Integralfunktion und bestimmtes Integral

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1 II Itegrlfuto ud bestmmtes Itegrl Bsher: Flächebestmmug vo Rechtec, Dreec, Kres FHpportes Zel: Bestmmug vo Flächehlte belebg rummlg begrezter Fläche. Flächefuto Gegebe se de stetge Futo f mt (zuächst) postve Futoswerte. Defto der Flächefuto: Betrchte de Futo A : A (), de jedem Df mt de Flächemßzhl der Fläche vo bs uter dem Grphe vo f (gelb uterstrche, gelb mrert!) zuordet. (s Heft ur le Zechug, Phse später!) Wr suche u ee Zusmmehg zwsche f ud A Ahme: A () se berets bet I eer lee Umgebug vo, der f streg mooto steged st, glt: A (+h) A () st Flächehlt des grüe Strefes, der vo Gf begrezt wrd. rot grü blu Es glt: f () h A (+h) A () f ( + h) h für (uch für h < ) Her Nebebemerug für h < f( + h) (-h) A () A ( + h) f () (-h) (-) für h <, lso ds gleche A ( + h) A () für h > > f() f( + h) h für h < A ( + h) A () >Dfferezlquotet! lm f(), wel lm f( + h) f()(stetg! ) h h h Ergebs A st dem belebg gewählte Put dfferezerbr ud es glt: A () f() A st ee Stmmfuto vo f! Bemeruge:. De Kostte c der Flächefuto (Stmmfuto!) muss och bestmmt werde!. Ergebs glt uch, we f m Itervll streg mooto flled st. Nur be der Herletug ädert sch ds Vorzeche der Uglechugsette. I ostte Itervlle Glechugsette! 5

2 Bestmmug der ddtve Kostte c: De Fläche vo bs st scher Null: A () Bespel: f () ²; Gesucht: Fläche zwsche ud,5. A- () ³ + c Mt A- (-) folgt c, somt A- () ³ +, ud de gesuchte Fläche st 4,75. Aufgbe 5/6 (H: 5f/7,8) 6

3 Hstorscher Weg (Archmedes): Strefemethode (Abb!) Gesucht: der zwsche ud gelegee Flächehlt uter dem Grphe vo f () ² (Zeche mt 8, Ehet 8 Kästche!) (Zuächst ur Obersumme!) Lösugsmöglchet: M tele ds -Itervll [; ] glech große Teltervlle, Brete je /, uf (her 8). Ee Näherug für de gesuchte Fläche erhält m, we m lle Rechtecsflächestrefe, dere Höhe dem jewels größte Futoswert des Teltervlls etsprcht, zusmmezählt. Der berechete Flächehlt st d scher größer ls der gesuchte (Obersumme) I glecher Wese erhält m ee zu lee Näherug, we de Rechtecsfläche jewels de leste Futoswerte etspreche (Utersumme) Für sehr große wrd m erwrte dürfe, dss be bede Methode der Flächewert sehr geu geähert wrd. De Rechug ergbt llgeme (bedee A g h mt g / für lle Rechtece) Obersumme: Utersumme: S ( )² + ( )² ( )² S ()² + ( )² ( )² [( )² + ( )² ( )²] [² + ² ²](FS!) 6 ( + )( + ) [² + ( )² ( )²] [² + ² ( )²](FS!) 6 ( )(( ) + ) Für jedes belebg große lässt sch so jewels ee Näherug für A bereche. 6 ( )( ) Versuch: Ee Grezwert für zu fde, ds ämlch müsste der ete Flächehlt se! Es ergbt sch jewels: ( + )( + ) ( )( ) S... S... 6³ 6³ ³ + ² + ³ ² + 6³ 6 6³ 6 Erwrtugsgemäß ergbt sch bede Fälle der gleche Grezwert /. Also st A / [FE] (wel j S < A < S Feststellug: Flächehlte vo Fläche, de vo stetge Futosgrphe begrezt werde, lsse sch wegstes äherugswese mmer mt der Strefemethode bereche. Dzu müsse de gebldete Rechtecsstrefe cht eml de gleche Brete bestze. Außerdem m ls Rechtecshöhe rgedee Futoswert f(ξ) us dem jewelge Itervll [-; ] verwede. 7

4 De Fläche uter dem Grphe vo f m Itervll [; ] lässt sch dmt äher durch f ( ξ )( ) f( ξ ), Im Flle eer uedlch fee Auftelug schrebt m d ch Lebz lm >, f( ξ ) f()d f(t)dt Wr hbe II. ud II. zwe Wege zur Berechug der Fläche uter dem Grphe eer stetge Futo eem Itervll [, b] ee gelert. Zusmmefssed glt: Glechbedeutede Schreb- ud Sprechwese bsher Fläche uter Gf m Itervll bs b A(b) Flächefuto vo f A () b sofort bestmmtes Itegrl vo f über [,b] b Itegrlfuto vo f Uterschede: Ds ubestmmte Itegrl st ee Mege vo Futoe. Ds bestmmte Itegrl st ee Zhl (Fläche!) De Itegrlfuto st ee Futo (Stmmfuto zu f) Es glt we II. F () + c, wobe m c us der Bedgug bestmme > c -F () Bespel f () ² A () t²dt t ²dt ³/+c d.h. t²dt ³ + c ³ ³ t²dt (Bespel vom Arbetsbltt!) 8

5 Ermttlug vo Flächehlte mt Hlfe vo Itegrlfutoe Aufgbe: ) Se f () s. Bestmme de Flächehlt der Fläche uter dem Grphe m Itervll [, π], lso π s d A () s tdt cos + c, wobe A() -cos + c > c > A () - cos + > A (π) -cos π + + ) Se f (). Bestmme de Flächehlt uter Gf m Berech [; 4], d. h. A 4 d Es glt: A () tdt + c, wobe A () / + c > c -/ > A () tdt > A (4) y 4 ) f (). Bestmme de Fläche uter Gf vo,5 bs, d. h. ² A d y,5² Es glt: A,5 () dt + c, 4,5t² wobe A,5 (,5) > c > A,5 () + > A,5 () / 4) f () s. Bestmme de Fläche uter Gf Abhägget vo m Itervll [; π/] ( > ), d. h. π / A s d Es glt: A() s(t)dt cost + c, wobe A () > c / > A () cos() + > A(π/) / 9

6 . Verefchte Auswertug des Itegrls b Se F() ee belebge Stmmfuto vo f (). Der Term der Itegrlfuto st d F() + c, (I) wobe m c erhält us F () + c oder c - F() (II) Der gesuchte Flächehlt uter Gf über [, b] st ch (I) ud (II) b F (b) F () Vortel: M sprt sch de Zwscheschrtt der Bestmmug der Kostte! Bsp: Verefchte Lösug der Aufgbe us.:. π s d -cos π + cos mt F () -cos π s d - cosπ - + cos + mt F () -cos +, egl welche Stmmft. d sch de Kostte weghebt.. 4 d 4 (F () ). d -/ (-/,5) /,5² (F () -/) usw. Formle Schrebwese b [ F(t) ] b F (b) F () Bsp:.,5 dt t² t,5... t³ ³ 4. 4 t²dt 4t 4 ( 4 + ) 9 b b t b 5. t dt, t² t dt t² tdt + t² + tdt [³ ²] + [³ ²] ( )

7 . Aweduge der Itegrto Beschleugte Bewegug: Freer Fll v(t) lm (t) (t) t > t t v(τ) dτ v (t) lm v(t) v(t) t > t t (τ) dτ Freer Fll mt v ud o, pos. -Achse ch ute: g > v (t) t gdτ gt + v > (t) t b gτ + v dτ ½ gt² + vt + Arbet W F s (flls F s ud F cht vo s bhägg!) Sost: Be leer Äderug vo s blebt F (s) prtsch ostt: dw F (s) ds Bespel : Dehug ees Gummbdes F () D Dehug us der Ruhelge um s: s s s ² W F()d Dd D Ds² Bespel : Ldugstrsport Q r q De egtve Elemetrldug soll de egtve Ldug q vo r ch r gege de Azehugsrft der mt Q geldee Kugel trsportert werde. Azehugsrft ch Coulombgesetz: qq F (r) 4πε r² r² r Wr,r r r F(r)dr r r² dr r r r Etsprechede Ergebsse erhält m für de Hubrbet m Grvttosfeld mt Gmm, wobe G de Newtosche Grvttosostte st. r r r F(r) Rdbemerug: Um ee Körper gz us dem Grvttosfeld der Soe zu etfere ud de Uedlchet des Weltlls zu schce, geügt somt de edlche Eerge lm r r r De Arbet etsprcht der Fläche m r-f-dgrmm! Wr, r > r

8 c Volumeberechug be Rottosörper Ee Kurve rotert um ee Achse ud erzeugt ee Körper, desse Querschttsfläche ozetrsche Krese sd. Herletug eer Formel zur Volumeberechug: sehe Arbetsbltt. Allgeme glt für ds Volume: V Dbe st A de Querschttfläche. m f ²() πd m m m A()d Bespele: ) Spdel y s π V )²d [ π π π π π s ] π[ ] π ² (s. Zwebel y + s 4 Ergebs: π+ 9 π ² 4 Schüler reche lsse, Przp we obe, usqudrere,

9 4 Itegrlfuto belebger stetger Futoe Huptstz der Dfferezl- ud Itegrlrechug Bsher: A () f(t)dt ur für postve stetge Futoe mt Werte. Nu zwe Verllgemeeruge:. Verllgemeerug: f () belebg stetg,. Auch her soll defert werde: f()d lm >, f( ξ ) Aufgrud der Defto wrd de Fläche m egtve Berech vo f uch egtv gezählt (eg. Rechtecshöhe f (ξ)!). Es hdelt sch umehr cht um ee Flächefuto, soder um ee Flächeblzfuto. Postv ud egtv gewertete Fläche werde gegeeder ufgerechet. Auch deser erweterte Form sd Itegrlfutoe Stmmfutoe der Ursprugsfuto (Bewes we II.). Bespele:. f () s Es glt: π π π [ cos ] cos π + cos s d s d [ cos ] π cos π + cos cos π + cos π π s d [ cos ] Flächeblz. f () ² -

10 ³ ² d ( + ) ³ 8 ² d ( + ) Flächeblz. Verllgemeerug: f () belebg stetg, <. Auch her soll defert werde: f()d lm >, f( ξ ) D weter - gelte soll, sd lle egtv. Für postve f( ξ ) erhält m lso egtve Flächetele, für egtve f( ξ ) etspreched postve Flächetele. Auch für dese Deftoserweterug der Itegrlfuto erhält m d f(t)dt f() d Zum Bewes öte m de Überleguge us Abschtt II. uf de Futo g () f(-) wede: Wege < st > - ud für g(t)dt glt lles dort gesgte (flls g () > ). D glt: d d > < f(t)dt > > g(t) dt (De Dfferetle bestze bede Itegrle uterschedlches Vorzeche) d g(t)dt d d ( G( ) ) g( ) ( ) flls G Stmmft. vo g d g( ) ( ) g( ) f() (Ee grphsche Erläuterug deses Beweses estert ur m ttsächlche Srpt!) Zusmmefssed lässt sch u für II. ud II.4 der folgede wchtge Stz formulere: 4

11 Huptstz der Dfferezl- ud Itegrlrechug: f se uf dem Itervll I stetg. F se Itegrlfuto zu f mt F : -> mt I ud DF I D glt: F () f() ( I) Aders: De Abletug der Itegrlfuto eer stetge Itegrdefuto st der Itegrd selbst. Bespel für de Flächeberechug, de sch us de bede Verllgemeeruge ergbt Futo: postv; Itegrtosrchtug: egtv 9 t²dt [ t³ ] / 8 8 / Flächeblz: egtv Futo: postv; Itegrtosrchtug: postv / / 9 t²dt [ t³ ] ( ) 8 8 Flächeblz: postv Futo: egtv; Itegrtosrchtug: egtv 9 t²dt [ t³ ] / / Flächeblz: postv Futo: egtv; Itegrtosrchtug: postv / / 9 t²dt [ t³ ] ( ( )³) 8 8 Flächeblz: egtv 5

12 5 Egeschfte der Itegrlfuto; Recheregel 5. Ermttlug des ugefähre Verlufs des Grphe der Itegrlfuto - Mt der Kets vo f () et m ds Stegugsverhlte jeder Stmmfuto - A der utere Itegrtosgreze legt ee Nullstelle der Itegrlfuto Bespel: F () t ² 4dt Es glt: F (-) F () st streg mooto flled für ]-; [ F () st streg mooto steged für \[-;] - M M F () ht be - e Mmum be e Mmum F ht be (eg. Stegugswert mml) ee Wedeput Ee geue Verluf m erst ch Berechug der y-werte eree: F () ³/-4+ / 4 F () -9 F (-) 5/ 6

13 5. Itegrl- ud Stmmfutoe De Mege der Itegrlfutoe eer Futo f st cht jedem Fll mt der Mege der Stmmfutoe detsch. Bespele: ) f () ; F () ² + st ee Itegrlfuto, wel F ee Nullstelle ht. ³ b) f () ²; F () + c sd Itegrlfutoe, wel jedes F Nullstelle bestzt. ³ Gb de Itegrlschrebwese vo F () +! ³ + > 6 ³, lso F () + t²dt 6 ³ ² c) f () ² + ; F() + st Itegrlfuto. Gb F Itegrlschrebwese. ³ ² + ²(+) /, -,5 ² + tdt t oder t ² + tdt,5 Ergebs De Mege der Itegrlfutoe st ee Telmege der Mege der Stmmfutoe. 7

14 5. Recheregel De Recheregel für Stmmfutoe us I.. lsse sch ch II. uf Itegrlfutoe ud deshlb uch uf bestmmte Itegrle übertrge. Alle Regel gelte uch für festes b () f(t)dt (Szze!) () f (t) ± g(t)dt f(t)dt ± g(t)dt NchII.4: () - (4) Se f eem Itervll I tegrerbr. Dmt glt für belebge,b,c I: (5) c + Bewes: Für < c < : trvl Für c < < glt: c Für < c < b : log c + c - c c - c + c Bespele. Betrchte f() Gesucht: Flächehlt (cht: Flächeblz!) der Fläche zwsche dem Grph vo f ud der -Achse zwsche ud Wrum cht efch Itegrl zwsche ud? Erst Zeche! A ( )d + ( )d. Betrchte f() (>) Für welches schleßt der Grph vo f e Flächestüc der Größe FE e? A ( ) d 8

15 Fläche zwsche zwe Grphe b A f () g()d Bespel: f () ² g () ² - Ergebs: A 9 Vrto der Itegrtosgreze g() Se H () D folgt durch dretes Esetze g() H () F(g()) + c Weter folgt: H () F (g()) g ( ) f (g()) g () Bespele: ² ² H () [ ] 4 t ² t² tdt t³ + 6 H () ((²)²+²) 4 5 ³ d. f(t)dt f() d d chdff. d d d f(t)dt f( ) f(t)dt ( f( )) f( ). f () s (²) Ges: Stmmfuto f () ½ (s (²) ) > F () ½ cos 9