Finanzmathematik Folien zur Vorlesung

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1 Fazmahemak Fole zu Volesug FINANZMAHEMAI. Zsechug.. Gudbegffe de Zsechug.. De ve Fageselluge de Zsechug.3. Beechug des Edkapals.4. Beechug vo Afagskapal, Zssaz ud Laufze.5. Uejähge Vezsug.6. Sege Vezsug. eeechug.. Gudbegffe de eeechug.. De ach Fageselluge de eeechug.3. Glechblebede ee.3. Beechug des Edwees ud des Bawees.3. Beechug de eehöhe.3.3 Beechug des Zssazes.3.4 Beechug de Laufze.4. Ewge ee.5. Veädelche ee.5. Sch egellos veädede ee.5. Sch egelmäßg ädede ee 3. lgugsechug 3.. Gudbegffe ud Gudglechuge de lgugsechug 3.. aelgug 3.3. Auäelgug 3.4. Uepeodsche lgug - -

2 Fazmahemak Fole zu Volesug Zsechug. Gudbegffe de Zsechug Veag zwsche Pae: apalgebe ud apalehme - apalgebe besz Afagskapal - Nuzug wd apalehme übelasse - Am Ede de Laufze ehäl de apalgebe das Edkapal (Afagskapal Zs zuück Ve Gudbegffe: - Afagskapal - Laufze - Edkapal - Zs Symbole: : Zssaz ( Poze : Afagskapal ( Wähugsehe : Edkapal ( Wähugsehe : Laufze ( Jahe - -

3 Fazmahemak Fole zu Volesug Laufze Vewedug vo sadadsee Zeevalle: Moa 3 age Quaal 9 age Halbjah 8 age Jah 36 age Zse Ueschede: Zsbeag : Dffeez zwsche Ed- ud Afagskapal ( Wähugsehee Zssaz : Pozesaz Läge de Zspeode: Jählche Zssaz (egelfall: % p.a. (pe aum Uejähge Zssaz: % p... (po aa empos echesche Bezugsgöße des Zssazes: Afagskapal (egelfall: achschüssg Edkapal: voschüssg ach ( - / vo ( - / - 3 -

4 Fazmahemak Fole zu Volesug. De ve Fageselluge de Zsechug - Gesuch: Edkapal - Gesuch: Afagskapal - Gesuch: Zssaz - Gesuch: Laufze.3 Beechug des Edkapals.3. M efache Zse Zsaspüche wede wähed de Laufze ch dem zsagede apal zugeschlage. ( ( - 4 -

5 Fazmahemak Fole zu Volesug.3. M Zseszse (beache Sadadfall: jählch achschüssge Zse Zsaspüche, de wähed de Laufze esehe, wede am Ede de Zspeode dem zsagede apal zugeschlage ud dahe de zwee Peode mvezs. ( ( ( ( ( ( (... ( : (Aufzsugsfako (allgemee Zseszsfomel Edkapal ewckel sch be Zseszs Abhäggke vo de Laufze expoeell m Wachsumsae Bespel efache Vezsug vs. Zseszs: fazmahemak_übug.xls - 5 -

6 Fazmahemak Fole zu Volesug.4 Beechug vo Afagskapal, Zssaz ud Laufze (Zseszs.4. Afagskapal Bespel: fazmahemak_übug.xls.4. Zssaz ( Bespel: fazmahemak_übug.xls - 6 -

7 Fazmahemak Fole zu Volesug.4.3 Laufze l l l l l l Bespel: fazmahemak_übug.xls - 7 -

8 Fazmahemak Fole zu Volesug.5 Uejähge Vezsug.5. Übeagug de Beechugsfomel vo de jählche zu uejähge Vezsug Im Folgede abee w m küzee Zspeode (Halbjah, Quaal, ec.. De Zsbeag wd mehmals po Jah beeche ud zugeschlage. Wees wd m uejähge Zssäze geeche. Zusäzlche Symbole: m j N Azahl de Zspeode po Jah (z.b. m, we Zspeode Moa uejähge (auf Zspeode bezogee Zssaz Laufze de apalalage, Zspeode N.m Zwe Vaable wede de Fomel de jählche Zsbeechug esez:. de Jaheszs duch de uejähge Zssaz j. de Laufze Jahe,, duch de Zspeode, N.( j N N - 8 -

9 Fazmahemak Fole zu Volesug Bespel: Se habe 4 auf e Spabuch m ee Vezsug vo,875% je Quaal. We goß s das apal ach 4 Jahe ud Moae (ach Zseszsechug? d.h.: 4 / m 4 Ipus: j,875 N4.(4/ 9,33 Oupu: N 4.(,875 9,33 578,5 (EXCEL: ZW Bespel: He Ao besz apal de Höhe vo, ud e möche Moae übe 5 vefüge. Welche Zssaz po Halbjah muß e bekomme, um deses Zel zu eeche? N N De Azahl de Zspeode s N m..(/,667, dahe s de gesuche halbjählche Zs,97% (EXCEL: ZINS - 9 -

10 Fazmahemak Fole zu Volesug.5. De ozepe des omelle, elave, effekve ud kofome Zssazes Sämlche Glechuge de Zsechug m jählche Zse köe auf de Zsechug m uejähge Zse übeage wede ( j ud N. Nu ka ma zu de gleche Egebsse komme, we ma de Laufze Jahe mss ud de Zssäze apass. Ausgehed vom Jaheszssaz (omell, wd de uejähge ode elave Zssaz duch Dvso des omelle duch de Azahl de Zspeode m po Jah emel: el om /m Efache Vezsug m dem elave Zssaz espch efache Vezsug m dem omelle Zssaz. We u dem Afagskapal mehee (m Zspeode po Jah jewels e Zsbeag gemäß dem elave Zssaz gugeschebe wd (Zseszs, so s de Summe dese Zsbeäge ach eem Jah ch glech dem Zsbeag, de sch aus de jählche Vezsug m dem omelle Jaheszssaz egb. - -

11 Fazmahemak Fole zu Volesug Bespel: E Beag vo..- wd e Jah lag zu % vezs, das apal s dahe ach eem Jah.(,.. Nehme w u a, daß e moalche elave Zs vo %/, also % po Moa zugeschlage wd, so egb sch ach eem Jah e Edkapal vo:.(,.683 De sog. effekve Vezsug s dahe desem Bespel höhe als % p.a., ud zwa,68%. W ee dese Zssaz de effekve Zssaz. De effekve Jaheszs gb a: we hoch muss de Jahesvezsug se, dam das m desem Zssaz beechee Edkapal m jeem übeesmm, das sch aus de uejähge Vezsug m dem elave Zs egebe ha, we goß s also eff, sodass gl: ( eff ( el m Dahe gl fü de Effekvzs: ode eff om m ( m m ( eff el - -

12 Fazmahemak Fole zu Volesug Umgekeh ka jee uejähge Zssaz emel wede, de zu ee jählche Vezsug vo (z.b. % füh, also m ee vogegebee (omelle Vezsug kofom geh. Dese wd als de kofome Zssaz bezeche. Es muss desem Falle also gele: ( om ( ko m Daaus folg: ko m om Bespel: De moalche kofome Zssaz m ee jählche Vezsug vo %: ko,,949,949% Bespele: fazmahemak_übug.xls - -

13 Fazmahemak Fole zu Volesug.6 Sege (kouelche Vezsug We ewckel sch de Vezsug, we de Azahl de Zspeode po Jah (m mme göße wd ud übe alle Geze wächs (m? Bespel: fazmahemak_übug.xls W emel de Vezsug desem Falle duch de Beechug des effekve Zssazes auf de Bass ees gegebee omelle Zssazes, we m uedlch goß wd (m : Fü ee fxe omelle Jaheszssaz s de zugehöge effekve Zssaz : om m eff ( m Lasse w u m übe alle Geze awachse, da s eff lm m om m Aus dem Zusammehag h h e lm h m. egb sch m Hlfe de Subsuo: h m/ om eff h lm hom h om - 3 -

14 Fazmahemak Fole zu Volesug eff e om ud ma ehäl duch Esaze vo eff das Egebs: ( eff. e om. Ablee de Fomel fü de de adee Vaable:. e om wege e om / ud l( om. folg sowe l( l( - 4 -

15 Fazmahemak Fole zu Volesug eeechug. Gudbegffe de eeechug ee Mekmale: : egelmäßg wedekehede Zahlug (a eehöhe (b eedaue (c emeug ee eezahlug (d Vehäls vo ee- ud Zspeode (a eehöhe: - Glechblebede ee - Veädelche ee Sch egelmäßg ädede ee Sch egellos ädede ee (b eedaue: - Azahl de eezahluge (Mdesazahl: Edlche ee Ewge ee (c emeug ee eezahlug: - Besmm de Zepuk de ese Zahlug (Beg ode Ede de eepeode Voschüssge ee Nachschüssge ee - 5 -

16 Fazmahemak Fole zu Volesug (d Vehäls vo ee- ud Zspeode folgede ombaoe Jählche ee. M jählche Zse. M uejählche Zse Uejählche ee. M jählche Zse. M uejählche Zse. Zspeode > eepeode. Zspeode eepeode 3. Zspeode < eepeode Wchge Symbole: : (jählche Zssaz : Laufze de ee ( Jahe : eezahlug m Zepuk : eebawe : eeedwe Be uejählche ee ud/ode Zse m : Azahl de eepeode je Jah mz : Azahl de Zspeode je Jah - 6 -

17 Fazmahemak Fole zu Volesug. De ach Fageselluge de eeechug Gegebe: ee Zssaz Laufze Gesuch: eeedwe Gegebe: ee Zssaz Laufze Gesuch: eebawe Gegebe: eeedwe Zssaz Laufze Gesuch: ee 3 Gegebe: eebawe Zssaz Laufze Gesuch: ee 4-7 -

18 Fazmahemak Fole zu Volesug Gegebe: eeedwe ee Laufze Gesuch: Zssaz 5 Gegebe: eebawe ee Laufze Gesuch: Zssaz 6 Gegebe: eeedwe ee Zssaz Gesuch: Laufze 7 Gegebe: eebawe ee Zssaz Gesuch: Laufze 8-8 -

19 Fazmahemak Fole zu Volesug.3 Glechblebede ee Edlche aezahluge glechblebede Höhe Fü de Daue vo Jahe wd wedekehed ee ae gezahl. Beachee Sadadfall: ee- ud Zspeode vo jewels eem Jah achschüssge ee ode voschüssge ee - 9 -

20 Fazmahemak Fole zu Volesug Beechug des Edwees ud des Bawees. ud. Fagesellug Abbldug: Zesuku fazmahemak_übug.xls (Bla: Gafk Jewels am Ede ees Jahes wd de Beag auf e oo egezahl. Nach Jahesfs wd m dem Fako vezs. 3 ( Vewede de Fomel fü ee edlche geomesche ehe, da egb sch daaus fü de eeedwe: eeedwefako (EFN Beechug m EXCEL: Fuko ZW (sehe: fazmahemak_übug.xls

21 Fazmahemak Fole zu Volesug Beeche Vaae: achschüssge Zahluge voschüssge Zahluge Zu Beechug des eebawes s de eeedwe gemäß Zseszsechug abzuzse. Ue Vewedug vo bzw. vo egb sch Bespel: fazmahemak_übug.xls Fuko BW ( Vaae: achschüssg ud voschüssg eebawefako (BFN Sehe auch: fazmahemak_übug.xls - -

22 Fazmahemak Fole zu Volesug.3. Beechug de eehöhe (3. ud 4. Fagesellug Aus de eeedwe- bzw- Bawefomel egb sch: Bespel: fazmahemak_übug.xls Beechug m EXCEL: Fuko MZ Bespel: fazmahemak_übug.xls (Bsp., eeechug Auäefako ode Wedegewugsfako (ANNF BFN - -

23 Fazmahemak Fole zu Volesug.3.3 Beechug des Zssazes 5. ud 6. Fagesellug Wede de Edwe- och de Baweglechug sd allgeme ach auflösba: ( Dahe wd de Zssaz äheugswese m eem Nullsellvefahe emel: f ( ( Gesuch wd jees, be dem f( de We ha. Des gescheh mels de ageemehode vo Newo. Bege m eem Vesuchswe k de Umgebug des Lösugswes ud beeche eav vebessee Lösugswee

24 Fazmahemak Fole zu Volesug Dafü wd de ese Ableug de Fuko f( beög: ( f k ( ( k k k k f f egb sch da als Sobald de Dffeez zwsche k ud k heched kle wd, ka de Ieao abgeboche wede. Aalog ka de Ieao be gegebeem Bawe duchgefüh wede. Hebe s de zu vewedede Fuko f( f ( ( ( Ud de zugehöge ese Ableug ( f. Beechug mels EXCEL: Fuko ZINS Bespele: fazmahemak_übug.xls

25 Fazmahemak Fole zu Volesug Bespel (aus de Paxs de Auobache; Wschafswoche Ma 995 Ageboe wd vo ee Auofma folgede Zahlugsmodalä: E Gebauchwage, de kose, ka 48 Moasae zu je 74.- abbezahl wede. Fage: we hoch s de Jaheszssaz (omelle Zssaz, effekve Zssaz be desem Zahlugsaageme? Lösug zwe Sche:. Sch: Beechug des Zssazes bezoge auf de eepeode ( Moa mhlfe de Fuko ZINS; egb de (moalche Zssaz. (Moaszssaz:,7%. Sch: Beechug des omelle Zssazes aus de Fomel > el om /m om *,7% 3,4% sowe des effekve Zssazes aus de Fomel m ( eff el 37,7% - 5 -

26 Fazmahemak Fole zu Volesug Beechug de Laufze 7. ud 8. Fagesellug l l l l De Laufze wd glechfalls duch logahmee be gegebeem eebawe abgelee l l Beechug m EXCEL: Fuko ZZ Bespele: fazmahemak_übug.xls

27 Fazmahemak Fole zu Volesug.4 Ewge ee Ewge ee sd Zahlugssöme, de uedlch lage fleße. W beache de efache Sadadfall: glechblebede achschüssge jählche Zahluge m jählche Vezsug. Edwe ee ewge ee s uedlch goß (selbs we kee Zse veeche wede. Bawe ee ewge ee s edlch, we m posve Zssäze vezs wd. De Bawe ee edlche ee s, we w wsse Um de Bawe ee ewge achschüssge ee zu beeche, lasse w gehe lm ud ehale m de ökoomsch svolle Voaussezug > (> > > lm fü de eebawe ee achschüssge ee.

28 Fazmahemak Fole zu Volesug Ewge ee komme de Paxs sele vo. Se dee jedoch zu efache ud schelle (äheugswese Schäzug vo ee m lage Laufze. Bespel: ee Büommoble ebg jählch ee Neoeag vo 7..- Was s de We dese Immoble be eem ageommee Zssaz vo 6% (8%; %? fazmahemak_übug.xls Fage: we goß s de Fehle de Baweschäzug Abhäggke vo de Laufze? Sehe fazmahemak_übug.xls Bespel: de heoesche Defo des Eheswees ees Gudsückes laue: de Eheswe epäsee ee Eagswe, de dem 8-fache eeag ees Beebes m elohe femde Abeskäfe be osüblche ud achhalge Bewschafug espch. Fage: We hoch s de Vezsug ue de Aahme ee ubeschäke Bewschafugsmöglchke des Gudsücks? (5,56% We hoch s de Vezsug ue de Aahme ee Bewschafugsmöglchke des Gudsücks vo 5 Jahe? (5,9% - 8 -

29 Fazmahemak Fole zu Volesug.5 Veädelche ee... egelmäßg wedekehede Zahluge, de m Zeablauf schwake. Beache jählche Zahluge m jählche Vezsug. De Veädeug ka egelmäßg se, d. h. eem fukoale Zusammehag folge we z. B. (,, 4, 8,..., (,, 3, 4,... ode egellos se, we z. B. (, 4, 3, 6, 7,,

30 Fazmahemak Fole zu Volesug Sch egellos ädede ee Fü Edwebeechug wede m Weselche u de oosäde m Zeablauf vefolg achdem gl:. ud. usw. ka ma de leze Zele obe auch so schebe: (..... ode duch Heaushebe vo eeedwe, Ädeug de ehefolge ud Vewedug des Summeopeaos:.

31 Fazmahemak Fole zu Volesug Duch -peodges Abzse gelag ma vom eeedwe zum eebawe ud ma ehäl. Beechug m EXCEL: eebawe m Fuko NBW; eeedwe m aufgezsem NBW Bespel: fazmahemak_übug.xls Be gegebeem Bawe bzw. Edwe ka fü ee sch egellos ädede ee de Zssaz edeug beeche wede. Fü >3 ka de Fomel fü Bawe bzw. Edwe ch explz ach bzw. aufgelös wede, dahe wd we.3.3 das Newovefahe zu Auffdug vo vewede

32 Fazmahemak Fole zu Volesug.5. Sch egelmäßg ädede ee... äde sch ach eem bekae fukoale Zusammehag. Besodes wchg sd hebe de ahmesch foscheede (ee seg jählch um besmme Beag ud de geomesch foscheede (ee seg jählch um besmme Pozesaz ee..5.. Ahmesch foscheede ee... ezele eezahluge blde ee ahmesche Folge, d.h. de ee seg jählch um ee fxe Beag. d Dahe egb sch d 3 d d d ( d De eezahlug zum Zepuk s dahe ( d

33 Fazmahemak Fole zu Volesug Edwe- ud Bawebeechug De Edwe ee solche ee ehäl ma duch Eseze dese Fomel de Edwefomel ee sch egellos ädede ee. ( d (. Dese Summe läß sch de beuemee Ausduck umfome d. De eebawe s wede das Egebs vo -peodgem Abzse d. Bespele: fazmahemak_übug.xls (sehe sbesodee: veefache Beechug mhlfe de Fuko NBW! Beechug de ee Sowohl Bawe- als auch Edweglech lasse sch poblemlos be bekaem d auflöse.

34 Fazmahemak Fole zu Volesug Zssaz- ud Laufzebeechug De Zssaz- sowe de Laufze-Beechug s schwege, de Bawe- ud Edweglechug köe ch explz ach bzw. aufgelös wede. Wede wd auf das Newovefahe zuückgegffe. Ausgehed vo eem geschäze bzw. wd eav ee Lösug fü f(, gesuch m d f, ( ud ( ( ud ( ( k k k k k k k k f f f f Um de Zssaz zu beeche wd de Ableug ach beög d f (. Um de Laufze zu beeche wd de Ableug ach beög d d f l (. Bespel: Laufzebeechug mhlfe des Newo-Vefahes (fazmahemak_übug.xls: Bla: Newo

35 Fazmahemak Fole zu Volesug Wede Laufze ud Zssaz aus dem eebawe beeche, wd de Nullselle bzgl. bzw. de Fomel d f, ( gesuch. Es wede de Ableuge ach ud geblde. d f ( ( d d d f l (..5.. Geomesch foscheede ee... ezele eezahluge blde ee geomesch Folge, d.h. de ee seg jählch um ee fxe Pozesaz. g Also: 3 g g g g g De eezahlug zum Zepuk s dahe g.

36 Fazmahemak Fole zu Volesug Edwe- ud Bawebeechug De Edwe ee solche ee ehäl ma duch Eseze de Edwefomel ee sch egellos ädede ee g. Dese Summe läß sch beueme schebe als. g g (we g (we g. De Bawefomel folg efach duch -peodges Abzse: g (we ( g g (we g. Bespele: fazmahemak_übug.xls Beechug de ee Sowohl Bawe- als auch Edweglech lasse sch poblemlos be bekaem g auflöse

37 Fazmahemak Fole zu Volesug Zssaz- ud Laufzebeechug Be de Zssaz- sowe de Laufze-Beechug s wede auf e Näheugsvefahe (Newo-Vefahe zuückzugefe. Be bekaem Edwe: g g f, ( g g g f ( g g g f l l ( Be bekaem Bawe: ( g g f, ( ( g g g g f ( ( ( g g g f l l (

38 Fazmahemak Fole zu Volesug 3 lgugsechug 3. Gudbegffe ud Gudglechuge de lgugsechug Be edveäge köe ueschedlchse ückzahlugsmodaläe veeba wede. De bede bekaese Sadads sd: - aelgug ud - Auäelgug Aahme: - Schulde lese Zahluge jewels am Jahesede - Zse wede jählch achschüssg veeche - Zs- ud lgugsem smme übee Symbole: A : Auä m Zepuk : Schuldbeag m Zepuk ( uspüglche Schuld : Zssaz p.a. : Laufze : lgugsae m Zepuk Z : Zsbeag m Zepuk : Achug: We de obge Aahme gele, so bedeue de Zedzeug ( jewels das Ede de Peode!

39 Fazmahemak Fole zu Volesug aelgug: De lgug efolg glechblebede ae Auäelgug: De Schulde lese Auäe glechblebede Höhe A A A A Gesuch: - De Höhe de Zahluge zu de jewelge Zepuke (Peode - De Zelegug de Zahluge he Besadele - De esschuld des Schuldes zu de jewelge Zepuke (Peode

40 Fazmahemak Fole zu Volesug Ve Defosglechuge (Gudglechuge: Be de geae Sadadbedguge beuh de lgugsechug auf ve efache Defosglechuge (auch: Gudglechuge, m Folgede abgeküz: GG. GG: Jede Auä sez sch aus Zsbeag ud lgugsae zusamme. A Z GG: De Schuldbeag (zum Zepuk egb sch duch Abzug de lgugsae vom Schuldbeag des Vojahes (Zepuk -. GG3: De Summe alle lgugsbeäge s glech de uspüglche Schuld. GG4: De jewelge Zsbeag (zum Zepuk ehäl ma duch Awedug des Zssazes auf de Schuldbeag des Vojahes (-. Z Sd, ud de lgugsdaue gegebe, so s de - 4 -

41 Fazmahemak Fole zu Volesug ückzahlugspla ode lgugspla aus dese Agabe alle Deals ableba. Aus de ve Gudglechuge ka ee füfe GG abgelee wede (de jedoch e Egebs de adee Gudglechuge s: GG5: De uspüglche Schuldsumme s glech dem Bawe de Auäe A ( - 4 -

42 Fazmahemak Fole zu Volesug 3. aelgug Is defe duch lgugsae glechblebede Höhe Um ee vollsädge lgugspla aufzuselle wd zwe Sche vogegage 3.. Beechug de lgugsae Aus GG3 folg, dahe egb sch de lgugsae :. 3.. Beechug des Zsbeags, de Auä ud de esschuld (fü jedes Jah Fü köe Zsbeag Z, Auä A ud esschuld m Hlfe de GG efach beeche wede. De espechede Wee fü de folgede Jahe köe eav abgelee wede

43 Fazmahemak Fole zu Volesug Bespel: E ed übe 3. zu 7 % Zs wd gewäh. E wd übe 8 Jahe glechblebede ae gelg. We laue de lgugspla. De jählche lgugsae beläuf sch auf 3./ M Hlfe de GG 4 ehäl ma de Zsbeag: Z * 3. *,7. M Hlfe de GG ehäl ma de Auä: A Z M Hlfe de GG ehäl ma de esschuld: Ieav köe sämlche Wee fü jedes Jah beeche wede ud ma ehäl schleßlch de vollsädge lgugspla. ( Z( ( A(

44 Fazmahemak Fole zu Volesug Aleav wede Fomel abgelee, m Hlfe dee zu jedem Zepuk explz de gefage Wee beeche wede köe. Zues wd de esschuld zum Zepuk emel. 3 3 Wege. gl auch. De Zsbeag zum Zepuk s Z. ud de Auä zum Zepuk s Z A.

45 Fazmahemak Fole zu Volesug 3.3 Auäelgug Is defe duch Auäe glechblebede Höhe A A A A Um ee vollsädge lgugspla aufzuselle wd wede zwe Sche vogegage 3.3. Beechug de Auä Aus GG 5 ehäl ma lech ee Fomel zu Beechug de jählche Auäe. A A ( ( ode (m Hlfe de Summefomel de geomesche ehe A (Wedeholug: eeechug eehöhe be gegebeem Bawe Mhlfe EXCEL: Fuko MZ

46 Fazmahemak Fole zu Volesug 3.3. Beechug des Zsbeags, de lgugsae ud de esschuld (fü jedes Jah Fü wede Zsbeag Z, lgugsae ud esschuld m Hlfe de GG beeche. De espechede Wee fü de folgede Jahe köe wede eav abgelee wede. Bespel: E ed übe 3. zu 7 % Zs wd gewäh. E wd übe 8 Jahe glechblebede Auäe gelg. De jählche Auä beäg beläuf sch auf A (,7*,7 8 /(,7 8 -* GG4: Z * 3. *,7. GG: A -Z GG: Ieav egb sch de vollsädge lgugspla. ( Z( ( A(

47 Fazmahemak Fole zu Volesug Übugsbespele:..\fazmahemak uebuge\ueb3.xls fazmahemak_übug.xls

48 Fazmahemak Fole zu Volesug 3.4 Uepeodsche lgug Weche Zspeode ud Absad zwsche zwe Auäezahluge (Auäepeode voeade ab, so köe Fälle ueschede wede, dass de Zspeode e gazzahlges Velfaches de Auäepeode s ode umgekeh. I de wschaflche Paxs efolg abe zumdes ee Zahlug je Zspeode, sodass w us auf dese Fall beschäke: De Zspeode ka mehee Auäezahluge ehale, se s e gazzahlges Velfaches de Auäepeode. De häufgse Fall s de, dass ma de Jaheszssaz (omelle Zssaz ke ud uejähge lgugszahluge (z.b. moalche Zahluge zu emel ha. Dazu s es owedg, de zum Jaheszssaz kofome uejähge Zssaz zu emel ud m desem da de lgugspla zu eselle. Bespele: fazmahemak_übug.xls

49 Fazmahemak Fole zu Volesug Beechuge ohe lgugspla fü de Fall de Auäelgug Es köe Fomel fü de Auäelgug abgelee wede, m Hlfe dee zu jedem Zepuk explz de gefage Wee beeche wede köe, ohe de gaze lgugspla auszueche. W bege m de Ableug ee Fomel fü de lgugsae. Z Z A A ( Be gegebeem ehäl ma ( Z A.

50 Fazmahemak Fole zu Volesug Dahe ehäl ma de Zsbeag Z A Z ( Z. Um de esschuld abzulee, geh ma vo GG aus.....