g E Y E g g x p (dsre),. Momee eer Zufallsgröße Def.. = E( Y) = E( g ) = g( x) f ( x) se Zufallsgröße, da heß = E ( ),( =,, ) 'er Ordug; m = Berechug E dsre: m = x p = seg: m x f ( x) = (seg) m 'es Mome vo oder Mome s der Erwarugswer. Def..3 µ : E = m e ma zerales Mome 'er Ordug. (bezoge auf Zerum m =, =,, ) E Es gl:. = :D = E ( m ) = E m + m = E( ) m E. D ( + ) = D ( a b a 3. Seerscher Saz (Mecha) a, belebg ) +m = m E m + m = m m = E ( a) = ( ) + ( a) = + ( a ) E E E E D E.7.4 Ege dsree Wahrschelchesvereluge Zwepuverelug { } W = x, x, P = x = p, P = x = p;< p< für x F () = P( < ) = p für x < x für > x 5 Bld

3 Spezalfall: x =, x = ; "Null-Es-Verelug" P( = ) = p, P( = ) = p; Erwarugswer : µ = E = p + p= p Varaz: σ ( ) ( = D = E E = p p = p p ) Glechverelug (glechmäßge dsree Verelug) besze edlch vele Were {, x,, } W x, = p = P( = x) =, ( =,,, ) s ee Treppefuo, de a Selle x ee Sprug der Höhe p besz. F () Erwarugswer : µ Varaz: = x = x x σ = = = Bomalverelug (Beroull - Verelug) {,,, } W =, < p <, wobe für de Ezelwahrschelchee p gl: p = P( = ) = p ( p), =,,, d.h. s bomalverel. Spezalfall: = "Null-Es-Verelug" (s.o.) W{, }; P( = ) = p ( p) = p P( = ) = p( p) = p Movao für de Bomalverelug: "Beroullsches" Versuchsschema Durchführug vo ( =,, ) voeader uabhägge Versuche, ur zwe Ergebsse sd vo Ieresse: A - Eree des Eregsses A - omplemeäres Eregs P A = p < p< s jedem Versuche glech., Uersuchug der Zufallsgröße = {zufällge Azahl des Erees vo A be Wederholuge, also absolue Häufge des Erees vo A be Versuche} W =,,,, d.h. besz de Were,,,...,. { } Besmmug der Ezelwahrschelche P = ; A r - mal e; A r - mal e. x 6

4 Bespel. Produo vo Bauele m 4% Ausschuss P A = = p p= A... {E Bauel s Ausschuss};,4 ;,96 Problem: We groß s de Wahrschelche, dass uer ausgewähle Tele a. B {geau e Tel s Ausschuss} b. B {mdeses Tele sd Ausschuss} er. 9 zu a: = ; = ; p = P( = ) = (,4) (,4) =, zu b: PB PB Tel Ausschuss 9 Tele. O. P = p p =,44..., =,89...; m p =.96 =,44..., d.h. vo Gesamwahrschelche wrd Wahrschelche m -Ausschussele ud Wahrschelche m -Ausschussel abgezoge. Verelugsfuo F () = P( < ) = p ( p), < Erwarugswer E( ) = p ( p) = p, < = Varaz D = E E = p p p = p p = Posso - Verelug Bomalverelug, wobe = { zufällge Azahl der Versuche vo, be dee A er} Azahl der Versuche s sehr groß p p = P A des Eregsses A s für jede ezele Versuch sehr le p λ > Ezelwahrschelche λ λ p = P( = ) = e!, λ >, ( =,, ) Zusammehag m Bomalverelug: vgl.. Posso Grezwersaz [.8.3] Verelugsfuo λ λ F () = P( < ) = e!, λ >, = Erwarugswer λ λ E = e = λ! = 7

5 Varaz λ λ D = E E = e λ = λ! = Bespel Fersprechvermlug erhale währed Spzeze durchschlch 8 Arufe/Sude. maxmal öe Verbduge /Seude hergesell werde. Gesuch s de Wahrschelche dafür, dass de Azahl der Arufe de Kapazä überseg. 8 Zufallsgröße s possoverel m λ = E( ) = = P( > ) = P( ) = P( = ) = e! 5,4 Geomersche Verelug. = = Ezelwahrschelche: p = P = = p p, =,,, Verelugsfuo F = p p, < () Erwarugswer E ( ) = p Varaz p D ( ) = p.7.5 Ege sege Vereluge Glechmäßg sege Verelug für a b Dchefuo f () = b a sos für a Verelugsfuo () a F = für a< b b a für b< b a+ b Erwarugswer E = f ( ) d = d = b a a 8

6 b Varaz D E E ( b a) a+ b = = d = b a a Expoealverelug Dchefuo λe für () > f = für Verelugsfuo λ e für > F () = P( < ) = für λ > Erwarugswer E λ = λe d = λ Varaz λ = = λe d = λ λ D E E Bespel: Zufällge Ze (gemesse Sude) für de Reparaur ees Vdeorecorders uerlege eer Expoealverelug m λ =,5. Gesuch s de Wahrschelche dafür, dass zur Reparaur ees Geräes mdeses ee Sude aufgewede werde muss. We vel Sude werde m Durchsch zur Reparaur ees Geräes beög?,5,5 P = P < = F = e = e =,66 E( ) = =,5 Normalverelug Dchefuo ( µ ) f () = exp = ϕ ( ; µ, σ ); < < ; µ > ; σ > σ π σ Verelugsfuo ( x µ ) F () = exp ( ; µ, σ ) σ π =Φ σ = N µ ; σ Bezechug : 9 Bld

7 Erwarugswer E Varaz D Egeschafe vo f ( ) ( x µ ) = xexp µ σ π σ = x µ = x µ exp σ σ π σ = Maxmum leg be µ, σ π ϕ µσ s symmersch bzgl. der Gerade = µ ( ;, ) Wedepue lege be, = µ ± σ Äderug vo µ bewr ee Verschebug der Dche elag der -Achse Äderug vo σ bewr ee Srecug bzw. Sauchug der Dchefuo. Berechug vo Fuoswere der Dchefuo bzw. der Verelug s m spezelle Compuerprogramme ud/oder Tabelle möglch. Spezell für Tabelle s empfehleswer. Ausuzug vo Symmereegeschafe ϕ( ;, ) = ϕ( ;,) Φ( ;,) = Φ( ;,). Nuzug der Fehlerfuo erf ( x ) x erf x = e d π x () ( x) x derf erf erf x d = x x + e ; = e π π 3. Sadardsere Zufallsgröße Y se sadardsere Zufallsgröße, wobe µ Y = ormalverel m E( Y ) = ud D ( Y ) = σ x FY () = P( Y < ) =Φ ( ;,) = exp π Es gl x Φ ( ;,) = exp =Φ( ;,) π (wege Symmere) x ud erf ( x) = e d = Φ ( x ); lm erf ( x) = π x Dam Besmmug der gesuche Verelugsfuo F ( ) m µ, σ > µ µ µ µ FY P Y P P Y σ σ σ σ () = ( < ) = < = < =Φ ;, )*

8 4. Berechug der Wahrschelche dafür, dass de Zufallsgröße ee Wer aus [ ab, ] m a< b amm. a µ µ b µ P( a b) = P σ σ σ a µ b µ a µ b µ = P Y = P Y < σ σ σ σ wel PY= =. M )* erhäl ma b µ a µ b µ a µ P a b FY FY σ σ σ σ ( ) = =Φ ;, Φ ;, Bespel: µ = 6, σ = µ 3 6 = 3: F 3 = P < 3 = P Y < =Φ(,5;, ) = σ = Φ (,5;, ) =,93393 =, 6687 a. b. Tabelle P 6, 8 µ µ 6, , 6 = P Y =Φ ;, Φ ;, = σ σ =Φ( ;, ) Φ (,;, ) =,84345,53988 =,357 Tabelle Tabelle