Ein paar einfache q-analoga des binomischen Lehrsatzes

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1 E paar efache -Aaloga des bosche Lehrsatzes Joha Cgler Sowet r beat st, gbt es ee allgeee Utersuchuge darüber, we sch das Reurrezverhalte vo Boalsue ädert, we a de Boaloeffzete durch ersetzt U ee erste Edruc davo zu beoe, öchte ch Folgede das Reurrezverhalte der Polyoe s(,, x) x Abhägget vo utersuche Es zegt sch, dass das Reurrezverhalte der Polyoe s(,, x) syetrsch u st Der Grad der ale Reurrez st + De efachste -Aaloga des bosche Lehrsatzes (x + a) x a sd de Rogers-Szegö-Polyoe (x + a) : x a () ud de Polyoe (x a) (x a)(x a) (x a) ( ) a x () (Ma vergleche zb [],wo (x + a) r (x,a) ud (x a) p (x,a) geschrebe wurde De her gewählte Notato st edoch suggestver) Durch Koeffzeteverglech seht a, dass de erzeugede Futoe deser Polyoe durch ud (x + a) z e(xz)e(az) [! ] (3) (x a) e(xz) z [! (4) ] e(az) z gegebe sd Her bedeutet e(z) de Expoetalfuto [! ] Aus e(xz) e(az) e(xz) ergbt sch durch Koeffzeteverglech de ützlche Forel e(az) e(yz) e(yz) (( ) ( )) ( ) x a + a y xa ( a y ) (xy) (5)

2 Nu erer wr a de abstrate bosche Lehrsatz der folgede For: We zwe leare Operatore A,A de Vertauschugsrelato AA AA erfülle, da glt de Forel (A + A ) AA ( A + A ) Wr wolle u de Polyoe s(,, x) x (6) für geauer studere Es glt s(,, x) ( ε+ x ε )s(,, x) (x ε +ε ) (7) Deses Resultat folgt sofort aus de abstrate bosche Lehrsatz, wel ε(x ε ) (x ε ) ε erfüllt st Es glt s(,, x) (x +ε ) ( + x) ud s(,, x) x ((x ) ) ( x), + ε + we wr (a + x) (a ( x)) setze (Ma beachte, dass dese Addto cht outatv st) I Fall erfüllt f() ( + x) als Futo vo de Glechug + Δ ( + x) ( + x) ( + x) x( + x) (8) Durch Koeffzeteverglech seht a, dass das t de Polyodettäte + für alle äuvalet st Das soll Folgede verallgeeert werde Wr beötge u de Begrff des -Polyos Daruter verstehe wr ee Futo der Gestalt π () a () für De Mege aller Polyoe st ee Algebra, de wr t Π ()[ ] bezeche De Boaloeffzete sd ( ) spezelle Polyoe Isbesodere glt für ( ) [ ]! Mt E bezeche wr de Traslatosoperator auf de Polyoe, der durch + E π () π (+ ) defert st Spezell st E

3 Weters se Z der Operator, der durch Z für alle defert st De Algebra der Polyoe st soorph zur Algebra ()[t] E Algebra Isoorphsus wrd durch de leare Abbldug Φ, defert durch Φ ( ) t, gegebe Durch dese Isoorphsus werde ege Forel besser durchschaubar Das Polyo [ ] geht uter Φ t ud + ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) t t (t )( ) ( ) (t )(t ) (t ) ( ) ( ) ( ) ( ) über (9) (t ) Sot ergbt sch Φ ( ) [ ]! f(t) f(t) Se D der Dfferetatosoperator, defert durch Df(t) ( )t (t ) (t ) Da st ( )D Daher erfüllt der Operator ( ) [ ]! ( ) [ ]! ΔΦ ( )D Φ de Glechug Δ () ud st daher das rchtge Aalogo des Dfferezeoperators Für de Verschebugsoperator E glt (+ ) ΦEΦ t Φ E Φ Φ t ε t Es glt also ΦEΦ ε, we a de Operator ε durch ε t t für alle defert Aus ΦΔΦ ( )D ergbt sch Δ Φ (()D) Φ Φ (( )D) t ( ) Φ t (+ ) () ( ) (E ) Der Dfferezeoperator a daher auch durch p( + ) p() Δ p() () für alle Polyoe defert werde 3

4 Setzt a ΦZ Φ ζ, so st ζ(x ) (x ) Mt Hlfe deser Operatore sd de Reurrezrelatoe für de Boaloeffzete ud + + äuvalet t de Operatordettäte ε + ( )td () ud εζ ( + ( )D) (3) Daraus ergbt sch spezell ζ ( + ( )D) ε ( + ( ε)) ε ( + (t ) ε ) t t Bespelswese st ζ t (t + ( )t ) Wr öe daher ζ als Futo des Multplatosoperators t ud des Operators ε darstelle Es st lar, dass ζ de Telrau ()[t] des Vetorraus ()[t, ] sch t abbldet, währed de Operatore t ud t ε ur auf de größere Vetorrau t ()[t, ] svoll sd t Dort glt t t ε ε t t t t Daher st ach de abstrate bosche Lehrsatz für > t ζ (t ) t ε ε t t (4) Weters folgt εζ ( )D ε (t ) ( ) (t ) ( ) t ε ε ε ε ε + t t (+ ) + ( t ) ( ) + ε ε t (5) 4

5 Betrachte wr + ( t ) ε ( ε) als Polyo ε Da st der Koeffzet vo + + ε glech ud der vo ε für + ( t ) + ( t ) + + ( t ) t + ( t ) (6) ( t ) ( t ) t ( t) 3 Mt Hlfe des ΔOperators lässt sch de Reurrez der Folge s(,, x) als dretes Aalogo der Glechug (8) terpretere: Δ s(,, x) xs(,, x) (7) De es st Δ x x x x De Glechug (7) st glechbedeuted t s( +,,x) s(,,x) xs(,,x) Dat der allgeee Fall geau so behadelt werde a, beötge wr ee Dfferezeoperator Δ, der uabhägg vo st ud () Δ oder glechbedeuted Δ für alle erfüllt ( ) Aus de obge ergbt sch Δ als Δ Z Δ ud wr erhalte das Lea De Polyoe s(,, x) erfülle de Glechug ( ) Z Δ s(,,x) xs(,,x) (8) Dese a auch der For s( +,,x) s(,,x) xs(,, x) (9) geschrebe werde 5

6 We wr de obge Forel durch ersetze ud alles de Sprache der Polyoe übersetze, ergbt sch, dass Forel (8) glechbedeuted st t de folgede Satz Für glt de Reursosforel + s( +,,x) xs( +,,x) + + () ( ) s( +,, x) der Ordug Se a auch der Gestalt + (( ) E ) + + (E )s(,, x) xs( +,, x) () geschrebe werde ZB ergbt sch für de Reurrez s( +,, x) ( x + ( ))s( +,, x) + ( )s(,, x) We der Paraeter cht postv st, schrebe wr Forel (8) der Gestalt Δ s(,, x) Z xs(,, x) U das Vorzeche vo deutlch zu Ausdruc zu brge, schrebe wr t Es st da also Δs(,, x) Z xs(,, x) Wr erhalte da sofort de Satz Für erfüllt s(,, x) de Reurso s( + +,, x) s( + +,, x) + + (+ + ) + + x ( ) s(,,x) + + (+ + ) x( + ( E) ) s(,,x) der Ordug + () Für erhalte wr daraus de beate Reursosforel + ( + x) ( + x)( + x) + ( )x( + x) für de Rogers-Szegö-Polyoe Isgesat hat sch gezegt, dass der Fall ee Soderrolle et Das Reurrezverhalte der Polyoe s(,, x) st syetrsch u Der Grad der ale Reurrez st + 6

7 4 Wr wolle u och etwas allgeeer Aaloga der Telsue x + r + r + r betrachte Dese geüge der Reurrez Δ x x x + r + r + r + r Se also s(,,, x, r) + r x Ma rechet lecht ach, dass ( ) ( ) Δ Z glt Durch Koeffzeteverglech ergbt sch daraus () ( ) + r Z Δ s(,,,x,r) x s(,,,x,r) (3) Das bedeutet ( ) ( ) ( ) E s(,,,x,r) x s(,,,x,r) () Δ Nu glt a ( ) t D ( ε) r De wedet a bede Sete auf t a, so ergbt sch ewels r r r r r r ( )( ) ( )t ( ) t Uter Φ geht das über Δ (E) (4) Daher st der Operator ls detsch t ( ) ( ) ( ) E (E ) ( ) E (E ) () Es ergbt sch daher ( ) + ( + ) E (E ) s(,,,x,r) x s(,,,x,r) We a auf bede Sete ( ) E awedet, ergbt sch schleßlch 7

8 ( ) ( + ) E () (E ) s(,,, x,r) x s( ( ),,, Nu st + x, r) ( ) ( ) ( ) ( ) + + ( ) E (E ) ( ) E ( ) E Der Koeffzet vo E st also ( ) + c(,, ) ( ) ( ) (5) Satz 3 De Folge + r + r s(,,, x, r) x + r geügt für > der Reurrez c(,, )s( +,,,x,r) x s( + (),,, x, r) (6) der Ordug Beerug ( ) + + (+ )( ) Für glt auch c(,, ) ( ) ( ) Bewes: Es glt (Z Δ )Z Z(Z Δ ) ud wege E Z + (Z Δ ) glt also e(ez) e(zz)e((z Δ )z) Daher st e(xz) e(xz) e(ez) e((z Δ)z) e(zz) ud sot durch Koeffzeteverglech ( ) E x ( ) (Z Δ)(xZ) We wr dese Idettät auf awede, ergbt sch 8

9 + ( ) x ( ) (x ) Setze wr : ( ),:,x: +, so ergbt sch für ( ) + + ( ) ( ) ( ) ( ) + + (+ )( ) ( ) ( ) Schleßlch wolle wr och s(,,, x, r) für utersuche De Idettät (3) wrd u zu (+ ) ( ) + Δ s(,,, x, r) Z x s(,,, x, r) Daher ergbt sch + ( ) + (E ) x ( ) E s(,,, x, r) Wr erhalte daher Satz 4 Se Da geügt de Folge s(,,, x, r) der Reurso (E ) s( ( ),,, x, r) ( ( )) ( ) (+ ) ( ) x s( + (+ ),,,x,r) der Ordug ( + ) Das lässt sch auch der For schrebe (+ ) (+ ) ( Δ x Z )s(,,,x,r) (7) Schöere Forel ergebe sch für (8) σ (, ) z 9

10 Her glt Satz 5 (E ) σ (, ) ( ) (, ) (, )z σ + σ (9) De aus (4) ud () ergbt sch sofort + () Δ ( ) Lteratur [] J Cgler, Eleetare -Idettäte, Se Lotharge Cob, Publ IRMA 8/S-4, 98, 6-67 (