Bestimmen einer stetigen Ausgleichsfunktion f(x), die eine gegebene Menge von n Datenpunkten (x k

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1 Hochschule für Tech ud Archtetur Ber Iformat ud agewadte Mathemat 3- Ausglechs- ud Iterpolatosrechug 3 Ausglechs- ud Iterpolatosrechug De Aufgabe der Ausglechsrechug st mt Hlfe eer stetge Futo f()ee bestmmte Mege vo gegebee Datepute mt eem möglchst lee Fehler zu beschrebe. Dese Ausglechsfuto st m efachste Fall ee leare Futo. Wr spreche da vo eer leare Regresso. De Pras erfordert aber oftmals chtleare Regressosfutoe, da dese de Datepute der Regel besser ausgleche. De Iterpolatosfuto beschrebt mt eer stetge Futo ee Mege vo Datepute eat. Der lasssche Esatzzwec st das Gewe vo Zwschewerte zwsche de ezele Datepute. Wr zege achfolged de Herletug ud Awedug gebräuchlche Regressos- ud Iterpolatosfutoe. Pratsche Bespele werde mt der Tabellealulato ECEL durchgerechet. Ebeso werde programmerte Lösuge der Verfahre der Sprache C ud fallwese als ECEL-Futo (Vsual-Basc) etwcelt. 3. Uterschede Ausglechsrechug Iterpolatosrechug Bede Begrffe werde (fälschlcherwese) oft syoym verwedet. Wr präzsere deshalb bede Begrffe: Iterpolatosfuto Ausglechsfutoe: chtlear lear Ausglechsrechug: Iterpolatosrechug: Bestmme eer stetge Ausglechsfuto f(), de ee gegebee Mege vo Datepute (,y ), für =.. optmal aähert (Summe lester Fehlerquadrate), der Regel aber de Futoswerte cht eat darstelle a. Aus eer Klasse vo Futoe soll ee möglchst efache Iterpolatosfuto f( )=y, =.., bestmmt werde, de eat durch ee gegebee Mege vo Datepute verläuft. De Ausglechsrechug wrd vorweged zur äherugswese Darstellug vo Date verwedet (Glättug). So öe grosse Datemege mt eer efache stetge Futo beschrebe werde, we auch mt eem gewsse Fehler. Mt der Iterpolatosrechug oft de Gewug vo Zwschewerte eer (tabellerte) Futo f() bezwect. Ferer wrd de Iterpolatosrechug zur Herletug vo umersche Verfahre (z. Bsp. umersche Itegratosformel) beutzt.

2 Hochschule für Tech ud Archtetur Ber Iformat ud agewadte Mathemat 3- Ausglechs- ud Iterpolatosrechug 3. Przp der Ausglechsrechug De Ausglechsrechug bestmmt de Parameter eer Futo, de ee Mege vo gegebee Datepute optmal aähert. Przpell a de ausglechede Futo ee belebge stetge Futo se. I der Regel beschrät ma sch aber auf leare Futoe oder Polyomfutoe edere Grades, da dese mt weg Aufwad zu etwcel sd. Weger häufg werde trgoometrsche oder Epoetalfutoe verwedet. Auch Kombatoe sd möglch. Grudsätzlch wrd be der Ausglechsrechug mt eer efache Futo ee grössere Mege a Datepute äherugswese beschrebe. Deshalb sd m Regelfall mt Ausglechsfutoe ee eate Darstellug möglch. De Güte der Näherug wrd Korrelato geat ud besagt we gut de Ausglechsfuto de Datewerte appromert. E Mass für de Güte der Apassug wrd durch de Summe der Fehlerquadrate d + d + + d defert. Ist se le st de Apassug gut, st se gross, st de Apassug schlecht. Für ee leare Ausglech wrd de Güte der Regel mt dem Korrelatosoeffzet r y beschrebe. Grudsätzlch wrd aber be alle Ausglechsverfahre de beste Näherug als dejege bestmmt, de de leste Fehlerquadratsumme q lefert: Ausglechsfuto f() ( 3,y 3 ) ( 5,y 5 ) ( 6,y 6 ) ( 7,y 7 ) (,y ) f( ) (,y ) ( 4,y 4 ) q= f( ) - y = b g y : Gegebee Datewerte f( ): Näherugswerte der Ausglechsfuto Bemerug: Für Soderaweduge sd auch adere Krtere möglch. Vgl. herzu Kaptel Ausglech mt relatver mmaler Fehlerquadratsumme. Präzse a also ee Ausglechsaufgabe so formulert werde:. Zu eer gegebee Mege vo Datepute (, y ) st aus eer vorgegebee Klasse vo Futoe, dejege zu bestmme, dere Fehlerquadratsumme mmal st. Futoe, welche dese Bedgug erfülle, hesse Regressosfutoe. Für ee leare Ausglechsfuto wrd daher de folgede Fehlerquadratsumme mmert: Fehlerquadratsumme (3.) q= q a b = a + b- y (, ) b g = (3.) De Fehlerquadratsumme q st herbe vo de bede Parameter a, ud b abhägg. Zel der Ausglechsrechug st das Bestmme der Parameter a ud b so, dass de Fehlerquadratsumme mmal wrd.

3 Hochschule für Tech ud Archtetur Ber Iformat ud agewadte Mathemat 3-3 Ausglechs- ud Iterpolatosrechug 3.. Futoslasse Grudsätzlch strebt daach, de Datepute mt möglchst efache Futoe zu beschrebe. Deshalb habe sch folgede Grudfutoe (Futoslasse) bewährt: f ( ; ab, )= a+ b Leare Futoe f( ; a, b)= Epoetalfutoe ae b f( ; a, b)= a b Potezfutoe (3.3) (3.4) (3.5) De Parameter a, b deser dre Grudfutoe öe etweder dret oder über ee geegete Substtuto mt de Formel für de leare Ausglechsfuto bestmmt werde. Natürlch öe Ausglechsfutoe auch mehr als zwe Parameter bestze. Wchtge Vertreter sd : f( ; a)= a r 0 r a0 f( ; a, b ) = a cos( ) + b s( ) = Polyome vom Grad r b g trgoometrsche Polyome (3.6) (3.7) 3.. Leare Ausglechsrechug De leare Ausglechsrechug (leare Regresso) beschrebt mt eer leare Futo y = a + b ( =,..., ) ee Mege vo Datepute optmal m Se der leste Summe der Fehlerquadrate: y Leare (3.8) Ausglechsfuto d (, (, y ) (, y ) d d d 3 ( 3, y 3 ) De Fehlerquadrate werde de vorgegebee Datepute (, y ) als quadrerte Dfferez bestmmt: b g b g d = f( )- y = a + b- y ( =,..., ) De Fehlerquadratsumme wrd da: b g cb g = = = d = f( )- y = a + b - y h (3.9) (3.0)

4 Hochschule für Tech ud Archtetur Ber Iformat ud agewadte Mathemat 3-4 Ausglechs- ud Iterpolatosrechug De Parameter a ud b werde so bestmmt, dass de Forderug ach Mmerug der Fehlerquadrate erfüllt wrd. Dazu werde de partelle Abletuge q q, ull gesetzt ud ach a ud b aufgelöst: a b q = ba + b - yg = ba + b - yg= 0 ( = Azahl Datepute) a a = = = = = Æ a + b = y b g b g q = a + b - y = a + b - y = 0 b b = = Æ a + b = y = = = A Stelle der umstädlche Notato der Summe mt de Idzes schrebe wr: = = = = = = y = y = Dese ompate Schrebwese st allgeme üblch. Se verefacht de Darstellug der vorhergehede Formel: b + a = b + a = (3.) De Summe desem Glechugssystem verörper gegebee Zahlewerte ud stelle de Koeffzete dar. De Ubeate a, b öe durch geegete Umformuge bestmmt werde. b = chd -chch - c h c hc h - a = - a,b verörper de Parameter der Ausglechsgerade y ª f ( ) = a + b c h Leare (3.) Ausglechsfuto (3.3) Bespel: Zu bestmme st de leare Regressosfuto für de Datepute: 4 5 y 0 Wr führe de Rechug vo Had durch ud erhalte:

5 Hochschule für Tech ud Archtetur Ber Iformat ud agewadte Mathemat 3-5 Ausglechs- ud Iterpolatosrechug - 4 a = = 8-5 = 03. -ch chd -chch 546 b = = - 8 = c hc h f y ( ) = c h Bemerug: De leare Ausglechsfuto a auch über de Stadardabwechug s ud Kovaraz c y bestmmt werde. Dese Methode wrd m Kaptel Statst urz vorgestellt. Wr ee u de leare Ausglechsfuto für de gegebee Datepute. Jedoch öe wr ee Aussage mache we gut de Gerade ausglecht, d.h. de Gerade de Datepute beschrebt Korrelatosoeffzet Der (leare) Korrelatosoeffzet r y det zur Beurtelug des leare Zusammehages vo Paare (, y ). Der Korrelatosoeffzet legt mmer [-,] ud st we folgt zu terpretere: Ist r y =0 so sd de Werte uorrelert, d.h. zwsche ud y besteht ee leare Bezehug. Ist hgege r y ahe be so spreche wr vo starer Korrelato. Be r y = lege alle Pute auf der Regressosgerade. Wr defere de Korrelatosoeffzete: c hc h ry = - F H - I K F H - c h c hi K Ee Herletug für r y wrd m Kaptel Statst ausführlch gezegt. Korrelatosoeffzet (3.4) Bespel: Bestmmug des leare Korrelatosoeffzete r y für de vorherge leare Regressosaufgabe f ( ) = :. 4 5 y 0 r y = = = 9 F H c hc h IF - c h c h d4 46-d KH - I K = = Wr terpretere dese Zahl als mässge bs schlechte Korrelato. Gute Korrelatosoeffzete lege be ahe be.

6 Hochschule für Tech ud Archtetur Ber Iformat ud agewadte Mathemat 3-6 Ausglechs- ud Iterpolatosrechug 3... Grafsche Iterpretato Nachfolged ege typsche Putedagramme mt hre zugehörge Korrelatosoeffzete für verschede vertelte Mermalswerte ud : s > s y s = s y s < s y r= r 0 < r < r = 0 - < r < 0 r - Typsche Putedagramme mt hre zugehörge Korrelatosoeffzete für verschede vertelte Mermalswerte ud Algorthmus für leare Regresso Wr mache ee Etwurf für e efaches Programm zur leare Regresso C. Ausgehed vo eer ftve Aufgabestellug, welche ee bestmmte Mege Datepute (, y ) lefert ud beschrebe zuerst auf eer höhere Ebee de auszuführede Tätgete: Egabe: Egabe der Azahl Datepute. Suzessve Egabe vo Wertepaare (, y ). Berechuge: Ausgabe: Für de Koeffzeteformel müsse bestmmt werde:,,,, Nach dem Bestmme deser Summe werde a, b ud r y berechet. Koeffzete a, b ud r y ausgebe ud Programm beede. Ee möglche Implemeterug wäre:

7 Hochschule für Tech ud Archtetur Ber Iformat ud agewadte Mathemat 3-7 Ausglechs- ud Iterpolatosrechug /* Leare Regresso: Fle: LINREG.C Bestmme der leare Regressosfuto y=a + b ud des Korellatosoeffzete. */ Autor: Gerhard Krucer Datum: Sprache: MS Vsual-C V.5 (QucW Applcato) #clude <stdo.h> #clude <math.h> /* Fuer sqrt() */ ma() { t ; /* Atuelle Azahl Datepute */ double, y; /* Werte des atuelle Dateputes */ double s, s, sy, sy, syy; /* Summewerte */ double a, b, ry; /* Regressosoeffzete ud Korellatosoeffzet */ t ; } prtf("bestmme der leare Regressosfuto aus Datewertepaare:\" "Azahl Datewerte (): "); scaf("%d",&); s= s = sy = sy = syy = 0.0; /* Summe alle Nullsetze */ for (=; <= ; ++) { prtf("\put %d -Wert: ",); scaf("%lf",&); prtf("put %d y-wert: ",); scaf("%lf",&y); s += ; s += * ; /* Wert aufsummere */ sy += y; syy += y * y; sy += * y; } a = ( * sy - s * sy) / ( * s - s * s); /* Koeffzete bereche */ b = (sy * s - s * sy)/ ( * s - s * s); ry = ( * sy - s * sy)/ sqrt(( * s - s * s)*( * syy - sy * sy)); prtf("\ausglechsgerade:\a = %g\b = %g\ry = %4.3g\",a, b, ry); retur 0; Bespel: Wr wolle für de folgede Datepute (, y ) ee leare Ausglechsfuto bestmme: y Wr erhalte mt dese Werte folgede Programmlauf: Bestmme der leare Regressosfuto aus Datewertepaare: Azahl Datewerte (): 4 Put -Wert:.0 Put y-wert: 3.7 Put -Wert:.0 Put y-wert: 4. Put 3 -Wert:.5 Put 3 y-wert: 4.3 Put 4 -Wert: 3.0 Put 4 y-wert: 5.0 Ausglechsgerade: a = 0.6 b = 3 ry = 0.94 ud somt de Ausglechsgerade y = f ( ) = Der Korrelatosoeffzet r y =0.94 zegt, dass de Ausglechsgerade recht gut de Datepute ähert. Ee grafsche Iterpretato des Resultates folgt der Lösug mt der Tabellealulato Learer Ausglech mt Tabellealulatosprogramme I hadelsüblche Tabellealulatosprogramme, we ECEL, Lotus, etc. gehört de leare Ausglechsrechug zum stadardmässge Futosumfag. Nach Egabe der Date a dret de Regressosgerade bestmmt werde. Wr möchte u zege we eersets de Regressosgerade dret mt Stadardfutoe bestmmt

8 Hochschule für Tech ud Archtetur Ber Iformat ud agewadte Mathemat 3-8 Ausglechs- ud Iterpolatosrechug werde a ud we wr ohe grosse Mehraufwad de Koeffzete über de Formel (3., 3.3) bestmme: De Ausgagsdate werde tabellarsch B3:E4 aufgeführt. Se dee als Grudlage für alle Berechuge. De Bestmmug der leare Regressosfuto f()=a + b erfolgt ECEL über separate Futoe zur Bestmmug vo Achseabschtt b ud Stegug a. Damt werde de Zellhalte für de Resultate: B7: =STEIGUNG(B4:E4;B3:E3) B8: =ACHSENABSCHNITT(B4:E4;B3:E3) B9: =KORREL(B3:E3;B4:E4) De Berechug ohe Stadardfutoe erfolgt aalog der Berechug m C-Programm. Wr bestmme zuerst de Summe,,,, ud wede achher de Formel (3., 3.3) a. De herzu otwedge Formel zur Berechug der Formel: B0: =ANZAHL(B4:E4) B: =(B0 * F8 - F4 * F6) / (B0 * F5 - F4 * F4) B3: =(F6 * F5 - F4 * F8) / (B0 * F5 - F4 * F4) B4: =(B0 * F8 - F4 * F6) / WURZEL((B0 * F5 - F4 * F4)*(B0 * F7 - F6 * F6)) Bede Verfahre lefer atürlch dasselbe Resultat. E Blc de Hlfestellug deser zegt, dass se deselbe Formel verwede. Trotzdem st de Verwedug der Stadardfuto bequemer, da wesetlch weger Recheaufwad afällt ud dadurch auch Fehlerquelle ausgeschaltet werde.

9 Hochschule für Tech ud Archtetur Ber Iformat ud agewadte Mathemat 3-9 Ausglechs- ud Iterpolatosrechug 3..3 Epoeteller Ausglech Erreche wr mt eem leare Ausglechsverfahre ur ee schlechte Korrelatosoeffzete r y, so hesst des cht, dass de Datewerte mt eer chtleare Ausglechsfuto gut orrelere. We scho zum vorhere e chtlearer futoeller Zusammehag feststeht, st ee leare Regresso uzwecmässg. E Bespel dafür wäre de Messug vo 0 Stromwerte m Berech [0,0.8]V durch ee Dode Vorwärtsrchtug. Der wchtgste Vertreter der chtleare Ausglechsfuto st de epoetelle Ausglechsfuto y= be a Epoetelle Ausglechsfuto De Bestmmug der Parameter a ud b erfolgt durch ee logarthmsche Trasformato. Uter der Voraussetzug, dass alle y > 0 glt: (3.5) a = l y= lbe = a + lb= A + B B= lb Æ b= e A= a = B (3.6) womt wr de Aufgabe ee leare Ausglechsrechug übergeführt habe: De epoetelle Ausglechsurve m (,y)-system wurde ee leare Ausglechsurve m (, l y)-system trasformert. Nach der Trasformato der y-werte öe wr das leare System mt de beate Formel (3., 3.3) problemlos löse. De erhaltee Koeffzete werde achher zurüc trasformert ud wr erhalte de gesuchte epoetelle Ausglechsfuto. Bespel: De achfolgede 4 Datepute (,y ) sd durch ee epoetelle Ausglechsurve a y = be optmal azuäher: y

10 Hochschule für Tech ud Archtetur Ber Iformat ud agewadte Mathemat 3-0 Ausglechs- ud Iterpolatosrechug 3..4 Ausglech mt Potezfutoe Ee wetere wchtge Klasse vo chtleare Ausglechsfutoe wrd durch de Potezfutoe dargestellt: y= b a Uter der Voraussetzug, y > 0 öe wr auch her ee logarthmsche Trasformato durchführe ud wr erhalte wederum ee leare Ausglechsaufgabe: (3.7) = l y= al+ lb= A + B B= lb Æ b= e A= a = l B Potezartge Ausglechsfuto (3.8) De durch de Potezfuto beschrebee Pute m (, y )-System werde durch de Trasformato über ee leare Ausglechsfuto m (l, l y )-System beschrebe. Bespel: De achfolgede 4 Datepute (,y ) sd durch ee potezartge Ausglechsurve a y = b optmal azuäher: 3 4 y Ausglech mt Polyomfutoe Przpell öe ausser der leare Ausglechsfuto auch Polyomfutoe höhere Grades verwedet werde. I der Regel erlaube Polyomfutoe höhere Grades ee bessere Näherug als leare Futoe, jedoch wrd de Berechug der Ausglechsfuto etspreched aufwedger. Das Hauptesatzgebet vo polyomale Ausglechsfutoe st de Glättug vo Messwerte. Przpell lässt sch durch Stegerug des Polyomgrades ee belebg geaue Ausglechsfuto bestmme, bs für Datepute e Polyom vom Grad - de Futo eat appromert. Zu beachte st, dass Polyomfutoe höhere Grades (>4) uüblch sd. Isbesodere ege solche Ausglechsrechuge zu stable Verhalte: De Futo st ervös, zegt Überschwger ud st ugeeget für Zwschewerte zu bestmme (vgl. auch Kaptel "Iterpolatosfutoe").

11 Hochschule für Tech ud Archtetur Ber Iformat ud agewadte Mathemat 3- Ausglechs- ud Iterpolatosrechug Grudsätzlch st polyomale Ausglechsfuto als ormale Polyomfuto vom Grad defert: y( )= a = a + a + a + + a = 0 0 (3.9) Dese Defto behaltet auch de leare Regressosfuto we = gesetzt wrd. De Bestmmug der Koeffzete a 0,...,a erfolgt beater Wese durch Mmere der Fehlerquadratsumme. Für ee Polyomfuto vom Grad lautet de Fehlerquadratsumme: m = = 0 qa (, a,, a) = a - y 0 F HG I KJ m: Azahl Datepute : Grad des Ausglechspolyoms De Koeffzete a für ee mmale Fehlerquadratsumme werde über Nullsetze der partelle Abletuge q a für =0,.., bestmmt. q a m = a - y 0 = F HG = 0 I = KJ (3.0) (3.) Wr erhalte da durch Auflöse der -Summe de Normalglechuge: j j + 0 a + a + + a + + a = y :,..., (3.) Des st e leares Glechugssystem mt + Bestmmugsglechuge ud + Ubeate. De Ubeate stelle her de Koeffzete a 0,...,a dar. + j De Koeffzetematr G hat de Elemete: gj =, j: 0,..., De Elemete des Kostatevetor c (rechte Sete des Systems): c = y : 0,..., Somt lautet das zu lösede Glechugssystem: G a= c (3.3) (3.4) (3.5) Deses System wrd mt de beate Verfahre gelöst ud wr erhalte als Resultat de gesuchte Polyomoeffzete. Auf de Etwurf eer programmerte Lösug wrd her verzchtet. De Implemeterug st aber a sch problemlos. Nach dem Aufbaue der Koeffzetematr wrd das System mt eem geegete Verfahre (z.b. Gauss-Jorda) gelöst. Stattdesse wolle wr e Bespel mt ECEL durchreche. Scherlch st de Tabellealulato für ee drete Rechug cht de erste Wahl. Se erlaubt aber alle berechete Werte sauber darzustelle ud de Werte grafsch zu präsetere. Im Rahme eer Übug zege wr, we ma ee allgemee ECEL-Futo für polyomale Ausglech Vsual BASIC defere a. Dese Lösug wrd aus eer Lösug der Sprache C abgeletet.

12 Hochschule für Tech ud Archtetur Ber Iformat ud agewadte Mathemat 3- Ausglechs- ud Iterpolatosrechug Bespel: De achfolgede 5 Datepute (,y ) sd durch e quadratsches Ausglechspolyom y = a0 + a+ a optmal azuäher: y 0 3 Löse wr u deselbe Aufgabe mt Ausglechspolyome uterschedlche Grades, so erhalte wr folgede Werte: deg p a 0 a a a 3 a 4 q Das letzte Polyom hat eat so vele Koeffzete we Datepute. Dadurch a das Polyom alle Datepute (, y ) eat darstelle (Fehlerquadratsumme q= 0) ud st somt e Iterpolatospolyom. We berets erwäht, spele der Pras Ausglechspolyome mt Grad > 4 aum ee Rolle. Eersets st de Rechug aufwedg, aderersets ege Polyomfutoe höhere Grades zum Überschwge. De Überschwger bewre, dass de Futo cht mehr geeget st zur Gewug vo Zwschewerte. Solle Futoe deoch mt Polyomfutoe edrge Grades gut ausgeglche werde, so a des durch stücwese Etwclug stetger Polyomfutoe geschehe (Bsp.: Sple- Futoe, Bezer-Kurve). Her wrd das Itervall für de Berechug aufgetelt, so de Näherug mt mehrere Polyom- Telfutoe erfolgt. Jede deser Telfutoe ähert ee lee Mege vo Datepute eem Teltervall. Über geegete Methode sorgt ma dafür, dass de Stossstelle der Telfutoe glatt verlaufe.

13 Hochschule für Tech ud Archtetur Ber Iformat ud agewadte Mathemat 3-3 Ausglechs- ud Iterpolatosrechug Rechebespel zu polyomaler Ausglechug Bestmme Se de Ausglechspolyome vom Grad ud 3, szzere Se de Iterpolatospolyome auf dem Itervall [-,3] ud bestmme Se de jewelge Fehlerquadratsumme y Vorgehe: Wr bereche zuerst das Ausglechspolyom 3. Grades. Herbe falle auch alle otwedge Werte zur Bestmmug des Polyoms. Grades a. Dabe werde de Koeffzetematr erzeugt, dem de Summe gemäss (3.3) ud (3.4) gebldet werde. Aschlessed wrd (mt dem Tascherecher) de Koeffzetematr vertert ud de Koeffzete a 0,...a 3 bestmmt. Durch Esetze der Werte (3.0) wrd de Fehlerquadratsumme bestmmt. Dasselbe wrd für das Polyom. Grades wederholt, wobe de berets berechete Grösse beutzt werde. Wr erstelle das Arbetsblatt mt ECEL dem wr zuerst de Vorgabedate etrage ud achher schrttwese de Grösse für G, c ud a bestmme: Berechug mt beutzerdeferte ECEL-Futoe Wr habe gesehe, dass de Berechug der Polyomoeffzete auch für e efaches Bespel recht umfagrech wrd. ECEL betet ebe de egetlche Kalulatosfähget auch de Möglchet beutzerdeferte Futoe Vsual BASIC for Applcatos (VBA) zu mplemetere. Dese Futoe öe achher we ormale ECEL Futoe beutzt werde. Ohe äher auf de Sprache VBA ezugehe (das folgede Bespel sollte grosse Tele tutv verstädlch se), wolle wr zege, we ee Futo zur Bestmmug der Koeffzete für de polyomale Ausglech etwcelt wrd, sowe ee Futo zur Auswertug vo Polyome ach dem Horer-Schema: Grudlage: Formale Zusammehäge (3.3),(3.4) ud (3.5). Aforderugsprofl: Beutzerdeferte Futo VBA mt dem Name PolyomReg, de als Argumete zwe Lste mt de auszuglechede - ud y-werte erhält, sowe de Grad des zu bestmmede Ausglechspolyoms. Das Resultat soll als Array mt doppelt geaue Gletommazahle retourert werde (sog. Array-Futo). Datetype: Beutzerdeferte Futo mt dem Name PolyomEval, de als Argumete ee Lste (Array) mt de Koeffzete a 0,..,a erhält, sowe de auszuwertede Stelle. Alle Date sd doppelt geaue Gletommazahle. Das Resultat wrd als Futoswert eer doppelt geaue Gletommazahl retourert. Polyomgrad: Gazzahl Dateputelste, y: Edmesoales Array mt doppelt geaue Gletommazahle Auszuwertede Stelle : Doppelt geaue Gletommazahl

14 Hochschule für Tech ud Archtetur Ber Iformat ud agewadte Mathemat 3-4 Ausglechs- ud Iterpolatosrechug Ablaufdagramme: PolyomReg(;y;Polyomgrad) PolyomEval(a; Als Doppelt) falsch Parameter überprüfe gut Polyomgrad bestmme Koeffzetematr G aufbaue Horer-Schema durchführe Kostatevetor c aufbaue Futoswert retourere Matr G vertere a = G - * c Rücgabe a Der Code lautet Vsual Basc for Applcatos: Bereche der Polyomoeffzete a0,..,a für ee polyomale Ausglechsfuto -te Grades für m Datepute. Parameter: = Array mt -Werte (Azahl: m, belebg) y = Array mt y-werte (Azahl: m, belebg) = Grad des zu erzeugede Ausglechspolyoms Das Resultat wrd als Futoswert (Arrayfuto) retourert Autor: Gerhard Krucer Datum: , Sprache: VBA for ECEL7 Fucto PolyomReg(, y, Polyomgrad) Dm Az, Az Azahl - ud y-werte Dm m Azahl auszuglecheder Datepute Dm S() Dyamsches Array fuer de Summe der Poteze vo Dm Sy() Dyamsches Array fuer de Summe der Poteze vo * y Dm G(), g Dyamsches Array fuer de Koeffzetematr G Dm c() Dyamsches Array fuer de Kostatevetor c Dm a() Dyamsches Array fuer de Polyomoeffzete a0,..,a Dm, j, Fle: AUSGL3.LA Parameterotrolle If (Polyomgrad < ) Ad Polyomgrad <> "Iteger" The PolyomReg = CVErr(lErrValue) Et Fucto Ed If Az =.Cout Azahl Datepute de Arrays bestmme Az = y.cout If (Az <> Az) The PolyomReg = CVErr(lErrValue) Et Fucto Ed If If Az <= Polyomgrad The Et Fucto Ed If m = Az Summe der Poteze ud *y bereche ud de etprechede Arrays abspecher ReDm S(Polyomgrad * ) Arrays auf passede Groesse dmesoere ReDm Sy(Polyomgrad) De Arraydzes laufe vo 0..Polyomgrad, resp 0..*Polyomgrad For = 0 To * Polyomgrad S() = 0 For = To m Fuer jede Dateput S() = S() + () ^ Net Net For = 0 To Polyomgrad Sy() = 0 For = To m Sy() = Sy() + () ^ * y() Net Net Koeffzetematr G ud Kostatevetor c erzeuge ReDm G( To Polyomgrad +, To Polyomgrad + ) Matr mt Idzes 0..Polyomgrad,0..Polyomgrad dmesoere ReDm g( To Polyomgrad +, To Polyomgrad + ) Matr fuer de Iverse vo G (MINV a cht G zuruecschrebe) ReDm c( To Polyomgrad + ) ReDm a(0 To Polyomgrad) Polyomoeffzete a0,..,a (a(0) = a0) For = 0 To Polyomgrad For j = 0 To G( +, j + ) = S( + j) G(j +, + ) = S( + j) Net j c( + ) = Sy() Net Koeffzetematr G ud Kostatevetor c aufbaue

15 Hochschule für Tech ud Archtetur Ber Iformat ud agewadte Mathemat 3-5 Ausglechs- ud Iterpolatosrechug Glechugssystem G * a = c loese mt Matrverso g = Applcato.MIverse(G) Koeffzetematr G vertere For = To Polyomgrad + Matrmultplato a = G * c a( - ) = 0 For j = To Polyomgrad + a( - ) = a( - ) + g(, j) * c(j) Net j Net PolyomReg = a Koeffzetevetor a0,..,a retourere Ed Fucto Auswerte eer Polyomfuto -te Grades a der Stelle De Polyomfuto wrd mt Koeffzetearray a0,..,a defert ud a der Stelle ausgewertet ud als Futoswert retourert. De Berechug erfolgt mt dem Horer-Schema. Autor: Gerhard Krucer Datum: , Sprache: VBA for ECEL7 Fucto PolyomEval(a, As Double) As Double Dm p Polyomfutoswert Dm Polyomgrad As Iteger Grad des Polyomes, das de Koeffzete a darstelle Dm Polyomgrad = a.cout - Grad des Polyoms bestmme = Azahl Koeffzete- p = a(polyomgrad + ) For = Polyomgrad To Step - p = p * + a() Net PolyomEval = p Futoswert retourere Ed Fucto Damt habe wr jetzt zwe lestugsfähge Futoe zur Verfügug, um de Aufgabe efach zu löse. Wr füge de Vsual Basc Futoe usere Arbetsmappe e ud öe u uter "Efüge/Futo /Beutzerdefert" auf de Futoe über de Futosassstete zugrefe. Da de Futo PolyomReg ee sog. Arrayfuto st, geht de Berechug etwas aders vostatte als be ormale ECEL-Futoe: I de Zelle B9 wrd dret oder mt Hlfe des Futosassstete geschrebe: B9: =PolyomReg($B$4:$F$4;$B$5:$F$5;) De Egabe wrd ormal abgeschlosse ud wr erhalte der Zelle B9 de Koeffzete a 0. Nu wrd das Feld für de Koeffzete a 0,..,a durch Seletere der Zelle B9: D9 aufgezoge. Da wrd de Egabezele mt der Formel oberhalb des Arbetsblattes agelct ud de Zele mt <CTL><Shft><RET> abgeschlosse. De restlche Koeffzete werde jetzt de marerte Felder übertrage. Für das Polyom 3. Grades st das Vorgehe aalog. De Berechug des Graphe a jetzt ausserordetlch efach mt der Futo PolyomEval ausgeführt werde.

16 Hochschule für Tech ud Archtetur Ber Iformat ud agewadte Mathemat 3-6 Ausglechs- ud Iterpolatosrechug Besoders bequem wrd de Arbet, we de Futoe als sog. LA-Modul (ECEL-Add-IN) erstellt werde. Dazu st das Basc-Modul zu omplere (Add-I erstelle) ud achher mt dem Add-I Maager ezubde. Dabe st zu beachte, dass de Dateformato der Arbetsmappe ausgefüllt wrd, da dese de Name ethält, de achher m Add-I-Maager erschee Lösug überbestmmter Glechugssysteme Habe wr e System mt mehr Glechuge als Ubeate, so spreche wr vo eem überbestmmte Glechugssystem. Für solche Systeme gbt es der Regel ee Lösug m herömmlche Se. Vor allem da, we der Rag der Koeffzetematr mamal st, d.h. de Glechuge wdersprüchlch sd ud das System cht reduzert werde a. Her wrd ebefalls ee Lösug ach der Methode der leste Fehlerquadratsumme bestmmt. De erhaltee Lösug lässt sch umgagssprachlch terpretere: De Lösug passt etwa überall glech schlecht Awedug auf e allgemees leares Glechugssystem De Lösug ees überbestmmte leare Glechugssystems soll ach der Methode der leste Fehlerquadrate bestmmt werde. Wr setze voraus, dass der Rag der Koeffzetematr mamal st, d.h. ee Zele a durch Learombato vo adere Zele dargestellt werde. Des st da der Fall, we de Zele wdersprüchlch sd. Wr betrachte stellvertreted für de Methode e Bespel. Bespel: Ma bestmme, y als Lösug des überbestmmte leare Glechugssystems + 3y = - 4y= -9 - y= - De Lösug gestaltet sch desem Fall relatv efach: Ma bestmmt zuerst de Grudfuto f(,y)=z, de jeder ezele Zele zugrude legt: f (, y) = z= ( a+ by) (3.6) Vo deser Futo wrd u das Glechugssystem für de Parameter a ud b durch Nullsetze der partelle Abletuge der Fehlerquadratsumme q(a,b) bestmmt: ( ) qy (, ) = a+ by z y ( a + by z) = a ( a + by z) ( a + by z) = b ( a + by z) a ab az = ab b y bz (3.7) (3.8) Das Glechugssystem für a, b stellt e ormales leares Glechugssystem mt zwe Ubeate dar, welches mt de beate Methode gelöst werde a. Wr bestmme zuerst de Summe,

17 Hochschule für Tech ud Archtetur Ber Iformat ud agewadte Mathemat 3-7 Ausglechs- ud Iterpolatosrechug da löse wr ach a, b auf mt Hlfe eer Matrverso ud erhalte de Resultate: Somt sd =- ud y= de Lösuge des Glechugssystems. Auf ee programmerte Lösug des Verfahres wrd her verzchtet. Das Vorgehe st przpell glech we be de adere gezegte Methode. Iteressat ud relatv efach wrd de Lösug, we der Algorthmus vo Householder zur Lösug überbestmmter Glechugssysteme egesetzt wrd (vgl. [3, S.0 ud S.34]) Awedug auf ee Learombato belebger reeller Futoe. Für de Ausglechsfuto Form eer Learombato reeller Futoe f( ) = bg ( ) = (3.9) wrd be eer echte Ausglechsaufgabe m > (mehr Pute als Parameter) de Ausglechsurve cht eat durch de Pute (,y ) verlaufe ud.a. cht emal ee Put geau treffe. De optmale Ausglechsfuto soll jedoch mt eem möglchst lee Fehler alle Pute (, y ) beschrebe. Dese Forderug wrd erfüllt, we de Summe der Fehlerquadrate mmal st: b 0 g b g = q b,..., b = f( )- y = bg ( )- y L NM O QP Æ De Parameter b werde durch Nullsetze der partelle Abletuge q bestmmt: b j Allgeme: q L O = gj bg y j b ( ) ( )- j QP = 0 0 = NM m (3.30) (3.3)

18 Hochschule für Tech ud Archtetur Ber Iformat ud agewadte Mathemat 3-8 Ausglechs- ud Iterpolatosrechug Deses System a u e allgemees leares Glechugssystem umgeschrebe werde. Deses stellt de Normalglechuge dar, das mt de beate Verfahre aufgelöst werde a. Für de Normalglechug j wrd des: L NM O QP = m m j j = 0 = = b g ( ) g ( ) y g ( ) Bespel: Für de Ausglechsfuto: y= b l+ b cos+ b e 3 erhalte wr de Fehlerquadratsumme: d 3 q= b l + b cos + b e - y Wr setze de partelle Abletuge q b dre Normalglechuge: m: Azahl Datepute : Azahl Glechuge j: 0.. q q = 0, = 0, = 0 ud erhalte ach dem Umstelle de b b 3 b g b g 3 b g b g b g 3 b g b g b g 3 d b l + b l cos + b l e = y l b l cos + b cos + b cos e = y cos b l e + b cos e + b e = y e Auch her erhalte wr mmer ee symmetrsche Koeffzetematr. Für de Datepute y erhalte wr de Rechug: (3.3)

19 Hochschule für Tech ud Archtetur Ber Iformat ud agewadte Mathemat 3-9 Ausglechs- ud Iterpolatosrechug de gesuchte Ausglechsfuto lautet also: y ( ) = l-. 59 cos e 3..7 Beurtelug der Regressosgüte be chtleare Regressoe Be chtleare Regressoe wrd de Güte ahad der Fehlerquadratsumme beurtelt, wel e Korrelatosoeffzet we be der leare Regresso defert st. Werde mehrere verschedee Regressosfutoe mteader verglche, so st dejege Futo de beste Regressosfuto bezüglch der gegebee Datepute, welche de leste Fehlerquadratsumme hat. Bespel: Welche Regressosfutoe f (), f () glecht de folgede Datepute (, y ) besser aus? f ( ) =. 90l +. 98s f ( ) = y 0 4 Wr bestmme de Fehlerquadratsumme jeder Futo bezüglch der Datepute: De Futo f () glecht de Datepute besser aus, wel se de leere Fehlerquadratsumme hat Nchtleare Regresso mt Substtutosverfahre

20 Hochschule für Tech ud Archtetur Ber Iformat ud agewadte Mathemat 3-0 Ausglechs- ud Iterpolatosrechug E gaze Rehe chtlearer Regressosaufgabe a durch geegete Trasformatoe der Werte ee äquvalete leare Regressosaufgabe übergeführt werde, welche da mt de Stadardformel (3-, 3-3) efach zu löse sd. Wr betrachte achfolged Verfahre für zwe ud dre Regressosoeffzete Regressoe mt zwe Regressosoeffzete Vele chtleare Regressosfutoe öe durch geegete Trasformatoe ee äquvalete leare Regressosaufgabe umgeformt werde ("learsert"). Dese st da sehr efach zu löse. Bsp: Gesucht st ee Ausglechsfuto der Art: y ( )= be a Dese Epoetalfuto a durch Logarthmere learsert werde: a l( y ( )) = l( be ) = l( b) + l( e ) = l( b) + a=b+a Deses Przp a geauso für wetere Futoe agewadt werde: Typ Futo Substtutoe Bedguge = = B= A= y ( )= b+ a y b a 0 y 0 b a b a y > 0 y 3 y( )= b+ al( ) y l() b a > 0 a 4 y ( ) = b + al( ) y l() b a > 0 y > 0 5 a y ( )= b + l(y-) l() l(b) a y- > 0 > 0 6 y ( )= ba l(y) l(b) l(a) 0 y > 0 7 y ( )= be a l(y) l(b) a 0 y > 0 Der Begrff Typ bezeht sch auf de Meüput m Programm NLREGWIN.EE. Es st auf der zum Srpt gehörede Bespeldsette verfügbar Regressoe mt dre Regressosoeffzete Aalog öe her auch über geegete Substtutoe gewsse chtleare Regressosfutoe verefacht bestmmt werde, dem se auf ee quadratsche Regressosaufgabe zurücgeführt werde. y ( )= A0 + A + A De Bestmmug der Polyomoeffzete gescheht über de Asatz der Mmerug der Summe der Fehlerquadrate, aalog Kap Wr erhalte e Glechugssystem mt dre Ubeate für de Regressosoeffzete A 0..A :

21 Hochschule für Tech ud Archtetur Ber Iformat ud agewadte Mathemat F HG IF KJ H G A A A 0 I F K J = HG I KJ 3- Ausglechs- ud Iterpolatosrechug De Regressosfutoe, welche sch über ee quadratsche Substtuto löse lasse sd achfolged tabellert: Typ Futo Substtutoe = = A 0 = A = A = 8 y a a ( )= + + a 0 y a 0 a a Bedguge 9 y ( )= a + a + a 0 y a 0 a a y 0 0 y ( )= a 0 a a y ae a - ( )= a 0 l(y) l(a 0 ) l(a ) l(a ) y > 0 a + a a -a a a y > 0 b g l(y) l( ) 0 Ebeso lasse sch Substtutoe für ver Regressosoeffzete bestmme, de da ee allgemee Form mt ver Parameter gebracht wrd Bespele für Regressoe mt zwe Regressosoeffzete Für folgede Messrehe soll ee Ausglechsfuto ach alle Verfahre aus Tabelle bestmmt werde. st dem Wert.5 zu wähle: Wr verwede dazu das Programm NchtleareRegresso.EE. Es bestmmt der Kosoleverso de Regressosoeffzete für Regressoe mt zwe Regressosoeffzete. Mt der W3- öe auch Regressoe mt dre Regressosoeffzete durchgeführt werde. Aus Platzgrüde werde her de Lstgs cht aufgeführt y Resultate: 5. : r = : ry = : l( ) ry = : ry = l() 5: r = : r = :. 807e r = Achtug: r y macht ee Aussage zur Korrelato der chtleare Regressosfuto! Besser st her de Aussage bezüglch der Fehlerquadratsumme. y y y y Grafsche Darstellug der ezele Regressosfutoe