Formelsammlung zur Zuverlässigkeitsberechnung

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1 Formelsmmlug zur Zuverlässgetsberechug zusmmegestellt vo Tt Lge Fchhochschule Merseburg Fchberech Eletrotech Ihlt:. Zuverlässget vo Betrchtugsehete.... Zuverlässget elemetrer, chtreprerbrer ysteme Zuverlässget ompleer ysteme: Boolesche Berechugsmethode Zuverlässget ompleer ysteme: Mroff'sche Berechugsmethode 5 5. Ege usgewählte Grudlge der Whrschelchetstheore ostge ützlche Formel...

2 . Zuverlässget vo Betrchtugsehete Vertelugsfuto der Lebesduer (Ausfllwhrschelchet) ud Vertelugsdchte: F( t) ( X t) f() t Überlebeswhrschelchet: df( t) dt Ft ( ) ( ) t f tdt llgeme. für Ft ( ) ep( t) R( t) ( X > t) F( t) Rt ( ) ep ( t ) Bedgte Überlebeswhrschelchet: llgeme. für Ft ( ) ep( t) R t R ( t ) ( + ) R ( ) ( ) ep( ) R t t Mttlere Lebesduer (MTTF, MTBF): llgeme. für Ft ( ) ep( t) E X t f t dt R t dt [ ] ( ) ( ) EX Ausfllrte: ( ) t llgeme. für Ft ( ) ep( t) ( ) ( ) ( R( t) ) R' t d l ( t) cost. Rt dt Zusmmehg zwsche Ausfllrte ud Überlebeswhrschelchet: Ft ep t llgeme. für ( ) ( ) t Rt ( ) ep ( t) dt ( ) ep( t) Rt Verfügbret (reprerbrer Betrchtugsehete): MTBF VD MTBF Me Tme betwee Flure MTBF + MTTR MTTR Me Tme to Repr Tt Lge FH Merseburg Zuverlässget ete

3 . Zuverlässget elemetrer, chtreprerbrer ysteme eresystem (m e der Zuverlässget): (t) (t) 3(t)... (t) llgeme: für F ( t) ( t) R ( t) R ( t) ep : R( t) t ep ( t) ( t) ep : Mttlere Lebesduer (MTTF, MTBF) für Ft ( ) ( t) EX EX Für... cost. glt: EX EX rllelsystem (m e der Zuverlässget): (t) (t). (t) llgeme: für F ( t) ( t) ( ) ( ) ( ) R t R t ep : Für... cost. ud t << glt: ( ) ( ) R t t Mttlere Lebesduer (MTTF, MTBF) für Ft ( ) ( t) ep : Für... cost. glt: EX Tt Lge FH Merseburg Zuverlässget ete

4 3. Zuverlässget ompleer ysteme: Boolesche Berechugsmethode Allgemeer Astz: Jede ystemompoete ur zwe Zustde ehme: Kompoete usgeflle Kompoete tt Etspreched der zuverlässgetstheoretsche ystemstrutur wrd ee Boolesche ystemglechug, bestehed us Koutoe ("Ud"-Verüpfug) ud Dsutoe ("Oder"-Verüpfuge) ufgestellt: (,,..., ) De Whrschelchet, dß ds ystem tt st (see spezfzerte Aufgbe erfüllt) st somt glech der Whrschelchet, dß de ystemglechug,,..., de Wert mmt: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ystem t t,,...,,,..., wobe de Ittwhrschelchet der -te Kompoete st. Für chtreprerbre ysteme glt: Überlebeswhrschelchet (Ittwhrschelchet): ( ) () (), (),..., () R t R t R t R t m us -ystem (ystem st solge tt, solge m vo Kompoete tt sd) R r l l () t ( ) R () t l mt r m Redudz l Für R () t R () t... R () t e EX m t glt: Tt Lge FH Merseburg Zuverlässget ete 3

5 Für reprerbre ysteme glt: Verfügbret: ( ) () (), (),..., () V t V t V t V t m us -ystem (ystem st solge verfügbr, solge m vo Kompoete verfügbr sd) MTBF Für V t V t V t V () ()... () cost. glt: MTBF + MTTR chtverfügbret: m () t V() t V mt V r m Redudz Mttlerer Abstd zwsche zwe ystemusfälle (MTBF): Flls MTBF >> MTTR : MTBF r+ MTBF MTTR r r Mttlere Duer der ystemusfälle (MTBD - Me Tme of Bre Dow): Flls MTBF >> MTTR : MTBD MTTR r + Für << glt äherugswese: r+ MTTR () t V() t r + r + MTBF r+ r+ Tt Lge FH Merseburg Zuverlässget ete 4

6 4. Zuverlässget ompleer ysteme: Mroff'sche Berechugsmethode Im Ergebs eer qutttve Alyse des ystemverhltes wrd e Zustdsdgrmm ufgestellt, desse Kote de möglche ystemzustäde drstelle. De Übergäge (Kte) q zwsche de Kote sd durch Überggsrte bestmmt, de etweder Ausfllrte oder Reprturrte µ drstelle: q Kote : ystemzustd mt der Zustdswhrschelchet p q 3 3 q q 3 Überggsrte: q Ausfllrte µ Reperturrte De Mroff'sche Berechugsmethode wrd her ur für de sttoäre Zustd, lso uter der Ahme p() t p cost. betrchtet. Dbe wrd geomme, dß sowohl de zufällge Lebesduer X ller ystemompoete ls uch de zufällge Reprturzete Y epoetlvertelt sd, lso X ~ F( t) ep( t) ud Y ~ F ( t) ep( µ t). Y Für de -te Kote glt d folgede Koteglechug: pq p q "!" "!" umme ller de te Kote umme ller us dem te Kote heführede Kte herusführede Kte De Zustdswhrschelchete p lsse sch bereche, dem m für Kote de Zustdsglechuge ufstellt, dese durch de llgemegültge Bezehug p ergäzt ud ds so gebldete lere Glechugssystem us Glechuge ( Azhl der Kote m Zustdsdgrmm) löst. Tt Lge FH Merseburg Zuverlässget ete 5

7 5. Ege usgewählte Grudlge der Whrschelchetstheore Zufll / zufällges Eregs: Be Zusmmetreffe vo Eregsse sprcht m vom Zufll, we zwsche hrem Etrete e oder ur e uwesetlcher erer Zusmmehg besteht. E Eregs hägt vom Zufll b, we se Etrete weder scher och umöglch st, soder mt eer gewsse Whrschelchet erfolgt. Dese Zufllsgesetzmäßgete, de durch etsprechede Whrschelchetsverteluge erfßt werde, et m stochstsche Gesetzmäßgete. Zufllsvrble: Ee Zufllsvrble st ee solche Vrble (Veräderlche), de hre Werte Abhägget vom Zufll, d.h. ch eer Whrschelchetsvertelug mmt. M uterschedet dsrete ud stetge Zufllsvrble. Ee dsrete Zufllsvrble ur edlch vele (oder bzählbr uedlch vele) Werte ehme (z.b. Mege der türlche Zhle). Ee stetge Zufllsvrble (überbzählbr) uedlch vele Werte ehme (z.b. lle Werte us eem Itervll). Reltve Häufget ud Whrschelchet Der Begrff Whrschelchet st us der Beobchtug ud Erfhrug etstde.: Trtt be -mlger Durchführug ees Versuches e bestmmtes zufällges Eregs A (oder Zufllsvrble) ml uf, so bezechet m mt ( ) de reltve Häufget des Eregsses A. Be glechblebede Versuchsbedguge schwt de reltve Häufget be wchsedem mmer weger um ee bestmmte, prtsch ostte Wert. Dese Zhl et m de Whrschelchet der zufällge Eregsses A ud bezechet se. A mt ( ) Recheregel für Whrschelchete: ) Für edes zufällge Eregsses A glt: ( ) A ) Ist ds Eregs A umöglch, so glt: A ( ) 3) Ist ds Eregs A scher, so glt: A ( ) 4) d A ud B zufällge Eregsse, de eder usschleße, so glt A ( oder B) A ( B) A ( ) + B ( ) d sgesmt Eregsse A, A,...,, möglch, so glt verllgemeert: A, A ( A A... A ) ( ) 5) chleße de Eregsse A ud B eder cht us, so glt: ( A oder B) ( A B) ( A) + ( B) ( A B), Tt Lge FH Merseburg Zuverlässget ete 6

8 , de gemesme Whrschelchet (Verbudwhrschelchet) der Eregsse A ud B, d.h. de Whrschelchet desse, dß bede Eregsse glechzetg (zusmme) uftrete. Herbe st ( A B) 6) d de Eregsse A ud B voeder ubhägg, so glt für de gemesme Whrschelchet: ( A, B) ( B, A) ( A) ( B) ( B) ( A) 7) d de Eregsse A ud B voeder bhägg, so glt für de gemesme Whrschelchet: ( A, B) ( B, A) ( A) ( B A) ( B) ( A B) Herbe st ( B A) de Whrschelchet, mt der ds Eregs B uter der Bedgug (Ahme) etrtt, dß ds Eregs A berets egetrete st (bzw. scher etrete wrd). De Whrschelchete ( B A) ud ( A B) Whrschelchete. 8) d de Eregsse A ud B voeder ubhägg, so glt: ( A B) ( A), ( B A) ( B) et m bedgte 9) We de Eregsse H, H,..., H, e vollstädges Eregsfeld blde ud eder usschleße, lso ( ) H ud ( H, H ) für belebge st, so glt für de Whrschelchet des vo de Eregsse H bhägge Eregsses A folgeder tz über de totle Whrschelchet: ) Byes'sche Formel: ( H A) ( A) ( H ) ( A H ) ( H ) ( A H ) ( A) ( H ) ( A H ) ( H ) ( A H ) Tt Lge FH Merseburg Zuverlässget ete 7

9 Whrschelchetsvertelug Vertelugsfuto F X ( ) : Der Wert der Vertelugsfuto ( ) F X m ut gbt de Whrschelchet, mt der der Wert der Zufllsvrble X leer/glech st: FX ( ) F( ) ( X ) dsrete Zufllsvrble: Ist X ee dsrete Zufllsvrble, de de Werte,,..., mt de Whrschelchete ( X ) ( X ),..., ( X ), ehme, so wrd de Whrschelchetsvertelug durch ee treppeförmge Vertelugsfuto bestmmt. Der Zusmmehg zwsche der Vertelugsfuto ud de Whrschelchete der dsrete Zufllsvrble st gegebe mt: F,8,6,4, ( ) ( X ) ( X ) ( ) F() () stetge Zufllsvrble: Ist X ee stetge Zufllsvrble, so läßt sch ur de Whrschelchet gebe, mt der dese Zufllsvrble X Werte us dem Itervll, mmt: ( X ) f ( u)du De Futo ( ) f et m de Dchte der Zufllsvrble X. Der Zusmmehg zwsche der Dchte f ( ) ud der Vertelugsfuto F ( ) st gegebe mt: F ( ) ( X ) f ( u)du ; ( ),8,6,4, F() f f() F( ) d Egeschfte ud Gesetze: ( ) F F ( ) d ( X ) F( + ) d ( X +) F( ) F( ) flls ( X ) ( X ) ( X ) F( ) F( ) ( ), ( ) ( X ) ( ) b b f ( ) d b ( X ) f ( )d b Tt Lge FH Merseburg Zuverlässget ete 8

10 Erwrtugswert ud Vrz; Momete höherer Ordug: dsrete Zufllsvrble: stetge Zufllsvrble: Erwrtugswert: E( X) ( X ) We Z X + Y, d E( X + b) E( X ) + b E( Z) E( X + Y ) E( X ) + E( Y) E( α X + β Y) α E( X ) + β E( Y) E ( X ) f ( ) d Vrz: Vr( X) E( X) p( X ) We Z X + Y, d [ E( X ) ] Vr( X ) f ( ) d ([ X E( X )] ) E( X ) [ E( )] Vr( X ) E X Vr( X + b) Vr( X ) Vr( Z) Vr( X + Y) Vr( X ) + Vr( Y ) +Cov( X, Y ) Vr ( α X + β Y) α Vr ( X ) + β Vr ( Y) + α β Cov( X, Y) Für sttstsch ubhägge Zufllsvrble X ud Y glt: Vr( Z) Vr( X + Y ) Vr( X ) + Vr( Y ) Vr ( α X + β Y) α Vr ( X ) + β Vr ( Y) Momete -ter Ordug: E( X ) E( X ) ( X ) f ( ) d Tt Lge FH Merseburg Zuverlässget ete 9

11 6. ostge ützlche Formel! Kombto: K!( )! Abletuge Itegrle ' ( ) l ' ( ) d + + d l ' ' ( ) l ( e ) e d l e d e e d e ( ) ' ( u v) u v' + u' v ' u v u' v u v' v u ( ) v' ( ) d u( ) v( ) u' ( ) v( ) d Lösug ees Glechugssystems mt Hlfe vo Determte: Glechugssystem: Lösug: b b : : : : b : :... :... b... b... : :... : b b... b : :... :... b Berechugsregel für Determte:.... : :.. :.. usw..... :.. : :.. : ( ) :.. :..,, Tt Lge FH Merseburg Zuverlässget ete

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