Lineare Algebra Formelsammlung

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1 ee Algeb Fomelsmmlug vo Gábo Zogg

2 Fomelsmmlug ee Algeb Gábo Zogg. ee Glechugsssteme. Ds Guss'sche Elmtosvefhe Defto: Σ Sstem vo m Glechuge ud Ubekte Opetoe: - Vetusche vo Glechuge - Addee/Subthee ees Velfche ee Glechug zu ee dee Nch dem Vefhe:... c c : Pvot c : Rg c+ c+m } Vetäglchketsbedguge

3 Fomelsmmlug ee Algeb Gábo Zogg 3. tze. Deftoe Ee m t st m m m A m Zele Splte ezeles Elemet: ( ) A qudtsche t: m Nullmt:, O obee Deecksmt (Rechtsdeecksmt): O utee Deecksmt (ksdeecksmt): O Dgolmt: ( ) 4 5,,5,4 dg Ehetsmt: O I ee t

4 Fomelsmmlug ee Algeb Gábo Zogg. Reche mt tze.. ultplkto mt eem Skl λ λ A λ m O λ λ m.. ultplkto zwee tze A ee B ee m t p t } A B ee m p t ( A B) k k b k Zele de este mt de Splte de zwete t multplzee, ufsummee ud d m "Schttpukt" etge. ( A B) C A ( B C) A ( B + C) A B + A C, ( A + B) C A C + B C A B B A..3 Addto zwee tze ( A B) + b + bede sd m tze A + B B + A A + B + C A + B + C A + B + ( ) ( ) C..4 Tspoete t T ( A ) T ( A ) T A.3 Ivese ee t A st de ezge t, wo glt A A A A I Es müsse bede tze se. We ee solche t A cht estet, d wd A ls sgulä bezechet.. ( A ) A ( ) A B B A T ( A ) ( A ) T 4

5 Fomelsmmlug ee Algeb Gábo Zogg Beechug: A I Guss I A othogole t: - T A A I A A T.4 R-Zelegug Zel: Beechug vo be A b Astz: A R A b R b dus folgt mt R : b Beechug: - Bestmmug vo ud R : A (3) (-) (-) R Glechuge ufstelle fü b - Glechuge ufstelle fü R 5

6 Fomelsmmlug ee Algeb Gábo Zogg 3. Detemte 3. Defto ud Egeschfte 3.. Beechug Beechug sowohl ch Zele, we uch ch Splte möglch. Beechug (hd ees Bespels): det 8 8 det 8 det + 3 det ( ) ( ) ( ) 3 Ds + ud wechselt sch dbe b! 3.. Opetoe Zele vetusche: Jedes l, we zwe Zele vetuscht wede glt: det( B) det( A) Velfches ee Zele zu ee dee ddee: De Detemte blebt de selbe! Ee Zele mt ee Zhl multplzee: det( B) λ det( A) 3..3 Spezelle Detemte Detemte ee Deecksmt: det( A) K Tspoete t: det ( A T ) det( A) Velfches ee dee t: det( λ A) λ det( A) tpodukt: det( A B) det( A) det( B) 3..4 Ausssge vo Detemte Flls det ( A ) st de t A sgulä, ht lso kee Ivese ud umgekeht 3. De effzete Beechug vo Detemte t Guss ee Deeckmt blde ud schlessed gemäss 3..3 beeche. 6

7 Fomelsmmlug ee Algeb Gábo Zogg 4. Vektoäume 4. Defto & Bespele Defto: E Vektoum efüllt folgede Egeschfte: - Addto: Fü edes v, w V glt v + w V - ultplkto mt ee eelle Zhl: Fü edes v, w V ud λ R glt λ v V - Nullvekto: V 4. Stuktu vo Vektoäume Uteum: We V e Vektoum st ud U V, d st U e Uteum Ezeugedesstem: Vektoe () (, ), K, ( ) sd e Ezegedesstem des Vektoumes, we de vo he ezeugt Uteum gede glech dem Vektoum st. ekombto: Sozusge e Velfches vo de übge Vektoe. 4.. Bse vo Vektoäume ee Ubhäggket: Vektoe ( ) (, ), K, ( ) us V sd le ubhägg, flls us () ( ) ( ) + + K + folgt, dss lle se müsse. Defto: Sd de Vektoe () ( ) ( ),, K, e ezeugedesstem vo V ud sd se le V sp B ubhägg, so blde se ee Bss B fü V. Es glt ( ) 4.. Aussge I eem Vektoum V de Dmeso glt: - eh ls Vektoe sd le bhägg - Wege ls Vektoe ezeuge V cht - Geu Vektoe blde ee Bss fü V, flls se le ubhägg sd 7

8 Fomelsmmlug ee Algeb Gábo Zogg 4.3 Nomete Vektoäume Defto: Ee Nom?? V st ee Fukto, de V R bbldet: V R v v Es gbt uedlch vele Nome, wovo ege Stddome sd. Folgede Egeschfte müsse dbe efüllt se: v v V - v v - λ v λ v - v + w v + w 4.3. Spezelle Nome: Eukldsche Nom: ( ), K, + K mumom: ( K, ) m( {,, }), K, + K + K, Summeom: ( ) 4.4 Sklpodut K, (,, ) Sklpodukt:, + + K + Es glt: - v, w + w v, w + v, w - v, λ w λ v, w - v, w w, v - v, v - v, v v Othogoltät: Zwe Vektoe sd othogol, flls glt: v, w 8

9 Fomelsmmlug ee Algeb Gábo Zogg Schmtt'sches Othogolseugsvefhe Othogolseug:, Nomlseug: wobe { } K v,, de (cht othogole) Vektoe ls Ausggslge sd ud de { } K,, cheede othogol zuede gebldet wede. öchte m de Vektoe othoomlsee, so muss be edem Schtt omlset wede.

10 Fomelsmmlug ee Algeb Gábo Zogg 6. ee Abblduge 6. Deftoe ud tze