Skalentypen Skala Eigenschaften Zulässige Transformation Nominal. =, keine Ordnungen, keine Alle bijektiven Abbildungen

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1 I. Derptve tatt Formelammlug 005 Formelammlug I. Derptve tatt Grudgeamthet (Gg tchprobe (P Mege vo Objete, de hchtlch ee Uteruchugzele al glechartg ageehe werde. Mege vo beobachtete Mermalwerte a eer (zufällge Auwahl vo Objete der Grudgeamthet. Aufgabe der Derptve tatt t de Auwertug der tchprobe. Aufgabe der chleßede tatt t e, vo der tchprobe auf de Vertelug der Mermalwerte der Grudgeamthet mt möglcht hoher cherhetwahrchelchet zu chleße. aletype ala Egechafte Zuläge Traformato Nomal, ee Orduge, ee Alle bjetve Abblduge (Gechlecht,... Größe. Ordal,, <, >, ee Größe. Alle treg mootoe bjetve Abblduge, (erhalte de Ordugrelato (Qualtätlae,... Itervall (Temperatur,, <, >, +, -, Dffereze d b auf de Maßehet a edeutg, Nullput t cht edeutg, Verhälte dürfe cht gebldet werde. Alle Traformatoe der Form : a + b (a-maßehet, b-nullput Proportoal (Azahl, Gewcht, Zet, Läge...,, <, >, +, -, :,*, Dffereze d b auf de Maßehet a edeutg, Nullput t edeutg, Verhälte dürfe gebldet werde. Alle Traformatoe der Form : a (a-maßehet Zugröße: Ee eem zufällge Mermal durch alerug zugeordete Varable, dere Realeruge (Werte de Mermalaupräguge etpreche ud reelle Zahle d. Bezechuge: - Zugröße, ℵ - Werteberech vo, a,...,a,... möglche Werte vo au ℵ, x,...,x Beobachtuge vo a Objete (tchprobe. Drete Zugröße : Werteberech ℵvo t edlch oder abzählbar uedlch. tetge Zugröße : Werteberech ℵvo ethält e otuerlche Itervall.

2 I. Derptve tatt Formelammlug 005 äufgetverteluge Dret: {a,...,a }. tchprobe: x,...,x. (a h (a ( ( a j - Abolute äufget de Werte a Azahl aller tchprobewerte x j mt x j a ( a - Relatve äufget de Werte a Atel aller tchprobewerte x j mt x j a - Abolute ummehäufget Azahl aller tchprobewerte x j mt x j a h( h ( a F (x j h 0 ( a x a < x a x > a - Relatve ummehäufget Atel aller tchprobewerte x j mt x j a - emprche Vertelugfuto Atel aller tchprobewerte x j mt x j x tetg: Werteberech ℵvo ethält e otuerlche Itervall. tchprobe: x,...,x. Klaeetelug: Zerlegug vo ℵ djute Klae (Itervalle K,,...,: ℵ K K... K, K K j für j. Bezechuge zur Klae K a o -obere Klaegreze, a u - utere Klaegreze, K Klaebrete a ' u o a + a - Klaemtte, Wahl der Klaezahl: ( rude Forderug: 5 (optoal: 0 Wahl der Klaebrete: B xmax xm + ε ( aufrude, ε 0,5 der Maßehet Beg der Klaeetelug be: x m ε ( K h ( K ( h( F (x h* (K j j - Abolute Klaehäufget der Klae K Azahl aller tchprobewerte x j mt x j K ( K - Relatve Klaehäufget der Klae K Atel aller tchprobewerte x j mt x j K - Abolute Klae-ummehäufget ( K o Azahl aller tchprobewerte x j mt x j a h ( K - Relatve Klae-ummehäufget Atel aller tchprobewerte x j mt x j a o - emprche Vertelugfuto Atel aller tchprobewerte x j mt x j x h ( K - relatve äufgetdchte K

3 I. Derptve tatt Formelammlug 005 Berechug vo Atele, we ur och de Klaeetelug vorlegt, aber cht mehr de tchprobe: 0 ~ ( x a F ( x h( + K u h ( K x < a x > a u o x K tchprobeegröße Bezechuge: tchprobe: x,..., x ; Geordete tchprobe (Raglte: xm x[] x[]... x[ ] xmax Maß Kürzel Formel Bedeutug Awedbar be ala Lagemaß, Itervall, Arthmetche Mttel Wert der x x x Durchchttlcher (erwarteter Proportoal tchprobedate treuug ( x x Durchchttlche quadratche Abwechug der tchprobedate vom Mttelwert tadard- treuugmaß Abwechug Varatooeffzet pawete (Rage -Quatl v R x v x R x max - x m x x + x [ ] [ +], Z x x [ ], Z ud de lete auf folgede gaze Zahl Modalwert x mod ( x max ( x mod j,..., j treuugmaß, Varabltät der tchprobe Bezug zur Größeordug der Date treuugmaß, Kleter Berech, welchem de P-Date lege. Lage- ud reuugmaß, Zerlegt de Werteberech vo Abchtte, l vo x lege 00% ud recht vo x (-00% der P-Date Lagemaß, äufgter Wert der P Itervall, Proportoal Itervall, Proportoal Proportoal Ordal, Itervall, Proportoal Ordal, Itervall, Proportoal Nomal, Ordal, Itervall, Proportoal 3

4 I. Derptve tatt Formelammlug 005 pezelle Quatle: Meda Utere Quartl Obere Quartl Dezetle x 0,5 x x + + x + ugerade gerade l ud recht vo x 0,5 lege jewel 50% der P-Date x l vo x 0,5 lege 5% ud recht vo 0,5 x 0,5 lege 75% der P-Date x l vo x 0,75 lege 75% ud recht vo 0,75 x 0,75 lege 5% der P-Date x 0,, x0,,..., x Zerlege de Werteberech vo 0,9 Abchtte, dee jewel 0% der P-Date lege Boxplot: Zerlegt de Werteberech vo Abchtte, dee jewel 5% der P- Date lege. Awedug: Bewertug der ymmetre (Getalt der äufgetvertelug Verglech vo äufgetverteluge 4

5 I. Derptve tatt Formelammlug 005 Approxmato der tchprobeegröße be lafzerte Date (Bezechuge: ehe ete Aahme: de tchprobedate d glechmäßg jeder Klae vertelt. Maß Kürzel Formel Arthmetche Mttel x x' a ' treuug * tadard-abwechug Varatooeffzet ( K * ( a ' x' ( K heppard che Korreturformel: B * -, wobe B K für alle,..., v pawete (Rage R R -Quatl v x' o a u a ~ u ( h( x~ x a + K h ( K, ( Modalwert x mod ' ' x~ K ~ x~ t der Wert, für de glt: ( ~ F x x a, wobe mod M ' am de Mtte der häufgte Klae t: ( K M max,..., ( K 5

6 I. Derptve tatt Formelammlug 005 Korrelatomaße (Efache Korrelato : Grad de leare Zuammehag zwche Zugröße ud Y. Korrelatooeffzet r vo Pearo: Vorauetzug: ud Y bede proportoaltätalert Defto: r Y r : Y Y mt Y ( x x( y y, : Y : YY Egechafte: r r y y ax ax + b, + b, für,...,, a>0 Auwertug: r 0. uorrelert, r < 0. egatv orrelert,, r > 0. potv orrelert, 0. < r 0. 5 chwach orrelert 0.5 < r 0. 8 orrelert 0.8 < r. 0 hoch orrelert Korrelatooeffzet ρ vo pearma: Vorauetzug: ud Y bede mdete ordalalert Defto: Ma ordet de tchprobedate x auftegeder Rehefolge Ragplätze R[x ] zu. Trete detche Date wederholt auf, da erhalte alle de etprechede mttlere Ragplatz. De Pearoche Korrelato zwche de Ragplatzdate heßt Ragorrelatooeffzet vo pearma: Egechafte: ρ r R[]R[Y] e d R x ] R[ y ]. Da glt: [ d, R[ x ] ( + R[ y ] 0 ud für de Korrelatooeffzete : 6

7 I. Derptve tatt Formelammlug 005 ρ 6 d ( Auwertug:. We be r Zwedmeoale äufgettabelle ud Aozatomaße ee,y zwe Zugröße mt dem Werteberech χ { a,..., a }, γ { b,..., b l } m drete Fall bzw. Y Y de Klaeeteluge K,..., K ud K,..., K l m tetge Fall. e (x,y,,...,, ee tchprobe vo (,Y a Objete. Zwedmeoale äufgettabelle: \Y Y b ( K... b j ( Y K... Y j b l ( K umme a ( K... j... l. M M O M O M M a ( K... j... l. M M O M O M M a ( K... j... l. umme......j.... l.. Bezechuge: j h j j.. j j j j - Abolute Zell-äufget der Zelle (,j Azahl aller tchprobepaare (x h,y h mt mt x h a (x h K ud y h b j (y h K Y j - Relatve Zell-äufget der Zelle (,j Atel aller tchprobepaare (x h,y h mt mt x h a (x h K ud y h b j (y h K Y j - Abolute Zeleumme - Abolute palteumme h. - relatve äufget vo a ( K h /j j. j -bedgte relatve äufget vo a ( K uter der Bedgug, daß Yb j (Y K j Y t. Aozatomaße: Beurtele, ob ud Y tochatch uabhägg d. (Ohe Rchtug be cht Uabhägget!! 7

8 I. Derptve tatt Formelammlug 005 Vorauetzug: Bede Zugröße mdete omalalert. Der Korrgerte Kotgezoeffzet Defto: : - beobachtete abolute Zellhäufget B j j E j.. j : - be Uabhägget vo ud Y erwartete Zellhäufget (Be Uabhägget ollte de äufget de Auftrete vo a cht vo der Bedgug Yb j abhäge, alo gelte: j... j E h h / j bzw. ud damt j : j l ( χ- Koeffzet: χ : j. j B E j j E j Kotgez-Koeffzet: C χ χ + Korrgerter Kotgezoeffzet: Egechafte: 0 C orr Auwertug: C 0.,Y tochatch uabhägg orr q C orr C mt q m{l, } q 0. < C orr 0.5,Y chwach abhägg 0.5 < Corr.0,Y cht uabhägg Awedbaret der Maße: \Y Nomal Ordal Itervall Proportoal Nomal C orr C orr C orr C orr Ordal C orr C orr, ρ C orr, ρ C orr, ρ Itervall C orr C orr, ρ C orr, ρ C orr, ρ Proportoal C orr C orr, ρ C orr, ρ C orr, ρ, r Bemerug: We ma eht, a ma für proportoaltätalerte Mermale alle 3 Maße bereche. Allgemee Regel: Ma mmt, (we cht adere verlagt wrd, da Maß, welche für de höchte aletype geeget t; m Falle zweer proportoaltätalerter Mermale alo : r ; m Falle eer ordalalerte ud eer prop. alerte Varable: ρ ; uw. 8