FH D WS 2007/08 Prof. Dr. Horst Peters Dezember 2007

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1 FH D WS 007/08 Prof. Dr. Horst Peters Dezember 007 Formelsammlug Wahrschelchetsrechug ud dutve Statst m Bachelor-Studegag Busess Admstrato (Modul BWL B) Sete / 6 Formelsammlug Wahrschelchetsrechug ud Idutve Statst Azahl der Permutatoe vo Elemete ohe Wederholug:! ( ) ( )... 3 Multomaloeffzet:!!!...! Azahl möglcher Varatoe bzw. Kombatoe mt Aordug (Varato) mt Wederholug (mt Zurüclege ) ohe Aordug + ( + )! (Kombato)! ( )! ohe Wederholug (ohe Zurüclege )! ( )!!! ( )! Wahrschelchetsbegrff ud Recheregel otato: Ω : A bzw. B: Ergebsmege ees Zufallsvorgags Eregsse Aome der Wahrschelchetstheore: Aom : P( A) 0 für jedeseregs A Aom : P ( Ω ) Aom 3: ( A ) P( A )... P( A ) + P( A ) +... P P ( A) heßt Wahrschelchetsmaß. Wahrschelchetsbegrff vo Laplace: A Azahl der für A güstgefälle P (A) Ω Azahl der möglche Fälle Wahrschelchetsbegrff ach Mses: f ( A) P( A) lm (Zufallsvorgag wrd bel. oft wederholt ( )). P Bedgte Wahrschelchet: ( ) ( A B) P A B A ud B sd uabhägg, falls glt: P ( A B) P( A) bzw. P( B A) P( B) Multplatossatz der W etstheore: P( A B) P( A B) P( B) P ( ) P B ( A B) P( A) P( B) A ud B uabhägg

2 FH D WS 007/08 Prof. Dr. Horst Peters Dezember 007 Formelsammlug Wahrschelchetsrechug ud dutve Statst m Bachelor-Studegag Busess Admstrato (Modul BWL B) Sete / 6 Totale Wahrschelchet ud Bayes-Theorem otato: A,A,...A B Eregssemt A A... A Eregsmt beate bedgte W etep B A Ω ( ),... Totale Wahrschelchet: P( B) P( B A ) P( A ) Theorem vo Bayes: P( A B) ( ) P( B A ) P A ( ) P( A ) P B A ( ) P( B A ) P A P B Zufallsvarable ud Vertelugsfuto otato: X Zufallsvarable (dsret oder stetg) f() Wahrschelchetsfuto (dsrete ZV) oder Dchte (stetge ZV) F() Vertelugsfuto Dsrete Zufallsvarable ( ) Wahrschelchetsfuto: Vertelugsfuto p falls,,3,... f() 0 sost F () P(X ) f( ) Erwartugswert ud Varaz: E(X) p f() µ Var(X) ( E()) f() Stadardabwechug: Var(X) f() E(X) Dsrete Glechvertelug: Bomalvertelug (tabellert): f( ) p,..., f() P(X ) p ( p) 0,,,..., mt E(X) p ud Var(X) p ( p) Hypergeomtrsche Vertelug µ µ Possovertelug f( ) P( X ) e Stetge Zufallsvarable ( ) P( X ) Egeschafte der Dchtefuto: () f( ) 0 f M M!

3 FH D WS 007/08 Prof. Dr. Horst Peters Dezember 007 Formelsammlug Wahrschelchetsrechug ud dutve Statst m Bachelor-Studegag Busess Admstrato (Modul BWL B) Sete 3 / 6 () f ( ) d (3) f( ) d P( a b) a Vertelugsfuto: F ( ) P( X ) f( t) dt b Allgemee Gesetze: P(a X b) F(b) F(a) P( a) F(a) P( a) F(a) Stetge Glechvertelug Dchte der stetge Glechvertelug: f ( ) Vertelugsfuto der Glechvertelug: ( ) b a 0 0 a F b a für a sost b falls < a falls a b falls > b a + b Erwartugswert ud Varaz: E( X) V( X) ( b a) ormalvertelug Dchte der (µ;)-vertelte ZV: Vertelugsfuto der (µ;)-vertelte ZV: Erwartugswert ud Varaz : Leare Trasformato der (µ;)-vertelte ZV: f() e π F() π E(X) µ e t µ dt µ ud Var(X) Z X µ Z st ee (0; )-vertelte ZV. Appromatoe Appromato der Bomalvertelug: () Für p 0 ud.500p st ee B(; p)-vertelte ZV äherugswese Ps(p)-vertelt. () Für p(-p) > 9 st ee B(; p)-vertelte ZV ( ) vertelt. äherugswese p; p( p) M Appr. der hypergeometrsche Vert.: () Für 0, < < 0,9, > 0 ud < 0, 05 st ee H(; M; )- M vertelte ZV äherugswese B ; vertelt. M M () Für 0, oder 0,9, > 30 ud < 0, 05 st ee 3

4 FH D WS 007/08 Prof. Dr. Horst Peters Dezember 007 Formelsammlug Wahrschelchetsrechug ud dutve Statst m Bachelor-Studegag Busess Admstrato (Modul BWL B) Sete 4 / 6 M H(; M; )-vertelte ZV äherugswese Ps vertelt. M (3) Für 0, < < 0,9, > 30 ud < 0, 05 st ee H(; M; )- M M M vertelte ZV äherugswese ; vertelt. Appro. der Posso-Vertelug: Für µ 0 st ee Ps(µ)-vertelte ZV äherugswese Putschätzug ( µ ; µ ) vertelt. Ubeater Parameter der Grudgesamthet Mttelwert µ Varaz Atelswert p Schätzfuto Mttelwert der Stchprobewerte s ( ) Varaz der Stchprobewerte p Atel der Stchprobe Kofdeztervall für µ be ormalvertelter Grudgesamthet ud beater Varaz Schrtt : E Kofdezveau - α wrd festgelegt (z.b. 0,95 oder 0,99). Schrtt : Der für das gewählte Kofdezveau zugehörge Wert z wrd ermttelt, z.b. - α 0,90 0,95 0,99 0,999 z,65,96,58 3,9 Schrtt 3: Der Stchprobemttelwert wrd ermttelt. Schrtt 4: Ma berechet das Vertrauestervall z µ + z Falls ubeat ud > 30: Appromato vo durch s mt Kofdeztervall für de Atelswert p s ( ) Schrtt : E Kofdezveau - α wrd festgelegt (z.b. 0,95 oder 0,99). Schrtt : Der für das gewählte Kofdezveau zugehörge Wert z wrd ermttelt. - α 0,90 0,95 0,99 0,999 z,65,96,58 3,9 Schrtt 3: Der Atel p der Stchprobe wrd berechet. 4

5 FH D WS 007/08 Prof. Dr. Horst Peters Dezember 007 Formelsammlug Wahrschelchetsrechug ud dutve Statst m Bachelor-Studegag Busess Admstrato (Modul BWL B) Sete 5 / 6 Schrtt 4: Falls p ( p) 9 glt, so lautet das Kofdeztervall p z p ( p) p p + z p ( p) [Falls p ( p) 9 aufgrud leer Stchprobe cht erfüllt st, so st de gezegte Vorgeheswese cht möglch, da ma cht mt der ormalvertelug arbete a.] 5

6 FH D WS 007/08 Prof. Dr. Horst Peters Dezember 007 Formelsammlug Wahrschelchetsrechug ud dutve Statst m Bachelor-Studegag Busess Admstrato (Modul BWL B) Sete 6 / 6 Zwesetger Test für de Mttelwert µ eer ormalvertelug Schrtt : Wahl eer Sgfazzahl α ud Etahme des zugehörge z-wertes für - α. Schrtt : Berechug der Aahmegreze c u µ 0 z ud c o µ 0 + z Schrtt 3: Berechug des Mttelwerts der Stchprobe. Fällt de Aahmeberech, d.h. glt c u c o, ehme ma de Hypothese H 0 : µ µ 0 a. Fällt de Ablehugsberech, lehe ma de Hypothese H 0 : µ µ 0 ab. Bem esetge Test lautet de Hypothese H 0 : µ µ 0 bzw. H 0 : µ µ 0 ud de Alteratvhypothese H : µ < µ 0 bzw. H : µ > µ 0. Folglch st auch ur c u oder c o zu bereche. 6