6. Zusammenhangsmaße (Kovarianz und Korrelation)

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1 6. Zuammehagmaße Kovaraz ud Korrelato Problemtellug: Bher: Ee Varable pro Merkmalträger, Stchprobe x,, x Geucht: Maße für Durchchtt, Streuug, uw. Jetzt: Zwe metrche! Varable pro Merkmalträger, Stchprobe x, y,,x, y Geucht: Geegete Maß für de Zuammehag Bepele: Merkmalträger: B-Studete Varable : Körpergröße Varable 2: Gewcht Merkmalträger: Metwohuge Sege Varable : Größe m 2 Varable 2: Metpre Merkmalträger: Gebrauchtwage Varable : lter Varable 2: Kaufpre Merkmalträger: Täglche ktekure Varable : Bayer-kte Varable 2: BSF-kte 6. Zuammehagmaße Kovaraz ud Korrelato

2 Bepel: Kure zweer kte ud a 9 aufeader folgede Böretage: Zetpukt kte kte Schrtt: Graphche Dartellug der Date eem zwedmeoale Streudagramm Scatterplot 20,00 5,00 0,00 m 5,00 0,00 0,00 5,00 0,00 5,00 20,00 6. Zuammehagmaße Kovaraz ud Korrelato

3 2. Schrtt: De arthmetche Mttel aureche x = 0 ud y = 0 ud al Le da Koordateytem zeche. 4 Quadrate 20,00 II. - I. + 5,00 0,00 m 5,00 III. + IV. - 0,00 0,00 5,00 0,00 5,00 20,00 Quadrat I.: Quadrat II.: Quadrat III.: Quadrat IV.: x x ud y y + + = + po. Zhg. x x ud y y + = eg. Zhg. x x ud y y = + po. Zhg. x x ud y y + = eg. Zhg. Potver Zuammehag Häufug der Pukte I. ud III. Negatver Zuammehag Häufug der Pukte II. ud IV. Ke Zuammehag Glechmäßge Belegug der Quadrate. 6. Zuammehagmaße Kovaraz ud Korrelato

4 3. Schrtt: Berechug de Trefferquotete 20,00 II. - I. + 5,00 0,00 m 5,00 III. + IV. - 0,00 0,00 5,00 0,00 5,00 20,00 Belegug der ezele Quadrate: Quadrat I.: 3,5 Quadrat II.:,5 Quadrat III.: 3 Quadrat IV.: 6,5 2,5 D.h.: I ud III gewe gege II ud IV mt 6,5:2,5 Trefferquotet Trefferquotet > Potver Zuammehag. Trefferquotet < Negatver Zuammehag. Trefferquotet = Ke Zuammehag. ber 6. Zuammehagmaße Kovaraz ud Korrelato

5 Trefferquotet t al Maß für de Zuammehag zu grob. Bepel: Täglche Kure zweer kte ud über zwe oche:. oche 2. oche Zetpukt kte kte x = y =0 x = y = oche 2. oche Offechtlch: Zuammehag t der zwete oche augeprägter. Problem: Löug: Trefferquotet t bede oche glech. Berückchtgug der Lage der ezele Datepukte, relatv betrachtet zu de arthmetche Mttel uterchedlche Gewchtug der Pukte x, y 6. Zuammehagmaße Kovaraz ud Korrelato

6 De uterchedlche Gewchtug erfolgt durch Betrachtug der Fläche, de de Pukte mt de arthmetche Mttel blde. x x, y x 2, y 2 x 2 y y 2 chtug! Negatve Fläche! Für de Fläche, alo de Gewchte der Pukte x, y, =,,, glt: x x y y > 0, fall x > x ud y > y oder x < x ud y < y = 0, fall x = x oder y = y < 0, fall x > x ud y < y oder x < x ud y > y Da arthmetche Mttel deer Gewchte Fläche t e geegete Maß für de Zuammehag Emprche Kovaraz 6. Zuammehagmaße Kovaraz ud Korrelato

7 Emprche Kovaraz vo ud = = Berechug der Kovaraz m Bepel: x x y y Kure zweer kte ud a 9 aufeader folgede Böretage: Zetpukt kte kte rbettabelle: x x x y y y x x y y x y x =0 y = 0 = 42 9 = 4,67 lteratv: = x y x y = = 942/9 0 0 = 04,67 00 = 4,67 6. Zuammehagmaße Kovaraz ud Korrelato - 4 -

8 ! Satz: E glt: a b = y = ax b + mt a 0. Brava-Pearo-Korrelatokoeffzet r = = x = x y 2 x = x = y y y 2 Im Bepel: 2 = , 40 2 = 24 9, 63 4,67 r = 0, 84 3,4,63 6. Zuammehagmaße Kovaraz ud Korrelato

9 ! Satz: Für de Brava-Pearo-Korrelatokoeffzete glt: a - r. b r = y = ax + b mt a > 0 für alle. 0,00 3 8,00 6,00 4,00 2,00 Größter potver learer Zuammehag: lle Pukte lege auf eer Gerade mt potver Stegug. 0,00 0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 0,00 c r = - y = ax + b mt a < 0 für alle. 0,00 4 8,00 6,00 4,00 2,00 Größter egatver learer Zuammehag: lle Pukte lege auf eer Gerade mt egatver Stegug. 0,00 0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 0,00 6. Zuammehagmaße Kovaraz ud Korrelato

10 ! arug : Vorcht be r = 0!!! Bedeutet r = 0, da ke Zuammehag beteht? x y x y 5 = 0 = = r = 0-0,5-0, ber e extert e perfekter 0,5 0,5 fuktoaler Zuammehag: x 2 y = Der Korrelatokoeffzet t ur al Maß für de leare Zuammehag geeget!! arug 2: Korrelato bedeutet cht otwedg Kaualtät!!! Ee hohe potve oder egatve Korrelato zwche ud ka mdete folgede Urache habe: ² t Urache für ² Z ² ud Z ² Zufall 6. Zuammehagmaße Kovaraz ud Korrelato

11 Optmale Kombato vo Progoe Stuato: Progoe de mttlere Dollarkure 6 Moate: Progoe Volatltät Commerzbak,20 x 0,05 Deutche Bak,30 y 0,0 u vergagee Progoe bekat: r = 0,25 Geucht: Ee Kombato der bede Progoe, ud zwar derart, da da ko Volatltät mmert wrd. Naheleged: Betrachte e gewogee arthmetche Mttel der bede Progoe. Der mttlere Dollarkur t da z + 2 = w x w y. ähle de Gewchte w ud w 2 o, da Z bzw. Z 2 mmal wrd. 6. Zuammehagmaße Kovaraz ud Korrelato

12 eetlcher Nachtel: Der Brava-Pearo-Korrelatokoeffzet t ur für metrch kalerte Merkmale defert. llerdg t e Zuammehag durchau auch für ordale oder omale Merkmale voll. Bepel: Merkmalträger: 6 getellte Merkmal : Bldugabchlu Merkmal : Jahregehalt etto 000 getellter x btur Hauptchule Fachhochchule btur Uvertät Mttlere efe y I.d.. glt: Geucht: Problem: uweg: Je höher der bchlu, deto höher da Gehalt. Maß für de Zuammehag Brava-Pearo-Korrelatokoeffzet t cht berechebar. Eretze de Merkmalaupräguge durch hre äge x bzw. y, ud bereche de Brava-Pearo-Korrelatokoeffzete mt dee äge Vorauetzug: egte ordale Nveau. 6. Zuammehagmaße Kovaraz ud Korrelato

13 6. Zuammehagmaße Kovaraz ud Korrelato agkorrelatokoeffzet ach Spearma = = = = S y x y x r 2 2, getellter x HS FH U M.. x 3, ,5 5 y y Löug: r S, = 0,55! Satz Spezalfall: Fall be ud jewel alle äge verchede d, da glt: 6 2, + = = y x r S

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