Prof. Dr. B.Grabowski. Die Behauptung I folgt aus der Multiplikationsformel: )

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1 Höhere Mathemat KI Master rof. Dr..Grabows E-ost: Satz vo ayes ud totale Wahrschelchet Zu ufgabe anachwes der Formel I ud II: eh.: I. Formel der totale Wahrschelchet: ewes: Es glt:... 2 Da alle Eregsse,,...,, paarwese dsjut sd, glt ach xom 3 der Wahrschelchet:. De ehauptug I folgt aus der Multplatosformel: q.e.d eh: II. Satz vo ayes: ewes: Wahrschelchet totale der Formel Multplatossatz Wahrschelchet bedgte der Defto q.e.d b We lautet der Satz vo ayes, falls 2, ud 2 st? twort: + ud +

2 Höhere Mathemat KI Master rof. Dr..Grabows E-ost: ufgabe zum Satz vo ayes für 2. Hwes: Verwede Se de Satz vo ayes für 2 a ud defere Se ud 2 ud dazu auf geegete Wese! Zu ufgabe 2 Wr wolle de Zuverlässget ees SM-Flters utersuche, dabe ehme wr a, dass wr geau wsse, was ee SM-mal st!. User SM-Flter arbetet we folgt: Es werde alle Texte als SM egestuft, dee das Wort Vagra vorommt Eregs. I jedem adere Fall werde de Texte als O.K. egestuft. Es soll de Zuverlässget deses SM-Flters, d.h., de Treschärfe des Wortes Vagra utersucht werde. us Utersuchuge vo Texte se beat, dass 20 % aller Texte SM s sd. Es se weterh beat, dass 90% aller Texte, de tatsächlch SM s sd, das Wort Vagra vorommt, aber leder auch % aller Texte, de ee SM s sd. a We groß st de Wahrschelchet dafür, dass e Text, der als SM egestuft wurde auch wrlch e SM st? b We groß st de Wahrschelchet dafür, dass e cht als SM egestufter Text e SM st? Gegebe: Nachrcht st e Spam, Vagra ommt vor als Spam egestuft, 0,2, 0,90, 0,0. Zu a Ges: Nach Satz vo ayes st: 0,9 0,2 bereche wr wedug der Formel der totale Wahrschelchet. Es st: + 0,9 0,2 + 0,0 0,8 0,88 0,9 0,2 Daraus folgt: 0,957 95,7% % 0,88 Zu b Ges: Nach Satz vo ayes glt: 0, 0,2 0,02 0,0242,4% 0,88 0,822 Zu ufgabe 3 E Übertragugssystem sedet de Zeche 0 ud Eregsse S0 ud S. I 80 % aller Fälle wrd ee 0 20 % aller Fälle ee gesedet. De Übertragug st fehlerbehaftet. De 2

3 Höhere Mathemat KI Master rof. Dr..Grabows E-ost: Wahrschelchet dafür, dass ee empfage wrd Eregs E, uter der edgug, dass ee 0 gesedet wurde, beträgt 0,0. De Wahrschelchet dafür, dass ee 0 empfage wurde E0 uter der edgug, dass ee gesedet wurde, st 0,02. Wr stelle us u auf de Stadput, dass wr ur de empfagee Zeche beobachte öe. Es werde ur de Zeche 0 ud empfage. a I we vel % aller Fälle wrd ee empfage b We groß st de Wahrschelchet dafür, dass tatsächlch auch ee gesedet wurde, we ee empfage wurde? Gegebe: Wahrschelchete: S0 0,8 S 0,2 ES0 0,0 E0S0,02 S, E a Gesucht: E Es glt ach Formel der tot. Wt: E E S0 S0 + E S S 0,0*0,8+-0,02*0,20,204 2,04% b Gesucht: SE Es glt Formel vo ayes: E S S S E E 0,02 * 0,2 0,96 0,204 Zu ufgabe 4 Mt eem Lügedetetor werde des Debstahls verdächtgte ersoe überprüft. Der Detetor schlägt durch e rotes Lchtsgal a oder etwart durch e grües Lchtsgal. Er st zu 90% zuverlässg, we de überprüfte erso tatsächlch schuldg st, ud er st zu 99% zuverlässg, we de erso uschuldg st. us eer Gruppe vo ersoe, vo dee 5% ee Debstahl begage habe, wrd ee erso überprüft. Der Detetor gbt e rotes Sgal. Mt welcher Warschelchet st de erso deoch uschuldg? Gegebe: Eregsse: Serso st schuldg, R Sgal st rot. S, R Wahrschelchete: R S0,9, R S 0,99, S0,05. Gesucht: S R Es glt ach Satz vo ayes: R S S R S S S R R R Nach Formel der tot. Wt st: R R S S + R S S 0,9 * 0,05 + 0,0*0,95 0,0545 3

4 Höhere Mathemat KI Master rof. Dr..Grabows E-ost: ud wr erhalte das Ergebs: R S S 0,0 0,95 95 S R 0,74 R 0, ufgabe zum Satz vo ayes für 3. Hwes: Verwede Se de Satz vo ayes für das jewels passede ud defere Se,, 2, 3 auf geegete Wese! Zu ufgabe 5 I eer Empfägerstato gehe Nachrchte vo 3 verschedee Seder e. Der Empfäger empfägt dabe 30 % aller Nachrchte vo Seder, 20% bzw. 50% vo Seder 2 ud 3. Über de Fehlerrate tel der fehlerhaft empfagee Nachrchte uter de gesedete se beat, dass se be Seder %, be Seder2 ud Seder3 2% bzw. 0,5 % beträgt. a We vel % fehlerhafte Nachrchte empfägt der Empfäger sgesamt? b Mt welcher Wahrschelchet stammt ee empfagee fehlerhafte Nachrcht vo Seder? c Sd de bede Eregsse: De Nachrcht st wrd fehlerhaft empfage ud Nachrcht stammt vo Seder stochastsch uabhägg voeader? egrüdug! Gegebe: Eregsse: S Nachrcht ommt vo Seder, F Nachrcht st fehlerhaft. S, F S 0,3, S2 0,2, S3 0,5, FS 0,0, FS2 0,02, FS3 0,005 Zu a Ges: F Nach Formel der totale Wahrschelchet st: F FSS + FS2 S2 + FS3 S3 0,0 0,3 + 0,02 0,2 + 0,005 0,5 0,0095 0,95% Zu b Ges: SF Nach Satz vo ayes glt: S S 0,0 0,3 30 S 0, ,36 zu c FS 0,0 F 0,0095. D.h. S ud F sd cht stochastsch uabhägg! Zu ufgabe 6 E Symptom S a vo 2 verschedee Krahete ud hervorgerufe werde. 4

5 Höhere Mathemat KI Master rof. Dr..Grabows E-ost: st selte ud gefährlch, trtt häufger auf, st aber harmlos. S trtt aber auch be gesude Mesche auf Eregs CMesch st gesud. us epdemologsche Utersuchuge et ma de Häufget des uftretes vo S be de Krahete ud bem gesude Mesche: Weterh st de Häufget des uftretes der Krahete ud der evölerug beat: D.h. ee der bede Krahete trtt mt Wahrschelche C 0,84 auf. e eer erso wurde das Symptom S beobachtet. a Mt welcher Wahrschelchet hat er Krahet? b Mt welcher Wahrschelchet hat er Krahet? c Mt welcher Wahrschelchet hat er weder Krahet och? Mt Hlfe der Formel vo ayes ud der Formel der Totale Wahrschelchet ergbt sch: 5

6 Höhere Mathemat KI Master rof. Dr..Grabows E-ost: Zu ufgabe 7 Gegebe: Eregsse: W erso a mt Web-rowser umgehe, W Stud erso st Studet, Schüler erso st Schüler 2 Sost erso st weder Schüler och Studet 3 Wahrschelchete: Stud 0,2, Schüler 0,3, Sost 0,5, WStud 0,6, WSchüler 0,8, WSost 0,2 Zu a Ges: StudW Nach Formel der totale Wahrschelchet st: W WStudStud + WSchüler Schüler + WSost Sost 0,6 0,2 + 0,8 0,3 + 0,2 0,5 0,46 Nach Satz vo ayes glt da: W Stud Stud 0,6 * 0,2 2 Stud W 0,26 W 0,46 46 Zu b Ges: SchülerW Nach Satz vo ayes glt: W Schüler Schüler 0,8*0,3 24 Schüler W 0,52 W 0,

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