Informatics. Mathematik für Wirtschaftsinformatiker. Übungen mit Lösungen. Ulrich Hoffmann

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1 5 Jahrgag, Heft, Otober 5, ISSN IAL oru Iforatcs At Matheat für Wrtschaftsforater Übuge t Lösuge Ulrch Hoffa Lüeburg Iforato Scece: Techcal Reports ad Worg Papers Hrsg: Hrch E G Bo Volgershall, D-9 Lüeburg Phoe: a: 96775

2 Vorwort des Herausgebers Als a 6 Septeber der Nedersächssche Ladtag estg das Gesetz zur uso der Uverstät Lüeburg ud der achhochschule Nordostedersachse beschloss, hatte wr, de betroffee Professoreschaft, ur ee rudetäre Vorstellug vo de velfältge dat verbudee Äderuge Nach der a 7 Otober 5 Kraft getretee Grudordug für das fusoerte Haus ud der Etschedug über see Bestrutur st u erebar, dass de Iforat-Atvtäte der eue Uverstät zuüftg prär der aultät III zusae t de Uwelt- ud de Igeeurwsseschafte stattfde werde Der erfolgrech etablerte achberech Wrtschaft a u cht ehr Heat vo INAL se ür de großzügge Beretschaft, de fazelle Drucostelast über all de Jahre zu trage, öchte ch de Mtgleder der betroffee achberechsräte Wrtschaft ud de Deae a deser Stelle ochals dae Ohe hr Vertraue de Herausgeber wäre dese Rehe cht so lage öglch gewese Ohe de Esatz des IT-Teas des achberechs Wrtschaft hätte der Druc Egeverlag cht stattfde öe Dafür se her stellvertreted für alle Betelgte gaz besoders Herr Dplo-Kaufa Norbert Tschrtter gedat Klar st, auch das Aroy INAL, t der bsherge Bedeutug achhochschule Nordostedersachse Iforat Arbetsberchte Lüeburg, uss u dese eue Radbedguge folge Ab de 5 Jahrgag steht das Aroy INAL als oru Iforatcs At Lüeburg Ich wüsche Ihe, lebe Leser ud leber Leser, dass Se auch Zuuft t der Rehe INAL ee Eretsgew verbde öe Lüeburg, Wter 5 Hrch Bo

3 Matheat für Wrtschaftsforater Übuge t Lösuge Uverstät Lüeburg achberech Wrtschaft Prof Dr rer at Ulrch Hoffa Otober 5

4 De folgede Übugsaufgabe erforder gelegetlch ege egee Gedae Btte lasse Se sch cht etutge, we Se cht er sofort auf de Lösug oe Btte versuche Se, de Aufgabe selbstädg zu löse Zu fast alle Übugsaufgabe werde Lösuge beretgestellt De Übugsaufgabe sd ach de ezele Kaptel der Vorlesug gruppert Wetere Übugsaufgabe fde sch der agegebee Lteratur De Übugsaufgabe sd geäß hre Schwergetsgrad durch Stere a de Aufgabeuer t folgeder Bedeutug lassfzert: ohe Stere e Ster [ * ] zwe Stere [ ** ] De Aufgabe sollte selbstädg gelöst werde, achde der etsprechede Stoff der Vorlesug behadelt wurde ud ohe de Musterlösug zu Hlfe zu ehe De Aufgabe st etwas schwerger ud erfordert evetuell ege egee Überleguge Se sollte jedoch trotzde selbstädg gelöst werde, ohe de Musterlösug zu Hlfe zu ehe Evetuell hlft auch e tesverer Blc das Vorlesugssrpt oder de achlteratur Se sollte sch zuächst ohe Zuhlfeahe der Musterlösug a der Aufgabe versuche, auch we se Ihe als schwerg erschet Hwes: De folgede Übugsaufgabe sd telwese der agegebee Lteratur etoe

5 Ihaltsverzechs Sete Übuge zu : Grudlegede Deftoe ud Bezechuge 5 Übuge zu : Abblduge Übuge zu : Ausgewählte Thee der eleetare Zahletheore Übuge zu : Ausgewählte Thee der Kobator 6 Übuge zu 5: Ausgewählte Thee der Aalyss 9 Übuge zu 6: Ausgewählte Thee der Leare Algebra Lösuge der Übugsaufgabe 5

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7 Grudlegede Deftoe ud Bezechuge Aufgabe : (ohe Lösuge) Bewese Se de der Vorlesug cht bewesee Aussage aus Satz - Aufgabe : (ohe Lösuge) Stelle Se de Wahrhetstafel für de Tautologe Satz - auf Aufgabe : Es see P, Q ud R Aussage Welche der folgede Aussage sd Tautologe? (a) (( P ( Q R) ) ( P Q) ) (( P Q R) ( P Q) ) (b) ( P ( Q R) ) (( P Q) R) (c) (( P Q) R) ( ( P Q) R) (d) ( P Q) ( Q P) (e) (( P Q) ( P R) ( Q R) ) (( P Q) ( Q R) ) Aufgabe : Zege Se: Durch de estlegug < geau da, we de Zahl ohe Rest telt wrd ee partelle Ordug auf N \ { } defert Ist dese Relato ee totale Ordugsrelato?

8 6 Grudlegede Deftoe ud Bezechuge Aufgabe 5 [*]: Es se Zege Se: M N N Durch de estlegug ( ) (, l), geau da, we l glt wrd ee Äquvalezrelato auf M defert Gebe Se e [ (, 5) ] t (, 5) y [ ( 5, ) ] t y ( 5, ) ud z [ (, ) ] t z (, ) a Beschrebe Se [(, 5) ], [( 5, ) ] ud [(, ) ], Aufgabe 6: Es se ee Äquvalezralato auf der Mege M, ud es see Se: (a) Es glt b a geau da, we [ ] [ b] (b) ür jedes a M ud jedes M (c) U [ a] M a M a st a M ud b M Zege b st etweder [ a ] [ b] oder [ ] [ b] a (auf der le Sete des Glechhetszeches steht de Veregug aller Äquvalezlasse, de a t Eleete aus M blde a) Aufgabe 7: Das DIN-A-orat hat de Egeschaft, dass das Verhälts (Läge der lägere Sete ees Blatts) zu (Läge der ürzere Sete ees Βlatts) auch da erhalte blebt, we a das Blatt der Mtte der lägere Sete zusaefaltet Außerde sd bede Sete uterschedlch lag We lautet deses Verhälts? Das DIN-A- -orat st dadurch defert, dass e Blatt ee läche vo bestzt Wrd e Blatt DIN-A--orat -al jewels a der lägere Sete der Mtte gefaltet, so erhält a e

9 Grudlegede Deftoe ud Bezechuge 7 Blatt DIN-A--orat Welche Seteläge habe de lägere ud de ürzere Sete ees Blatts DIN-A--orat? Aufgabe 8: De folgede Telaufgabe sd jewels durch vollstädge Iduto zu bewese (a) Zege Se: ( ) ( ) 6 (b) Zege Se: ( ) ( ) (c) Zege Se: (d) Zege Se: ür jedes 6 st < 7 (e) [*] Zege Se: De Sue st ee Quadratzahl (f) [**] Ee Aussage glt für fast alle N, we se für alle N t höchstes edlch vele Ausahe glt, dh we es e N gbt, so dass de Aussage für alle glt Zege Se: ür fast alle N st > ür fast alle N st > ür fast alle N st > Es se N ee feste atürlche Zahl t Da glt > für fast alle N Hwes: Multplzert a ( ) aus, so erhält a (das wrd spätere Kaptel t gezegt) ( ) a a a a (g) Es se N ee -er-potez, dh t N Es gelte

10 8 Grudlegede Deftoe ud Bezechuge für für ) ( T T Zege Se: ür jedes N der or t N st ( ) ( ) ) ( T T Aufgabe 9: Ergäze Se de folgede Glechuge de durch? arerte Stelle: (a)? 5? (b)?? (c) a a 7 6?? Aufgabe : Verefache Se de folgede Sue, sowet es geht: (a) (b) 5 Aufgabe : Bereche Se ( ) ( ) 5 t Hlfe der Partalbruchzerlegug

11 Grudlegede Deftoe ud Bezechuge 9 Aufgabe [*]: De edlche Sue wrd quadrert, dh es wrd or a gebracht Beste Se ud a 5 gebldet, ud da de

12 Abblduge Aufgabe : Bewese Se Satz - () ud () Aufgabe : Gegebe see de bede Abblduge { } \ : f R R ud { } 5 \ : g R R (a) Zege Se, dass f jetv st (b) Zege Se: { } ( ) { } \ \ R R f (c) We lautet de Uehrfuto zu { } { } \ \ : * f R R? (d) Bereche Se de utosvorschrft vo { } R R \ : f g o Aufgabe : Sd de folgede bede Abblduge surjetv bzw jetv? ( ) ( ) z y y z y f,,, : R R R R R, ( ) ( ) y y y g,,, : R R R R R

13 Abblduge Aufgabe [*]: Es see A ud B Mege ud f : A B ee Abbldug Beschrebe de folgede bede Vorschrfte wrlch Abblduge zwsche de Potezege vo A bzw B? P( A) : U P( B) f ( U ) P( B) P( A) G : V f ( V ) Herbe st f ( V ) U f ( v) v V Verfzere Se t ee efache Bespel für f, A ud B, dass ud G cht zueader vers sd Aufgabe 5 [**]: (a) (b) (c) Jede Telege eer abzählbare Mege st abzählbar De Mächtget eer uedlch abzählbare Mege ädert sch cht, we a edlch vele Eleete etfert De Veregug abzählbar veler abzählbarer Mege st weder abzählbar Aufgabe 6: Es see A ud B Mege ud f : A B ee Abbldug Zege Se: Durch a ~ b geau da, we f ( a) f ( b) glt f wrd auf A ee Äquvalezrelato defert Beschrebe Se de Äquvalezlasse vo we f jetv st ~ f,

14 Ausgewählte Thee der eleetare Zahletheore Aufgabe : Es se p > ee Przahl (a) Zege Se: De Zahl 6 st e Teler vo p oder vo p 5, dh p (od 6) oder p 5 (od 6) (b) Zege Se: Ist vo 6 aufeaderfolgede Zahle de leste größer als, so sd höchstes zwe deser Zahle Przahle Aufgabe [*]: Gegebe see aufeaderfolgede Zahle, dere leste st Zege Se: Uter dese Zahle sd destes 5 aufeaderfolgede zusaegesetzte Zahle Wevele Przahle sd uter dese Zahle höchstes? Aufgabe : Bereche Se od ud 5678 od 5 Aufgabe : Zege Se: (a) ür jedes a Z glt etweder a od oder a od (b) Kee der Zahle ( Dezalschrebwese),,,, st e Quadrat Hwes: ühre Se de Aahe, de agegebee Zahle see Quadrate t Hlfe des Ergebsses vo Aufgabe (a) auf ee Wderspruch

15 Ausgewählte Thee der eleetare Zahletheore (c) [*] Kee der Zahle ( Dezalschrebwese),,,, st e Quadrat Aufgabe 5 [*]: Zege Se: Es gbt e a Z t a od 5 Hwes: Utersuche Se zuächst de älle, dass a estellg oder zwestellg st, ud da erst de allgeee all Aufgabe 6: ür welche N st e Teler vo? Aufgabe 7: Zege Se: (a) Es gbt uedlch vele N t (od 5) (b) Es gbt uedlch vele N t (od) (c) Es gbt uedlch vele N t (od7) Aufgabe 8: (a) Beste Se gaze Zahle a ud b t a 8 b 5 ggt (8, 5) (b) Beste Se gaze Zahle a ud b t a 98 b 8 ggt (98, 8) Aufgabe 9: (a) Bereche Se für jedes a Z Z de Werte a od, jewels für,, Bereche Se de Werte dabe durch suzessve ( ) -fache Multplato, wobe Se ach jede Multplatosschrtt odulo reduzere Bespelswese wrd cht erst

16 Ausgewählte Thee der eleetare Zahletheore al 96 berechet ud da odulo reduzert, soder es wrd berechet ud ach jeder ezele Multplato der Rest odulo bestt ud t dese Rest wetergerechet (b) Bereche Se we Aufgabe (a) für jedes a Z 5Z de Werte a od, jewels für,, Aufgabe [**]: Es see (, ) ggt N ud N Beste Se ggt (, 9), (, 7) ggt ud Hwes: Beste Se zuächst ggt (, 9) ud ggt (, 7), de Se ege Werte für ausprobere Versuche Se da auf de allgeee all ggt (, ) zu schleße ([**]) Aufgabe : (a) Beste Se alle verterbare Eleete Z Z, dh alle a Z Z, für de es e b Z Z gbt t a b (od ) (b) Löse Se de Glechug 7 Z 5 Z Aufgabe : Bereche Se ( ) φ Aufgabe : (a) Es se p ee ugerade Przahl ud a N Waru st p e Teler vo a p a? (b) Waru habe Dezalsyste für alle Zahle N a de Werte a ud 5 a deselbe Edzffer?

17 Ausgewählte Thee der eleetare Zahletheore 5 Aufgabe : Mt Hlfe vo Satz - () a a häufg große Potezreste efach bereche Be spelswese st ( 6 ) (od) Schea uter Awedug vo Satz - () de Werte 5 Bereche Se ach dese (a) 5 od 7 (b) 8 od7 (c) 7 od9 (d) [*] p od p t eer Przahl p 7 (e) ( ) od 7 Aufgabe 5: Zege Se t Hlfe vo Satz -: (a) ür jedes N st e Teler vo (b) ür jedes N st 5 5 ee atürlche Zahl

18 Ausgewählte Thee der Kobator Aufgabe : Es se p de Azahl öglchlcher Tpps be Lotto (aus 9 Zahle werde 6 Zahle agereuzt) De Wahrschelchet, 6 Rchtge zu habe, st da p Bereche Se dese Wert Aufgabe : Es see R ud N Bereche Se: (a) ( ) ( ) ( ) ( ) (b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (c) ( ) ( ) ( ) ( ) Aufgabe : Es se p ee Przahl Zege Se: ür jedes R ud jedes R y st ( ) ) (od p y y p p p Aufgabe : Zege Se: ür jedes N ud jedes R t glt ( )

19 Ausgewählte Thee der Kobator 7 Aufgabe 5 [**]: Es see N, N ud N Zege Se: Hwes: Wede Se auf bede Sete der Glechug de Iterpretato der Boaloeffzete a, we se Satz - gegebe wrd Aufgabe 6: Es se M ee edlche Mege Zege Se, dass M geauso vele Telege t gerader Mächtget we Telege t ugerader Mächtget bestzt Aufgabe 7 [*]: (a) Bereche Se! für,,, Versuche Se, aus dese Ergebsse auf de Azahl vo Nulle zu schleße, t dee! I Dezalsyste edet (b) Es se N Zege Se de Gültget vo ( )! 5! ( ) Aufgabe 8: Es see A {,,,, 5 } ud { u, v, w,, y, z } B (a) Wevele jetve Abblduge f : A B gbt es? (b) [**] Wevele jetve Abblduge f : A B gbt es, de zusätzlch? f ( ) v ud f () w, f ( ) u ud f () w, f ( ) ud f ( ) v ud f () ud f( ) y erfülle?

20 8 Ausgewählte Thee der Kobator Aufgabe 9: (a) Beste Se t Satz - de Azahl der atürlche Zahle t, de cht durch, oder 5 telbar sd (b) [**] Beste Se de Azahl der gazzahlge Lösuge der Glechug 8, t der Zusatzbedgug 7 für,,,

21 5 Ausgewählte Thee der Aalyss Aufgabe 5: Versuche Se durch uersche Rechuge festzustelle, welche Grezwert, we überhaupt, de jewelge olge ( ) a N habe: (a) a, a für (b) a,7, a,7 a für a, a, a a für (c) [**] ( ) Aufgabe 5: Beste Se de Grezwerte (falls se überhaupt estere) der achstehede olge für : (a) (b) N ( ) ( ) N (c) N Aufgabe 5: Zege Se durch Awedug der Defto der Kovergez, daß für de olge ( ) a N t a de Aussage l a glt Mt welche N beged st a?

22 5 Ausgewählte Thee der Aalyss Aufgabe 5: Bereche Se (a) ( ) ( 5) (b) ( ) (c) 5 (d) ( ) Aufgabe 55 [*]: Kovergere de folgede Rehe? Begrüde Se Ihre Atwort (a) (b)! (c)! 5 ( ) Aufgabe 56 [*]: De olge ( a ) N se defert durch a Versuche Se festzustelle, a bzw a > glt we groß N se uß, dat <

23 5 Ausgewählte Thee der Aalyss Hwes: Versuche Se, der achlteratur ee orel zu fde, t der sch a abschätze läßt (Stchwort: Harosche Zahl) Aufgabe 57: Gebe Se für de folgede utoe f: X R t X R de jewelge aale Deftosberech a: (a) f( ) 9 (b) f( ) 9 (c) f( ) (d) f ( ) ( ) (e) f( ) (f) f( ) Aufgabe 58: Gegebe se de uto f [ a, [ [ b, [ : Beste Se de Zahle a ud b so, daß f bjetv st Aufgabe 59: Welche Mootoeegeschafte bestzt de durch f( ) deferte uto Itervall [, ]? Zege Se, dass se dese Itervall cht ove st

24 5 Ausgewählte Thee der Aalyss Aufgabe 5: Szzere Se de folgede utoe f :R R t (a) f( ) (b) f( ) (c) (d) f( ) f( ) Zur Ererug: ür R st de größte gaze Zahl Aufgabe 5: E Wert c X heßt put eer uto f: X Y, falls f( c) c glt (a) Beste Se alle pute der uto f R R : 8 (b) Beste Se alle pute der uto R R f : (c) Der Deftosberech X vo f bestehe aus alle Zecheette, de t Hlfe des Alphabets A {A, B, C,, Z, a, b, c,, z} gebldet werde öe (a schrebt dafür auch X A*) De Abbldug f bldet Zecheette aus A* auf adere Zecheette aus A* ab, ud zwar wrd durch f ee Zecheette zz z z de hrer Buchstabefolge ugeehrte Zecheette abgebldet: ( ) f zz z z zz z z De Läge eer Zecheette st als de Azahl hrer Buchstabe defert

25 5 Ausgewählte Thee der Aalyss Beste Se ee put der Läge ud ee put der Läge Beschrebe Se de pute der Läge ud der Läge für jedes N Aufgabe 5: Beste Se alle reellwertge Nullstelle der durch folgede Glechuge p( ) t R deferte Polyoe: (a) 5 p( ) 6 Hwes: Ee Nullstelle legt zwsche,5 ud,5 (b) p( ) 5 (c) p ( ) (d) p ( ) t N Hwes: Uterschede Se de bede älle, dass gerade bzw ugerade st Aufgabe 5: Beste Se Deftosberech, Nullstelle, Pole, behebbare Ustetgetsstelle ud A- syptote für ± der folgede durch f( ) deferte gebroche ratoale utoe, ud szzere Se de jewelge Kurveverlauf (a) f ( ) (b) 5 f ( ) (c) f ( )

26 5 Ausgewählte Thee der Aalyss Aufgabe 5: Bereche Se (a) l (b) ( ) l (c) [*] l t N ud N Aufgabe 55: I der Defto der folgede uto f :R R ot ee Kostate a R vor: f ( ) a für für für ], ] ],] ], [ Ist f a der Stelle stetg? Welche Wert uss a für a esetze, dat f a der Stelle stetg wrd? Aufgabe 56: De utoe f ud g see durch f( ) ud g ( ) für R defert (a) Beste Se f ( ) f( ) ud f( ) f( ) (b) Beste Se g ( ) g( ) ud g ( ) g ( ) (c) We a a de Ergebsse (a) ud (b) terpretere?

27 5 Ausgewählte Thee der Aalyss 5 Aufgabe 57 [*]: I folgede sd jewels ver utoe f :N R gegebe, de be wachsede Arguetwert verschede schell awachse Welche vo he wächst a schellste, welche a zwetschellste, welche a drttschellste ud welche a lagsaste? (a) f ( ) f 5 ( ) f( ) ( log ( ) ) f ( ) log ( ) (b) f ( ) ( log ( ) ) f( ) f log ( ) ( ) f( ) ( log ( ) ) Aufgabe 58: Bereche Se de erste Abletug der folgede utoe f: X R : (a) f( ) ( ) (b) 6 f ( ) 5 (c) f( ) e l( ) f ( ) (d) ( ) (e) (f) f( ) l( ) l( ) ( ) f( )

28 6 5 Ausgewählte Thee der Aalyss Aufgabe 59: Das Polyo p( ) vo Grad > bestze be ee doppelte Nullstelle Etschede Se, ob p( ) be ee Etrewert oder ee Wedeput hat Hwes: Ma a p ( ) ( ) p( ) t p( ) schrebe Wede Se zur Abletug auf dese Glechug de Produtregel a Aufgabe 5 [*]: Gegebe se das Polyo p ( ) ( ) t N t ür welche N hat p( ) be ee Wedeput, ud für welche N ee Etrewert? Etschede Se, ob es sch u e Mu oder e Mau hadelt Aufgabe 5: Der Absatzverlauf ees Produts se jede Zetput t durch de uto R> R f : t t t e (Produtlebeszylusfuto) beschrebbar (a) (b) (c) (d) Wa st der Absatz aal? Wa t der Absatz zu, ud wa t er ab? Wa stegt der Absatz a schellste? Beste Se (aale) Bereche, dee de uto f ove bzw oav st (e) Szzere Se de Kurveverlauf vo f

29 5 Ausgewählte Thee der Aalyss 7 Aufgabe 5 [*]: Ee Größe wrd über ee gewsse Zetrau beobachtet Dabe wrd festgestellt, daß de Werte,,, ud ee adere Werte at Gesucht wrd ee für alle Beobachtuge repräsetatve Größe s Es erschet verüftg, s so zu wähle, daß s de ttlere quadratsche Abwechug qa( S) ( S ) ert, dh s st gerade der Wert uter alle öglche Werte vo S, der zur ale ttlere quadratsche Abwechug führt Beste Se s Aufgabe 5: Bereche Se t Hlfe der Regel vo de l'hosptal (a) 6 l 6 (b) e e l l( ) (c) (d) l l e t N ud N ( ) (e) l l( ) l( ) Aufgabe 5: Beste Se de ezge postve Nullstelle des durch p ( ) deferte Polyos t Hlfe des Newtoverfahres

30 8 5 Ausgewählte Thee der Aalyss Aufgabe 55: Beste Se π auf Dezalstelle geau Aufgabe 56: Beste Se de Tayloretwclug -ter Ordug a der Stelle für de uto f : ], [ R Bereche Se dat ee Näherug für Aufgabe 57: Das Polyo p werde durch p ( ) defert Beste Se Zahle a, a, a, a ud a so, dass p ( ) a ( ) glt Etwcel Se dazu das Polyo e Taylorpolyo t eer geegete Ordug Aufgabe 58 [**]: Bereche Se Hwes: Beste Se dazu de Tayloretwclug a der Stelle der durch f( ) ( ) deferte uto

31 5 Ausgewählte Thee der Aalyss 9 Aufgabe 59: Bereche Se das Taylorpolyo 5-ter Ordug T 5 ( ) für de durch f( ) e ( deferte uto a der Stelle Köe Se ee ehetlche orel für f ) ( ) agebe, de für jedes N glt? Gbt es och ee efachere Weg, u T ( ) zu bereche? 5 Aufgabe 5: ) N I deser Aufgabe st ( de olge der boacc-zahle (sehe Kaptel 5) ud Zege Se: (a) (b) (c) ( ) (d) für (e) st geau da gerade, we durch telbar st (f) [*] st geau da durch telbar, we durch 6 telbar st (g) [*] st geau da durch 5 telbar, we durch 5 telbar st (h) [*] Ist durch telbar, so st durch telbar Aufgabe 5: E Bärbau heßt vollstädger Bärbau, we jedes Nveau, bs auf das höchste Nveau, t der aale Azahl a Kote belegt st Auf de höchste Nveau stehe alle Kote öglchst wet ls

32 5 Ausgewählte Thee der Aalyss De Kote ees vollstädge Bärbaus t Kote werde beged be der Wurzel ach aufstegede Nveaus ud auf jede Nveau vo ls ach rechts t de Nuer,,, uerert (a) (b) Welche Nuer beot dabe jewels der Kote ees Nveaus, der gaz ls steht? E Kote, der zwe Nachfolger hat, habe deser Nuererug de Nuer Welche Nuer habe de bede Nachfolger?

33 6 Ausgewählte Thee der Leare Algebra Aufgabe 6: Gegebe see de Matrze 5 A B C, ud 5 9 Bereche Se ( AB ) C A( BC ) ud Aufgabe 6: (a) Es see A ud B Matrze Uter welche Bedguge glt der bosche Lehrsatz ( ) A B A ABB? Wähle Se als Bespele für A ud B de Matrze A B ud bzw A B ud 5 Aufgabe 6: ee Matr De zu A traspoerte Matr st de Mat- Es se [ a j] r A T A T ( [ ], ) a, j AA (, ),,,, j,,,,, j,, t a a Be Vorgag der Trasposto werde, j j, also Zele vo A zu Spalte vo A T ud ugeehrt Zege Se: (a) ( A ) T T A, dh zwealge Trasposto hebt sch auf; ( ) T T AB B A T, dh Trasposto ehrt de Rehefolge der Multplato u

34 6 Ausgewählte Thee der Leare Algebra (b) Welche Egeschafte habe de Matrze ( ) ( ) AA A A T T ud? Sd dese Matrze er defert? Aufgabe 6: Sd folgede Mege vo Vetore jewels lear-uabhägg oder lear-abhägg? (a),, (b), (c) [ ] [ ] { }, (d) De Mege { } r r r a b c,, bestehed aus dre Vetore se lear-uabhägg Glt deses da auch für de Mege { } r r r r r r a b b c a c,, ud { } r r r r r r a b b c a c,,? Aufgabe 65: Löse Se de leare Glechugssystee (a) 9 7 (b) (c) 7 9 5

35 6 Ausgewählte Thee der Leare Algebra (d) 8 (e) 5 (f) Aufgabe 66: Gegebe se das leare Glechugssyste a a t a R ür welche Werte vo a hat das Glechugssyste ee edeutge Lösug, ee Lösug bzw uedlch vele Lösuge? Aufgabe 67: Beste Se de jewelge Rag der folgede Matrze: (a) (b) Aufgabe 68: Beste Se zu de folgede Matrze jewels de verse Matr: (a) 5 (b)

36 6 Ausgewählte Thee der Leare Algebra Aufgabe 69: Zege Se, dass für de Matr A ( A T ) ( A - ) T glt:

37 Lösuge der Übugsaufgabe Aufgabe : (a) Es hadelt sch u ee Tautologe (b) ( P ( Q R) ) (( P Q) R) st ee Tautologe: für de Belegug vo P, Q ud R jewels t ALSCH ergbt sch ls der Wahrhetswert WAHR (da P de Wahrhetswert ALSCH bestzt) ud rechts der Wahrhetswert ALSCH (da P Q de Wahrhetswert WAHR ud R de Wahrhetswert ALSCH hat) (c) Es hadelt sch u ee Tautologe (d) ( P Q) ( Q P) st ee Tautologe: für de Belegug vo P t de Wahrhetswert ALSCH ud vo Q t de Wahrhetswert WAHR ergbt sch sgesat der Wahrhetswert ALSCH (e) Es hadelt sch u ee Tautologe Aufgabe : Zu zege st, dass < reflev, atsyetrsch ud trastv st Da st, telt de Zahl ohe Rest, dh < ; < st reflev Aus Daher st Aus < ud < folgt ud h t atürlche Zahle > ud h > ud, also < ud < l folgt ud l h t atürlche Zahle > ud h > l h, dh telt l ohe Rest bzw < l Daher st ( ) Dese Relato st ee totale Ordugsrelato: Bespelswese glt weder < 7 och 7 < Aufgabe 5: Wege st ( ) (, ), (Reflevtät)

38 6 Lösuge der Übugsaufgabe Es gelte ( ) (, l) (Syetre),, dh l Da glt auch l, also (, l) (, ) Aus (, ) (, l) ud (, l) ( g, h) folgt l ud h l g Daher glt l h l g De le Sete a geschrebe werde als ( h) ( l ) rechte Sete als ( g) ( l ) Aus Ao der atürlche Zahle folgt daraus h g, dh (, ) ( g, h) (Trastvtät), de ür (,) glt [ (, 5) ] ; für y (,) glt y [ ( 5, ) ] ; für (, ) z [ (, ) ] [(, 5) ] st de Mege aller Paare ( ) [( 5, ) ] st de Mege aller Paare ( ) [(, ) ] st de Mege aller Paare ( ) : [( 5) ] (, ) : [( ) ] (, ) : [(, ) ] (, ) N, t, t, t { } { } { }, N 5, N z glt Aufgabe 6: (a) Es gelte b a Zu zege st [ a ] [ b] ud [ ] [ a] b : Es se c [] a Da glt c a Wege der Trastvtät vo glt c b, dh [ b] Geauso zegt a [ b ] [] a Es gelte ugeehrt [ ] [] a b Zu zege st a b : c Wege a [ a] (Reflevtät) st auch [ b] a, also a b (b) Ist b a, da st ach (a) [ a ] [ b] Es se [ a] [ b] Da glt a ud b Mt der Syetre ud der Trastvtät der Äquvalezrelato folgt acheader: a, b ud a b Mt (a) st daher [ a ] [ b] Ethalte also zwe Äquvalezlasse e geesaes Eleet, da sd se scho glech Daher st für jedes a M ud jedes M (c) Offeschtlch glt U [ a] M b etweder [ a ] [ b] oder [ ] [ b] a M vo M Ist ugeehrt U [ ] dh M [ a] a a M a ; de alle Äquvalezlasse bestehe aus Eleete M, da st wege der Reflevtät ( ): [] U a M, also

39 Lösuge der Übugsaufgabe 7 Aufgabe 7: De Läge der lägere Sete ees Blatts DIN-A--orat se h, de der ürzere Sete se b We a das Blatt eal faltet, blebt das Seteverhälts (Läge der lägere Sete) zu (Läge der ürzere Sete) erhalte Es glt also (da de ürzere Sete ach der altug de Läge h ud de lägere Sete de Läge b aufwese): h b b h h b, h also b bzw h b I DIN-A--orat hat de lägere Sete de Läge h ud de ürzere Sete de Läge b De läche ees Blatts DIN-A--orat beträgt, dh b h bzw b h Das ergbt h b h ud h bzw h De lägere Sete ees Blatts DIN-A--orat st also glech 9,7 c Aufgabe 8: (a) De Behauptug glt für Se gelte für Zu zege st, dass aus deser Aahe auch de Gültget der orel für folgt ( ) ( ) ( ) 6 ( ) ( ) ( ) 6( ) ( ) ( ) ( ( ) ) 6 ach Idutosaahe De orel glt also auch für

40 8 Lösuge der Übugsaufgabe (b) De Behauptug glt für Se gelte für Zu zege st, dass aus deser Aahe auch de Gültget der orel für folgt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ach Idutosaahe (c) De Behauptug glt für Se gelte für Zu zege st, dass aus deser Aahe auch de Gültget der orel für folgt ach Idutosaahe (d) ür 6 st 7 9 < De Behauptug gelte für 6 Zu zege st, dass aus deser Aahe auch de Gültget der orel für folgt ( ) ( ) ( ) ( ) 7 7 < < De erste Uglechug st de Idutosaahe, de zwete glt wege 6 > (e) ür st de Sue ee Quadratzahl, älch glech De Behauptug, dass ee Quadratzahl st, gelte für Zu zege st, dass aus deser Aahe folgt, dass auch ee Quadratzahl st Zuächst werde ege leere Werte vo ausprobert: : : : 9 : 6 6

41 Lösuge der Übugsaufgabe 9 : 5 : : 6 5 De olge der auftretede Zahle, de quadrert voroe, st,,, 6,, 5, Dese Zahle habe de or ( ) De Verutug legt daher ahe, dass ( ) glt ür,,, 6 stt dese Verutug De Behauptug gelte für Da st ( ) ( ) ( ) ( ) 6 ach Idutosaahe Also stt de Behauptug auch für (f) ür alle N t 5 st > : ür 5 stt de Behauptug ( > ) Se gelte für 5 Da st ( ) 5 > > De Behauptug glt also auch für ür alle N t st > : ür stt de Behauptug ( > ) Se gelte für Da st ( ) > > ür alle N t 7 st > : ür 7 stt de Behauptug ( 7 7 > ) Se gelte für 7 Da st ( ) > >

42 Lösuge der Übugsaufgabe Es se N ee feste atürlche Zahl t ür,,, glt > für fast alle N (für st es lar, für,, sehe de obge Idutosbewese) Es gelte 5 Es wrd gesetzt Da glt für jedes : > ; de: ür de Idutosafag wrd gesetzt: ( ) ( ) >, de ach obge Idutosbewes st > für jedes 5 Es gelte > für Zu zege st, dass aus deser Aahe ( ) > folgt ( ) > Geäß Hwes der Aufgabestellug st ( ) a a a t a ort a dese orel och etwas u, so erhält a ( ) ( ) a a a a Dese Uglechug wrd obe egesetzt, ud a erhält: ( ) ( ) ( ) > > (g) Her wrd vollstädge Iduto über durchgeführt: ür st ( ) ) ( T De Behauptug gelte für Zu zege st, dass aus deser Aahe de Gültget der orel auch für folgt ( ) ( ) ( ) ( ) ach Idutosaahe T T Aufgabe 9: (a) ( ) 5 (b) 6

43 Lösuge der Übugsaufgabe (c) 6 7 a a Aufgabe : (a) (b) ( ) 5 Aufgabe : A B A B A B A B ( 5) ( ) ( ) 5, 5 ( )( 5) ( )( 5) ( )( 5) also A B ud 5A B Daraus folgt A ud B 9 ( )( 5) 5 5 Aufgabe : 99 ( ( )) ( ) ( ) I der ttlere Sue st de höchste Potez 99, der rechte Sue st de höchste Potez Also st Zur Berechug vo a 5 wrd de quadrerte Ausgagssue aders aufgetelt: 5 5 ( a b) a ab b t a 5 ud b 5

44 Lösuge der Übugsaufgabe Alle Poteze b ud b sd größer als 5, also auch alle Poteze ab Ma braucht also ur a zu utersuche: 5 a a 9 5 ( ) a 9 5 a a a a a I erste Suad st der Koeffzet vo 5 glech, zwete Suad etsteht der Koeffzet vo 5 9 aus ud st glech, drtte Suad etsteht der Koeffzet vo 5 8 aus ud st glech usw Isgesat ot 5 5-al vor, dh a 5 5

45 Aufgabe : Satz - (): Es se c C Zu zege st: es gbt A a t ( g f )( a) c o Da g surjetv st, gbt es st Da st ( g f )( a) g( f ( a) ) g( b) c b B t g ( b) c Zu b gbt es a A t f ( a) b, da f surjetv o Satz - (): Zu zege st, dass ( g f ) a ) ( g o f )( ) o ( a : a a ( g o f )( a) g( f ( a )) g( f ( a )) ( g o f )( a) ( a ) f ( ) g o f lsedeutg st, dh für a A ud a A folgt aus plzert wege der Ijetvtät vo g: f a Wege der Ijetvtät vo f folgt daraus a a Aufgabe : f R \ : { } R ud \ R g : { } R 5 (a) Es see { } ud { } t ( ) f ( ) R \ Daraus folgt acheader R \ f, dh ( ) ( ) ( ) ( ), 8 6 8, 6 5, 5 (b) ( R \ { } ) R f Zu zege blebt: ( ) f für jedes R \ { }

46 Lösuge der Übugsaufgabe Ageoe, es glt ( ) f für e R \ { } Dar- aus folgt (achreche!) der Wderspruch 9 Das bedeutet (c) De Glechug y wrd ach aufgelöst: y, dh y * f lautet * f \ R : (d) ( f ) { } R \ { } ( ) g o g Aufgabe : f R R R : R R (, y, z) ( y, y z) : Zu ( u, v) R R wrd gesetzt: (, y, z) ( u,, v) Da st f (, y, z) f ( u,, v) ( u, v) ( u, v) Das zegt, dass f surjetv st ür de bede verschedee Trpel (,, z) ud (,, z ) (,, z) (, z) (( ), ( z ) ) f (,, z ) glt f Also st f cht jetv R R g : R R R (, y) (, y, y) Das Trpel (,,) R R R : hat e Urbld uter g, also st g cht surjetv Es see (, y ) R R ud (, y ) R R t ( ) ( ), y g, y g (, y ) (, y, y ) (, y, y ) g(, y ) g Das bedeutet Also glt uto g st also jetv ud y y De

47 Lösuge der Übugsaufgabe 5 Aufgabe : Das Bespel A R, B R ud sd Nt a etwa { } f ( f ( U )) f ({ }) {, } U A B f : zegt, dass ud G cht zueader vers U, A U, da st ( U ) f ({ }) { } f ud Aufgabe 5: (a) Ist de Ausgagsege A edlch, so st jede Telege ebefalls edlch ud dat abzählbar De Ausgagsege A se also abzählbar uedlch t der Bjeto f : N A, ud es se B A Ist B edlch oder B A, so st B abzählbar B se uedlch ud A \ B Da B A st, habe alle Eleete vo B durch de uto f : N A ee Nuer Eleete A \ B trage ebefalls durch f ee Nuer, so dass a für de Nuererug vo B cht efach de uto f ehe N B a; de de Zuordugsvorschrft h : st ee Abbldug (für e f ( ) Eleet N t f ( ) A \ B bldet h cht ach B ab, so dass h cht lstotal st) Ee Bjeto zwsche N ud B wrd daher we folgt defert: h : N B t ( { f ( ) }) h( ) f B ud h( ) f { } f ( ) B \ U f ( ) für (b) Es se A ee uedlch abzählbare Mege, aus der a vele Eleete etfert De Abzählug vo A se f : N A De Nuer der etferte Eleete see,, j, j,, t < < < j < j < Da st de folgede uto g ee bjetve Abbldug, de A { f ( ),, f ( )} \ abzählt: für < st g ( ) f ( ) Der Wert st Jeder Wert t wrd cht auf ( ) Velehr wrd wrd auf ( ) wrd auf ( ) f abgebldet, da das Eleet ( ) auf ( ) f ( ) f abgebldet, we f abgebldet Der Wert f abgebldet (falls f ja gerade etfert wurde cht gerade glech

48 6 Lösuge der Übugsaufgabe f zugeordet usw Allgee lautet de Ab- st Jedes t wrd auf ( ) t wrd jewels ( ) bldugsvorschrft zur Nuererug vo A { f ( ),, f ( )} f abgebldet De Werte \ : N g : { f ( ),, f ( )} A \ f ( ) f f für < ( j) für j ( j ) j ( j ) ( ) für t j < (c) Zu zege st, dass de Veregug abzählbar veler abzählbarer Mege weder abzählbar st Es wrd her ur der all gezegt, dass alle betelgte Mege uedlch abzählbar sd (sehe Beerug a Ede der Lösug) Es se I ee abzählbare uedlche Mege t eer Nuererug durch de Bjeto f : N I De Mege A für I see jewels uedlch abzählbar t der Bjeto g : N A Ist I f t eer edeutg bestte Nuer, so lässt sch de Mege A A f ( ) darstelle als t ( ) A { g (), g (), g (), } { g (), g (), g (),} f ( ) f ( ) f ( ) Es wrd ee Abzählug (Bjeto) dass es für jedes h : N U A agegebe Dazu st zu beachte, N ur edlch vele Zahle j ud t j gbt: I : j, : j ud, j ud, : j ud, j ud, j ud, : j ud, j ud,, j ud De Eleete vo U A werde folgeder Rehefolge abgezählt: I Zuerst oe alle Eleete der or g f ( j )( ) t j (das st ur das Eleet g f () () ); da oe alle Eleete g f ( j )( ) t j (das sd de Eleete g f ()() ud g f () () ); aschleßed oe de Eleete g f ( j )( ) t j (das

49 Lösuge der Übugsaufgabe 7 sd de Eleete g (), g () ud g () ) usw Zu beachte st, dass g ( ) f () f () f () f ( j ) das -te Eleet der Mege A f ( j ) st t der für A f ( j ) zustädge Abzählug g N A f ( j) : f ( j) Der Afag der Abzählug lautet also: g (), g (), g (), g (), g (), g (), f () f () f () f () f () f () Ählch we be der Abzählug der postve ratoale Zahle wrd u ee Bjeto h : N U A ostruert: I Zu jede N t > gbt es ee edeutg bestte Zahl N t ( ) ( )( ) < De folgede Tabelle zegt ege Werte vo ud : Jede deser Zahle hat also ee edeutge Darstellug N N N De Zuordug h : (, ), bjetve Abbldug (Abzählug vo agebe a: ( ) (, ) ( ) für für t st daher ee N N ), t dere Hlfe a u h : N U A I N h : U A I g f ( )( ) t (, ) h ( ) Beerug: Ist de Ideege I edlch, so a a U A ählch abzähle we de postve ratoale Zahle (als Paare atürlcher Zahle) Ist ee der betelgte Mege f edlch, etwa A A t ( ) ( ) f ( ) f ( ) f ( ) I { g ( ), g (), g (),, g ( ) } l f, so st de obge Abbldug h so abzuwadel, dass hre Bld ee Paare (, ) t l etstehe

50 8 Lösuge der Übugsaufgabe Aufgabe 6: Offeschtlch st a ~ a Es gelte a ~ b, dh f ( a) f ( b), also auch f ( b) f ( a) bzw f f b ~ a Aus a ~ b ud b ~ c folgt f ( a) f ( b) ud f ( b) f ( c), also f ( a) f ( c), dh f a ~ c f f f Ist f jetv, so bestehe de Äquvalezlasse vo [ a] ~ f { a } ~ f aus eeleetge Mege:

51 Aufgabe : (a) Vo de sechs aufeaderfolgede Zahle p 5, p, p, p, p ud p sd geau zwe durch telbar De Przahl p ud de Zahl p sd cht durch telbar Ist p (od ), da st p (od ) ud p durch telbar Ist p (od ), da st p 5 (od ) ud p 5 durch telbar Bede Zahle p 5 ud p sd gerade Daher st 6 e Teler vo p oder vo p 5 (b) Es see,,,, ud 5 t > gegebe Ist ee deser Zahle ee Przahl, so stt de zu bewesede Behauptug Ist > Przahl, so sd, ud 5 als gerade Zahle ee Przahl Ist Przahl, so st ach Aufgabe (a) oder durch 6 telbar Ist durch 6 telbar, da auch durch, ud folglch st auch ( ) durch telbar, was aber der Aahe wdersprcht, > se Przahl Also st durch 6 (ud dat auch durch ) telbar Daraus folgt, dass ( ) durch telbar st Sd also ud Przahle, so sd uter,,,, ud 5 ee wetere Przahle Sd ud Przahle, so sd ach Aufgabe (a) oder durch 6 telbar Weder schedet aus (de sost wäre ( ) durch telbar) Also st durch 6 ud dat auch durch telbar, ud folglch st ( ) durch telbar Sd daher ud Przahle, so sd uter,,,, ud 5 ee wetere Przahle Geht a astelle vo als Przahl vo eer adere der Zahle,,,, ud 5 als Przahl aus, so arguetert a geauso Aufgabe : De aufeaderfolgede Zahle see,,, 9 Sd de erste füf Zahle sätlch zusaegesetzt, so st chts ehr zu zege Daher wrd ageoe, dass uter de erste füf Zahle ee Przahl p st (dabe se p de leste Przahl t deser Egeschaft) Es st p Nach Aufgabe (a) st 6 e Teler vo p oder vo p 5 all: p (od 6), dh p (od ) ud p (od )

52 5 Lösuge der Übugsaufgabe Ist p (od 5) da sd de füf aufeaderfolgede Zahle p,, p 5 zusaegesetzt, de es glt: p (od ), p (od ), p (od ), p (od 5) ud p 5 (od ) Ist p (od 5) da sd de füf aufeaderfolgede Zahle p 7,, p zusaegesetzt, de es glt: p 7 (od ), p 8 (od 5), p 9 (od ), p (od ) ud p (od ) Es st p 5 < 9 Ist p (od 5) da sd de füf aufeaderfolgede Zahle p,, p 5 zusaegesetzt, de es glt: p (od ), p (od 5), p (od ), p (od ) ud p 5 (od ) Ist p (od 5) da sd de füf aufeaderfolgede Zahle p 5,, p 9 zusaegesetzt, de es glt: p 5 (od ), p 6 (od 5), p 7 (od ), p 8 (od ) ud p 9 (od ) all: p 5 (od 6), dh p (od ) ud p (od ) Ist p (od 5) da sd de füf aufeaderfolgede Zahle p,, p 7 zusaegesetzt, de es glt: p (od ), p (od 5), p 5 (od ), p 6 (od ) ud p 7 (od ) Ist p (od 5) da sd de füf aufeaderfolgede Zahle p 7,, p zusaegesetzt, de es glt: p 7 (od ), p 8 (od 5), p 9 (od ), p (od ) ud p (od ) Ist p (od 5) da sd de füf aufeaderfolgede Zahle p,, p 5 zusaegesetzt, de es glt: p (od ), p (od 5), p (od ), p (od ) ud p 5 (od ) Ist p (od 5) da sd de füf aufeaderfolgede Zahle p,, p 7 zusaegesetzt, de es glt: p (od ), p (od ), p 5 (od ), p 6 (od 5) ud p 7 (od ) De aufeaderfolgede Zahle see a, a, a, a, a 5, a 6, a 7, a 8, a 9, a, a, a, a,, a Nach Aufgabe (b) sd uter a, a, a, a, a 5, a 6 höchstes zwe Przah-

53 Lösuge der Übugsaufgabe 5 le Sd es a ud a, so a de ächstöglche Przahl a 7 se; geauso verhält es sch, we es a ud a 5 sd De a a 7 ächstöglche aschleßede Przahle öe etweder a 9 oder a ud da erst weder a se usw Da es 5 Sechserblöce aufeaderfolgeder Zahle sd, gbt es sgesat also uter de Zahle höchstes Przahle Aufgabe : ( ) (od) Wege (od) ud (od) st Es st (od 5), also (od 5)

54 5 Lösuge der Übugsaufgabe Aufgabe : (a) ür jedes a Z st etweder a gerade oder a ugerade I erste all st a t Z, zwete all st a t Z Da st etweder a a Daher st etweder a od oder a od oder (b) De Zahle,,,, habe de or { { a t -al -al Wäre a e Quadrat, so st ach Aufgabe (a) a od oder a od Da (od ) glt, st (od ) ud a (od ) ; (od ) glt wege Daher st de Zahl a e Quadrat De Zahle ( Dezalschrebwese),,,, habe de or ( ) a t Es glt a od, also geht de Arguetato über Aufgabe (a) cht Ageoe, a st e Quadrat, dh a Da a gerade st, a cht gerade se; de da st ( )( ) ugerade Also hat de or t N Da st a Da st ( ) ( ) a ( ) ( ) ( ) Es st ( ) ( ) 5( ) a ud a a 5, dh edet t der Dezalzfferfolge 5 Es st t N, N ud 9 ( st de edrgstwertge Dezalzffer vo ) Da st ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) De letzte Dezalzffer des Produts ( ) vo bestt also de letzte Dezalzffer a, de glech 5 st De folgede Tabelle gbt alle Möglchete der letzte De- a: zalzffer vo ( )

55 Lösuge der Übugsaufgabe ( ) letzte Zffer 6 6 Ma seht, dass de Zffer 5 cht vorot Daher st de Aahe, a se e Quadrat, falsch Aufgabe 5: Es werde ur de chtegatve a Z utersucht, da a st all: a st estellg, dh a N t a 9 De folgede Tabelle zegt alle Werte a für a N t a 9: a a Ma seht: ür dese Werte glt ( od) 5 a all: a st zwestellg, dh a 99 a hat de or a a a a a a a t a {,, 9 } ud a {,,, 9 } Es st a, dh (a od ) ( a a a ) od De zu utersuchede Behauptug reduzert sch also auf de rage, ob es ee Zahleobato a ud a gbt, so dass a a a 5 für e N st De letzte Zffer st dabe ee 5 Der Atel a a lefert ee Zahl t Edzffer, dh der ezge Kaddat, der 5 bzw 5 lefer öte, st a Obge Tabelle zegt, daß ur a 5 rage ot I dese all st a a a 5 a, dh ( a a ) od 5 5 a all: a hat ehr als zwe Stelle, dh a Da st a a a a a Es wrd a a ud y a a gesetzt, dh a y ür y glt y 99 Nu st

56 5 Lösuge der Übugsaufgabe ( a od) ( y) od) ( y y ) od) ( y od) Aufgrud der Überleguge zu ud all ergbt y od t y 99 aber cht de Wert 5 Aufgabe 6: ür ud st e Teler vo Es glt ( ) Es se e Teler vo Wäre e Teler vo, da wäre Wege > st ggt (, ), ud sot wäre e Teler vo Das st wege > cht öglch Also st für der Wert e Teler vo Aufgabe 7: (a) ür jedes N t (od 5) glt 5 (od 5) Ebeso glt für jedes N t (od 5) : 5 (od 5) ür jedes [] 5 oder [ ] glt (od 5) ; das sd uedlch vele Werte Ebeso glt für je- (b) ür jedes N t (od) st 65 (od) des N t 9 (od) st 5 (od) (c) ür jedes N t (od7) st 7 (od7) Ebeso glt für jedes N t 5 (od7) st 9 (od7) Aufgabe 8: (a) ggt ( 8,5), a 7, b (b) ggt ( 98, 8) 6, a, b 7

57 Lösuge der Übugsaufgabe 55 Aufgabe 9: (a) ür a st a für etoe werde a od a od für,, für,, De übrge Werte öe der folgede Tabelle,, 8, 6, 6,,, 9, 8 5,, 7,, 9, 7,, 9, 7,, 9, 7,, 9, 7, 6,, 8 9, 6,,, 6,, 8 9, 6, 5 5, 5, 6 8,, 5, 5, 6 8,, 5, 5, 6 8, 6 6, 6, 6 8, 8 9, 5,, 7 7,, 8 5,,, , 9, 7 5, 5 9, 6, 77, 8 6,, 8, 56, 8, 8 8, 6, 96 5,, 8, 6, 96 5,, 8, 6, 96 5, 9 9, 8, 7, 9, 8, 7, 9, 8, 7, 9, 8, 7, 9, 9,,,,, 9, 9,,,,, 5, 55, 7, 77,, 9, 99 8, 88, 6, 66,,,,,,,,,,,

58 56 Lösuge der Übugsaufgabe (b) ür a st a für etoe werde a od5 a od 5 für,, für,,,, 8, 6,,, 8, 6,,, 8, 6,, De übrge Werte öe der folgede Tabelle, 9, 7, 6 6, 8, 9, 7, 6 6, 8, 9, 7, 6 6, 8, 9, 6,, 6,, 6,, 6,, 6,, 6,, 6 5 5, 5, 5 5, 5, 5 5, 5, 5 5, 5, 5 5, 5, 5 5, 5, 5 5, 5 6 6, 6 6, 6 6, 6 6, 6 6, 6 6, 6 6, 6 6, 6 6, 6 6, 6 6, 6 6, 6 6, , 9, 8, 9, 7, 9, 8, 9, 7, 9, 8, 9, 7, 9 8 8, 6,, 6, 8, 6,, 6, 8, 6,, 6, 8, 6 9 9, 8 6, 5 9, 8 6, 5 9, 8 6, 5 9, 8 6, 5 9, 8 6, 5 9, 8 6, 5 9, 8 6,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 9, 8, 6 6, 7, 9, 8, 6 6, 7, 9, 8, 6 6, 7, 9, 69, 5 7, 9,, 69, 5 7, 9,, 69, 5 7, 9,, 69, 96,, 96,, 96,, 96,, 96,, 96,, 96 Aufgabe : Da ggt, 9 ur de Zahle, oder 9 rage Zuächst werde ege Werte für ausprobert: 9 st, oe als ( ) (, 9) ggt 9 9 9

59 Lösuge der Übugsaufgabe 57 Seht a sch de drtte Zele a, so legt folgede Verutug ahe: ür jedes gerade N st ggt (, 9) ür jedes ugerade N der or t,, 7,, a- soste st für ugerades ggt (, 9) (ud da auch bewese): st ggt (, 9) 9 Dese Verutug a a zusaefasse für t N, dh für gerades ggt 9 für t N ud (od ) (, 9) für t N ud ( (od ) oder (od ) ) Bewes: Es se N gerade, dh für e N (, 9) ggt (od ) Also telt cht de Wert ud Es se N ugerade, dh für e N (od ) utersuche blebt, wa (od 9) ausgerechet:, dh st durch telbar Zu auch durch 9 telbar st, wa also glt Dazu werde zuächst ege Werte od 9 (od 9), (od 9), 6 7 (od 9), 7 8 (od 9), (od 9), (od 9) usw Offeschtlch oe für od 9 ur de Werte, oder 7 vor: (od 9) (od 9) 7 (od 9) für (od ) für (od ) für (od ) Da Also st für (od ) : (od 9), für (od ) : (od 9), für (od ) : (od 9) 7 st, oe als (, 7) ggt ur de Zahle,, 9 oder 7 rage Dat durch 7 telbar st, uss es durch ud 9 telbar se Alle Werte sd cht durch telbar Alle Werte ud ( (od ) oder (od ) ) für gerades für ugerades t für e N sd cht durch 9 telbar Dat durch 9 oder

60 58 Lösuge der Übugsaufgabe 7 telbar st, uss de or für e N t (od ) habe Vo dese Zahle sd ege durch 9 aber cht durch 7 telbar U ee Hwes auf dese Zahle zu beoe, werde ege lee Werte berechet: telbar durch 7? 9 e 5 ja e 975 e 779 ja e e ja olgede Verutug legt ahe: ür jedes N t (od ) glt: Ist (od 9), da st de Zahl durch 7 telbar ür (od 9) oder 7 (od 9) st de Zahl durch 9, aber cht durch 7 telbar Bewes: ür de Reste odulo 9, älch r,,, 8, glt ur für r, r ud r 7: r (od ) Also sd für N t (od ) ur de älle (od 9), (od 9) ud 7 (od 9) zu utersuche Nach de obge Überleguge st für dese der Wert durch 9 telbar ür (od 9) a a schrebe als l 9 t l N 9 6 (od 7) : Da st wege l9 l9 9 (od 7) ür (od 9) a a schrebe als l 9 t l N 5 (od 7) : ( ) l9 l9 l l (od 7) l9 5 l9 l9 Da glt wege ür 7 (od 9) a a schrebe als 7 l 9 t l N (od 7) : Da glt wege

61 7 l9 7 ( ) l9 l l 8 8 (od 7) l9 Lösuge der Übugsaufgabe l9 l9 Zusaefassed glt also: ggt (, 7) 9 7 für t N, dh für gerades für t N ud für t N ud für t N ud (od 9) ( (od ) oder (od ) ) ( (od 9) oder 7 (od 9) ) Es se ugerade, dh t N ür de Telbaret vo durch braucht a ur dejege zu utersuche, für de (od ) glt E Tel deser Zahle st durch 9 ud cht durch 7 oder ee höhere er-potez telbar, e aderer Tel durch 7 ud ee höhere er-potez, e weterer Tel durch 8 ud ee höhere er- Potez telbar usw I der folgede Tabelle sd dejege Werte aufgeführt, für de durch lee er-poteze ( der Kopfzele) telbar st:

62 6 Lösuge der Übugsaufgabe Zur Utersuchug des ggt (, ) werde ege Hlfsbehauptuge aufgestellt I folgede se N t Da glt: (a) (od ) (b) (od ) (c) Mt ud t st (od ) Bewes vo (a): ür stt de Behauptug, ud se gelte für Zu zege st, dass aus deser Aahe de Behauptug auch für folgt

63 Lösuge der Übugsaufgabe 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ) (od ) (od ach Idutosaahe t t t t Bewes vo (b): ür stt de Behauptug, ud se gelte für Zu zege st, dass aus deser Aahe de Behauptug auch für folgt ( ) ( ) ( ) ) (od ) (od ach Idutosaahe t t t t Bewes vo (c): ( ) ach (b) ) (od Ist t, da glt ( ) ) (od ach (a) t t t t t Mt (c) folgt u das Ergebs: Ist t N, da st ( ), ggt Ist t N ud st N j der größte Wert t ud ) (od j j, da st ( ), j ggt

64 6 Lösuge der Übugsaufgabe Aufgabe : (a) Nach Satz - st a Z Z geau da verterbar, we ggt ( a, ) st Also sd,,, 5, 7, 8,,,, 6, 7, 9 ud alle verterbare Eleete Z Z (b) 7 (od 5) st glechbedeuted t 7 (od 5) Geäß Satz ggt -5 werde Zahle a ud bestt t a 7 5 ( 7, 5) CAL-uto vers erttelt a ud Mt a 7 (od 5) glt 7 (od 5) De PAS- Aufgabe : 5 Daher st t Satz - () ud (): φ ( ) φ( ) φ( 5 ) ( ) ( 5 5 ) ( ) 5 ( 5 ) Aufgabe : (a) Es se a N Ist a gerade, etwa a t N a p a p p p ( ) ( ) ( ), da st ebefalls gerade Ist a ugerade, etwa a t N, da st a p a p ( ) ( ) p ( ) ( ) ( ) ( ) p p p p p ( ), also ee gerade Zahl Daher st e Teler vo a p a

65 Lösuge der Übugsaufgabe 6 φ ( p) p Glt ggt ( a, p), da st ach Satz -: a a (od p) Daraus folgt acheader a p a (od p), a p a (od p), ud p telt a p a, al- Glt ggt ( a, p) p, da a a p a so st auch her p e Teler vo a p a p p p p p ud a a p a p p ( a p a ) (b) Mt Aufgabe (a) für p 5 glt: st e Teler vo a 5 a Daher habe a ud 5 a deselbe Edzffer Aufgabe : (a) Es glt ach Satz - (): 6 (od 7) Wege st 5 6 ( ) (od 7) (b) Es glt ach Satz - (): 6 (od7) Da st (od7) (c) U 7 od9 zu bereche, a a auf leere er-poteze aufbaue: Es folgt acheader 8 6 (od9), ( ) 9 (od9), (od9), 7 (od9) p (d) Nach Satz - () st p p (od p) t p ( t ) p p sbesodere ( t p) Da p ugerade ud p p ; de t Es glt: ( t p) (od p) p ( t ) p t t N, also gerade st, a t ur ugerade se, p (od p) Außerde st < p, so dass p p (od p) folgt (e) Es glt ach Satz - (): (od) ud (od) Daher st ( ) (od) ud ( ) 599 (od) Dat st ( ) od od

66 6 Lösuge der Übugsaufgabe Aufgabe 5: (a) 7 Es sd sgesat 8 älle zu utersuche, je achde, ob bzw bzw 7 de Zahl telt oder cht Eeplarsch werde her ur de bede folgede älle dargestellt: all : Weder och och 7 telt Nach Satz - glt: 6 (od 7), (od ) ud (od ) Da glt auch: 6 (od ) ud 6 (od ) Dat tele 7, ud (ud dat 7 ) jewels de Wert all : telt ud weder och 7 telt Nach Satz - glt: 6 (od 7) ud (od ) Da glt auch 6 (od ) Dat tele 7 ud jewels de Wert 7 telt ach allaahe de Wert Also st e Teler vo 7 7 (b) Es st Es wrd gezegt, dass für jedes N der Wert 5 7 durch 5 5 telbar st Dazu wrd folgede alluterschedug getroffe: all : Weder och 5 telt Nach Satz - glt: (od 5) ud (od ), dh 5 telt 5, ud telt Da telt 5 de Wert 5 ud de Wert 5 5 Es 5 5 st Also telt 5 de Wert all : telt Aus der allaahe folgt: telt Ist ggt (, 5 ), so glt ach Satz - : (od 5), ud dat telt 5 de Wert 5 Ist ggt (, 5) 5, da telt 5 5 de Zahl ud dat auch de Wert Nu a a we all weter arguetere

67 Lösuge der Übugsaufgabe 65 all : 5 telt Her verläuft de Arguetato we all

68 Aufgabe : 6 9 p, dh -8 7, p Aufgabe : Es see R ud N Bereche Se: (a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Aufgabe : ( ) ) (od p y y p y y p y p p p p p p p p p, da alle Werte p de ator p ethalte Aufgabe : ür ud stt de Behauptug Es se Da st ( )

69 Lösuge der Übugsaufgabe 67 Aufgabe 5: Es see A ud B dsjute Mege t A ud B Auf der le Sete des Glechhetszeches steht de Azahl -eleetger Telege vo A B Es se C ee - eleetge Telege vo A B Hat C t A geau Eleete geesa, da hat C t B geau Eleete geesa Das bedeutet, dass a jeder -eleetge Telege vo A B, de geau Eleete aus A ethält, alle ( ) -eleetge Telege vo B zuorde a Das sd geau vele Daher glt Aufgabe 6: De Mege M bestze geau Eleete De Azahl der Telege t geau Eleete st Satz - () besagt u gerade de zu zegede Behauptug: ( od ) ( od ) Aufgabe 7: (a) ! Verutug: ab 5! ee Null ehr, ab! ee wetere Null ehr Beerug: De Azahl der Nulle a Ede vo! glt lautet

70 68 Lösuge der Übugsaufgabe (b) ( )! ( ) ( ) ( )! I Zähler st jede zwete Zahl gerade, also vo der or : Der Zähler lautet: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 5 ( ) ( ) ( ) ( ) (I der letzte Zele stehe der erste Klaer de ugerade atore vo ( )! I der zwete Klaer stehe de ausgelaerte e aus de gerade atore vo ( )! I der drtte Klaer stehe de Reste aus de gerade atore vo ( )!, achde de e ausgelaert wurde Durch Kürze ergbt sch also ( )! 5 ( )! Aufgabe 8: Es see A {,,,, 5 } ud { u, v, w,, y, z } B, also A 5 ud B 6 (a) De Azahl jetver Abblduge f : A B st ach Satz - glech 6! 6! 7 5! ( 6 ) (b) Es se M de Mege aller jetve Abblduge f : A B Mt { f f : A B ud f st jetv ud f () v oder f () } { f f : A B ud f st jetv ud f () u oder f () }, { f f : A B ud f st jetv ud f () } { f f : A B ud f st jetv ud f () v oder f () oder f () } A, w A w A, A y st de gesuchte Azahl glech der Azahl der Eleete M, de eer der Mege A,, A lege Nach Satz - st dese gesuchte Azahl glech M {,, l} I ud I ( ) I I A t l I Nach Aufgabe (a) st M 7

71 Lösuge der Übugsaufgabe 69 5! Es st A, de für f A st berets f () festgelegt, dh es üsse och f ()! für,,, 5 bestt werde, ud der Zelege sd durch de estlegug vo f () ur och 5 Eleete verfügbar Also gbt es t der estlegug f ( ) v A 5! ( 5 )! vele jetve utoe Etspreched gbt es t der estlegug f ( ) w och eal 5! ( 5 )! vele jetve utoe Geauso folgt ud 5! A! 5! A,! A 5!! Es se f A A Da sd zwe utoswerte festgelegt, älch f () ud f (), ud de Zelege hat ur och öglche cht festlegte Eleete Außerde a für f ( ) w cht auch f ( ) w gelte, de f st ja jetv Daher st! A A ( )!!! Etspreched folgt A A, A A 5, ( )! ( )!!! A A 6 ud A A ( )! ( )!! A A, ( )! Es werde jetzt de Schtte aus jewels Mege A betrachtet: Dabe gbt es be eer getroffee estlegug für jewels Eleete (!)! jetve Abblduge Daher st öglche! A A A, ( )!! A A A 7, ( )!! A A A, ( )!! A A A ( )! Mt deselbe Überleguge folgt

72 7 Lösuge der Übugsaufgabe! A A A A ( )! Isgesat ergbt sch für de gesuchte Azahl 7 85!! 7!! 6 Aufgabe 9: (a) Es bezeche { ud, ud telt } A N A 5, A ud A 5 A 6 A, A A5 ud A A5 6 A A A5 Da st ach Satz - de Azahl der atürlche Zahle t, de cht durch, oder 5 telbar sd, glech ( 5 ) ( 6 6) 6 (b) Es wrd zuächst de Azahl der gazzahlge chtegatve Lösuge der Glechug r bestt: De Zahl r a a sch als ee olge vo r e vorstelle, ud de Auftelug des Werts r auf Ubestte a a dadurch beschrebe, dass a de olge der r e Trestrche efügt De Wert etsprcht da de Azahl der e vor de erste Trestrch, de Wert de Azahl der e zwsche de erste ud de zwete Trestrch usw, ud de Wert etsprcht de Azahl der e ach de letzte Trestrch De Azahl der gazzahlge chtegatve Lösuge der Glechug r wrd also durch de Azahl der Möglchete bestt, aus de r Postoe für e ud Trestrche r Postoe für de e auszuwähle Das sd r r Möglchete

73 Lösuge der Übugsaufgabe 7 I der Aufgabe st r 8 ud Also gbt es gazzahlge Lösuge 8 der Glechug 8 t für,,, Es bezeche L für,,, de Lösuge t > 7 bzw 8 Es glt aus Syetregrüde: L L L L Jeder Lösug der Glechug 8 t 8 etsprcht ee Lösug der Glechug ( ) 8 Daher glt L Geauso etsprcht jeder Lösug der Glechug 8 t aus L L der Lösug der Glechug ( ) ( 8) Daher st 8 5 L L De gleche Überleguge gelte für de adere Kobatoe aus Schtte zweer Mege L Da der Schtt dreer Mege L ud der Schtt aller ver Mege L leer st, ergbt sch für de gesuchte Azahl 5 6 6

74 Aufgabe 5: (a) Grezwert (b) Grezwert,7985 (c) Ke Grezwert, soder zwe Häufugspute be,797 bzw,86 Aufgabe 5: (a) l l (b) Der Ausdruc wrd durch geürzt ud ergbt l ( ) ( ) ( ) ( ) l (c) l l ( ) ( ) ( ) l ( ) ( ) l Aufgabe 5: Es se ε > Wr wähle N so, dass ε glt Da st sbesodere > ε ε ε ür jedes N t glt u a < ε, de a ( ) < ε ε Ab 9999 st a

75 Lösuge der Übugsaufgabe 7 Aufgabe 5: (a) l ( ) ( 5) ( ) ( 5) 9 l 5 9,5 (b) ( ) l ( ) l (c) 5 l l s t s Zu beachte st, dass her 5 5 der Suatosde a der Utergreze be begt Es glt s , also l s, 5 (d) ( ) l ( ) l l 6 Aufgabe 55: (a) Nach de Quoteterteru (Satz 5- ()) st achzuwese, dass ab ee Ide a N stets q für ee Wert q t < q < glt a Her st ( ) a a Da ( ) < ( ) olge ud dat < st, dh de a ooto fällt, gbt es ee Wert q t < q < ud q a ab

76 7 Lösuge der Übugsaufgabe ee Ide N (es st <,89, dh das Verfahre futoert t q,89 ab ), so dass de Rehe overgert (b)!! ep() e (c) Es st! 5 ( )! 5 ()! ( )!!! 6 ( ) ( ) 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ür folgt acheader: der letzte Bruch daher 5, ( ), Dat st < Nach de Majoraterteru (Satz 5- ()) overgert! ( ), da overgert Aufgabe 56: ür a glt be,,, de Abschätzug < a I der Lteratur fdet a für a de Abschätzug l( ) < a < l( ), dh a l( ) 8 ür > e, 8565 glt a > Aufgabe 57: Der gesuchte aale Deftosberech werde jewels t X bezechet (a) Es uss 9 gelte Das ergbt X { }

77 Lösuge der Übugsaufgabe 75 (b) Es uss 9 gelte Das ergbt X ], ] [, [ (c) f ( ) st für cht defert, also X R\{} (d) Es uss ( ) gelte Daher st X R\{,, } (e) Es uss gelte ür R st ür R < st > Daher glt X R (f) Es uss gelte ür R st ür R < st < Daher glt X R Aufgabe 58: Es st f ( ) ( ) Der Graph der uto st de u ach obe ud u ach rechts verschobee Noralparabel De uto bestzt geau da ee Uehrfuto, we a ud b glt Aufgabe 59: Es see [, ] ud [ ], t < Da st > ud dat f( ) > f( ) De uto st also Itervall [, ] streg ooto falled Wäre f [, ] ove, so üsste für jedes [, ] ud [ ] l R t < l < gelte: f ( l ( l) ) l f ( ) ( l f ( ) bzw ) ( l ( l) ) l ( l), t ud jedes ür, ud l st aber ud, >, dh f st [, ] cht ove

78 76 Lösuge der Übugsaufgabe Aufgabe 5: (a) für f( ) für < (b) für f( ) für <

79 Lösuge der Übugsaufgabe 77 (c) f( ) st der gazzahlge Atel vo (d) f( ) st der gebrochee Atel vo Aufgabe 5: Es bezeche (f) de putege der uto f, dh c ( f ), we f(c) c glt (a) f c) c 8 c ( st glechbedeuted t c, dh ( f ) { } (b) ( f ) { c c c} { c c }

80 78 Lösuge der Übugsaufgabe (c) E put der Läge hat de or c z z z t f( c) zzz zzz Daher st de Mege der pute der Läge glech { c c a t ud a } A A Etspreched st de Mege der pute der Läge glech { c c } t A, dh c st put der Läge, we ud glt, zb OTTO ud ANNA sd pute der Läge De Mege der pute der Läge st glech der Mege der Zecheette der Läge, de vorwärts ud rücwärts gelese glechlaute De Mege der pute der Läge st glech { c c uau R ud a ud u ud Läge vo u } A A * das Wort, das aus der ugeehrte Buchstabefolge vo u be- Herbe bezechet u R steht Aufgabe 5: (a) 5 ( ) 6 ( 6) p, dh ee Nullstelle st Es st 6 z z 6 t z Aus z z 6 folgt 69 z, ± 6, dh z 9 ud z De Nullstelle vo p sd also,,,, 5 Ee adere Lösugsöglchet versucht zuächst durch Probere ee Nullstelle vo 6 zu erttel Ma fdet lecht Da wrd 6 durch dvdert: ( 6) : ( ) 9 8 Der Lösugshwes der Aufgabestellug lässt ee Nullstelle be verute Also a a 9 8 durch dvdere: ( 9 8) : ( ) Das lefert de restlche Nullstelle Offeschtlch st ( ) ( ) ud 5 (b) De Nullstelle laute, 5 ud (c) Setzt a z, so erhält a p ( ) z z De Nullstel-