Programmierung und Angewandte Mathematik
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- Kerstin Fürst
- vor 6 Jahren
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1 Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk C++ /Sclb Progrmmerug ud Eführug ds Kozept der objektoreterte Aweduge zu wsseschftlche Reches SS
2 Ihlt Folge Rehe Verfhre zur Kovergez Bestmmug Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk
3 Folge Defto: Ee Folge st ee Abbldug der türlche Zhle de reelle Zhle. M sgt uch, ee geordete Lste vo Zhle. N R :, k mt (,,3,...)detfzert werde ud wrd mt ( ) bezechet N Bemerkug: Aufgbe deses Abschttes st es de verschedeste Egeschfte vo Folge zu beschrebe ud für de wchtgste hrechede ud otwedge Krtere zugebe. Zel st es de ezele Egeschfte Bespele erkee ud mthemtsch beschrebe. Bespele: ) =/, b) b =/, c) c = De Folge ( )=,,,,... lefert kotuerlch mmer kleer werdede Folgegleder 4 8 Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk 3
4 Folge Bespele: De Folge (b )=,,,,,... lefert kotuerlch mmer cht kleer werdede Folgegleder De Folge (c )=,,3,4,... lefert kotuerlch mmer größer werdede Folgegleder Defto: Ee Folge ( ) heßt mooto flled, we für lle glt: + Ee Folge ( ) heßt streg mooto flled, we für lle glt: + Ee Folge ( ) heßt mooto steged, we für lle glt: + Ee Folge ( ) heßt streg mooto steged, we für lle glt: + Zur Beschrebug veler weterer Egeschfte wrd der Begrff der Telfolge beötgt: Defto: S Se (b ) ee streg mooto stegede Folge vo N N. De Folge ( b ) st ee Auswhl vo Folgegleder vo ( ) ud wrd ls Telfolge vo ( ) bezechet Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk 4
5 Folge Bespel: De Folge ( )=/ st cht ur mooto flled soder sogr streg mooto flled. Se fällt llerdgs emls s egtve. Defto: Ee Folge ( ) heßt ch ute beschräkt, flls glt: x R mt x für lle N Ee Folge ( ) heßt ch obe beschräkt, flls glt: x R mt x für lle N Ee Folge heßt beschräkt we se ch ute ud obe beschräkt st Bespel: De Folge us dem obge Bespel st cht ur ch ute beschräkt soder überhupt beschräkt. Bespel: De Folge ( )=s( π ) lefert htereder de Werte (,,-,,...) Dese Werte wederhole sch lle mmer weder. Dese Folge st perodsch mt der Perode 4. Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk
6 Folge Defto: Ee Folge ( ) heßt perodsch we glt: k N mt Ds k heßt Perode vo ( ) k für lle N Defto: Ee Folge ( ) heßt koverget gege de reelle Zhl, we glt: N mt - für lle Bezechug: lm Ee Folge heßt dverget, we se cht kovergert Bespel: kovergert gege. Se belebg ber fest vorgegebe Gesucht st e ( ) mt - für lle ( ) Mt ( ) - ( ) Dmt st für jedes e ( ) gefude ud kovergert gege Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk 6
7 Folge Bespel: De Folge ( ) = kovergert cht, se dvergert lso. Ageomme doch, d gäbe es e mt kovergert gege. Es st ( ) ber ubeschräkt ud dmt wächst de Etferug zu b eem gewsse Idex k streg mooto ud k deswege cht belebg kle se. Bespele: - (-,, -,, -,,...) De Folge ( ) = kovergert gege ber uf etws soderbre Wese. E Tel der Folge ähert sch vo obe der, der dere Tel llerdgs vo ute De Folge ( ) = - 4 (3, 6,, 7,, 8,...) kovergert cht Bede Folge hbe ber de gleche Egeschft dss e Tel der Folge mmer oberhlb der dere mmer uterhlb eer Greze legt. Defto: Ee Folge ( ) heßt um lterered, we es Telfolge (b ) ud (c ) gbt mt: N glt :b c Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk 7
8 Folge Bespel: - Betrchte wr u de Folge ( )= De Folgegleder lute :,, -,, -,, -, Betrchte wr de bede Telfolge , -, -, -,... ud,,,, so kovergere bede Telfolge!De ee gege -de dere gege. Trotzdem st dese Folge dverget, wel cht koverget. Wäre se koverget, z.b.gege (be -st de Argumetto log), glt (ch Defto) Egl we groß u - - N mt heßt ber uch erst recht für ,... - für lle gewählt wrd, es glt für ugerdes : Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk : 8
9 Folge Trotz der Dvergez deser Folge möchte m de besodere Egeschfte deser Grezwerte uszeche Defto: Ee Folge ( ) bestzt ee Häufugspukt, we es ee Telfolge vo ( ) gbt de gege kovergert. De Folge us dem letzte t Bespel ht dmt Häufugspukte. Jede perodsche Folge bestzt sovel Häufugspukte wr hre mmle Perode lutet. Dmt st folgedes gemet: Ee perodsche Folge der Perode k, bestzt ber uch de Perode k oder 3k usw.. De kleste derrtge Perode gbt de mxmle Azhl der Häufugspukte. Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk 9
10 Folge Stz : Jede kovergete Folge st beschräkt. Bewes: st koverget N mt - für lle ( ) k N mt Se lso m M(,...,, - für lle k Dmt sd de Afgsfolgegleder ) ud m,..., Mx(,...,, vo edlcher Azhl. Für ee edlche Azhl vo Zhle st es möglch e Mmum ud e Mxmum zugebe! m - m k ud ds für lle k k ) d glt : Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk
11 Folge Stz : (ohe Bewes) Ee mootoe Folge st etweder ubeschräkt oder koverget Bemerkug: Aus dem Bewes vo Stz ergbt sch, dss de Ubeschräkthet ee Egeschft jeder Restfolge (b ee Idex) st. Jeder Folgefg, egl we vele Gleder, st beschräkt! Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk
12 Folge Defto: Ee Folge de gege kovergert heßt Nullfolge. Stz 3: Ee Folge ( ) kovergert gege ( -) st Nullfolge Ee belebge Lerkombto edlch veler Nullfolge st ee Nullfolge Stz 4: (Recheregel für kovergete Folge) ) lm lm b) c) d) e) lm lm lm lm ud lm b ud lm b ud lm b ud lm b b lm( b lm( b b b lm( b ud b ) b ) lm(b /b ) /b ) b für lle b Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk
13 Folge Ds Problem be der Kovergezdefto st, dss de Kovergez eer Folge ur gezegt werde k we der Grezwert uch bekt st. Stz : (Cuchy-Kovergezkrterum) ( ) kovergert N mt - für lle,m m Bemerkug: Stz erlubt de Kovergez eer Folge zu zege ohe de Grezwert zu kee. Bespel: ²- Gegebe de Folge, gesucht der Grezwert ² -3 ²- ² ² ² -3 ² -3 ² -3 ² -3 ² -3 ² ² 3 ² ² ² Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk 3
14 Folge Bespel: e Gegebe de Folge (-), gesucht der Grezwert 4 Dese Folge kovergert wege dem ltererede Fktor (-) Versuche wr lso zu zege ds der Rest ee Nullfolge st e e e e 4 e e we d ur gege Bespel: (Fbocc-Folge) De Fbocc st ee klsssche rekursv deferte Folge. Nch Festsetzug der erste bede Folgegleder zu ud ( = ud =) ergebe sch lle wetere zur Summe der jewels bede vorherge Gleder, lso - - für lle Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk 4
15 Folge Bespel: (Fbocc-Folge) De Zhle de sch us desem Bldugsgesetz ergebe sd,,,, 3,, 8, 3,, 34,,... Dese Folge st b = streg mooto steged ud ubeschräkt, kovergert lso cht. Betrchtet wr de Quotetefolge der Fbocc-Zhle, lso b es ergebe sch de Zhle (b ) : ; ;,;,6 ;,6;... Des st ee Folge de, we se kovergert, bwechseld vo obe ud ute sch dem Grezwert b ähert (lterered). De verse Quotetefolgec =/b = / + kovergert we d uch lterered gege ee Grezwert c=/b. Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk
16 Folge Bespel: (Fbocc-Folge) Iteresst desem Zusmmehg st de Drstellug der Quotetefolgegleder b ls Kettebruch 3 b 3 b 7 3 D B h d G h l d B ü De Berechug des Grezwertes st gewss cht trvl ud west Bezüge zur Mtrzerechug uf: Betrchte wr de symmetrsche Mtrx 3 ud llgeme us de erste 3 Folgegleder gebldet Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk 6 - g
17 Folge Bespel: (Fbocc-Folge) Es st u so ds der Grezwert der Quotetefolge sch us de Egewerte der Mtrzepoteze ( gege uedlch) ergbt De Grezwerte b ud c ergebe sch zu De Grezwerte b ud c ergebe sch zu M Hlf d b d G lä h j d F l l d d Fb F l - 4 b ud dmt c b Mt Hlfe deser bede Grezwerte lässt sch jedes Folgegled der Fbocc-Folge drekt usreche c b - (-c) b Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk 7
18 Folge () rthmetsche Folge ( ) geometrsche Folge (/) hrmosche Folge Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk 8
19 Rehe Ee uedlche Rehe st chts deres ls ee Folge vo Zhle Defto: Se ( ) ee Folge. De durch s deferte Zhlefolge heßt uedlche Rehe. De Folge ( ) heßt Folge der Gleder der uedlche Rehe. Ist de Folge (s ) koverget gege s so schrebt m uch lm s s Ee uedlche Rehe heßt dverget we se cht kovergert. Bemerkug ud Bespel: Gegebe de uedlche Rehe s mt Für dese Art uedlcher Rehe (geometrsche Rehe) sd de Summe, lso de Grezwerte, bekt ud über Formel berechebr. Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk 9
20 Rehe Bemerkug ud Bespel: Es gelte de folgede Formel: m m m Für = st de Rehe dverget, für =- uch ber her bestzt de Rehe Häufugspukte ( ud ). Für > st de Rehe ebeflls dverget. m Bemerkug: Um de Kovergez eer Rehe festzustelle sd de erste Gleder eer Rehe völlg egl. Ee Rehe kovergert b k gdw se uch b kovergert Ee Rehe kovergert b k gdw. se uch b kovergert (uter der Bedgug dss de Rehegleder für de etsprechede Idzes uch defert sd) Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk
21 Rehe Für Rehe gbt es de uterschedlchste Kovergezkrtere Stz 6: (Cuchy) Ee uedlche Rehe (s ) st koverget N mt s - s m m für lle,m St Stz 7: Ist de uedlche Rehe (s ) koverget De Folge der Rehegleder ( ) st ee Nullfolge Bemerkug: Ds st weder ml e Bespel für e otwedges Krterum: Ist ämlch de Folge der Rehegleder kee Nullfolge k de uedlche Rehe cht kovergere! Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk
22 Rehe Bespele st koverget, de es glt ² ² für lle ² ² - (Stz : mooto ud beschräkt Kovergez) Behuptug E belebter Grezfll st de sogete hrmosche Rehe A A N ethält kee 9 ud Dese Rehe st dverget Schräkt m dese Rehe uf Zhle e de z.b kee 9 ethlte, d ergbt sch mt - - N ethält kee 9 A A 8 ; A 7 ; A ; A Jetzt hbe wr lles prt für A ethält lle derrtge Zhle zwsche ud 99 A M A 9 A A - Kovergez ch Stz (beschräkt ud streg mooto steged) Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk -
23 Rehe Bslg hbe wr us be Kovergezussge über (s ) de Bespele mmer uch drekt uf dese Folge bezoge. Es gbt Krtere de Aussge über Kovergez der Folge (s ) us Egeschfte bzw. Berechuge über de Folge der Rehegleder ( ) gewe. Defto: Ist koverget d heßt bsolut koverget. Bemerkug: Absolute Kovergez st ee Verschärfug der Kovergez. Ds heßt us bsoluter Kovergez folgt Kovergez ber cht umgekehrt. Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk 3
24 Rehe Stz 8: (Wurzelkrterum) Glt b eem Idex k (Quotetekrterum) Glt b eem Idex k k k d kovergert de Rehe bsolut d kovergert de Rehe bsolut Bespele: k k x wobe x belebg ber fest vorgegebe st. k! b dem Idex wo k x wrd bld blde de Rehegleder ee streg mooto fllede Folge Für lle Idzes k glt u x (k )! x x Kovergez ch Quotetekrterum x k k k! e x st für welche x koverget? Es glt e x e x x Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk 4
25 Rehe Stz 9: (Cuchy-Produkt) See ud b bsolut kovergete Rehe. Setze D kovergert de Rehe bsolut ud es glt: c c b - c b - b Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk
26 Verfhre zur Kovergez Bestmmug -te Zhl Test: Geometrsche Rehe P-Rehe Test Ncht-Negtve Zhl oder bsolut Altererede Sehe Se ächste Sete... (Eglsch) Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk 6
27 Verfhre zur Kovergez Bestmmug Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk 7
Carl Friedrich Gauß (Deutscher Mathematiker, 1777 bis 1855) formulierte die folgende Formel n
mthphys-ole Alyss. Klsse Techk Itegrlrechug Vertefug des Itegrlegrffs De Itegrlrechug ht ds Zel, de Flächehlt krummlg egrezter Flächestücke zu ereche. Be der äherugswese Berechug der Fläche uter Polyomfuktoe
Formelsammlung zur Zuverlässigkeitsberechnung
Formelsmmlug zur Zuverlässgetsberechug zusmmegestellt vo Tt Lge Fchhochschule Merseburg Fchberech Eletrotech Ihlt:. Zuverlässget vo Betrchtugsehete.... Zuverlässget elemetrer, chtreprerbrer ysteme... 3.
MST Übung 3 Mathematik 2 Prof.Dr.B.Grabowski Tel.:
MST Übug Mthemtk Prof.Dr.B.Grbowsk e-ml: grbowsk@htw-srld.de Tel.: 87- Iverse Mtrze ufgbe : Bereche Se de Iverse Mtr zu folgede Mtrze. Prüfe Se Ihr Ergebs, dem Se - bereche! b dg-,,-,,-, c 7 d ufgbe :
Sitzplatzreservierungsproblem
tzplatzreserverugsproblem Be vele Zugsysteme Europa müsse Passagere mt hrem Zugtcet ee tzplatzreserverug aufe. Da das Tcetsystem Kude ee ezele Platz zuwese muss, we dese e Tcet aufe, ohe zu wsse, welche
Es ist dann nämlich 2 2 2
Ege Bemerkuge zum Sklrprodukt See U,V,W Vektorräume üer eem Körper K. Ee Aldug ϕ :U V W heßt ler, we λ, λ, µ, µ K, u, u U, v, v V : ϕ( λ u + λ u, µ v + µ v ) = λ µ ϕ( u, v ) + λ µ ϕ( u, v ) + λ µ ϕ( u,
Im Wöhlerdiagramm wird die Lebensdauer (Lastwechsel oder Laufzeit) eines Bauteils in Abhängigkeit von der Belastung dargestellt.
Webull & Wöhler 0 CRGRAPH Wöhlerdagramm Im Wöhlerdagramm wrd de Lebesdauer ( oder Laufzet) ees Bautels Abhägget vo der Belastug dargestellt. Kurzetfestget Beaspruchug Zetfestget auerfestget 0 5 3 4 6 0
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vo Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer Überblick: Folge ud Reihe Folge: Zhlefolge ( ) ; ; ; ist eie geordete Liste vo Zhle ( IN) : Glieder der Folge f(): Bildugsgesetz (eplizit i oder rekursiv) z.b.: (
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5.7. Aufgbe zu Folge ud Reihe Aufgbe : Lieres ud beschrätes Wchstum Aus eiem Qudrt mit der Seiteläge dm gehe uf die rechts gedeutete Weise eue Figure hervor. Die im -te Schritt gefügte Qudrte sid jeweils
$Id: reihen.tex,v /12/09 12:26:25 hk Exp $
$Id: rehe.tex,v 1.30 2016/12/09 12:26:25 h Exp $ 5 Rehe 5.3 Absolute Kovergez Am Ede der letzte Stzug hatte wr de Begrff eer absolut overgete Rehe egeführt, des war ee Rehe be der de aus de Beträge der
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Leitfaden zu den Indexkennzahlen der Deutschen Börse
Letfade zu de Idexkezahle der Deutsche Börse Verso.5 Deutsche Börse AG Verso.5 Letfade zu de Idexkezahle der Deutsche Börse Page Allgemee Iformato Um de hohe Qualtät der vo der Deutsche Börse AG berechete
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Regressoslse De Regressoslse st ee Slug vo sttstshe Alseverfhre. Zel e de häufgste egesetzte Alseverfhre st es Bezehuge zwshe eer hägge ud eer oder ehrere uhägge rle festzustelle. Se wrd sesodere verwedet
118 7 Potenzreihen. eine Folge von (reellen) Funktionen mit Definitionsgebieten D(f j), j N, und. = M D(f j ) R. j=1
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Induktion am Beispiel des Pascalschen Dreiecks
Iduto am Bespel des Pascalsche Dreecs Alexader Rehold Coldtz 0.02.2005 Eletug vollstädge Iduto De vollstädge Iduto st ebe dem drete ud drete Bewesverfahre ees der wchtgste der Mathemat. Eher bespelhaft
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ufge ur Festgketslere - usfürlc gelöst Mt Grudegrffe, Formel, Frge, tworte vo Gerrd Kppste üerretet ufge ur Festgketslere - usfürlc gelöst Kppste scell ud portofre erältlc e eck-sop.de DE FCHBUCHHNDLUNG
14. Folgen und Reihen, Grenzwerte
4. Folge ud Rehe, Grezwerte 4. Folge ud Rehe, Grezwerte 4. Ee Folge defere Defere de Folge (a ) Õ mt a =+: Eplzte Defto *+ a() Doe 3, falls = Rekursve Defto Defere de Folge (b ) Õ, b = : b + sost whe(=,
19. Amortisierte Analyse
9. Amortserte Aalyse Amortserte Aalyse wrd egesetzt zur Aalyse der Laufzet vo Operatoe Datestrukture. Allerdgs wrd cht mehr Laufzet ezeler Operatoe aalysert, soder de Gesamtlaufzet eer Folge vo Operatoe.
Carmichaelzahlen und andere Pseudoprimzahlen
Crmichelzhle ud dere Pseudoprimzhle Christi Glus 26.05.2008 1 Der fermtsche Primzhltest Erierug 1 (Kleier Stz vo Fermt). Für p prim, Z, ggt(, p) 1 gilt: p 1 1 (mod p) Algorithmus 2 (Fermtscher Primzhltest).
Maße zur Kennzeichnung der Form einer Verteilung (1)
Maße zur Kezechug der Form eer Vertelug (1) - Schefe (skewess): Defto I - Ee Vertelug vo Messwerte wrd als schef bezechet, we se der Wese asymmetrsch st, dass lks oder rechts des Durchschtts ee Häufug
Statistik. (Inferenzstatistik)
Statstk Mathematsche Hlfswsseschaft mt der Aufgabe, Methode für de Sammlug, Aufberetug, Aalyse ud Iterpretato vo umersche Date beretzustelle, um de Struktur vo Masseerscheuge zu erkee. Deskrptve (beschrebede)
4. Marshallsche Nachfragefunktionen Frage: Wie hängt die Nachfrage nach Gütern
Prof. Dr. Fredel Bolle Vorlesug "Mkroökoome" WS 008/009 III. Theore des Haushalts 0 Prof. Dr. Fredel Bolle Vorlesug "Mkroökoome" WS 008/009 III. Theore des Haushalts 0 4. Marshallsche Nachfragefuktoe Frage:
Spezielle Themen der Mathematik: Reelle Zahlen, Folgen, Reihen, Funktionen
Folge ud Reihe Spezielle Theme der Mthemtik: Reelle Zhle, Folge, Reihe, Fuktioe Folge ud Reihe I diesem Kpitel befsse wir us mit Folge, welche ls spezielle Fuktioe, ämlich solche mit ls Defiitiosbereich,
Die Binomialverteilung als Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Schadenversicherung
De Bomalvertelg al Wahrchelchketvertelg für de Schadevercherg Für da Modell eer Schadevercherg e gegebe: = Schade ee Verchergehmer, we der Schadefall etrtt w = Wahrchelchket dafür, da der Schadefall etrtt
Gegebenenfalls heisst die Zahl s. der Reihe, und man schreibt
Prof. Dr. Berd Dreseler 6 Reihe 6.1 Kovergez vo Reihe Gegebe sei eie Folge s 1 1, 2 1 2 3 1 2 3... s s, s..., 1 2 1, wird der Folge eie weitere Folge omplexer Zhle. Durch s zugeordet. www.berd-dreseler.de
Verdichtete Informationen
Verdchtete Iormatoe Maßzahle Statstke be Stchprobe Parameter be Grudgesamthete Maßzahle zur Beschrebug uvarater Verteluge Maßzahle der zetrale Tedez (Mttelwerte) Maßzahle der Varabltät (Streuugswerte)
Integralfunktion und bestimmtes Integral
II Itegrlfuto ud bestmmtes Itegrl Bsher: Flächebestmmug vo Rechtec, Dreec, Kres FHpportes Zel: Bestmmug vo Flächehlte belebg rummlg begrezter Fläche. Flächefuto Gegebe se de stetge Futo f mt (zuächst)
Deskriptive Statistik - Aufgabe 3
Desrptve Statst - Aufgabe 3 De Überachtugszahle der Fremdeverehrsgemede "Bachstadt" für de Moate ud zege auf de erste Blc scho deutlche Uterschede de ezele Ortschafte. We seht e etsprecheder Verglech der
Festverzinsliche Wertpapiere. Kurse und Renditen bei ganzzahligen Restlaufzeiten
Festverzslche Wertaere Kurse ud Redte be gazzahlge Restlaufzete Glederug. Rückblck: Grudlage der Kursrechug ud Redteermttlug 2. Ausgagsstuato 3. Herletug der Formel 4. Abhäggket vom Marktzsveau 5. Übugsaufgabe
2. Mittelwerte (Lageparameter)
2. Mttelwerte (Lageparameter) Bespele aus dem täglche Lebe Pro Hemspel hatte Borussa Dortmud der letzte Saso durchschttlch 7.2 Zuschauer. De deutsche Akte sd m Durchschtt um 0 Zähler gefalle. I Ide wurde
3 Folgen, Reihen, Grenzwerte 3.1 Zahlenfolgen. Beispiele: 1, 2, 3, 4, 5,. 1, 3, 5, 7, 9, 3, 6, 9, 12, 15, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 10, 100, 1.000, 10.
3 Folge, Reihe, Grezwerte 3.1 Zahlefolge Beispiele: 1, 2, 3, 4, 5,. 1, 3, 5, 7, 9, 3, 6, 9, 12, 15, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 10, 100, 1.000, 10.000, 1 3 Folge, Reihe, Grezwerte 3.1 Zahlefolge Defiitio: Eie
4.1 G sei Gruppe (mit multiplikativ geschriebener Verknüpfung) und a G. Dann heißt. falls a k 1 G k 1 ord(a) := k 1 a k = 1 G sonst
15 Wichtige Sätze ud Defiitioe zu 4: Ds qudrtische Rezirozitätsgesetz us der Vorlesug: LV-NR 150 39 Verstltug Diskrete Mthemtik II, 4.0 std Dozet Holtkm, R. 4.1 G sei Grue (mit multiliktiv geschriebeer
Wenn man mehrere Verbraucher in Reihe schaltet, so werden alle vom gleichen Strom durchflossen, siehe auch Abschnitt und Formel ( ).
- rudlage der Elektrotechk - 60 22..04 4 Der komplzertere elektrsche lechstromkres 4. Kombato vo Verbraucher 4.. Sere- oder eheschaltug vo Wderstäde We ma mehrere Verbraucher ehe schaltet, so werde alle
Ralf Korn. Elementare Finanzmathematik
Ralf Kor Elemetare Fazmathematk Ihaltsverzechs. Eletug Exkurs : Akte Begrffe, Grudlage ud Geschchte. We modellert ma Aktekurse? 4. Edlche E-Perode-Modelle 6. Edlche Mehr-Perode-Modelle 3.3 Das Black-Scholes-Modell
( ) ( ) ) ( ) 1/ ( ) Beispiel: U = y1. 3. Ergänzungen zur Haushaltstheorie, insbesondere Dualität und Anwendungen
Prof. Dr. Fredel Bolle 3. rgäzuge zur Haushaltstheore, sbesodere Dualtät ud Aweduge (Btte wederhole Se zuächst emal de Haushaltstheore aus Mkro I!!!) komme gegebe errechbare Idfferezkurve festgelegt Güterprese
Verteilungen und Schätzungen
Verteluge ud Schätzuge Zufallseperet Grudbegrffe Vorgag ach eer bestte Vorschrft ausgeführt ( Przp) belebg oft wederholbar se Ergebs st zufallsabhägg be ehralge Durchführug des Eperets beeflusse de Ergebsse
Kennlinienaufnahme des Transistors BC170
Kennlnenufnhme des Trnsstors 170 Enletung polre Trnsstoren werden us zwe eng benchbrten pn-übergängen gebldet. Vorrusetzung für ds Funktonsprnzp st de gegensetge eenflussung beder pn-übergänge, de nur
Der Simplex Algorithmus:
Ausrbetug zum Them Der Smplex Algorthmus: Formulerug, Bespele ud etrtete Fälle m Prosemr Alytsche Geometre m WS 007/08 be Herr Prof. Dr. Werer Seler vo Chrst Gerlch Ihltsverzechs Eführug.... Problemstellug...
Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz
LGÖ Ks VMa Schuljahr 6/7 Zusammefassug Folge ud Kovergez Ihaltsverzeichis Defiitioe ud Beispiele für Folge Beschräkte Folge Kovergez vo Folge Grezwertsätze für Folge 5 Für Experte 7 Defiitioe ud Beispiele
Aufgaben. 1. Gegeben seien folgende Daten einer statistischen Erhebung, bereits nach Größe sortiert (Rangliste):
Aufgabe. Gegebe see folgede Date eer statstsche Erhebug, berets ach Größe sortert (Raglste): 0 3 4 4 5 6 7 7 8 8 8 9 9 0 0 0 0 0 3 3 3 3 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 8 30 Erstelle Se ee Tabelle, der de Merkmalsauspräguge
Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik 1, WS Wozu InformatikerInnen Folgen brauchen
Prof. Dr. Wolfgg Koe Mthemtik WS06 7.0.06. Zhlefolge.. Wozu IformtikerIe Folge bruche Kovergez vo Folge ist die Grudlge der Alysis (Differetil- ud Itegrlrechug) Trszedete Gleichuge wie x l x = 50 k m äherugsweise
5.7. Aufgaben zu Folgen
5.7. Aufgabe zu Folge Aufgabe : Lieares ud beschräktes Wachstum Aus eiem Quadrat mit der Seiteläge dm gehe auf die rechts agedeutete Weise eue Figure hervor. Die im -te Schritt agefügte Quadrate sid jeweils
1.1. Jährliche Rentenzahlungen 1.1.1. Vorschüssige Rentenzahlungen. 1.1. Jährliche Rentenzahlungen 1.1.1. Vorschüssige Rentenzahlungen
.. Jährlche Retezahluge... Vorschüssge Retezahluge Ausgagspukt: Über ee edlche Zetraum wrd aus eem Kaptal (Retebarwert v, ), das zseszslch agelegt st, jewels zu Beg ees Jahres ee bestmmte Reterate ř gezahlt
Grundlagen der Elektrotechnik II (GET II)
Grundlgen der Elektrotechnk (GET ) Vorlesung m 8.07.005 Do. :5-3.45 Uhr;. 603 (Hörsl) Dr.-ng. ené Mrklen E-Ml: mrklen@un-kssel.de Tel.: 056 804 646; Fx: 056 804 6489 UL: http://www.tet.e-technk.un-kssel.de
In jeder noch so kleinen Umgebung von 2 liegen fast alle Folgenglieder. Die Folge hat den Grenzwert 2 und wir schreiben dafür: lim a = 2
0. Kovergez vo Folge ud Reihe Der i de Aschitte geometrische Folge ud Reihe eigeführte Grezwertegriff ist für die Alysis (Ifiitesimlrechug) grudleged. Im Folgede werde Grezwerte ei elieige Folge ud Fuktioe
Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang & LehrerInnenteam Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 7-8 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG UND STATISTIK
Mathematk: Mag. Schmd Wolfgag & LehrerIeteam Arbetsblatt 7-7 7. Semester ARBEITSBLATT 7-8 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG UND STATISTIK STATISTISCHE GRUNDBEGRIFFE Statstk gledert sch zwe Telbereche De Beschrebede
Zahlenreihen und Konvergenzkriterien
www.mthemtik-etz.de Copyright, Pge of 0 Zhlereihe ud Kovergezkriterie. Kovergete Reihe Reihe sid Folge spezieller Burt, so dss gegeüber de Ergebisse über Folge grudsätzlich icht viel Neues zu erwrte ist.
War Benjamin Franklin Magier?
Wr Bejmi Frkli Mgier? Zusmmefssug Es wird eie Methode etwickelt, ei (fst) mgisches Qudrt der Ordug 8 k ( k ) mit fsziierede Eigeschfte herzustelle. Eileitug I seiem überus leseswerte ud bwechslugsreiche
Marek Kubica, Diskrete Strukturen Übungsblatt 13 Gruppe 11
Mrek Kubic, kubic@i.tum.de Diskrete Strukture Übugsbltt Gruppe Pukteverteilug: Σ Aufgbe () 8 () 7 Der Grph B ht de Prüfer-Code,,,,, der zustde kommt, we m de kleiste Kote vom Grd streicht ud de dere, übrig
Teilfolgen aus und fragen nach deren Rekursionsformel. Die Ideen gehen auf Édouard Lucas zurück.
Hs Wlser, [0090331] Teilfolge der Fibocci-Folge 1 Worum geht es? Wir wähle us der Fibocci-Folge 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 1 1 3 5 8 13 1 34 55 89 144 33 377 Teilfolge us ud frge ch dere Rekursiosformel.
Multiple Regression (1) - Einführung I -
Multple Regreo Eführug I Mt eem Korrelatokoeffzete ud der efache leare Regreo köe ur varate Zuammehäge zwche zwe Varale uterucht werde. Beutzt ma tatt dee mehrere Varale zur Vorherage, egt ma ch auf da
Algebra/Arithmetik. Eine Variable ist ein Platzhalter oder ein Stellvertreter für eine Zahl.
Algebr/Arithmetik 1. Grudbegriffe Geometrie: Lehre vo de Rumgrösse Algebr: Lehre vo de Gleichuge Arithmetik: Lehre vo de Zhlegrösse (Zhle, Vrible) Defiitio: Eie Vrible ist ei Pltzhlter oder ei Stellvertreter
Methoden der computergestützten Produktion und Logistik
Methode der comutergestützte Produkto ud Logstk 9. Bedesysteme ud Warteschlage Prof. Dr.-Ig. habl. Wlhelm Dagelmaer Modul W 336 SS 06 Bedesysteme ud Warteschlage Besel: Fahrradfabrk Presse Puffer Lackerere
Asymptotische Normalverteilung nach dem zentralen Grenzwertsatz
Asymptotsche ormalvertelug ach dem zetrale Grezwertsatz Erwartugswert eer Summe vo Zufallsvarable mt jewels de Erwartugswert x (Y Y Asymptotsche ormalvertelug ach dem zetrale Grezwertsatz Varaz eer Summe
Taylor Formel: f(x)p(x)dx = f(c)
Tylor Formel Die Tylorsche Formel liefert eie Approximtio eier Fuktio durch ei Polyom, gemeism mit eier Abschätzug des Fehlerterms. Zwischewertstz: Eie stetige Fuktio f : [, b] R immt jede Wert γ zwische
Aufgaben und Lösungen Ausarbeitung der Übungsstunde zur Vorlesung Analysis I
Aufgabe ud Lösuge Ausarbeitug der Übugsstude zur Vorlesug Aalysis I Witersemester 2008/2009 Übug am 09.2.2008 Übug 8 Eileitug Es soll och eimal auf die agebotee Sprechstude higewiese werde, sowie auf mögliche
$Id: reihen.tex,v /06/14 13:59:06 hk Exp $
Mathematik für Iformatiker B, SS 202 Doerstag 4.6 $Id: reihe.tex,v.9 202/06/4 3:59:06 hk Exp $ 7 Reihe 7.4 Kovergezkriterie für Reihe 7.4. Alterierede Reihe Wir hatte gesehe das die harmoische Reihe divergiert,
ALGEBRA Potenzen Teil 2. Trainingsheft. Alle Regeln Musterbeispiele - Trainingsaufgaben. Datei Nr INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
ALGEBRA Poteze Teil it egtive Expoete Triigsheft Alle Regel Musterbeispiele - Triigsufgbe Dtei Nr. 0 Std 9. Dezeber 0 Friedrich W. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK www.the-cd.de 0 Potezreche
n gerade 0 n ungerade (c) x n = a 1 n, a R + (d) x 1 := 2, x n+1 = 2 + x n (e) x n = (f) x n = exp(exp(n)) (g) x n = sin(n)
Übugsaufgabe Aalysis I Aufgabe. Beweise oder widerlege Sie: a Jede i R kovergete Folge ist beschräkt. b Es gibt Cauchy-Folge im R, die icht kovergiere. c Beschräkte Folge sid koverget. d Folge mit eiem
Thema 5: Reduzierte Datenanforderungen II: Naive Diversifikation
Thea 5: Reduzerte Dateaforderuge II: Nave Dversfkato roble: Klealeger verfüge oft cht eal über hrechede Iforatoe zur Awedug des Sgle-Idex-Modells. I wetere: Herletug eer Hadlugsepfehlug für de Fall fehleder
Beispielklausur BWL B Teil Marketing. 45 Minuten Bearbeitungszeit
Bespelklausur BWLB TelMarketg 45MuteBearbetugszet BWLBBespelklausurTelMarketg Sete WchtgeHwese:. VOLLSTÄNDIGKEIT: PrüfeSeuverzüglch,obIhreKlausurvollstädgst(Aufgabe).. ABGABE: EsstdegesamteKlausurabzugebe.
Übersicht Integralrechnung
Vorbemerkug Übersicht Itegrlrechug Diese Übersicht fßt wesetliche Pukte der Vorlesug zusmme. Sie ersetzt icht die usführliche Vorlesugsmitschrift, weil die dort behdelte Beispiele ud Erläuteruge für die
Hochschule Furtwangen University Sommersemester Prof. Dr. Thomas Schneider Medien und Informatik 2. Übungsblatt 5. dar.
Hochschle Frtwage Uversty Sommersemester 0 Fakltät Dgtale Mede Mathematk Prof. Dr. Thomas Scheder Mede d Iformatk Übgsblatt. Elemetares Reche mt komplexe Zahle Es se w= +. a) Blde Se de komplex Kojgerte
Klasse 10 Graphen von ganzrationalen Funktionen skizzieren
Klsse 0 Grphe vo grtiole Fuktioe skiiere Nr.3-4.4.06 Ausggslge Vorwisse Die SuS kee Grudfuktioe ud ihre Grphe: f() = ²; ³; ⁴ f() = ; f() = Die SuS kee bei Grudfuktioe folgede Veräderuge: g() = f() Der
2 Regression, Korrelation und Kontingenz
Regresso, Korrelato ud Kotgez I desem Kaptel lerst du de Zusammehag zwsche verschedee Merkmale durch Grafke zu beschrebe, Maßzahle ür de Stärke des Zusammehags zu bereche ud dese zu terpretere, das Wsse
6. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen + Selbsttest-Auflösung
6. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge + Selbsttest-Auflösug Aufgabe 6: Utersuche Sie die Folge, dere Glieder ute für N agegebe sid, auf Beschräktheit, Mootoie ud Kovergez bzw. Beschräktheit, Mootoie ud Kovergez
Ausarbeitung UNENDLICHKEIT DER PRIMZAHLEN
Phls-Uverstät Marburg Isttut für Mathemat SE: Klasssche Probleme Letug: Bejam Schwarz Referet: Ies Davd WS 09/0 Ausarbetug UEDLICHKEIT DER PRIMZAHLE Ihaltsverzechs EILEITUG... BEWEIS VO EUKLID... 3 BEWEIS
7.1 Einführung Unter der n-ten Wurzel aus a versteht man eine Zahl x, die mit n potenziert a ergibt.
Rdiziere 7 Rdiziere 7.1 Eiführug Uter der -te Wurzel us versteht eie Zhl x, die it poteziert ergibt. x x für 0 9 3 3 9 * : Wurzelexpoet, N ud 1 : Rdikd, 0 x: Wurzel(wer) t Poteziere: Bsis ud Expoet sid