1. Reelle Zahlen- und Punktfolgen Reelle Zahlenfolgen Grenzwert und Konvergenz einer Folge Grenzwertsätze 2 1.

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1 Reelle Zhle- ud Putolge Reelle Zhleolge Grezwert ud Kovergez eer Folge Grezwertsätze Putolge m R 3 Grezwerte ud Stetget reeller Futoe 4 Grezwerte 4 Stetget 5 3 Esetge Grezwerte, esetge Stetget ud Ustetgetsstelle reeller Futoe eer Vrble 5 3 Deretlrechug I 7 3 Futoe eer Vrble 7 3 Prtelle Abletuge 9 4 Itegrlrechug I 3 4 Ubestmmte Itegrle ud Itegrtosmethode 3 4 Bestmmte Itegrle 4 43 Kurvetegrle 6 5 Elemetre Futoe 5 Epoetluto, Logrthmusuto, hyperbolsche Futoe 5 Polyome 53 Mootoe Futoe ud Umehrutoe der trgoometrsche ud hyperbolsche Futoe ud hre Abletuge 3 6 Rehe 5 6 Grudbegre ud Kovergez 5 6 Absolute Kovergez ud Kovergezrtere 6 63 Potezrehe 8 7 Deretlrechug II 9 7 Stz vo Tylor ud Tylor-Rehe 9 7 Regel vo Beroull-de l Hosptl 3 73 Utersuchug vo Futoe mt Hle hrer Abletuge 3 74 Implzte Futoe Mttelwertsätze der Deretlrechug 35 8 Komplee Zhle 37 9 Itegrlrechug II 4 9 Prtlbruchzerlegug 4 9 Uegetlche Itegrle 4 93 Itegrle über ebee ud räumlche Bereche 4

2 Reelle Zhle- ud Putolge Reelle Zhleolge DEFINITION: Ee Mege st ee Zusmmessug vo bestmmte wohluterschedee Objete userer Aschuug oder useres Dees De Objete eer Mege hesse Elemete Bezechug vo Mege: We m lle Elemete uzähle bzw we durch Agbe edlch veler Elemete lr st, welches Aussehe de restlche Elemete hbe, so M {,, K} We de Elemete eer Mege durch ee Egescht E beschrebe werde, so bezechet m de Mege we olgt: { E( ) } M DEFINITION: Es see M ud N Mege We ee Zuordugsvorschrt erlärt st, de jedem Elemet us M e Elemet us N zuordet, so et m ds Abbldug vo M ch N We jedem Elemet us M geu e Elemet zugeordet wrd, so et m de Abbldug Futo Ist der Nme ür dese Futo, so schrebt m urz : M N ud bezechet mt ( ) dsjege Elemet us N, ds M zugeordet wrd DEFINITION: Ee Futo, dere Detosberech de Mege der türlche Zhle ud dere Werteberech de Mege der reelle Zhle st, hesst reelle Zhleolge BEZEICHNUNG: Sttt y ( ) schrebt m { } der Folge hesse, wo N ud de R Gleder DEFINITION: Nmmt m us eer gegebee Folge { } bestmmte Gleder herus, so et m de restlche Tel Telolge vo { }

3 Grezwert ud Kovergez eer Folge DEFINITION: De Zhl hesst Grezwert der Folge { } ( ε ) N estert, so dss Bezechug: ε ür lle ( ε ) lm oder M sgt, dss de Folge { }, we ür jedes ε > e gege overgert DEFINITION: Ee Zhleolge, de cht overgert, hesst dverget DEFINITION: Ee Folge, de gege overgert, hesst Nullolge SATZ: Ee Folge { } overgert geu d gege, we de Folge der Abstäde { } ee Nullolge st DEFINITION: Ee Zhleolge { } dss hesst beschrät, we e M R estert, so < M ür lle N, derlls ubeschrät SATZ: Jede beschräte Folge ethält ee overgete Telolge Grezwertsätze GRENZWERTSÄTZE: Es see lm, lm b lm ( ± b ) ± b lm ( b ) b 3 lm b 4 Se { } lm c b b, ud b edlch D glt: c ee uedlche Telolge vo { } D glt 3

4 DEFINITION: Ee Zhleolge { } hesst mooto wchsed, lls ` +, mooto lled, lls + ür lle N SATZ: Ee mootoe reelle Zhleolge overgert geu d, we se beschrät st e (Eulersche Zhl) DEFINITION: lm + ( ) SATZ (Itervllschchtelug) Es see { } ud { } lm lm b g We ür de Folge { } b ür lle b Zhleolge mt e N estert, so dss, so lm g Putolge m R DEFINITION: Ee Folge { } lm d SATZ: De Putolge { } { } R,, K, R hesst gege R overget, we (, ), wo d (, ) ( ) + + ( ) K R overgert geu d, we lle Koordteolge, overgere ud es glt lm lm M lm 4

5 Grezwerte ud Stetget reeller Futoe Grezwerte DEFINITION: Es se M R Ee edeutge Abbldug vo M R hesst reelle Futo,, Bezechug: ( ) ( ) DEFINITION: Es se c W ( ) K De Mege N { c} ( c) R ( ) hesst Nveuläche der Futo DEFINITION: E Put R hesst Häuugsput der Mege M R, lls ee Folge { } M estert, so dss ür lle ud lm DEFINITION: De Futo ht m Häuugsput vo ( ) (Bezechug: lm ( ) g) ür jede Folge { } lm, lls ( ) g D de Grezwert g lm,, mt D( ) SATZ (Grezwertsätze ür Futoe): We lm ( ) ud g( ) edlch sd, so glt: lm ± g lm ± lm g ( ( ) ( )) ( ) ( ) lm ( ( ) g( ) ) lm ( ) lm g( ) ( ) lm ( ) 3 lm, lls g( ), lm g( ) g( ) lm g( ) 4 lm ( ) lm ( ) ( ), N 5 lm ( ( ) ) lm ( ) 6 Glt ( ) h( ) g( ) lm estere ud ür ee Futo h ud lle us eer Umgebug vo, so olgt us uch ( ) lm g( ) g lm, lm h ( ) g 5

6 Stetget DEFINITION: De Futo hesst m Put stetg, we D( ), lm ( ) estert ud ( ) ( ) lm Ist lle Häuugspute D( ) stetg, so wrd ee stetge Futo get Ist der Stelle cht stetg, so sge wr, dss der Stelle ustetg st, ud wrd Ustetgetsstelle get SATZ: Sd ud g m Put stetg, so sd uch de Futoe stetg Ist usserdem g ( ), so st stetg g ± g ud g g : R R stetg ud :R R ( ) zusmmegesetzte Futo h : R, h( ) ( g( ) ) SATZ: Ist de Futo g stetg, so st de R m Put stetg SATZ: Es se u dem Gebet G, G D estert e G R stetg ud ( ) < mt ( ) ud ( ) >, SATZ vo Bolzo: Es se :R R über [ b], b mt ( ) D estert e ( ), stetg ud ( ) < ud ( b) > ZWISCHENWERTSATZ: Es se u [, b] stetg ud ( ) c < ( b) (, b) mt ( ) c < D estert e 3 Esetge Grezwerte, esetge Stetget ud Ustetgetsstelle reeller Futoe eer Vrble I desem Abschtt se : R R DEFINITION: Bestzt de Futo über der Mege D( ) D( ) ) ür { } 6 { } (bzw de Grezwert g r (bzw g l ), so sgt m, dss de Futo de rechtssetge Grezwert g (bzw de lssetge Grezwert g l ) bestzt r

7 BEZEICHNUNG: g r lm ( ) lm ( ) ( + ) + g lm ( ) lm ( ) ( ) l { } DEFINITION: Ist de Futo bzgl der Mege D( ) D( ) { } stetg (bzw ) stetg, so hesst rechtssetg (bzw lssetg) SATZ: Ist eer puterte δ - Umgebug vo deert, dh ür lle mt < < δ, so ht geu d de Grezwert g, we lm + ( ) lm ( ) g SATZ: Ist eer δ - Umgebug vo deert, dh ür lle mt < δ, so st geu d stetg, we dort sowohl lssetg ls uch rechtssetg stetg st Klssto vo Ustetgetsstelle: Es se ustetg lm estert ud t edlch Hebbre Ustetget: ( ) Sprugstelle mt edlchem Sprug: lm ( ) g l ud ( ) g r ud sd edlch, ber g g l r lm estere + 3 Uedlchetsstelle: lm ( ) + oder lm ( ) 4 Sprugstelle mt uedlchem Sprug: lm ( ) ud lm ( ) schede ud mdestes eer st + + oder 5 Oszlltorsche Ustetget: Mdestes eer der Grezwerte lm ( ) + lm ( ) estert cht estere, sd ver- ud 7

8 3 Deretlrechug I 3 Futoe eer Vrble DEFINITION: De Grösse ( + h) ( ) h hesst Derezequotet der Futo der Stelle mt dem Zuwchs h, wobe, + h D( ), h DEFINITION: De Futo hesst m ere Put hres Detosbereches derezerbr, we der Grezwert lm h ( + h) ( ) h ( ) estert ud edlch st Deser Grezwert hesst Abletug oder Deretlquotet der Futo der Stelle WEIERSRASSSCHE ZERLEGUNGSFORMEL: ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ρ (, ), wo lm (, ) ρ DEFINITION: Ist de reelle Futo der Stelle derezerbr, so hesst de Gerde durch de Put ( ) Grphe vo ( ) mt dem Asteg ( ) Tgete de BEMERKUNG: Tgeteglechug: y ( ) + ( ) ( ) DEFINITION: De zur Tgete serechte Gerde durch Kurve ( ) ( ) hesst Normle der 8

9 BEMERKUNG: Normleglechug: y ( ) + ( ), lls ( ) ( ), lls ( ) SATZ: Ist eem ere Put vo ( ) stetg, D derezerbr, so st der Stelle DEFINITION: Uter der Abletug eer u eer (oee) Mege deerte Futo verstehe wr de durch ( ) lm h deerte Futo, wobe D ( ) D( ) ( + h) ( ) h, D ( ) { derezerbr} Glt D ( ) D( ), so hesst derezerbr Ist ee u D ( ) stetge Futo, so hesst stetg derezerbr, DEFINITION: De Futo d ( )d hesst Deretl der Futo SATZ: Sd de Futoe u ud v m ere Put hrer Detosbereche derezerbr, so glt: ( λ u ) ( ) λu ( ) ( λ R est) ( u ± v) ( ) u ( ) ± v ( ) ( u v) ( ) u ( ) v( ) + u( ) v ( ) u u ( ) ( ) v( ) u( ) v ( ) v v ( ( )) SATZ (Ketteregel): Sd g der Stelle ud der Stelle g( ) derezerbr ud e erer Put vo D ( h), wo h ( ) ( g( ) ), so st h der Stelle derezerbr ud es glt ( ) g ( ) ( g( ) ) h 9

10 DEFINITION: De Abletug eer Futo se eer Umgebug vo deert D deere wr ud ee ( ) ( ) ( ) ( ) zwete Abletug vo m Put De ddurch deerte Futo hesst Abletug vo Allgeme deert m de te Abletug vo durch ( ) ( ) ( ) Wr ee ee Futo über eer Mege ml stetg ( ) derezerbr, we über deser Mege deert ud stetg st 3 Prtelle Abletuge DEFINITION: Ist ee u dem Gebet Grezwert G R deerte Futo, so hesst der (, K,, + h, +, K, ) (, K, ) lm, h h lls er estert, prtelle Abletug vo ch der Stelle (,, ) K Bezechug: ( K, ) (,, ), K BEMERKUNG: Ist jeder Stelle G prtell derezerbr, so sd,, K wederum Futoe vo ( ), werde, K,, +, K, we Kostte behdelt ud de Futo ur ls Futo vo gesehe, de d we gewöhlch derezert wrd BEMERKUNG: Be der Bestmmug vo ( ) SATZ: Sd lle prtelle Abletuge eem Put Futo dort stetg stetg, so st uch de

11 K Futoe vo,, K sd, öe wr dvo wederum de prtelle Abletuge blde: BEMERKUNG: D de prtelle Abletuge (,, ) j (, K, ),, j,, K Bezechug: j, j j K, ( K, ) (, K, ) (, ) Völlg log deert m wetere höhere Abletuge SATZ (Schwrz): Ist ee u eem Gebet G stetge Futo ud bestzt u G stetge prtelle Abletuge, ud, so estert uch ud es glt j j j j j DEFINITION: De Futo bestze prtelle Abletuge Ordug D st der Grdet vo deert durch grd ( ) ( ) M ( ) ( ) BEMERKUNG: Der Grdet steht serecht u de Tgetlebee de Nveumege vo ud zegt de Rchtug, der lol de grösste Asteg ht DEFINITION: Ee u eem Gebet G G derezerbr, lls R R deerte Futo (,, ) c, K, c estere, so dss K hesst lm ( ) ( ) ( ) c BEMERKUNG: c (,, ) K

12 WEIERSTRASSSCHE ZERLEGUNGSFORMEL: ( ) ( ) + ( ) ( ) + (, ) wobe lm (, ) ρ ρ, DEFINITION: Der lere Atel der Weerstrsssche Zerlegugsormel d ( ) ( ) ( ) wrd totles (oder vollstädges) Deretl vo der Stelle ür get de Futosäderug ( ) ( ) BEMERKUNG: Totles Deretl : d ( ) d SATZ: Für ds totle Deretl gelte de olgede Recheregel: d ( ± g) d ± dg d g gd + ( ) dg gd dg d g g d c cd, c ( ) R ( ) d d BEMERKUNG: We m m totle Deretl vo de d, K, d ls ostte Zuwchsgrösse seht, st d ee Futo, K,, vo der wr ds totle Deretl bereche öe Deses wrd totles Deretl Ordug vo der Stelle mt dem Zuwchs h ( d, K, d ) get ud mt d ( ) bezechet Flls de prtelle Abletuge estere ud stetg sd, glt:spezell ür d ud llgeme ( ) ( ) d + ( ) d d + ( ) d : d d + ( )

13 d m ( ) d + K + d ( ) m DEFINITION: Ee Futo ( K, ) ϖ ( ) d + K ϖ ( ) d ϖ, +, wo ϖ R : R,, K,, belebge gegebee Futoe sd, et m Deretlorm DEFINITION: Ee Deretlorm SATZ: (, y) ϖ (, y) P(, y) d + Q(, y)dy hesst et, lls ee Futo ( y) F hesst Stmmuto ϖ st geu d et, we P y, estert mt y (, y) P(, y), (, y) Q(, y) Q (, y) (, y) DEFINITION: Es se ϖ (, y) P(, y) d + Q(, y)dy cht et Ee Futo (, y) Eulerscher Multpltor (tegrereder Ftor), lls et st (, y) P(, y) d µ (, y) Q(, y)dy µ + µ hesst 3

14 4 Itegrlrechug I 4 Ubestmmte Itegrle ud Itegrtosmethode DEFINITION: Es se ee u dem Itervll I deerte Futo Ee Futo F hesst Stmmuto vo, we F u I derezerbr st ud ( ) ( ) F ür lle I DEFINITION: Uter dem ubestmmte Itegrl ( )d eer Futo versteht m de Mege ller Stmmutoe vo Schrebug: ( ) d F( ) + C, C R, wobe F ee Stmmuto vo st ud C Itegrtosostte hesst Itegrtosregel: ( ( ) ± g( ) ) d ( ) d ± g( ) d d d, wobe R ee este Kostte st ( ( )) ( ) ( ) d ( ) + C, C R ( ) d l ( ) + C, C R ( ) ( ( ) ( ) ) d ( ( ) ) + C, C R Grudtegrle: α α + d + C, α + d l + C e d e + C cos d s + C s d cos + C cot d l s + C t d l cos + C d t + C cos d cot + C s ( α R, α ) 4

15 Prtelle Itegrto: ( ) g ( ) d ( ) g( ) ( ) g( ) Substtuto: Mt t g( ) ergbt sch ( g( ) ) g ( ) d ( t) d dt 4 Bestmmte Itegrle DEFINITION: E Megesystem Z {[ ], [, ],, [, ]}, K mt < < < K < < b hesst Zerlegug des Itervlls I, b De mmle Teltervllläge, dh de Zhl [ ] d ( Z ) m { j, K } j j, ee wr Durchmesser der Zerlegug Z Es se j ξ j j, j,, D wrd K S ( Z ) ( ξ j )( j j ) j de zur Zerlegug Z ud zur Whl der ξ j gehörede Zwschesumme get DEFINITION: De Futo hesst über I [, b] (m Remsche Se) tegrerbr, we ür jede Zerlegugsolge { Z } mt d ( Z ) ud ür jede Whl der Zwschepute ξ j de Folge { S ( Z )} gege deselbe Grezwert overgert Dese Grezwert S( Z ) (Remsches) bestmmtes Itegrl vo über I [, b] ud schrebt b ( ) d ( b) < Itegrtosgreze lm et m, de Zhle bzw b hesse utere bzw obere SATZ: Ds (Remsche) Itegrl ( ) Bedguge erüllt st:, b stetg b d estert, lls ee der olgede ) st u [ ] ) st u [, b] beschrät ud ht ee edlche Zhl vo Ustetgetsstelle ) st u [, b] beschrät ud mooto 5

16 SATZ: Sd ud g über [, b] tegrerbr, so gl ür lle reelle Zhle α ud β b ( ( ) + βg( ) ) d α ( ) d + β g( ) b α d De Futo st über [, b] geu d tegrerbr, we über de Teltervlle [, c] ud [ c, b] mt c < b b < tegrerbr st, ud es glt b ( ) d ( ) d + ( ) c b c d 3 Sd ud g über [, b] tegrerbr ud ( ) g( ) ür lle [, b] glt b ( ) d ( ) b g d, so Sd drüberhus ud g stetg, so glt ds Glechhetszeche geu d, we ( ) g( ) ür lle [, b] Spezell glt: We ( ) ür, b, so st lle [ ] b ( b ) ( ) d ( b ) DEFINITION: ( ) d, ( ) d ( ) b b d ür < b HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG: Es se u [ b] ud F ee Stmmuto vo D glt:, stetg b ( ) d F( b) F( ) SATZ: Ist über [ b], tegrerbr ( b Putmege < ) ud ( ) ür lle [, b] {(, y) R b, y ( ) } M de Flächehlt, so ht de b A ( ) d 6

17 SATZ: Sd ud g über [, b] tegrerbr mt ( ) g( ) ür lle [, b] de Putmege M, de Flächehlt {(, y) R b ( ) y g( ) } b A ( g ( ) ( ) ) d, so ht MITTELWERTSATZ DER INTEGRALRECHNUNG: Ist u [, b] stetg, so gbt es e ξ [, b] mt b ( ) d ( ξ )( b ) SATZ (verllgemeerter Mttelwertstz): Sd ud g u [, b] stetg ud g ( ) (bzw g ( ) ) ür lle [, b], so gbt es e ξ [, b] mt 43 Kurvetegrle 3 DEFINITION: Ee Putmege C R (bzw R ) hesst (eche) Kurve, we es ee stetge Futo η η( t) gbt, de e Itervll I R umehrbr edeutg u C bbldet Ist I beschrät ud bgeschlosse, hesst C uch e Kurvestüc Ist I [, b], bldet de Futo η ds Itervll [, b] umehrbr edeutg u C b ud st η ( ) η( b), so hesst C (eche) geschlossee Kurve De Futo η η( t) hesst Prmeterdrstellug der Kurve C ud t der Kurveprmeter DEFINITION: Ee Kurve C hesst gltt, we se ee Prmeterdrstellug η( t) η, t I, mt stetg derezerbre Koordteutoe ud mt bestzt ( ( t), y ( t), z ( )) η& t ür lle t I BEMERKUNG: Der Vetor η& ( t) st der Tgetevetor, dh der Rchtugsvetor der Tgete, m Put η ( t) 7

18 DEFINITION: Es se C e Kurvestüc mt A ls Agsput ud A ls Edput De Futo se u eem Gebet deert, ds C ethält Es se Z { C, K, C } ee Zerlegug vo C Kurvestüce C mt de Läge s ud P e belebger Put u C,, K, De Zwschesumme st deert ls Z m s Es se ( ), K, S ( Z ) ( P ) s DEFINITION: We lm S( Z ) α ür jede Folge vo Zerleguge mt lm ( Z ) ud ubhägg vo der Whl der Zwschepute P, so hesst α Kurvetegrl Art vo über C ud wrd mt ( t) C ds bezechet SATZ: We u C stetg st, so estert ds Kurvetegrl Art SATZ: We C der Prmeterorm η η( t ) ( ( t), y( t), z( t) ), t [ ] t, t, gegebe st, wo de Futoe, y, z ud hre Abletuge stetg sd, so glt C t ( t) ds ( ( t), y( t), z( t) ) η& ( t) dt t t t ( ( t), y( t), z( t) ) ( ( t) ) + ( y ( t) ) + ( z ( t) ) dt BEMERKUNG: We ( t), [ ] t t, t, so erhält m de Läge der Kurve C: ( C) ( t) t l η& t dt 8

19 DEFINITION: Es se C e chtgeschlossees Kurvestüc vo A ch A Wr zerlege C C, K, C, wähle Zwschepute P u C,, K,, ud deere de olgede Zwschesumme S ( Z ) ( P ) mt, wo de Kompoete des Agsputes des Kurvestücs C st ud de sees Edputes Somt st de Läge der Projeto vo Z m C u de Achse Es se ( ), K, DEFINITION: We lm S( Z ) α ür jede Folge { Z } mt lm ( ) Z ud ubhägg vo der Whl der Zwschepute P, so hesst α ds Kurvetegrl Art vo bzgl u C (oder lägs des Weges ( A, A )) ud wrd mt C C (, y z), bezechet Alog werde (, y, z) dy ud ( y, z) d C, dz erlärt C R de bede Futoe P (, y) ud Q (, y) deert ud estere P (, y) d ud ( y) dy DEFINITION: Sd etlg vo C Summe Kurvetegrl llgemeer Form ud setzt C Q,, so et m dere ( P (, y) d + Q(, y) dy) P (, y) d + ( y) C Alog wrd ür C C Q, dy 3 C R ds Kurvetegrl llgemeer Form ( P (, y, z) d + Q(, y, z) dy + R(, y, z) dz) C erlärt C (, y z) d + Q (, y, z) dy R (, y, z) P, + C C d 9

20 BEMERKUNG: (, y, z) d (, y, z) ( A, A ) C ( A, A) d (, y z) d (, y, z) d + (, y, z), C C d, we C durch Zusmmeüge vo C ud C etsteht SATZ: Es se C R ee Kurve vo A ch A Prmeterdrstellug η η( t ) ( ( t), y( t) ), t [ α, β ], ud ( y) estert ud stetg st, so estert ds Kurvetegrl Art ud es glt:, etlg vo C stetg We ( t) ( y) d ( ( t), y( t) ) ( t) C β, dt α KOROLLAR: We ( P (, y) d Q(, y) dy) + C de Futoe P ud Q etlg der Kurve C stetg sd ud ( t) ud y ( t) stetge Abletuge bestze, so glt: ( P (, y) d Q(, y) dy) ( P ( ( t) y( t) ) ( t) + Q( ( t), y( t) ) y ( t) ) + C β, dt α BEMERKUNG: We C ee geschlossee Kurve st, so wählt m zwe belebge Pute A ud A u C, wodurch m C zwe Telurve C ud C zerlegt D glt: K + K K, C C C wobe über C ud C m mthemtsch postvem Se tegrert wrd SATZ: Ds Kurvetegrl ( d Q dy) des Weges C, we P + st geu d ubhägg vo der Gestlt C Pd + Qdy m Gebet G ds totle Deretl eer F F F, y st, dh P, Q y (edeutg bestmmte) Futo ( )

21 BEZEICHNUNG: We ds Kurvetegrl ubhägg vom Weg vo A (, y ) ch A ( ) st, schrebt m ( Pd + Qdy), y A A P Q SATZ: We m betrchtete Gebet G de prtelle Abletuge ud y estere ud stetg sd, so glt: Ist Pd + Qdy G ds totle Deretl eer (edeutg bestmmte) Futo, so glt P y Q Ist G ech zusmmehäged, so olgt us P y Q, dss Pd + Qdy G ds totle Deretl eer (edeutg bestmmte) Futo st BEMERKUNG: Ds Itegrl ( d Q dy) P + st geu d vom Weg ubhägg, we C L ( d + Q dy) P, wo L ee belebge geschlossee Kurve m Gebet G st SATZ: Ee otwedge ud hrechede Bedgug der Wegubhägget vo ( P d + Q dy R dz) + m ech zusmmehägede Gebet G st C P y Q, P z R, Q z R, y wobe de prtelle Abletuge G stetg se müsse

22 5 Elemetre Futoe 5 Epoetluto, Logrthmusuto, hyperbolsche Futoe SATZ: Es se lm, D glt lm ( + ) e LEMMA: + lm e, R SATZ: y + y e e e e e e y 3 e y e 4 e > ür lle R 5 We <, so e < e DEFINITION: De Zhl y, ür de vo : y l e y glt, wo >, hesst türlcher Logrthmus BEMERKUNG: Es glt l e ud l e l l + l l l l 3 l ( ) l 4 l < l geu d, we < SATZ: ( ) DEFINITION: Es see > est vorgegebe ud R De llgemee Epoetluto st deert durch e l + SATZ: ( ) ( ) 3 l l 4 > geu d, we > DEFINITION: De Zhl y, de zu vorgegebee > ud > ( ) y hesst Logrthmus vo zur Bss : y log estert, so dss BEMERKUNG: log

23 DEFINITION: Es se R De hyperbolsche Futoe sd deert durch e e sh, sh th cosh e + e cosh cosh coth sh BEMERKUNG: Es se R Trgoometrscher Pythgors: s + cos Hyperbolscher Pythgors: cosh sh BEMERKUNG: De hyperbolsche Futoe werde bgeletet, dem m de Futoe, durch de se deert sd, bletet BEMERKUNG: sh d cosh + C cosh d sh + C 5 Polyome DEFINITION: E Polyom te Grdes st ee Futo ( ) P K, wobe,, K, belebge vorgegebee reelle Kostte mt sd N hesst Grd des Polyoms SATZ: We c ee Nullstelle vo P ( ) st, so gbt es e Polyom ( ) Grdes mt P ( ) Q( ) ( c) Q leere SATZ: E Polyom vom Grd ht höchstes verschedee reelle Nullstelle Ht es verschedee Nullstelle,, K,, so glt: P ( ) ( ) K ( ) P + + K + +, wo ud,, K, P rtole Nullstelle, so sd dese ee Telmege der Brüche, dere Zähler de gzzhlge Teler vo ud dere Neer de gzzhlge Teler vo sd SATZ: Es see ( ) gze Zhle sd Bestzt ( ) 3

24 DEFINITION: st ee -che Nullstelle vo P ( ), we ( ) ( ) + telbr st, ber cht durch ( ) P ohe Rest durch 53 Mootoe Futoe ud Umehrutoe der trgoometrsche ud hyperbolsche Futoe ud hre Abletuge DEFINITION: Ee reelle Futo :R R I D (streg) mooto wchsed, we us <, I ( ( ) < ( )) olgt, ud (streg) moto lled, we us I > ) olgt <, hesst m Itervll ( ), stets ( ) ( ) stets ( ) ( ) ( ( ) ( ) BEMERKUNG: De zusmmegesetzte Futo ( ) ( g( ) ) h zweer streg mootoer Futoe st weder streg mooto, ud zwr wchsed, we ud g gleches Mootoeverhlte hbe, ud lled, lls se etgegegesetztes Mootoeverhlte hbe SATZ: Ist y ( ) m Itervll D( ) I streg mooto, so estert u dem Werteberech vo ee Umehruto Dbe st streg mooto wchsed (lled), lls streg mooto wchsed (lled) st SATZ: y cos st I [, π ] streg mooto lled π π y s st I, streg mooto wchsed π π y t st I, streg mooto wchsed y cot I, π streg mooto lled st ( ) KOROLLAR: y rccos st streg mooto lled ür y rccos st streg mooto wchsed ür y rct st streg mooto wchsed ür R, y rc cot st streg mooto lled ür R SATZ: y cosh st I [, + ) streg mooto wchsed y sh st I (, + ) streg mooto wchsed y th st I (, + ) streg mooto wchsed y coth, I, + streg mooto lled st I ( ) ud ( ) 4

25 KOROLLAR: y r cosh st ür streg mooto wchsed y r sh st ür R streg mooto wchsed y r th st ür < < streg mooto wchsed y r coth st ür > jewels streg mooto lled SATZ (Umehruto): Bestzt de u eem oee Itervll stetge reelle Futo ee Umehruto g, de der Stelle ( ) ee vo Null verschedee Abletug ht, so st der Stelle derezerbr ud es glt ( ) g ( ( ) ) BEMERKUNG: : d d rcs + C bzw rccos + C d d rct + C bzw + + rc cot + C d r cosh + C d r sh + C + 5

26 6 Rehe 6 Grudbegre ud Kovergez DEFINITION: Es se { } ee belebge Zhleolge Aus de Gleder deser Zhleolge blde wr olgeder Wese ee eue Zhleolge { } s : s Dese eu etstehede Folge { s } ee wr ee Rehe ud schrebe dür K + + K De hesse Gleder der Rehe ud s te Prtlsumme DEFINITION: Ee Rehe overgert bzw dvergert hesst overget bzw dverget, we de Folge { s }, so overgert ( c ) ( c R ) ud ( ) c b, so overgert ( ± b ) ud ( ± b ) b SATZ: ) Kovergert ) Kovergere ud ± c SATZ (otwedges Kovergezrterum): Ist, so glt SATZ: Ee Rehe mt chtegtve Gleder overgert geu d, we de Folge hrer Prtlsumme beschrät st BEMERKUNG: We overgert, so glt m + m+ 6

27 6 Absolute Kovergez ud Kovergezrtere SATZ: We de Rehe overgert, so overgert uch de Rehe DEFINITION: De Rehe hesst bsolut overget, we overgert Ee Rehe, de overgert, ber cht bsolut overgert, hesst bedgt overget VERGLEICHSKRITERIUM: Kovergert b ud glt Dvergert b ud glt b ür st lle, so overgert b ür st lle, so dvergert bsolut Ot werde de olgede Rehe ls Verglechsrterum beutzt: p Rehe, de ür p > overgert ud ür p dvergert p Geometrsche Rehe q,, de ür q < gege overgert ud q ür q dvergert WURZELKRITERIUM: ) We ee Zhl q derrt estert, dss q < ür st lle, so overgert bsolut b) dvergert, we ür uedlch vele WURZELKRITERIUM IN LIMESFORM: Estert lm lm <, ud se dvergert, lls lm >, so overgert bsolut, lls 7

28 QUOTIENTENKRITERIUM: ) We ee Zhl q derrt estert, dss + q < ür st lle, so overgert bsolut b) dvergert, we ür st lle glt, dss + QUOTIENTENKRITERIUM IN LIMESFORM: Estert lm + overget, lls lm + <, ud dvergert, lls lm + >, so st bsolut BEMERKUNG: Aus der Estez vo lm olgt uch de vo lm + ud bede Grezwerte stmme übere De Umehrug glt m llgemee cht DEFINITION: Ee Rehe hesst lterered, we je zwe uederolgede Gleder verschedee Vorzeche hbe, dh < + ür lle SATZ (Lebz Krterum): Ee ltererede Rehe overgert, lls de Folge { } ee mootoe Nullolge st 8

29 63 Potezrehe DEFINITION: Ee Rehe der Form ( ) c + c ( ) + c ( ) c + K, wobe c ud vorgegebee reelle Zhle sd, hesst Potezrehe oder mt dem Mttelput DEFINITION: Potezrehe, de ür e overgere, et m rgeds overget Potezrehe, de ür lle R overgere, hesse bestädg overget SATZ: Kovergert ee Potezrehe eem Put, so overgert se etweder ür lle R oder es gbt e reelles R > derrt, dss de Rehe ür lle mt < R bsolut overgert ud ür lle mt > R dvergert DEFINITION: De Zhl R hesst Kovergezrdus der Potezrehe M verebrt: R +, lls de Rehe bestädg overgert ud R, lls de Rehe rgeds overgert BEMERKUNG:, lls lm c + R +, lls lm c, sost lm c bzw c +, lls lm + c c + R +, lls lm c, sost c + lm c 9

30 7 Deretlrechug II 7Stz vo Tylor ud Tylor Rehe Es se : R R DEFINITION: Es se ee Futo, de eer Umgebug vo derezerbr st Ds Polyom R ml stetg ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) p K +! hesst Tylorsches Näherugspolyom te Grdes der Stelle!! DEFINITION: ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) R (, ) + K!! +! R, hesst Tylor-Formel mt dem Restgled ( ) + SATZ (Tylor): Es se eer Umgebug U vo derezerbr D gbt es zu R (, ) (Restgled vo Cuchy) ud mdestes ( +) U zwe Zhle, δ (, ) ( + ) + δ ( ) - ml stetg δ mt ( ) ( ) + ( ) δ! + R (, ) ( + ) ( + δ ( )) + ( ) ( ) +! + (Restgled vo Lgrge) DEFINITION: Es se eer Umgebug vo belebg ot stetg derezerbr D hesst de Potezrehe ( ) ( ) +! ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) + + K + ( ) + K T Tylor-Rehe vo!! SATZ: Es glt ( ) T ( ), lls lm (, ) R + 3

31 7 Regel vo Beroull de l Hosptl Es see : R R, g : R R SATZ (Regel vo Beroull l Hosptl) Ist lm ( ) lm g( ) oder ( ) ± lm g( ) ± ud g ( ), so glt lm g ( ) ( ) lm g ( ) ( ) lls der Grezwert u der rechte Sete estert lm, Zurücührug derer Grezwerte u derrtge: lm g "" " ± ( ) ( ) " ( ) lm ( ) g( ) lm lm g ( ) ( ) g ( ) lm( ( ) g( ) ) " " " " ( ) g( ) g ( ) ( ) ( ) g( ) g 3 ( ) ( ) lm " ", " ", " " ( ) g( ) lm g ( ) l e ( ) lm 3

32 73 Utersuchug vo Futoe mt Hle hrer Abletuge SATZ: Es se u eem Itervll I stetg ud u dem Iere vo I derezerbr D glt: We ( ) > ( ( ) < ) ür lle t I, so st u I streg mooto wchsed DEFINITION: De reelle Futo bestzt D( ) e ε > gbt mt ( ) ( ) ür lle D( ) e loles Mmum we es mt ε bestzt e egetlches loles Mmum, lls ( ) ( ) bestzt e globles Mmum, lls ( ) ( ) ür lle D( ) > bestzt e (egetlches) loles Mmum bzw globles Mmum, lls de etsprechede Detoe ür e Mmum sttt (bzw < sttt > ) steht SATZ (otwedge Etremwertbedgug): Ist der ere Put D( ) Etremlput ud derezerbr, so glt ( ) e DEFINITION: E Put D( ) hesst rtscher oder sttoärer Put, we ( ) SATZ: Es se eer Umgebug vo m ml stetg derezerbr, wo m, mt ( ) ( ),,, m ( ) ( ) K, m bestzt geu d ee egetlche lole Etremwert, we m gerde ( st Flls m ) ( ( ) <, legt e loles Mmum vor, m Fll m ) ( ) > e loles Mmum 3

33 y e loler Etremlput der Futo :R R st, wo stetge prtelle Abletuge Ordug ht, so glt y SATZ: We t D( ) grd (, y ) SATZ: De Futo :R R hbe stetge prtelle Abletuge ud Ordug y E rtscher Put t D( ) st e loler Etremlput, lls ( (, y )) (, y ) ( y ) y < yy, Er st e loler Mmlput, lls ( y ) Mmlput, lls ( y ), <, > ud e loler DEFINITION: Es se Stets :R R derezerbr We ür hreched lees h ( + h) ( ) h > ( ) oder ( + h) ( ) h < ( ) glt, wrd e Wedeput get Glt usserdem ( ) Stueput, hesst SATZ: Bestzt de Abletug eer eer Umgebug vo derezerbre Futo ee egetlche lole Etremwert, so st e Wedeput 33

34 SATZ: Es se eer Umgebug vo m ml stetg derezerbr, m, mt ( ) ( ),,, m ( ) ( ) K, m De Futo bestzt geu d ee Wedeput, we m ugerde st DEFINITION: De Futo hesst u dem Itervll D( ) ür belebge I ( ) glt, I ove (ov), we ( λ + ( λ) ) λ ( ) + ( λ) ( ) ür lle λ (, ) ( ( λ + ( λ) ) λ ( ) + ( λ) ( ) ür lle (, ) λ ) Glt herbe stets < ( > ), so wrd streg ove (streg ov) get SATZ: De Futo se u dem Itervll I derezerbr st u I (streg) ove wchsed geu d, we u I (streg) st ov lled SATZ: De Futo hbe u dem Itervll I stetge Abletuge ud u dem Iere vo I zwete Abletuge st u I geu d (streg) ove, we ( ) ( ( ) > ) ür lle us dem Iere vo I (Im Hblch u de Kovtät gelte de umgeehrte Uglechhetszeche) 74 Implzte Futoe SATZ (Verllgemeerte Ketteregel): Es see ( t),,, K, t I derezerbr ud eer Umgebug vo ( t ) ( ( t ),, ( t ) deert ud derezerbr D st F F ( t ) ( t ) ( ( t ), ( t ) K t derezerbr ud es glt,k 34

35 SATZ: Es se F u dem Gebet F y ( y ), (, y) G R stetg derezerbr We F ( y ) ud, so estere > F be vorgegebeem mt < α mt mt, α ud β >, so dss de Glechug geu ee Lösug y ( ) y y < β bestzt, ud de so deerte Futo st stetg derezerbr F (, ( ) ) ( ) F (, ( ) ) y BEMERKUNG: Es see F, K, F u dem Gebet + m G R deerte reelle Futoe ud F F (, K,, y, K, y ) (, K,, y, K, y ) m m M D sd de prtelle Abletuge, K, der Aulösuge y y (,, ) M m (,, ) Lösuge des lere Glechugssystems m F F F + y F + y F + K + y M F + K + y SATZ (otwedge Etremwertbedgug): Es se (, y ) Etremlput der Aulösug ( ) ( Bezechug: rtscher Put) F We e loler y st ( y der Eteremwert), so glt F ( y ), 35

36 SATZ: E rtscher Put st e Etremlput, lls Glt F F y F F y (, y ) (, y ) (, y ) (, y ) F F y (, y ) (, y ) >, so legt e loles Mmum vor, glt <, so legt e loles Mmum vor 75 Mttelwertsätze der Deretlrechug Es se ee reelle Futo, de u eem Itervll deert st SATZ (Rolle): Es se I [, b] stetg ud ( b) ( ) ( b), so gbt es e ξ (, b) mt ( ) ξ, derezerbr We SATZ (Mttelwertstz der Deretlrechug): Es se u I [, b] (, b) derezerbr D gbt es e ξ (, b) mt ( ) ξ ( b) ( ) b stetg ud u Adere Formulerug: We u [, + h] stetg ud u (, + h) derezerbr st, so gbt es e δ (, ), so dss ( h) ( ) + h ( + δh) + 36

37 SATZ: De reelle Futo se über dem Itervll I derezerbr D glt: ) ( ) cost, ll ( ) ür lle I ) st streg mooto wchsed, lls ( ) > ür lle I < ür lle I ) st streg mooto lled, lls ( ) SATZ (Verllgemeerter Mttelwertstz): Sd de Futoe ud g über [, b] stetg, u (, b) derezerbr ud g ( ) ür lle (, b) ξ (, b) mt, so gbt es e g ( b) ( ) ( b) g( ) g ( ξ ) ( ξ ) 37

38 8 Komplee Zhle DEFINITION: De Mege C R R wrd Körper der omplee Zhle get DEFINITION: We ( y) C (Bez: Im z) Ee omplee Zhl ( y) C z,, so hesst Reltel (Bez: Re z) ud y Imgärtel z, mt wrd re mgär get DEFINITION: (, y ) ( y ),, lls, y y DEFINITION: (, y ) + (, y ) ( + y + y ), BEMERKUNG: (, ) st ds eutrle Elemet der Addto (, y) (, y) st ds verse Elemet zu ( y) DEFINITION: (, y ) (, y ) (, y ) + ( ( y )),, bzgl der Addto DEFINITION: (, y ) (, y ) ( y y y + y ), BEMERKUNG: (, ) DEFINITION: ( ) y (, y ) st ds eutrle Elemet der Multplto y (, y), st ds verse Elemet zu (, y) (, ) + y + y bzgl der Multplto, y (, y ) (, ) BEMERKUNG: (, ) (, ) (, ) " " R DEFINITION: M et (, ) mgäre Ehet ud bezechet se mt BEMERKUNG: BEMERKUNG: z (, y) + y 38

39 BEMERKUNG: ( + y ) ± ( + y ) ( + ) + ( y + y ) ( + y ) ( + y ) + y + y y y + y ( + y )( y ) + y ( + y )( y ) DEFINITION: Es se z + y D hesst z y zu z ojugert omplee Zhl BEMERKUNG: Jede reelle Zhl st zu sch selbst ojugert z + z ud z z + y DEFINITION: z + y st der Betrg der omplee Zhl z + y DEFINITION: y r z ud ϑ [, π ) mt t ϑ hesse Polroordte der omplee Zhl z + y ud z r( cosϑ + sϑ) Polroordtedrstellug vo z BEMERKUNG: Es see z r ( cosϑ + sϑ ), z r ( cosϑ + sϑ ) z z r r ( cos( ϑ + ϑ ) + ( ϑ + ϑ )) s z z r ( cos( ϑ ϑ ) + s( ϑ ϑ )) r D glt: SATZ (Eulersche Formel): Es se R D glt: e cos + s KOROLLAR: Aus der Polroordtedrstellug z r( cosϑ + sϑ) ergbt sch de Epoetldrstellug eer omplee Zhl ϑ z re LEMMA: Es se N D glt: z ( cos ( ϑ) + s( ϑ) ) r 39

40 SATZ: Es see N ud ee belebge omplee Zhl D ht de Glechug z geu Lösuge z, z, K, z We de Polroordtedrstellug ρ cosϕ + sϕ bestzt, so glt ( ) z ϕ π ϕ π ρ cos + + s +,, K, KOROLLAR (Huptstz der lere Algebr):Jedes reelle Polyom p ( ) htr geu omplee Nullstelle K + 4

41 9 Itegrlrechug II 9 Prtlbruchzerlegug DEFINITION: Rtole Futoe hbe de Gestlt ( ) p q ( ) + K + + m ( ) b + K + b + b m Ee rtole Futo hesst echt gebroche, we uecht gebroche < m, derlls LEMMA: Jede uecht gebrochee rtole Futo lässt sch stets ls Summe ees Polyoms ud eer echt gebrochee rtole Futo drstelle BEMERKUNG: We z ee Nullstelle vo q ( ) st, so st uch z ee solche K reelle Nullstelle vo ( ) Es see,, q mt de Velchhete s, K, ud s z j, K, z jt sowe z j, K, z j eche omplee Nullstelle mt z t j d + c,, K, t q de Drstellug D bestzt ( ) ( ) ( ) K ( ) ( d ) s ( + c ) ( d ) c ) s q K + t t SATZ: Es gbt edeutg bestmmte reelle Zhle A, B, C derrt, dss l j j p q ( ) A A A + + K + ( ) ( ) ( ) A A A K + + M A ( ) ( ) s s K s B + C A + + K ss ( ) ( ) s s ( d ) + c ( d ) + c + + t t A s B + C Dese ezele Brüche hesse Prtlbrüche ud de Drstellug vo p( ) deser Form Prtlbruchzerlegug q ( ) t t 4

42 Bestmmug der Prtlbrüche: p M mcht ee Astz vo q A B, C ( ) ( ) l, j j D ddert m dese Prtlbrüche (Hupteer st q ( ) Koezete des Zählerpolyoms mt dee vo p ( ) Ds leert e leres Glechugssystem mt de Ubete ls Prtlbruchzerlegug mt ubete Koezete A, B, C, ds edeutg lösbr st l j j ) ud verglecht de BEMERKUNG: De Prtlbrüche sd lecht tegrerbr:: A ) ( ) p Fll: p : A d Al Fll: p, 3, K : A A d p p p B + C b) ( ) ( ) ( ) d + c C C d Fll: B : d rct ( d ) + c c c B + C d Fll: B : d B d + ( d ) + c ( d ) + c d d l( d ) + c ) d + c ( ) ( Bd + C) ( d ) + c d 9 Uegetlche Itegrle + b b + DEFINITION: ( ) d lm ( ) b b lm + ( ) d ( ) d d ( ) d lm ( ) d + lm ( ) b + c b c d, wobe c belebg, est gewählt wrd, lls de Grezwerte u de rechte Sete estere ud edlch sd I desem Fll sgt m, dss ds Itegrl overgert ud et es uegetlches Itegrl Aderlls wrd ds Itegrl dverget get 4

43 DEFINITION: De Futo bestze [ b], ee Ubeschräthetsstelle c (Uedlchetsstelle oder uedlcher Sprug) b ( ) d ( ) b lm d, lls c ud über jedem bgeschlossee ε + + ε Teltervll vo ( b] b b ε ( ) d ( ) ε +, tegrerbr st lm d, lls c b ud über jedem bgeschlossee Teltervllvo [ b) b, tegrerbr st c ε ( ) d lm ( ) d + lm ( ) d, lls ε + b ε + c ε c < jedem bgeschlossee Teltervll vo [, c) bzw ( b] < b ud über c, tegrerbr st Flls de Grezwerte u de rechte Sete estere ud edlch sd, so sgt m, dss de Itegrle overgere ud et se uegetlche Itegrle DEFINITION: We de Futo mehrere Ubeschräthetsstelle c, K, c [, b] ht mt c < c < K < c < c b, so deert m b c c ( ) d ( ) d + ( ) d + + ( ) d ( ) + c c K d, wobe jedes uegetlche Itegrl u der rechte Sete estere muss c b c 93 Itegrle über ebee ud räumlche Bereche DEFINITION: Es se B e beschräter ebeer oder räumlcher Berech ud (, y) bzw (, y, z) über B deert Weter se Z { B,, } ee Zerlegug vo B Bereche ud P e belebger Put us Zerlegug B,, B K B B mt de Fläche bzw Volume B d der B Uter dem Durchmesser ( ) Z versteht m de grösste Durchmesser der Mege K, wobe ( ) { } Z d B, j j m B De Zwschesumme st deert ls S ( Z ) ( P ) B 43

44 DEFINITION: We lm S( Z ) α ür jede Zerlegugsolge { Z } mt lm d ( Z ) ud ubhägg vo der Whl der Pute P st, so hesst der Grezwert Flächetegrl vo (, y) über dem Berech B (bzw Rumtegrl, y, z über B) ud wrd mt vo ( ) B bzw ( y, z) bezechet B (, y) db oder (, y) B, db oder (, y, z) B ddy ddydz SATZ: Ist (stücwese) stetg u B, so estert ds Fläche- bzw Rumtegrl BEMERKUNG: ( (, y) + g(, y) ) ddy (, y) ddy g(, y) + B ( y) ddy (, y) B B B, ddy, wo R est B ddy 3 Sd B ud B Bereche ohe gemesme ere Pute, so st (, y) ddy (, y) ddy (, y) + B B B B (Alog ür Rumtegrle) ddy DEFINITION: Uter eem Normlberech B versteht m ee Berech B, der durch Uglechuge der Form, y y y ( ) ( ) wobe y ud y stetge Futoe sd, bzw y y y, y z z ( ) ( ) ( ) ( y) z,, wobe y, y, z, z stetge Futoe sd, beschrebe wrd 44

45 BEMERKUNG: Itegrle über Normlbereche berechet m mttels tererter Itegrle: B ( ) (, y) db (, y) y y ( ) dyd, wobe m zuächst ee Stmmuto vo ( y), bzgl y bestmmt, dem m ls Kostte seht, d we bem bestmmte Itegrl y ud de utere Greze de Stmmuto de obere Greze ( ) y ( ) esetzt, ws ee Futo ur och vo leert, de m über [ ] bestmmt tegrert, 3 Im R erhält m log B y ( ) (, y ) ( y, z) db (, y, z) y ( ) z, dzdyd z (, y) SATZ: Durch Eührug vo Polroordte ( r, ϕ < π ) gehe B B ( r, ϕ) r cosϕ ( r, ϕ) r sϕ y y B über D glt (, y) ddy r ( ( r, ϕ ), y( r, ϕ) ) B drdϕ SATZ: Durch Eührug vo Kugeloordte ( r, ϕ, ϑ) r sϕ cosϑ ( r, ϕ, ϑ) r sϕ sϑ ( r, ϕ, ϑ) r cosϕ y y z z ( r, ϕ < π, ϑ < π ) gehe B B B über D glt: (, y, z) ddydz r sϕ ( ( r, ϕ, ϑ), y( r, ϕ, ϑ), z( r, ϕ, ϑ) ) B 45

46 SATZ: Durch Eührug vo Zylderoordte ( r, ϕ < π ) gehe B B ( r, ϕ) r cosϕ ( r, ϕ) r sϕ y y z z B über D glt: (, y, z) ddydz r ( ( r, ϕ ), y( r, ϕ), z) B drdϕdz 46

47 47

48 48