Ziehen: ohne Zurücklegen mit Zurücklegen. Speziell für n s :! n s

Transkript

1 Sete 4 Mttel der Fakultät ud de omalkoeffzete ergebe ch u de folgede Formel für de ezele zahle a möglche ugäge de bechrebee 4 Grudmodelle der Urezehug Kugel, Zehuge Zehe ohe Zurücklege mt Zurücklege mt erückchtgug der Rehefolge Varatoe / ermutatoe Spezell für ohe erückchtgug der Rehefolge Kombatoe emerkug Ma ka auch ogeate Varatoe mt fetgelegter uwahl blde I deem Fall t de zahl der verchedee Möglchkete gegebe durch Dabe vertelt ma verchedee Kugel auf leere Ure o, daß Ure Nr geau Kugel, Ure Nr geau Kugel, Ure Nr geau Kugel zu lege komme Ma beachte, da glt edgte Wahrchelchkete See, zwe Erege eem Wahrchelchketraum,S, mt 0, o ka ma ach der ogeate bedgte Wahrchelchket vo uter der edgug Hypothee frage Etpreched ergbt ch da für de bedgte Wahrchelchket vo uter der edgug Hypothee Im Fall ee Laplaceche Wahrchelchketraume erhält ma für de bede Erege, pezell de bedgte Wahrchelchkete ud

2 Sete 5 al e Maß für de tel de Erege m eu gewählte Grudraum emerkug Objektvtch geehe mt de relatve Häufgket, mt der da Ereg egetrete t, ezug auf de Geamthet der Male, dee egetrete t Subjektvtch terpretert tellt uere Echätzug dar, da da Ereg etrtt, we wr we, da egetrete t Ee wchtge Folgerug au der Defto t de aye-formel, welche de Zuammehag zwche de bede verchedee bedgte Wahrchelchkete ezug auf zwe gegebee Erege, aufzegt Se reultert au der Umtellug der deferede Formel für de bedgte Wahrchelchket ach, we folgt ud lät ch der Scht der ogeate ubjektve Wahrchelchket o terpretere Stelle ee ubekate potetelle Urache für ee eobachtug oder e Symptom dar, ud trete mt der Wahrchelchket auf Legt vor, o trete da Symptom mt der Wahrchelchket auf Nu wrd beobachtet Mt welcher Wahrchelchket legt vor? De twort lefert de aye-formel I deem Zuammehag heßt auch de -pror-wahrchelchket vo, welche uer We vor der eobachtug repräetert, ud auch de -poteror- Wahrchelchket vo, welche uer We ach der eobachtug repräetert E folge ege Sätze ud egrffe m Zuammehag mt der bedgte Wahrchelchket a Satz vo der totale Wahrchelchket ldet,,, e volltädge Eregfeld alo ee Zerlegug de Eregraum mt de Egechafte ud k für k, o glt für jede Ereg emerkug folgt au der djukte Zerlegug b Satz vo aye u dem Eetze der Formel für de totale Wahrchelchket de aye-formel erhält ma für e Ereg ud e volltädge Eregfeld,,, de folgede Formel

3 Sete 6 k k k für k,, emerkug Im häufg agewedete Fall eer Zerlegug z pezell mt c De tochatche Uabhäggket vo Erege Zwe Erege, heße tochatch uabhägg, fall glt ergbt ch da Da folgt bzw lo glt Für da Etrete de Erege t da Etrete de Erege rrelevat ud umgekehrt I Verallgemeerug et ma Erege,, total uabhägg, fall für jede belebge Telmege,,, k {,,} au dee Erege glt k k k Damt d m Fall vo dre Erege,, folgede 4 Glechuge zu prüfe,,, emerkuge Sd ud tochatch uabhägg, da d e auch jewel de Erege ud, ud owe ud llgemeer Eretzt ma m Fall vo tochatch uabhägge Erege,, ee belebge Tel,,, k{,,} deer Erege durch hre k Gegeerege,,, o blebt de tochatche Uabhäggket für de eue k Eregfamle bewahrt 6 Zufallgröße, Zufallvarable al bblduge Der egrff der bbldug t we auch der egrff der Mege vo fudametaler edeutug für de Mathematk Defto See ud zwe Mege Uter eer bbldug vo oder ach verteht ma ee Zuordugvorchrft f, durch welche jedem x geau e y zuordet wrd Glt für de Zel-Mege R, o prcht ma auch ger vo eer reelle Fukto

4 Sete 7 Ege emerkuge bzw egrffe Ma et de Defto- oder Urbldberech vo f Zeche Df, de Werte-, Zel- oder ldberech vo f Da durch f abgebldete Elemet x heßt auch rgumet oder Varable vo f, da dem Elemet x edeutg zugeordete Elemet y da ld vo x uter f oder Fuktowert vo f a der Stelle x Da Elemet x elbt et ma auch e Urbld vo y uter f Ma chrebt y f x Zur echrebug der bbldug f vo D f fdet ma de ymbolche Schrebwee f Df, x f x oder f x f x mt x D f oder auch y f x mt xd f Machmal beutzt ma Kurzform auch ur x f x oä It M ee Telmege vo, o heßt de Mege fm fx xm da ld vo M uter f Spezell heßt f auch da ld vo f Oft fdet ma al Defto für de Werteberech vo f deem Zuammehag W f f It N ee Telmege vo, o heßt de Mege f N x f x N da Urbld vo N uter f Spezell glt f D l Urbld ee Elemet y uter f erhält ma alo pezell f y x f x y f De allgemee egrff der bbldug bzw reelle Fukto pezfzere wr u m Zuammehag mt eem gegebee Wahrchelchketraum, S, Defto Uter eer Zufallvarable oder Zufallgröße auf verteht ma ee bbldug X R, durch welche jedem möglche Ergeb ee edeutge reelle Zahl X zugeordet wrd Wchtg t herbe, da für jede reelle Itervall [a,b] R da Urbld X [ a, b] a X b e Elemet der -lgebra S dartellt emerkuge Ma beachte, da au eher htorche Grüde de Zufallvarable al bblduge der Wahrchelchkettheore ger mt Großbuchtabe au dem htere lphabet bezechet werde lo X, Y, Z uä It da ld X R pezell ee edlche Mege, da recht zum Nachwe, da e ch be der bbldug X um ee Zufallgröße auf hadelt, de Tatache, da für jede reelle Zahl xr da Urbld X x X x e Elemet der Eregalgebra S dartellt für da Urbld vo xr uter der Zufall- Ma chrebt häufg X x X x größe X owe, davo augehed, X x X x X x für de zugehörge Wahrchelchket dee Erege

5 Sete 8 Da Zufallgröße X, Y, Z reelle Fuktoe d, ka ma e mttel verchedeer Recheoperatoe, we ddere, Subtrahere, Vervelfache, Multplzere ud Dvdere, zu eer eue Zufallgröße zuammefae, dem ma dee Operatoe auf de lder der etprechede Zufallgröße durchführt lo z X Y X Y ud XY XY I de mete u tereerede Fälle habe wr e mt eer ogeate dkrete Zufallvarable zu tu, dh eer reelle Fukto, welche auf ur edlch vele verchedee Werte ammt lo glt deem Fall X x, x,, x I deem Fall defere wr de Wahrchelchketvertelug ud de Vertelugfukto Defto x a Uter der Wahrchelchket-Vertelug der Varable X verteht ma ee Lte aller möglche Werte x X mt zugehörge Wahrchelchkete p X x 0, Se X R ee dkrete Zufallvarable mt X x, x,,,, Ibeodere glt mmer p p p X x b De reelle Fukto F X 0, R, gegebe durch de Vorchrft F X x X x xr, et ma de Vertelugfukto der Zufallvarable X emerkug I aloge zur emprche Vertelugfukto der dekrptve Stattk beteht e eger Zuammehag zwche der Wahrchelchketvertelug ud der Vertelugfukto, gegebe durch de Glechug F x X x X x x I adere Worte F X x ergbt ch durch ufummere aller Ezelwahrchelchkete p X x über de Werte x X mt x x für gegebee xr 7 Ege pezelle dkrete Wahrchelchketverteluge ugehed vo de verchedee Wahrchelchketmodelle ee Expermet erhält ma verchedee Wahrchelchketverteluge für etpreched Zufallvarable Wr lte de wchtgte m Folgede auf De dkrete Glechvertelug m Fall ee Laplace-Expermet gelte,,, Laplace-Expermet Weterh e X R ee Zufallvarable mt X x für Für de Wahrchelchketraum,,,,, ud x xk für k De Vertelug, gegebe durch p X x für,,, heßt de dkrete Glechvertelug vo X über de Zahle x,, x

6 Sete 9 De Zwepuktvertelug m Fall ee etufge eroull-expermet Zugude legt e ogeate eroull-expermet mt ur zwe möglche ugäge Erfolg ud Merfolg It, der etprechede zweelemetge Ergebraum, o et ma de Zufallvarable X R mt X 0, X auch eroullvarable De zu X gehörede Vertelug, welche gegebe t durch p X ud q X 0 p, heßt da Zwepukt-Vertelug vo X chtug Im Fall p q hat ma e weder mt eem Laplace-Expermet zu tu De omalvertelug m Fall ee -tufge eroull-expermet Führt ma e -tufge eroull-expermet durch, wobe de Ezelergebe de ezele Stufe voeader uabhägg d ud jewel mt 0 ud bezechet d, da betrachtet ma auf 0,,, 0, ger de Zufallvarable X R, welche de zahl der Erfolge zählt Ibeodere glt X It p weder de Ezelwahrchelchket für Erfolg alo ud q p de Ezelwahrchelchket für Merfolg alo 0, o bezechet ma X al bomalvertelt mt de arameter ud p > 0 Ibeodere k k glt da für k,, X k p q k chtug ezüglch de zugrude legede Uremodell hadelt e ch bem mehrtufge eroull-expermet um e -malge Zehe mt Zurücklege ohe erückchtgug der Rehefolge au eer Ure mt Sorte a Kugel ud 0, wobe p ud q de jewelge prozetuale tel beder Sorte m Geamtortmet agbt D De hypergeomerche Vertelug m Fall Stchprobewahl eer zwe djukte Klae zerfallede Geamthet Wählt ma au eer Geamtpopulato G der Größe G N, welcher r Idvdue e betmmte Merkmal trage ud de retlche N r Idvdue cht, ee zufällge Stchprobe m Umfag vo Elemete, o gelagt ma zur hypergeometr- G, al Ergeb- che Vertelug Dazu defere wr raum ud betrachte de Zufallvarable X R, welche de zahl x der Idvdue der Stchprobe vom Umfag zählt, welche da betrachtete Merkmal betze Da folgt für de Wahrchelchketvertelug vo X r N r x x X x für x,,r N chtug ezüglch de zugrude legede Uremodell hadelt e ch um e -malge Zehe ohe Zurücklege ud ohe erückchtgug der Rehefolge au eer Ure mt

7 Sete 0 r N r Sorte a Kugel ud 0, wobe p ud q de jewelge prozetuale tele beder Sorte der Geamtpopulato N N etpreche emerkug Im Fall der Zehug eer Stchprobe vo relatv kleem Umfag m Verhält zur Geamtpopulatogröße N gleche ch de hypergeometrche ud de omalvertelug zemlch dcht aeader a, ofer x kleer al r gewählt t De De Wahrchelchket, da ee Kugel au eer große Geamtmege be eer relatv klee Zahl a Zehuge trotz Zurücklege e zwete Mal gezoge wrd, t äußert kle lo eretzt ma m Fall kleer Stchprobe au eer große opulato der agewadte Stochatk öfter da egetlch dem Expermet korrekt etprechede hypergeometrche Vertelugmodell durch da lechter hadzuhabede, da lechter zu berechede, omalvertelugmodell