Grundbegriffe. Verknüpfungen. Verknüpfungen. Rechenregeln für Mengenverknüpfungen

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1 Grudbegrffe Verüpfuge Zufallsexpermet Grudraum/ Eregsraum Ω Elemetareregs ω Eregs uter gleche Bedguge (zumdest gedalch) belebg oft wederholbarer Vorgag Mege der möglche Versuchsausgäge st beat oreter Ausgag st ugewss (zufällg) Mege aller möglche eader ausschleßede Versuchsausgäge jede eelemetge Telmege vo Ω Mege vo Versuchsausgäge/Elemetareregsse, Telmege vo Ω Das Verüpfe vo Eregsse etsprcht de Operatoe mt Mege. Eregs A B (Veregug) trtt e, we mdestes es der Eregsse A, B etrtt. Eregs A B (Durchschtt) trtt e, we bede Eregsse A, B etrete. Eregs A \ B (Dfferez) trtt e, we A etrtt, B cht etrtt. E Eregs A trtt e, we der beobachtete Versuchsausgag ω e Elemet vo A st. Das Eregs Ω st das schere Eregs, das stets etrtt. De leere Mege bezechet das umöglche Eregs, das e etrtt. 3. WS 207/8 Prof. Dr. J. Schütze Wt. WS 207/8 Prof. Dr. J. Schütze Wt. 2 Verüpfuge Recheregel für Megeverüpfuge Komplemetäreregs A trtt geau da e, we A cht etrtt. De Megeoperatoe Veregug ud Durchschtt etspreche de Operatoe der Aussagelog ud folge dere Gesetze: etsprcht 'ud' bzw. logschem Symbol, etsprcht 'oder' bzw. logschem Symbol. Zwe Eregsse A, B heße uverebar oder dsjut, we se ee gemesame Elemetareregsse bestze, A B. Eregs A zeht Eregs B ach sch, we A B glt. 3.2 Es gelte folgede Gesetze: Kommutatvtät: A B B A, A B B A Assozatvtät: Dstrbutvtät: Regel vo de Morga ( A B) C A ( B C) ( A B) C A ( B C) A ( B C) ( A B) ( A C) A ( B C) ( A B) ( A C) A B A B, A B A B WS 207/8 Prof. Dr. J. Schütze Wt. 3 WS 207/8 Prof. Dr. J. Schütze Wt. 4

2 Wahrschelchetsbegrffe Wahrschelchetsbegrffe Zufall' vo Eregsse quatfzert ma, dem ma de Eregsse svoll ee Zahl zuordet, de de Chace hres Etretes wderspegelt. Dese Zahl et ma Wahrschelchet. Bespel E Verscherugsuterehme alulert z.b. see Kfz-Präme für bestmmte Zelgruppe auf der Bass vo Aussage folgeder Art: De Wahrschelchet, dass eer bestmmte Zelgruppe pro Quartal mehr als 00 Ufälle gemeldet werde, st höchstes 0%. Solche Aussage beruhe auf der Aalyse der Ufallhäufgete der Vergagehet. De beobachtete relatve Häufget vo Ufälle, bezoge auf de Azahl der Verscherte der Zelgruppe, wrd als Schätzug für de Wahrschelchet üftger Ufälle geomme. Relatve Häufgete (beobachtet) bezehe sch auf de Atel der Stchprobe, Wahrschelchete (Modell) bezehe sch auf de Atel der Grudgesamthet. Emprsches Gesetz der große Zahle Wrd e Zufallsexpermet zur Beobachtug ees Eregsses A-mal uter gleche Bedguge wederholt, da stablsere sch mt wachsedem de relatve Häufgete h ( A) (Azahl des Auftretes vo A) zu eem Grezwert, der Wahrschelchet P(A). Deser expermetelle Zugag zur Bestmmug vo Wahrschelchete lefert 'ur' Schätzwerte (m reale Expermet st stets edlch). Bezechug: Expermetelle/ statstsche Wahrschelchet WS 207/8 Prof. Dr. J. Schütze Wt. 5 WS 207/8 Prof. Dr. J. Schütze Wt. 6 Wahrschelchetsbegrffe Kombatorsche Formel (Auswahl) Wahrschelchetsbegrff ach Laplace Voraussetzuge: ur edlch vele Elemetareregsse alle mt glecher Chace (z.b. dealer Würfel) Defto Wahrschelchet für Etrete des Eregsses A Ω Azahl der Elemetareregsse vo A A PA Azahl der Elemetareregsse vo Ω Ω Wahrschelchete ach Laplace öe somt durch Auszähle der Elemetareregsse berechet werde. Für omplzerte Sachverhalte braucht ma ombatorsche Formel. 3.3 Zählprzp Mege M ethalte m verschedee, Mege N ethalte verschedee Elemete, da ethält de Mege der geordete Paare M N geau m verschedee Elemete. Permutatoe ohe Wederholug Für verschedee Objete gbt es geau! Möglchete der Aordug, we jedes Elemet geau emal verwedet wrd. Kombatoe ohe Wederholug Aus eer -elemetge Mege verschedeer Objete werde ausgewählt ohe Wederholug ohe Berücschtgug der Rehefolge. Ma erhält für de Azahl solcher -elemetge Telmege! geau Möglchete.!( )! WS 207/8 Prof. Dr. J. Schütze Wt. 7 WS 207/8 Prof. Dr. J. Schütze Wt. 8

3 Iterpretato Geometrsche Berechug vo Wahrschelchete Iterpretato der Wahrschelchet Wahrschelchet p als Chace des Etretes ees zufällge Eregsses: 0 p Wert p sagt chts über de Ausgag ees orete Versuchs I lage Versuchssere uter gleche Bedguge stablsert sch der Atel der Expermete, dee A etrtt, daraus ergbt sch de Möglchet der Näherug der Wahrschelchet vo A durch de relatve Häufget Ncht mmer lege ur edlch vele Elemetareregsse vor. Bespel 2 Gesucht st Wahrschelchet, auf eer resförmge Scheßschebe zufällg s Schwarze zu treffe. Voraussetzug st, dass de Schebe überhaupt getroffe wrd. De Schebe bestehe aus 0 ozetrsche Krese mt glechem Zuwachs der Rade, de leste davo st der schwarzer Kres. De Ergebsmege Ω st her de Mege aller Pute der Schebe, also überabzählbar uedlch, damt st e Auszähle vo Eregsse cht möglch. De Berechug der Wahrschelchet ach Laplace futoert also cht. Ausweg: Ma setzt de Fläche A des gesuchte Eregsses s Verhälts zur Fläche der Ergebsmege ud erhält 2 2 Fläche A r π, Gesamtfläche G (0 r) π 2 A r π PA 2 G 00r π 00 WS 207/8 Prof. Dr. J. Schütze Wt. 9 WS 207/8 Prof. Dr. J. Schütze Wt. 0 Axomatscher Wahrschelchetsbegrff Wahrschelchetsbegrffe De folgede Axome gehe zurüc auf Kolmogorov. Se sd verträglch mt der Laplace- ud der statstsche Wahrschelchet, ud se gelte auch be Modelle mt uedlch vele Versuchsausgäge. Axom Jedem zufällge Eregs A Ω st ee Zahl P(A) zugeordet mt 0 PA, de ma Wahrschelchet vo A et. Axom 2 Das schere Eregs hat de Wahrschelchet. P( Ω ) Axom 3 Für dsjute Eregsse A glt A2 P( A A ) P( A ) + P( A ) 2 2 Be eer uedlche Ergebsmege st Axom 3 auf uedlch vele paarwese dsjute Mege zu erweter: P A P( A) WS 207/8 Prof. Dr. J. Schütze Wt. () Wahrschelchet ach Laplace-Modell Voraussetzuge: ur edlch vele Elemetareregsse alle mt glecher Chace (z.b. dealer Würfel) (2) Statstsche/expermetelle Wahrschelchet P( A) ( Azahl des Auftretes vo A) für (3) Axomatsche Defto der Wahrschelchet ach Kolmogorov De ach Laplace-Modell berechete bzw. expermetell gewoee Wahrschelchete sd oform zu de Axome vo Kolmogorov. WS 207/8 Prof. Dr. J. Schütze Wt. 2

4 Reche mt Wahrschelchete Bedgte Wahrschelchet ud Uabhägget Rechegesetze Scheres Eregs Ω P( Ω ) Umöglches Eregs Ø P( ) 0 Mootoe A B P( A) P( B) Addtossatz P( A B) PA + PB PA ( B) Spezalfall: dsjute P( A B) P( A) + P( B), falls A B Eregsse PA ΣP( ω ) Spezalfall: Ω dsret ω A Komplemetäres Eregs P( A) P( A) Dfferez P( A\ B) P( A) P( A B) WS 207/8 Prof. Dr. J. Schütze Wt Bespel 3 Lostrommel ethalte 500 Lose, davo see 200 weß, de restlche 300 blau. Uter de weße Lose see 0 Gewe, uter de blaue see 20 Gewe. Welche Losfarbe würde Se ach deser Kets bevorzuge? W: zufällg gezogees Los weß B: zufällg gezogees Los blau G: zufällg gezogees Los st e Gew Nur weße Lose P(G) 30/ G W : Los st weß ud e Gew P(G W) 0/ P(W) 200/ Gewchace PG ( W) 0 / PW 200 / 500 Gewchace ohe Farbfo Nur blaue Lose G B : Los st blau ud e Gew P(G B) 20/ P(B) 300/ Gewchace PG ( B) 20/ PB 300 / 500 WS 207/8 Prof. Dr. J. Schütze Wt. 4 Bedgte Wahrschelchet Totale Wahrschelchet Bedgte Wahrschelchet ees Eregsses A uter der Bedgug B PA ( B) PAB ( / ) PB Dabe st A, B Ω ud P( B) > 0 Iterpretato De Berechug eer bedgte Wahrschelchet bedeutet de Eschräug der gesamte Ergebsmege Ω auf de durch de Bedgug deferte Telmege B. Im Bespel: PG ( B) Gewchace uter der Bedgug blau : PG ( / B) 0.06 PB PG ( W) Gewchace uter Bedgug weß PG ( / W) 0.05 PW Totale Wahrschelchet für Gew aus bedgte Wahrschelchete PG PG ( W) + PG ( B) PG ( / W)P(W) + PG ( / B)P(B) 3.5 De Formel des Bespels a auf ee Zerlegug vo Ω dsjute Mege verallgemeert werde. Satz der totale Wahrschelchet Ω B B2... B, alle B see paarwese dsjut Da glt PA PAB ( / ) PB Bedeutug des Satzes Das Eregs A a zuächst Subpopulatoe beobachtet werde. Der Satz der totale Wahrschelchet ermöglcht daraus de Berechug der Wahrschelchet für de Gesamtpopulato. Es erfolgt dabe ee Wchtug der Subpopulatoswahrschelchete mt dem Atel der Subpopulato a der Gesamtpopulato. WS 207/8 Prof. Dr. J. Schütze Wt. 5 WS 207/8 Prof. Dr. J. Schütze Wt. 6

5 Bedgte Wahrschelchet Bespel 4 Ee Fußballmaschaft spelt mt 2 Stürmer A ud B. Vo Stürmer A omme 50% aller Schüsse auf das Tor, Trefferwahrschelchet 70%. Vo Stürmer B omme 40% aller Schüsse auf das Tor, Trefferwahrschelchet 80%. De restlche Speler R habe ee Trefferwahrschelchet vo 30%. a) Mt welcher Wahrschelchet st e Schuss auf das Tor e Treffer? b) Mt welcher Wahrschelchet wurde e Treffer vo Stürmer B erzelt? Ergebsmege Ω : alle Schüsse auf das Tor Eregs T : Schüsse auf das Tor, de e Treffer sd Eregsse A, B, R: Schüsse auf das Tor vo Stürmer A, B bzw. vom Rest P(A) 0.5, P(T/A) 0.7 Trefferwahrschelchet vo A P(B) 0.4, P(T/B) 0.8 Trefferwahrschelchet vo B P(R) 0., P(T/R) 0.3 Trefferwahrschelchet vo R Satz der totale Wahrschelchet PT PT ( / A) P( A) + PT ( / B) PB + PT ( / R) PR PT WS 207/8 Prof. Dr. J. Schütze Wt. 7 Bayessche Formel Veräderter Fragestellug Bespel 5: E Tor wurde erzelt. Mt welcher Wahrschelchet am der Schuss vo Stürmer B? d.h. Eschräug der Grudgesamthet auf de Schüsse mt Torerfolg T. durch de Bedgug e Tor wurde erzelt Eregs st u Schüsse vo B, de zu eem Tor führte (gelbe Fläche). PT ( / B) PB PBT ( / ) PT ( / A) P( A) + PT ( / B) PB + PT ( / R) PR PBT ( / ) Egeschräte Grudgesamthet T : Schüsse auf das Tor, de e Treffer sd De gesuchte Wahrschelchet st der gelbe Atel P(B/T) der Gesamtfläche T. WS 207/8 Prof. Dr. J. Schütze Wt. 8 Bayessche Formel Satz (Bayessche Formel) Ω B B2... B, alle B see paarwese dsjut Da glt PAB ( / ) PB ( ) PAB ( / ) PB ( ) PB ( / A) PA PAB ( / ) PB Bedeutug des Satzes Es erfolgt gewssem S de Umehr vo Ursache-Wrugs-Bezehuge. Ma et de Wahrschelchet P(Wrug / Ursache), mt der ee Ursache ee bestmmte Wrug ach sch zeht. Oft fragt ma da be Vorlege eer Wrug, mt welcher Wahrschelchet ee bestmmte Ursache vorgelege hat, d.h. ma sucht P(Ursache / Wrug). So wrd der Medz oft aufgrud eer Wrug (Testergebs, Befud) auf das Vorhadese eer Krahet geschlosse. Bayessche Formel Alteratv: Berechug mt Pfaddagramm Aufbau ees Pfaddagramms Wahrschelchete ach eem Kote summere sch stets zu. Pfad symbolsert de Durchschtt der Eregsse, de er durchläuft. Pfadwahrschelchet Produt der Wahrschelchete etlag des Pfads, z.b. P( A) P( T / A) P( A T) Totale Wahrschelchet: Wahrschelchet ees Ederegsses Summe aller Pfadwahrschelchete zu desem Ederegs, z.b. P( T) P( T / A) P( A) + P( T / B) P( B) + P( T / C) P( C) Im Bespel PT WS 207/8 Prof. Dr. J. Schütze Wt. 9 WS 207/8 Prof. Dr. J. Schütze Wt. 20

6 Bayessche Formel Totale Wahrschelchet ud Bayessche Formel Bayessche Formel mt Pfaddagramm Eschräug der Grudgesamthet auf e Ederegs: ma betrachtet ur de Pfade zu desem Ederegs PT ( / B) P( B) PB ( / T) PT PT ( / B) PB PT ( / A) P( A) + PT ( / B) PB + P( T / R) PR P(B/T) st der Quotet der Pfadwahrschelchet des Pfades ach T über B ud der Summe aller Pfadwahrschelchete ach T. Dagostsche Tests Dagostsche Tests öe.a. Krae ud Gesude cht perfet tree. Es legt da folgede Stuato vor: Dagose ra DK Dagose gesud DG ra K rchtg postv falsch egatv gesud G falsch postv rchtg egatv De falsch egatve Fälle sd de cht etdecte Krae. De falsch postve Fälle sd de Gesude, de der Test als ra estuft. Bedgte Wahrschelchete lefer Kegröße zur Bewertug ees Tests, Sestvtät, Spezftät Phase der Testostruto postv prädtver Wert, egatv prädtver Wert Phase der Awedug WS 207/8 Prof. Dr. J. Schütze Wt. 2 WS 207/8 Prof. Dr. J. Schütze Wt. 22 Totale Wahrschelchet ud Bayessche Formel Etstehe ees Dagoseverfahres E bestmmter Parameter se be Errate (m Mttel) deutlch erhöht. Zel: Festlege ees Schwellwerts, be Überschretug Dagose Kra We brauchbar st das Verfahre? Vertelug des Parameters eer große Gruppe Kraer ud Gesuder: Dag. Gesud 0.4 y Gesude x Schwellwert Dag. Kra Krae Fehldagose Falsch egatve Atele der Fehldagose sd star vo Prävalez abhägg! Falsch postve Totale Wahrschelchet ud Bayessche Formel Eregsse ud Wahrschelchete G: gesud, K: ra, DK: Dagose ra, DG: Dagose gesud Prävalez Wahrschelchet für Auftrete der Krahet Sestvtät Atel rchtger Dagose uter de Krae Spezftät Atel rchtger Dagose uter de Gesude P(K) P(DK/K) P(DG/G) Brauchbaret des Tests Awedugsphase (Bayes-Formel) postv prädtver Wert PPV Atel der Krae uter Dagose ra P(K/DK) PDK ( / K) PK Sestvtät Prävalez PK ( / DK)) PDK ( / K ) PK + PDK ( / G ) PG Sestvtät Prävalez + ( Sestvtät) ( Prävalez) egatv prädtver Wert NPV Atel der Gesude uter Dagose gesud P(G/DG) PDG ( / G) PG Spezftät ( Prävalez) PG ( / DG) PDG ( / G) PG + PDG ( / K) PK Spezftät ( Prävalez) + ( Sestvtät) Prävalez WS 207/8 Prof. Dr. J. Schütze Wt. 23 WS 207/8 Prof. Dr. J. Schütze Wt. 24

7 Totale Wahrschelchet ud Bayessche Formel Totale Wahrschelchet ud Bayessche Formel Bespel 5 E Dagoseverfahre eret 99% der Errate als ra, aber auch 2% aller Gesude werde als ra egestuft. De Wahrschelchet für das Auftretes der Krahet schätzt ma der utersuchte Populato mt 3%. We brauchbar st das Verfahre? P(G) 0.97, P(K) 0.03, P(DK/K) 0.99 (Sestvtät), folglch P(DG/K) 0.0 (falsch egatv) P(DK/G) 0.02 (falsch postv), folglch P(DG/G) 0.98 (Spezftät) Wahrschelchete m Pfaddagramm Ω K G 0.99 DK 0.0 DG 0.02 DK 0.98 DG Kegröße Awedugsphase P(K/DK) für das Vorlege der Krahet, we der Test postv st (PPV) P(G/DG)für das Nchtvorlege der Krahet, we der Test egatv st (NPV) 0.99 DK K 0, DG Ω DK G 0.98 DG PDK ( / K) PK PK ( / DK) PDK ( / K) PK + PDK ( / G) PG PDG ( / G) PG PG ( / DG) PDG ( / G) PG + PDG ( / K) PK P(G) 0.97, P(K) 0.03 P(DK/K) 0.99 P(DK/G) 0.02 Zu bereche sd (ach Bayes) P(K/DK) bzw. P(G/DG) d.h. ur 60% mt Dagose Kra sd auch wrlch ra, 40% der Fälle mt Dagose Kra sd Fehldagose! d.h. 99.9% mt Dagose Gesud sd wrlch gesud, 0.% der Krae wrd übersehe WS 207/8 Prof. Dr. J. Schütze Wt. 25 WS 207/8 Prof. Dr. J. Schütze Wt. 26 Uabhägget vo Eregsse Uabhägget vo Eregsse Aschaulche Vorstellug über Uabhägget der Eregsse A, B: Eregs B hat ee Efluss darauf, ob Eregs A etrtt oder cht z.b. sd de Eregsse A: Probad hat Blddarmetzüdug B: Probad hat Glauom vermutlch uabhägg. Der Begrff der Uabhägget st mathematsch fassbar über de bedgte Wahrschelchet. P(A / B): Wahrschelchet, dass jemad Blddarmetzüdug beommt, we er e Glauom hat P(A / B ): Wahrschelchet, dass jemad Blddarmetzüdug beommt, we er e Glauom hat A, B sd uabhägg, we PAB ( / ) PAB ( / ) PA Nach Defto der bedgte Wahrschelchet st PA ( B) PA ( / B), somt be Uabhägget PA PB PA ( B) PB Defto A, B sd stochastsch uabhägg, we glt PA ( B) PA PB Multplatossatz PA ( B) PA ( / B) PB PA ( B) PA PB, falls A, Buabhägg WS 207/8 Prof. Dr. J. Schütze Wt. 27 WS 207/8 Prof. Dr. J. Schütze Wt. 28

8 Reche mt Wahrschelchete Reche mt Wahrschelchete Bespel 6 E dealer Würfel wrd zwemal acheader gewürfelt. Eregs A: bem erste Wurf fällt ee 6 Eregs B: bem zwete Wurf fällt ee 6 Sd A ud B uabhägg? Ergebsraum be zwemalgem Würfel somt PA ( B) P((6,6)) /36 Ω {(,),(,2),...(,6),(2,),(2,),...(2,6),...(6,6)} Aderersets st A {(6,),(6,2),...(6,6)} B {(,6),(2,6),...(6,6)} Bedgte Wahrschelchet P( A B) PA ( / B), falls P(B)>0 PB Uabhägget PA ( / B) PA Multplatossatz P( A B) P( A/ B) P( B) PA ( B) PA PB, falls AB, uabh. Satz der totale Wahrschelchet Ω B B2... B, paarwese dsjut Bayessche Formel Ω B B2... B, paarwese dsjut P( A) P( A/ B ) P( B ) PB ( / A) PAB ( / ) PB P( A/ B ) P( B ) folglch st PA PB /6 Wege PA ( B) PA PB sd de Eregsse uabhägg. 3.6 WS 207/8 Prof. Dr. J. Schütze Wt. 29 WS 207/8 Prof. Dr. J. Schütze Wt. 30