2 42 ). logn, y an, bzw die Information, die y über x enthält. input y besitzt, dann gibt die notwendige Programmlänge, KΦ x y p : Φ p x

Transkript

1 TM, KΦ y y y lteratv dazu ka a auch sage, dass der $ (a) koplzerter ( Se seer Beschrebug) als (b) oder (c) st. Das führt zu Begrff der deskrptve oder Kologorov Kopletät edlcher oder uedlcher $s. Zufällgket erde r da so defere, dass a esetlche Bts braucht, u ee zufällge $ der Läge zu beschrebe. Hgege hat Progra (a) ee Läge vo dh u dese zufällge Folge zu beschrebe, üsse r se esetlche selbst hschrebe., obe log für de Darstellug der Zahl beötgt rd. log, We r vo der $Läge 4 abstrahere, da hat das Progra für (c) ur ee Läge vo Kopletätstheore () (Wolfgag Slay) 3 sd alle dre Folge glech (u)ahrschelch (p 4 ). Folge (b) ud (c) ese lecht zu erkeede Regulartäte auf, ähred des be (a) ascheed cht der Fall st. Tatsächlch st (a) durch Werfe eer Müze etstade: Folge (a) erschet zufällger als de adere ze. derersets, Se der Wahrschelchketsrechug (c) (b) (a) Was uterschedet de folgede Zahlefolge? Kologorov Kopletät Kopletätstheore () (Wolfgag Slay) Defto: See p. Jede berechebare partelle Fukto Φ, zusae t belebge p ud y sodass Φ p, st ee Beschrebug vo. De Kologorov Kopletät vo relatv zu y Bezug auf Φ st KΦ p : Φ p ud KΦ ε (der leere $), da st KΦ ε de (absolute) Kologorov Kopletät, dh de Läge des kürzeste Progras der Prograersprache Φ (zb Java, ee $ ), das ausgbt. falls es ke solches p gbt. We y Varate: We der lgorthus ee Egabeaesug put y bestzt, da gbt de otedge Prograläge, u uter Kets vo y zu geerere, gesseraße de relatve Zufällgket vo gegeüber y a, bz de Iforato, de y über ethält. Kopletätstheore () (Wolfgag Slay) 4 (c) for : to 4 output ; (b) for : to output ; (a) output ; Schrebe r e Progra auf, dass de jeelge Folge erzeuge ka: I orale Sprachgebrauch sd zufällge Eregsse de, be dee r ke Bldugsgesetz fde köe, dass es us erlaube ürde, de Egeschafte der Eregsse eakt vorauszusage. Idee lgorthk. De Wahrschelchketsrechug sagt us cht, e Zufällgket svoll defert erde ka. Kopletätstheore () (Wolfgag Slay)

2 P c aus; k st Jedes P beschrebt de lekographsch erste $ t K ud daher führt de ahe, dass e solches M estert zu ee Wderspruch.. Da P aber log. Für gerade große glt beschrebt, glt K log Beerkug: K st cht berechebar: De ageoe, K se berechebar durch e (er stoppedes) Progra M. Da se Progra P: : ε; repeat : Nachfolger vo ; utl M gbt ee Wert output ; Dh, der Großtel aller $s hat hohe K-Kopletät, e de esprechede $s sd cht gut koprerbar ud cht kopakt beschrebbar, se sd also zufällg. Kopletätstheore () (Wolfgag Slay) 7 Dh de uterschedlche Prograersprache uterschede sch ur durch ee addtve Kostate. I folgede fere r ee uverselle TM U ud ee Fukto Φ ud schrebe ur och K. Bees: c st de Läge des Iterpreterprogras. KΦ KΦ y Theore: (Ivaraz) Es gbt ee berechebare partelle Fukto Φ sodass für jede adere berechebare partelle Fukto Φ es ee Kostate c gbt sodass De Wahl der Prograersprache köte rgee llkürlch erschee. Tatsächlch ka a aber durch ee Iterpreter jede Prograersprache auf eer uverselle (Turg-)Masche sulere. Kopletätstheore () (Wolfgag Slay) 5 : K Für jede $Läge defere r ee Wahrschelchketsvertelug, so dass de Wahrschelchket für das uftrete vo, bedeutet. Es uss gelte dass :. Wr olle so defere, dass K K proportoal zu st, dh c. Dazu K uss : d für kostates d c gelte: Uverselle Wahrschelchketsvertelug Kopletätstheore () (Wolfgag Slay) 8 destes $ hat K-Kopletät ehr als de Hälfte der $s hat K-Kopletät ehr als 3 4 der $s hat K-Kopletät ehr als 7 8 der $s hat K-Kopletät 3, us. llgee glt: de zahl der $s t K-Kopletät höchstes k k. Ugekehrt: höchstes $ hat K-Kopletät höchstes $s habe K-Kopletät höchstes 4 $s habe K-Kopletät. höchstes $s habe K-Kopletät der Läge k, ud daher auch ur k $s t K $s der Läge tele sch e folgt auf: k. De Es ka cht sehr vele $s t kleer Kologorov Kopletät gebe: Es gbt ja er höchstes k Prograe Kopletätstheore () (Wolfgag Slay) 6

3 α. ußerde glt aufgrud der T T " " " Ω TQucksort TQucksort Kostate α glt Kostrukto vo H, dass T Egabe der Läge. aal st uter alle propor- c. Dh, für ee vo uabhägge toal zu K lgorthus H hat ee feste (aber vo abhägge) Läge c. Für jedes se de usgabe vo dese lgorthus. Sot glt K c ud dat st T y ; f v % the : eddo; output ; v; : y edf; do v : for (alle y t y lekographscher Ordug) lgorthus H : ; put ; Kopletätstheore () (Wolfgag Slay) Se zu sortere. De lägebedgte Kologorov Kopletät der sorterte Folge st K. Uter der uverselle Wahrschelchketsvertelug st das uftrete der sorterte Folge besoders groß (Plausbltät?): kostat für alle : K $ c c : α. " " ### äre de durchschttlche Zetkopletät uter der uverselle Wahrschelchketsvertelug? (oder auch ugekehrt sorterter) Egabefolge (ud aver Ipleeterug) sd es aber (orst case). Was Läge glechvertelt ageoe sd. Be sorterter Schrtte, obe Egabe der selbe Bespel: Qucksort braucht bekateraße Durchschtt log Worst case vs. average case Kopletätstheore () (Wolfgag Slay) 9 T c Ω α T c T c : T ac Dat st der Erartugsert der durchschttlche Rechezet (average case) uter der uverselle Wahrschelchketsvertelug für ee belebge lgorthus, T ac : Dh be Egabe legt se orst case Zetverhalte a de Tag. T c Kopletätstheore () (Wolfgag Slay) das ee Egabe ar, be der se orst case Verhalte a de Tag legt. Wr verallgeeer für, ee belebge er stoppede lgorthus: Beerkug: De ezge Egeschaft vo ud Qucksort, de für de Bees chtg ar, ar Dabe st T de Rechezet vo lgorthus be Egabe. Dh, uter der uverselle Wahrschelchketsvertelug st der average case glech de orst case (bs auf ee kostate Faktor). α Ω : Dat st der Erartugsert der Rechezet uter : Kopletätstheore () (Wolfgag Slay)

4 c c edeutg bestt: ) L ud z CSM CSM CSM CSM TM Lea: Se u M ee $ TM, de L akzeptert. Se R ee Egabe ud se. ufgrud der obge Leas glt, dass für verschedee t auch de Crossg-Sequeze CSM R ud CSM R verschede se üsse. ( Bees: Rechts ud lks Rechuge zusaefüge: Es ädert sch chts a jeelge blauf (rechts bz lks). Lea: We c c CSM y CSM y., da auch Bees: Da lks vo de Rechuge vo M detsch verlaufe üsse ud M lks stoppt (ege de obd ) uss der Edzustad bede Fälle glech se. Kopletätstheore () (Wolfgag Slay) 5 Theore: De Sprache L R beötgt auf eer $ TM destes Ω R (es st ). a ak ak a Rechezet dass eger als de zu beesede Theore behauptet vele Schrtte acht, da gbt es evetuell ee Möglchket, de $ durch gabe des Progras ud eterer Iforatoe t eger als Bts zu beschrebe, as e Wderspruch äre. Techk: Ma ehe ee $ der Läge ( geüged groß) t aaler Kologorov Kopletät, also K. We a u at, dass es e Progra gbt, a, a pla, a caal, Paaa Utere Schrake Kopletätstheore () (Wolfgag Slay) 3 lgorthus Recostruct for : do Sulere M auf R ud otere dabe de Crossg- Sequez a der Posto. Falls dese t c überestt, da output ; ed M Daher st aus M L. Des st e Wderspruch, daher üsse de Crossg-Sequeze verschede se. auch de Crossg Sequeze (a Posto ) vo R ud R glech sd. Nu ede a das. Lea a t, y R ud z R. Dabe st y Bees: geoe, de Crossg Sequeze äre glech. Ma ede das. Lea a ud erhält, dass Kopletätstheore () (Wolfgag Slay) 6 y L &z L Lea: Se. We CSM y z, da: Wr ehe obd a, dass alle usere TM ur zu solche Zetpukte de Edzustad übergehe köe, e hr Cursor a Beg des $s steht. Offeschtlch glt. CSM se de Folge vo Zustäde aus Z, de der Rechug vo M be Überschrete vo Posto durch de Cursor durchlaufe erde. Z Se M ee $ TM ud bezeche de Schttstelle zsche Feld ud auf de $. De Crossg-Sequez Kopletätstheore () (Wolfgag Slay) 4

5 CSM CSM Ω 9 TM log 3 log Wr schleße daraus: K log c. Sofer t aaler Kologorov Kopletät geählt urde, also K, so folgt (u kot das Kologorov- Beesarguet) c log. Daraus folgt: Kopletätstheore () (Wolfgag Slay) 7