Mathematischer Vorbereitungskurs für das Physikstudium. Kurt Bräuer Institut für Theoretische Physik Universität Tübingen

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1 Mathematscher Vorberetugskurs für das Physkstudum Kurt Bräuer Isttut für Theoretsche Physk Uverstät Tübge Letztes Update: Oktober

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3 Ihalt. Zahlebereche.... Koordate ud Vektore Grezwerte, Folge ud Rehe Reelle Fuktoe eer reelle Veräderlche Dfferetalrechug Itegralrechug Vektorfuktoe ud Felder... 8 Lösuge zu de Übugsaufgabe fde Se uter be 'Skrpte ud Eführuge Mathematscher Vorberetugskurs für das Physkstudum ' Tübge, de 3..3

4 Vorwort Zel des Kurses Der 'Mathematsche Vorberetugskurs zum Studum der Physk' hat Tübge ee fast 4- jährge Tradto. Er soll de Physkeulge de Esteg das Physkstudum erlechter, dem ee mathematsche Bass für de tegrerte Physkkurse der erste dre Semester geschaffe wrd. Der Kurs umfasst zum Grosstel Ihalte, de vom Abtur her bekat se sollte, jedoch eer Auffrschug bedürfe. De mathematsche Darstellug st auf eem etwas höhere Nveau als dem der Schule gehalte. Se st jedoch eher de Bedürfsse der Physk als dem der Mathematk agepasst. Der Kurs hat auch ee wchtge sozale Aufgabe. De Studete köe sch Tage lag ohe Lestugsdruck a das Umfeld der Uverstät gewöhe ud sch gegesetg kee lere. I de Kursleter habe Se Asprechparter, de selber mtte m Physkstudum stehe ud mt de Probleme der Studeafäger bestes vertraut sd. Geschchte des Skrptes Das ursprüglches Skrpt wurde berets de 7'er Jahre vo Prof. F. Wahl erstellt ud vo Prof. P. Kramer ud Prof. H. Sohr weteretwckelt. Um de Hlfskräfte des Isttuts für Theoretsche Physk de doch mmese Mühe des Koperes vo bs zu 3 Eemplare pro Kurs zu erspare, etschlosse wr us, e aufgearbetetes Skrpt Buchform zu veröffetlche. Daraus etstad de 'Eladug zur Physk Ee mathematsche Eführug ud Begletug zum Studum der Physk ud Iformatk', erschee bem Logos-Verlag Berl. Ee verbesserte Neuauflage ersche 5. Das Buch geht haltlch wet über de Stoff des Vorberetugskurses haus. Es zechet sch vor allem durch umfagreche Veraschaulchuge ud Erkläruge aus, de de üblche Lehrbücher sehr kurz komme. Über das vorlegede Skrpt Das eue Skrpt etstad zum ee aus der Notwedgket heraus, de Ihalt des Vorberetugskurses de gewadelte Bedürfsse der Itegrerte Kurse der erste Physksemester ud a de eue Bachelor-Studegag azupasse. Zum adere erschet es heute agemesse, de Studete e begletedes Ole-Mauskrpt azubete, das de wesetlche Lehrhalte überschtlch darstellt. Es behaltet m Wesetlche de Tafelaufschrebe ud sollte als Lehrmateral ur Verbdug mt dem Kurs oder dem obe erwähte Lehrbuch 'Eladug zur Physk ' verwedet werde.. A Theme umfasst es Vektore, Ablete ud Itegrere, was de agehede Studete Grudzüge bekat se sollte ud m Studum vorausgesetzt wrd. Das letzte Kaptel des Skrpts befasst sch darüber haus mt Vektorfuktoe ud Felder, also mt Bahkurve, Gradete, Wegtegrale ud ählchem. Dese mathematsche Mttel zur Beschrebug physkalscher Zusammehäge werde m Itegrerte Physkkurs I behadelt ud de höhere Kurse verteft. Se stelle m Grude ee Kombato der Kurstheme Vektore, Ablete ud Itegrere dar. So werde am Ede des Vorberetugskurses de Grudhalte verteft ud de Stofffülle des Itegrerte Kurses I aufgelockert. I das vorlegede Skrpt cht aufgeomme wurde Theme we Dvergez, Rotato, Krummlge Koordate ud Matrzerechug. Dese spele m Itegrerte Kurses I cht wrklch ee Rolle.

5 Dak Zu de Vorberetugskurse der letzte Jahre fade regelmäßg Besprechuge der Kursleter statt, aus dee vele kostruktve Gedake das eue Skrpt egeflosse sd. All de Kursleter dake ch für hre Beträge. Tübge, m Februar 9 Tübge, de 3..3

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7 . Zahlebereche Natürlche, gaze, ratoale, reelle ud komplee Zahle Vorbemerkug Ursprüglch kommt ma zu Zahle ud zum Reche, dem ma Dge oder Welthalte abzählt. De Azahl beschrebt ma durch Symbole,, 3,. Das Abzähle wrd da mehr ud mehr s Gedaklche verlagert ud ma stellt sch de abzuzählede Dge ur och vor. So kommt ma etwa zu egatve Zahle, de de Azahl fehleder Dge mee, oder zu eem Symbol '' für das Nchts oder zu ' ', was es der dglche Welt cht gbt. Das Reche wrd mehr ud mehr abstrakt ud vo dem ursprüglche Abzähle vo Dge etkoppelt. Ma hat ree Symbole ud wedet Regel auf dese a. Reche auf der Bass des Abzähles vo Objekte mt atürlche Zahle: Abzähle: Das Wort 'Welt' hat 4 Buchstabe (-) Addere : 'Hallo Welt' hat = 9 Buchstabe Subtrahere: 'Hallo' hat 9-4 = 5 Buchstabe Multplzere: 'Hallo Hallo' hat 5 = Buchstabe Tele: Halbes Wort 'We' hat 4 / = Buchstabe Potezere: 'Welt Welt Welt Welt' hat = 6 Buchstabe Radzere: 'Welt' hat 6 = 4 Buchstabe Gedaklch ka ma mt Zahle mehr mache, als Dge abzuzähle: Subtrahere: 'We' hat -4 = Buchstabe mehr als 'Welt' (-) Tele: 'We' hat /4=/ sovel Buchstabe we 'Welt' Radzere: De Zahl multplzert mt sch selbst ergbt de Azahl, / oder sd kee atürlche Zahle, se symbolsere cht de Azahl estereder, abzählbarer Dge. Se sd aber zum Reche sehr ützlch. Tübge, de 3//3

8 K. Bräuer Mathematscher Vorberetugskurs für das Physkstudum Natürlche Zahle Als atürlche Zahle bezechet ma de Symbole,,3, für de etsprechede Azahl vo Objekte. Ma fasst dese Symbole als Elemete eer Mege auf. Mege der atürlche Zahle: N {,, 3,... } Ordugsstrukutur m ud stehe jewels für ee atürlche Zahl. (-3) > m : symbolsert ee größer Azahl vo Objekte als m < m : symbolsert ee kleere Azahl vo Objekte als m m : symbolsert ee kleere oder gleche Azahl vo Objekte we m m : symbolsert ee größere oder gleche Azahl vo Objekte we m (-4) Grudrechearte N Ma ka zwe Mege vo Dge zusammebrge ud abzähle oder aus eer Mege ee Tel etfere. Bem Abzähle vo mehrere glech große Mege ka ma das Abzähle verefache. Addto: für, m N st + m = k N Subtrakto: für > m N estert e k N, so dass m + k = ( oder - m = k N) Multplkato: für, m N st m = k N (-5) De Symbole '' ud ' ': E Wort mt Null Buchstabe st ke Wort! Zum Zähle braucht ma kee ''. Trotzdem st es svoll, für das Nchts e Symbol '' ezuführe. Ich sage etwa: 'I meem Geldbeutel sd ', oder 'De Azahl vo Buchstabe 'Welt' ud 'Ball' uterschedet sch um Buchstabe. Zu jeder atürlche Zahl '' gbt es ee größere Zahl, etwa 'm=+'. De Azahl der Zahle st ubegrezt. I userer Welt gbt es jedoch ur edlche vele Dge, de ma abzähle ka. Bem Reche betrachtet ma allerdgs machmal Zahle, de sehr groß sd. Es spelt da kee Rolle spelt, ob ma och etwas dazu zählt oder se multplzert. Dafür verwedet ma das Symbol ' '. Dafür glt etwa + =, oder = Das sd cht mehr de Recheregel für Zahle ud somt st das Symbol auch kee Zahl. (-6)

9 . Zahlebereche 3 Gaze Zahle Gaze Zahle erhält ma durch de Verallgemeerug ud Abstrakto der Subtrakto. Ma ka aus eem Sack ur so vele Kartoffel herausehme, we auch dr sd. Ma ka allerdgs uter Umstäde mehr Geld ausgebe, als ma hat. Subtrakto N: für > m N estert e k N, so dass m + k = Verallgemeerug: für alle, m N estert e k, so dass m + k = { } { } für < m N st k = m,, 3... Gaze Zahle: Z...,-,,,,,... Ordugsrelatoe: de Bedeutug vo >, <,, ergbt sch aus der Rehefolge der gaze Zahle Betrag: + k, für k > k = k sost - st das Symbol für das Fehle vo Objekte. Ratoale Zahle Ratoale Zahle erhält ma durch Verallgemeerug oder Abstrakto des Teles. Ma telt ee Kuche 5 Stücke ud sst davo. Dese Tel des Kuches ka ma durch ee Bruch beschrebe. De Mege aller Brüche blde de ratoale Zahle. Zähler p Bruch:, mt p, q Z ud q q Neer p r Kürze ud Erweter: für p, q, r, s Z glt : = geau da, we p s = q r q s p wetere Regel: = p, = q Bespele: = = =, = Ratoale Zahle: p Q, mt q, p Z ud q q Recheregel: Zum Abzähle vo zwe Stücke ees dregetelte Kuches ud eem Stück ees halbe Kuches muss ma de ezele Stücke weter tele ud so zu glechgroße Stücke komme. Ma brgt se auf de Haupteer. De glech große Stücke ka ma da zusammezähle, also /3=4/6 ud /=3/6. Zusamme hat ma also (4+3)/6=7/6 oder ee gaze Kuche ud /6 Stück. Ählch überlegt ma sch das Multplzere ud Tele vo Brüche. (-7) (-8) Tübge, de 3..3

10 4 K. Bräuer Mathematscher Vorberetugskurs für das Physkstudum für p, p q, q Z, q, q :, Addto, Subtrakto: Multplkato: Dvso: p p p q ± p q ± = q q q q p p p p = q q q q p p p q / = q q q p Ordugsrelato: p p p q pq für q q > ud st glech q p q q pq für q q < Dezmaldarstellug ratoaler Zahle Wr sd gewoht, ratoale Zahle als Dezmalzahle darzustelle ud zu verwede. Se ergebe sch aus der Dezmalbruchzerlegug. Mt: 3 Dezmalbruchzerlegug: = Dezmalzahl: d, d d d... 3 ( Mege der atürlche Zahle ud der '') { } (-9) d N (-) d, d, d3,...,,,...,9 p d d d d q De Umwadlug ees Bruches ee Dezmalzahl st ee der ver Grudrechearte ud wrd als 'Tele' bezechet. We de Umwadlug praktsch gescheht, lert ma der Grudschule. Bespele: (-) =, , 3, =,...,, =, , De Querstrche bezeche de Perode, also de städge Wederholug derselbe Sequez. Ma ka zege, dass alle ratoale Zahle ee solche Perode habe. Reelle Zahle Zu reelle Zahle kommt ma durch Verallgemeerug oder Abstrakto des Wurzelzehes aus postve ratoale Zahle. Wurzelzehe: Für Qudaratzahle oder Brüche aus Quadratzahle: Für das Symbol q soll gelte: q q = q p r glt p = r r ud q = s s, da st = q s (-) Im Allgemee gbt es für ee Wurzel jedoch kee ratoale Zahl. Wr versuche es mal mt der Wurzel aus. Welche Zahl muss ma mt sch selbst multplzere, um zu erhalte? Wr berückschtge dabe, dass be eem gerade Quadrat eer atürlche Zahl auch de atürlche Zahl selber gerade st.

11 . Zahlebereche 5 für glt: st, da st auch N N N Bespele: N N + (-3) Damt zegt ma, dass e Bruch, desse Quadrat de Zahl ergbt, belebg oft durch gekürzt werde köte. Das st atürlch Us ud bedeutet, dass es dese Bruch cht gebe ka. p p Aahme: es gäbe p, q N, so dass = st q q da wäre Mege der gerade Zahle da wäre p N, also p = m mt m N da wäre p = 4m = q da wäre, also da wäre q =, N p = q N q = m q p m m also: = = = q N (-4) m r r t t Wederholug: = = = = = =... ( mt r, s, t, u N) s s u u Der Bruch köte also belebg oft mt gekürzt werde, was kee S macht. Ee ratoale Zahl für de Wurzel aus ka cht estere. Deser Bewes stammt vo Eukld. Pythagoras leß ee Schüler, der des als erstes herausfad, zum Tod durch Erträke verurtele. Er wollte cht akzeptere, dass ee Zahl we de Wurzel aus kee Etsprechug der Welt der abzählbare Dge hat. Das Wurzelsymbol hat ee ausschleßlch gedaklche oder abstrakte Bedeutug. Zum praktsche Messe ud Reche verwede wr der Regel Zahle der Dezmaldarstellug mt eer edlche Azahl vo Stelle hter dem Komma. Se habe de Perode '' ud gehöre damt zu de ratoale Zahle. Ee Bruchdarstellug lässt sch lecht agebe: etwa: = = = oder: = = Wr zehe de Dezmaldarstellug zur Defto der reelle Zahle hera. (-5) De Mege der reelle Zahle R umfasst alle 'Zahle' mt (-6) eer Dezmaldarstellug, auch solche ohe Perode De Mege der reelle Zahle umfasst also auch 'Zahle' de cht wrklch zähle. Wr habe damt ee Begrff für etwas geschaffe, der der dglche Welt kee Etsprechug hat. I Mathematk ud Physk sd de reelle Zahle jedoch uverzchtbar. Se führe allerdgs zu eem, we Goethe es ausgedrückt hat, aturwsseschaftlche Illusosmus. Tübge, de 3..3

12 6 K. Bräuer Mathematscher Vorberetugskurs für das Physkstudum Reelle Zahle dee etwa als Koordate zur Beschrebug vo Raum- ud Zetpukte. Mathematsch wrd so ee absolute Raum-Zet kostruert ud wr glaube heute, eer solche Raum-Zet zu estere. Tatsächlch st ee solche Raumzet cht mt Messuge der Lchtgeschwdgket verschedee Bezugssysteme verträglch. I der Estesche Relatvtätstheore fdet ma daher, dass dese absolute Raum-Zet cht wrklch estert. Raum ud Zet sd ur als relatve Bezüge zwsche Objekte svoll. Bahkurve sd de Grudlage der gesamte klasssche Physk. Tatsächlch st jedoch weder de geaue Posto ees Objektes och see geaue Geschwdgket messbar. Bahkurve sd ree Vorstelluge. Das wrd berets der Chaostheore deutlch, wo sesble Zusammehäge utersucht werde. Theoretsch kommt es da auf alle uedlch vele Stelle eer Postosagabe a. Her müsse Bahkurve durch Attraktore ersetzt ud de Idee lagfrstger Vorhersage ees Systemverhaltes, etwa bem Wetter, aufgegebe werde. I der Quatemechak behadelt ma da de Ugeaugket oder Uschärfe vo Postosud Geschwdgketsagabe statstsch. De Ausbretug vo Wrkuge wrd durch ee Wahrschelchketsstrom beschrebe. Dadurch werde de Atome erklärt. Das Placksche Wrkugsquatum, ee der wege Kostate der Physk, gbt de mmale Uschärfe der Wrkuge a. De Verwedug der reelle Zahle zur Naturbeschrebug schafft also zuächst de Illuso eer absolute ud berechebare materelle Welt Raum ud Zet als Grudlage userer Estez. I der gbt es kee Möglchket für Sprtualtät. De modere Physk überwdet dese Illuso ud öffet user Weltbld h zum Ubegreflche. De Zahlegerade Aus mathematsch praktsche Grüde ordet ma gedaklch jeder reelle Zahl ee Pukt auf eer Gerade zu. Ma ka das veraschaulche, dem ma Pukte auf ee Gerade eträgt. Praktsch ka ma de Pukte wege hrer Ausdehug allerdgs ur sehr grob setze. Wr kostruere dese Zahlegerade so: Start: Markerug zweer belebger Pukte als ud (-7) Natürlche Zahle: Vervelfachug der Strecke,,3, 4,5,... Gaze Zahle: Spegelug der Pukte,,3, 4,5,... a '' -,-,-3,-4,-5,... Ratoale Zahle: p q ' ter Tel vo wr p mal abgetrage q Reelle Zahle: Aäherug durch ratoale Zahle

13 . Zahlebereche 7 Abbldug -: Zahlegerade mt atürlche, gaze, ratoale ud rratoale Zahle Komplee Zahle Komplee Zahle erhält ma durch Verallgemeerug ud Abstrakto des Wurzelzehes. Wurzel Ee reelle Zahl a bezechet ma als Wurzel aus, we a mt sch selbst multplzert de Zahl ergbt. a =, we a = offeschtlch: > (-8) Hat ma füf mal füf Äpfel, so sd das 5 Äpfel. Auf kee Fall fehle da Äpfel. De Wurzel macht zuächst ur für postve Zahle ee S. De magäre Ehet '' I der Welt der abzählbare Dge ka ma de Wurzel ur aus postve Zahle zehe. Bem Reche mt quadratsche Glechuge stößt ma jedoch auch auf Wurzel aus egatve Zahle. Bespel: = = = ± aber + = =? (-9) I letzterer Glechug ka mt chts aus der Welt der abzählbare Dge Zusammehag gebracht werde, es hadelt sch um etwas Imagäres. Ma führt daher de magäre Ehet e: Defto: mt = = = ± (-) Damt ka ma gaz allgeme mt Wurzel aus egatve Zahle reche. Ee 'Imagato' dazu etwckel wr mt Hlfe der komplee Zahleebee m ächste Abschtt. Bem Reche mt Wurzel aus egatve Zahle muss ma jedoch vorschtg se! ( ) Bespel: 4 = 4 =, 4 = 4 = 4 = Mt der magäre Ehet defert ma u de (-) Tübge, de 3..3

14 8 K. Bräuer Mathematscher Vorberetugskurs für das Physkstudum Recheregel Addto: Subtrakto: Multplkato: Dvso: Bespele: { z a b a b } Mege der komplee Zahle C = +, mt, R (-) a : Realtel vo z b : Imagärtel vo z z ± z = a + b ± a + b = a ± a + b ± b = z z a + b a + b a b aa + bb ab ab = = = + = z z a + b a + b a b a + b a + b z! = = a = b z z = a + b a + b = aa bb + ab + ab = z ( ) = a = b = =, = = + + = a = b (-3) (-4) De komplee Zahleebee Zur Veraschaulchug orde wr gedaklch jeder komplee Zahl z=a+b ee Pukt der Ebee zu. Abbldug -: De komplee Zahleebee De komplee Zahleebee wrd auch als Gaußsche Zahleebee bezechet. Addto ud Subtrakto kompleer Zahle sd deser Zahleebee efach das aeaderfüge der parallelverschobee Pfele (Vektore).

15 . Zahlebereche 9 Abbldug -3: Addto ud Subtrakto kompleer Zahle der Gaußsche Zahleebee Komplekojugato De Komplekojugato ädert das Vorzeche des Imagärtels eer komplee Zahl: Komplekojugato: für z = a + b st z = a b I der Gaußsche Zahleebee wrd de komplee Zahl so a der reelle Achse gespegelt. (-5) Abbldug -4: Komplekojugato ud Betrag kompleer Zahle, veraschaulcht der Gaußsche Zahleebee. Der Absolutbetrag kompleer Zahle Mt der Komplekojugato lässt sch de Läge oder der Betrag eer komplee Zahl elegat agebe: für st der Betrag: z = a + b z a + b = a + b a b = zz (-6) De Iterpretato des Betrages als Läge des Pfels der Gaußsche Zahleebee ergbt sch ach dem Satz vo Pythagoras ( z =a +b ). Tübge, de 3..3

16 K. Bräuer Mathematscher Vorberetugskurs für das Physkstudum Das Argumet kompleer Zahle I der Gaußsche Zahleebee ka ee komplee Zahl durch Betrag z ud Wkel zur reelle Achse oder Argumet α dargestellt werde: Abbldug -5: Darstellug eer komplee Zahl durch Betrag z ud Argumet α mt cos α = / z s α = y / z st z = + y = z cosα + z sα = z cosα + sα (-7) Der Wkel α st ur bs auf e Velfaches vo festgelegt. Ma defert daher de Hauptwert vo z: Hauptwert: Arg z ( π, π ] Argumet: α = Arg z + π, Z (-8) Abbldug -6: Argumet der komplee Zahl z

17 . Zahlebereche De Eulersche Formel Wr betrachte de komplee Zahle auf dem Ehetskres der Gaußsche Zahleebee, also de komplee Zahle vom Betrag. ( ˆ ) Ehetskres: zˆ cosα + s α, z = z α = zˆ für α = = = α Vergleche: e = e = α = ˆ = cos + s =. Abletug: dzˆ = sα + cosα = ( cosα + sα ) = zˆ dα 'te Abletug: d zˆ = zˆ dα (-9) α de α. Abletug: = e dα α d e α 'te Abletug: e dα = We sch mt dem Satz vo Taylor (Kaptel 5) auch streg bewese lässt, sd zwe Fuktoe detsch, we hre Abletuge überall glech sd ud we se a eer Stelle deselbe Fuktoswert habe. Damt lasse sch zum Bespel trgoometrsche Formel sehr elegat herlete: α Eulersche Formel: e = cosα + sα Movresche Formel: also: cos ( α + β ) α β e = e e = = = cosα + sα cos β + s β ( α + β ) + s( α + β ) Epoetalschrebwese kompleer Zahle Realtel: cos α + β = cosα cos β sα s β Imagärtel: s α + β = cosα s β + sα cos β α Arg ( cosα sα ) z = z + = z e = z e z (-3) (-3) Damt lässt sch zum Bespel de Multplkato zweer kompleer Zahle der Gaußsche Zahleebee veraschaulche. komplee Zahle: Produkt: also: spezell: α z = z e α z = z e α α z z z = z e z e = z z e z = z z α = α + α zz = z ( α + α ) (-3) Tübge, de 3..3

18 K. Bräuer Mathematscher Vorberetugskurs für das Physkstudum Übugsbespele Bestmme Se de Dezmalzahle:. 7 zu r = ud 8. zu r = 7 (-33) (De ächste Aufgabe ka m MVK ausgelasse werde) 3. De Umwadlug eer Dezmalzahl ee ratoale Zahl ka durch de r = d +, 'cotued fracto represetato' erfolge: d + d d 4 Zum Bespel st für de Zahl r = 3.45: r3 = d3 d4 + r4 r r = d d3 + r3 r r r d = d + r r = r d = r = d = r3 = d 3 = r3 = d 3 = 3.45 d 3 + r r d r3 r d 4 + r4 r =.8=.5= also: r = 3 + = 3 + = 3+ = 3+ = = = 3+ = d N (-34) Führe Se das Verfahre für de Zahl r =.5 durch. Verwede Se dabe =.8 ud.5 =.5. Köe Se für dese Fall ee drektere Weg zum Ergebs agebe?.8 4. Bestmme Se für de komplee Zahl z = 3 + de Iverse, das Quadrat, das Absolut- π quadrat ud de Epoetaldarstellug. Es st arcta =. 3 6 (-35)

19 . Zahlebereche 3 5. Bestmme Se für de komplee Zahle z = +, z = + das Produkt zz ud de (-36) z Quotet. z 6. Gebe Se de folgede komplee Zahle der Epoetalform a: a), b), c) 3 3 (-37) 7. Welche reelle ud komplee Lösuge hat a z b z c z z 4 3 ) = 8, ) = 3 3 ) + 3 = (-38) Zege Se: 3 8. cos + s = cos 3 + s 3 9. e + e cos = e e s = ( ). a = b + c bc cos b, c, Kosussatz mt Hlfe kompleer Zahle α α α ( Betrachte Se für z = be, z = ce, z = ae ( z z ) de Ausdruck für z ) (-39) Tübge, de 3..3

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21 . Koordate ud Vektore Messgröße der Physk Messe gescheht zuächst durch Verglech mt eem Maßstab. Messbare Grudgröße der klasssche Mechak sd räumlche Abstäde, zetlche Abstäde ud Kräfte. Iteressat st, dass auch zetlche Abstäde ud Kräfte zuächst über Ortsmessuge durchgeführt werde (Lauf der Gestre, Saduhr, Pedeluhr, Quarzuhr, Federwaage, ). Adere physkalsche Größe werde drekt gemesse (Geschwdgket, Ladug, Masse, ). Strom oder Spaug msst ma bem Spulestrumet auch über räumlche Lageveräderug des Zegers. Raumerfahrug ud Objektverug des Raumes Raum st Grudlage userer bewusste Welterfahrug. Alle Bewusstseshalte sd räumlch, also ebeeader, htereader oder übereader ageordet. Das Raumerlebe hat sch bem Mesche de letzte paar taused Jahre etwckelt ud dese Etwcklug durchläuft jeder Mesch bem Erwachsewerde aufs Neue. De Raumerfahrug wrd mt Hlfe vo Maßstäbe objektvert, etwa mt eem Meterstab oder Leal. Ma msst Abstäde durch Verglech mt dem Maßstab. Maßstäbe blde de Bass der Raumbeschrebug. Abstäde werde mt reelle Zahle Form vo Koordate mt Bezug auf ee Maßstab oder de Bass agegebe.. Stufe der Raumerfahrug (Klekd) Topologe (Nachbarschaft: ebe- hter- übereader).. Stufe der Raumerfahrug (Schulkd) Objektverug der Raumerfahrug durch Messug: ( belebges Objekt, Leal) Maßstab e : Koordate : Strecke L = e 3. Stufe der Raumerfahrug (Erwachseer) 3-dmesoaler, relatver Raum: Rchtugsmaßstäbe Bass eˆ, eˆ, eˆ : Koordate,, : 3D-Bezug zwsche zwe Pukte P, P : y z ( P, P ) y z R = eˆ ˆ ˆ + yey + zez De Rchtugsmaßstäbe m mehrdmesoale Raum bezechet ma als Bassvektore, de Überlagerug zur Beschrebug räumlcher Bezehug zweer Pukte als Vektore. Wr kezeche Bassvektore durch e '^' ud Vektore durch ee Pfel. 4.Stufe der Raumerfahrug (Erwachseer) 3-dmesoaler, absoluter Raum (Raum als uabhägger Behälter für Objekte, Raum wrd selbst zum Objekt): Rchtugsmaßstäbe Bass eˆ, ˆ, ˆ ey e : z Koordate, y, z : Bezugspukt O : Absoluter Pukt m Raum: ( P, O) P R = eˆ + yeˆ + zeˆ y z (-) (-) (-3)

22 6 K. Bräuer Mathematscher Vorberetugskurs für das Physkstudum Koordatesysteme ud objektver Raum Bass, Koordate ud Bezugspukt oder Ursprug blde e Koordatesystem. Damt ka ma räumlche Bezüge quatfzere ud Dagramme etrage. So etsteht e objektves Bld räumlcher Bezüge. Raum st selber zum Objekt geworde. Wr erlebe ee objektve Welt eem objektve Raum. Abbldug -: Pukt P m absolute Raum, dargestellt mt Bassvektore e ud Koordate, y, z. Vektore ( P, P ) R beschrebt de räumlche Bezehug zwsche de Pukte P ud P mt Hlfe eer Bass ( P, P ) ud Koordate. Kostruktoe we R et ma Vektore. We wr glech sehe werde, ka ma verschedee Vektore mteader addere oder mt eer Zahl multplzere. De Wahl des Koordatesystems st wllkürlch. De räumlche Bezehug zwsche de Pukte hägt jedoch vo deser Wahl cht ab. We wr später sehe werde, ergebe sch daraus kokrete Trasformatosglechuge für de Wechsel vo eem Koordatesystem zu eem adere. Für ee kompaktere Schrebwese ersetzt ma, y, z gere durch,, 3 oder durch { },,,3. 3 ( P, P ) R = eˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + yey + zez e + e + 3e3 = e. etsprcht Es st oft cht ötg, de Bassvektore mt aufzuschrebe, ma defert Damt ka ma etwa schrebe Spalevektor Koordatetrpels: ˆ ˆ ˆ y e + ye + ze z Zelevektor oder, y, z eˆ + yeˆ + zeˆ = y z y z (-4) (-5)

23 . Koordate ud Vektore 7 (,, ), (,, ), (,,) eˆ = eˆ = eˆ = y z (-6) Recheregel: Alle Regel folge umttelbar aus der Bedeutug vo Koordate als Skalerug des Maßsstabes. Addto für a a, a, a, b b, b, b, c c, c, c : ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) + = ( + ) + ( + ) + ( + ) = ( a + b, a + b, a3 + b3 ) a b = ( a b a b a b ) Addto: a b a b eˆ a b eˆ a b eˆ Subtrakto:,, Kommutatvgesetz: a + b = b + a Assozatvgesetz: ( a + b ) + c = a + ( b + c ) (-7) Abbldug -: Veraschaulchug der Addto ud Subtrakto, des Kommutatv- ud des Assozatvgesetzes Multplkato mt Skalar Multplkato mt Skalar: λa ( λa, λa, λa3 ); Dstrbutvgesetz: λ ( a + b ) = λa + λb; Assozatvgesetz:. ( λµ ) a = λ ( µ a ) (-8) Tübge, de 3//3

24 8 K. Bräuer Mathematscher Vorberetugskurs für das Physkstudum Abbldug -3: Veraschaulchug der Multplkato vo Vektore mt eem Skalar Ieres Produkt oder Skalarprodukt De Bassrchtuge solle uabhägg voeader se, was durch e so geates eres Produkt ausgedrückt werde ka. Ieres Produkt oder Skalarprodukt: für = j; eˆ eˆ = δ j j für j. Ieres Produkt oder Kroeckersches -Deltasymbol Skalarprodukt (-9) Skalarprodukt zwsche Vektore: Das Skalarprodukt ' ' für de Bassvektore (-9) führt umttelbar auf das Skalarprodukt zwsche Vektore. Skalarprodukt: a b = a eˆ + a eˆ + a eˆ b eˆ + b eˆ + b eˆ = a ˆ ˆ bj e e j, j= δ = ab eˆ eˆ + ab eˆ eˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + a3b e 3 e + a3b3 e 3 e3 3 3 j = a b + a b + a b = a b 3 = (-) Läge ees Vektors: Nach dem Satz des Pythagoras ergbt sch, dass das Quadrat der Läge ees Vektors de Summe über de Koordatequadrate st. Wr defere daher

25 . Koordate ud Vektore 9 3 Läge des Vektors r: r r r r = = + y + z = (-) Abbldug -4: Läge ees Vektors ach dem pythagoresche Lehrsatz. Iterpretato des Skalarprodukts zwsche zwe Vektore: Projekto auf -Achse: a eˆ = a = a cos α; Projekto auf de spezelle Vektor b beˆ : ( ˆ a be ) = ab cos α; b Uabhägg vom Koordatesystem: a b = abcos α. a (-) I (-) habe wr ee sehr teressate Verallgemeerug vorgeomme. Im mttlere Ausdruck stehe Größe de weder vo de Bass-Vektore och de Koordate abhäge, also Vektore, Läge ud Wkel. Der Ausdruck muss also gaz allgeme gelte, obwohl er für de spezelle Vektor b = beˆ formulert wurde. Dese Methode wrd der Physk oft agewedet. Ma ka zur Abletug allgemeer Zusammehäge spezelle Bassvektore wähle, mt dee de Abletug besoders efach st. De Zusammehag zwsche verschedee Koordatesysteme mt verschedee Bassvektore schaue wr us glech och geauer a. Abbldug -5: Skalarprodukt als Produkt der Vektoreläge ud dem Cosus des egeschlossee Wkels. Tübge, de 3//3

26 K. Bräuer Mathematscher Vorberetugskurs für das Physkstudum Recheregel für das Skalarprodukt Multplkato mt Skalar: Kommutatvgesetz: Dstrbutvgesetz: λ ( a b ) = ( λa) b = a ( λb ) ( λa ) b a ( λb ) λ ab a b = b a ab b a ( a + b ) c = a c + b c ac b c ( a + b ) c (-3) Ehetsvektore De Grudehete des Koordatesystems (-3) sd durch de Bass bzw. de Rchtugsmaßstäbe e ˆ gegebe. Wr köe se als Vektore der Läge auffasse. Das st ja ee wesetlche Grudlage des Skalarproduktes (-9). Jeder belebge Vektor r ka u auf de Läge 'ormert' werde ud wrd da bezechet als Ehetsvektor: r rˆ = r sbesodere glt: rˆ = rˆ rˆ = ud Basstrasformatoe rˆ r = r eˆ (-4) De Bassvektore werde wllkürlch ausgewählt. Ma ka gaz adere Rchtuge wähle, was jedoch de durch se beschrebee räumlche Bezehuge cht beeflusst. Ma sagt, e Vektor hat verschedee Darstelluge. Da alle Darstelluge jedoch deselbe Vektor mee, gbt es ee Bezehug oder Trasformato zwsche he, de so geate Basstrasformatoe. R = eˆ + ˆ + ˆ = ˆ + ˆ + ˆ = yey zez e y ey z e (-5) z R ursprüglches Koordatesystem Glechhet vo Vektore, cht vo Zahle! trasformerter Koordatesystem üblche Schrebwese für Vektor trasformerter Bass Obwohl e Vektor uabhägg vo der Bass st, kezechet ma h der trasformerte Bass aus praktsche Grüde doch gere mt eem Strch. I der trasformerte Bass müsse de Rchtuge weder uabhägg voeader se. Des schräkt de möglche Trasformatoe e. Basstrasformato: Bedgug: also: eˆ = 3 k k k = δ = eˆ eˆ = T eˆ T eˆ = T eˆ eˆ T = T T j j k k jl l k k l jl k jk k, l= k, l= = δ k = kl 3 k = T T T eˆ = δ k jk j (-6)

27 . Koordate ud Vektore T beschrebt ee so geate Basstrasformato, geau da, we de utere Glechug vo (-6) erfüllt st. Daraus ergbt sch auch, we de Koordate trasformert werde müsse. aus: folgt: oder umgekehrt: 3 3 3! eˆ ˆ = T e = eˆ 3 Forderug = Tk eˆ k k k k k =, k = k = = k= 3 T k k = Bespel: Austausch zweer Achse = δ = T T = T T = T =, k = k = = k = 3 Tk Tjk k j j k jk jk k jk k k= { } ( j) Trasformatosmatr: für,,,,, 3, 3 Tj = sost Bedgug für Bass-Traf. 3 T jtj = + + =, j= 3 T jtj = + + =, j= = + + =, T jtj j= 3 3 T jtj = T jtj3 =... = j= j= Trasformerte Koordate: = + T + 3 = = T = 3 = + + T33 3 = 3 (-7) (-8) Zur Übug köe wr och überprüfe, dass das Skalarprodukt zwsche zwe Vektore tatsächlch cht vo der Bass abhägt a b = a jb j = TjkakTjlbl = akbl TjkTjl = akbk = a b j= j, k, l = k, l = j= k = δkl ( Trasformatosbedgug) (-9) Für das Skalarprodukt st es also egal, welche Bass ma wählt, we ur de Trasformatosbedgug (-6) erfüllt st. Wr sehe somt, dass de Läge ees Vektors ud der Wkel zwsche zwe Vektore wrklch cht vom Koordatesystem abhäge. Kreuzprodukt oder Vektorprodukt Nebe der Abbldug zweer Vektore auf ee Skalar oder ee Zahl mt dem ere Produkt ka ma och e weteres Produkt für Vektore defere, das aus zwe Vektore ee macht, das Kreuz- oder Vektorprodukt. Hlfsgröße: Tübge, de 3//3

28 K. Bräuer Mathematscher Vorberetugskurs für das Physkstudum Atsymmetrscher Fudametaltesor oder Lev-Cvta-Tesor: Kreuzprodukt für Bassvektore: Defto: 3 ε eˆ eˆ ε eˆ j jk k k= jk für jk zyklsch 3,3,3 ; = - für jk atzyklsch 3,3,3 ; sost; also ε jk jk ud ε = ε =. k = ε k ( atsymmetrsch ) z.b.: eˆ eˆ = eˆ, eˆ eˆ = eˆ, eˆ eˆ = eˆ, eˆ eˆ = y z y z z y (-) (-) Symmtere: eˆ eˆ = eˆ eˆ atsymmetrsch j j (-) Abbldug -6: Symmetre des Kreuzproduktes. Austausch der Faktore führt zu Vorzechewechsel des Ergebsses (atysmmetrsch) Kreuzprodukt zwsche Vektore: Aus dem Kreuzprodukt zwsche de Bassvektore ergbt sch sofort das

29 . Koordate ud Vektore 3 Kreuzprodukt: Iterpretato des Kreuzproduktes Betrag: a b = a eˆ b eˆ = a b eˆ eˆ = ε a b eˆ j j j j jk j k, j=, j=, j, k = εjkeˆ k = a b a b eˆ + a b a b eˆ + a b a b eˆ y z z y z z y y y z aybz azby = azb abz aby ayb ( a b ) = ( ε ˆ ) ( ˆ ) ˆ ˆ jkab jek ε moambeo = aamb jbε jkε mo e k eo, j, k, m,, o, j, k, m,, o 3 = aamb jb εjkε mk = aa bjbj ab a jbj (, j, m, k =, j a b ( a b ) = a b ( cosα ) = a b ( ( cosα ) ) ( sα ) δmδ j δδ jm ( zykl. zykl. ( zykl. atz...)..) atzykl atz atz zykl also: a b = absα für α, π [ ] δ ko ) (-3) (-4) Der Betrag des Kreuzproduktes etsprcht also geau Ihalt des durch de bede Vektore aufgespate Parallelogramms. Rchtug: c = a b a, b da: steht sekrecht auf a c = a eˆ ε a b eˆ, j, k, l also a c = a c = = a a b ε = a a b ε j k jk j k jk, j, k εjk = ε jk, j, k = a a b ε = a a b ε = = jkl j k l j k jk j k jk, j, k Umbeeug, j, k j, j (-5) a c = ac cosα =, α = π / ( rechter Wkel) aalog: b c = Das Kreuzprodukt steht also sekrecht auf dem durch de bede Vektore aufgespate Parallelogramm. Tübge, de 3//3

30 4 K. Bräuer Mathematscher Vorberetugskurs für das Physkstudum Abbldug -7: Das Kreuzprodukt zweer Vektore a,b bldet ee Vektor c, der sekrecht auf dem durch a ud b aufgespate Parallelogramm steht ud desse Läge dem aufgespate Flächehalt etsprcht. Spatprodukt Das Spatprodukt gbt de Ihalt des durch de Vektore a,b ud c aufgespate Spatkrstalls a Volume des Spatkrstalls: V = F h ; Volume Fläche Höhe 'Oreterte Fläche': a b = Feˆ z; Höhe: eˆ z c = h; Volume=Spatprodukt: V a, b, c = Fh = Feˆ c = a b c. z (-6) Hwes: Das Koordatesystem wurde so gewählt, dass de Fläche der -y-ebee legt ud damt der Vektor c z-rchtug zegt. Recheregel für das Kreuzprodukt Multplkato mt Skalar: Atsymmetre: Dstrbutvgesetz: λ ( a b ) = ( λa) b = a ( λb ) jkab jek jk a ( bj ) eˆ k, j, k, j, k, j, k a b = b a Kommutatvgesetz glt cht! εjk ab jeˆ k ε jkbjaeˆ k λ ε ˆ εjk ( λa ) bjeˆ k ε λ, j, k, j, k wege εjk = - ε jk ( a + b ) c = a c + b c ε a c eˆ ε ε jk ( a + b ) c jeˆ k, j, k, j, k, j, k Gerade ud Ebee m Raum jk j k jkb c jeˆ k (-7) Vorausgehed habe wr de räumlche Bezehug zwsche zwe Pukte bzw. zwsche eem Bezugspukt ud eem wetere Pukt durch Vektore beschrebe. Wr beschrebe u ee gerade Le oder e Geradestück, de oder das zwe vorgegebe Pukte a udb verbdet:

31 . Koordate ud Vektore 5 { } L = a + λ ( b a) λ [ ] Gerade Le Geradestück :, mt, (-8) also: = a für λ = = b für λ = Dese gerade Le ka ma gedaklch ach bede Sete gerade verläger ud kommt zur Gerade G = a + λ b a, mt λ R (-9) { } I eer geale Verefachug der Verhältsse ka ma mt so eer Gerade zum Bespel de Bewegug ees Objektes m kräftefree Raum beschrebe. Messe ka ma so ee Gerade jedoch ur äherugswese! Geau geomme fdet ma solche Gerade der Körperwelt cht. Abbldug -8: Gerade G, aufgespat durch zwe Vektore m Raum Durch ee wetere Pukt c kommt ma zu de dre Geradestücke { λ, mt λ [,] } L = a + b a L = a + c a { λ, mt λ [,] } { λ, mt λ [,] } L = b + c b (-3) Dese blde e Dreeck m Raum. Wr sehe dar ee Fläche oder e Ebeestück ud erweter deses weder zu eer gedaklch uedlche (-3) Ebee: E = a + λ b a + λ c a, mt λ, λ R { } Abbldug -9: Ebee E, aufgespat durch dre Vektore a,b,c m Raum Tübge, de 3//3

32 6 K. Bräuer Mathematscher Vorberetugskurs für das Physkstudum Als ee erste Awedug überlege wr, we ma de Schttpukt eer Gerade mt der Ebee bereche ka. Schttpukt: { = G + λg ( G G ) ud = + λ ( ) + λ ( )} G + λg ( G G ) λ ( ) λ ( ) = ( bg ag ) ( ag + λg ( bg ag ) a λ ( b a) λ ( c a) ) = ( b a) ag + λg ( bg ag ) a λ ( b a) λ ( c a) = Bedgug: a b a a b a c a Skalare Glechuge: S a b a a b a c a ( c a) ( ag + λg ( bg ag ) a λ ( b a) λ ( c a) ) = (-3) Ma erhält so dre Glechuge für λ G, λ, ud λ. Es geügt, λ G zu bestmme ud de Geradeglechug ezusetze. Übugsaufgabe:. See a = ( 3,, ), b = (, 3, 4 ), c = ( 5,, 3 ) Vektore. Bereche Se a) a, b, c b) a + b + c, a + b c, a ( b + c ), a b c c) a b, a b d) cos a, b, s a, b, a, b. Zege Se, dass de Verecke ABCD Parallelogramme sd ( 3,, ), ( 6,3,4 ), ( 5,, ), (,, ) a) A =,, B = 4,, C = 7,, D =,4 ud A = B = C = D = b) We groß sd de Flächehalte der Parallelogramme? (-33) (-34) 3. Bewese Se mt Hlfe der Vektorrechug de a a b c bc ( α ) ) Kosusatz: = + cos ud de a b c b) Sussatz: = = sα s β sγ (-35) Q 4. Gegebe see de Pukte P =,,3 ud =,,. (-36) a) Gebe Se de Glechug der durch de Pukte P ud Q gehede Gerade a b) Bestmme Se de Pukt M, der de Verbdugsstrecke PQ halbert

33 . Koordate ud Vektore 7 5. a) Gegebe Se de Parameterdarstellug der Ebee E a, de durch de dre Pukte P = 4,,,, Q = 3, 4, ud Q = 3,3,3 geht! b) Bestmme Se de Normaleehetsvektor ˆ vo E c) Legt der Pukt X = 5,3, 3 E? (-37) Tübge, de 3//3

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35 3. Grezwerte, Folge ud Rehe Folge Idem wr jeder atürlche Zahl ee Zahl a zuorde, blde wr ee Folge a : N a R ( a ) a a a3 also:,,,... komplee Folge: a C (3-) Bespele: ) a = ) a = + 3 (3-) Abbldug 3-: Kovergete ud dvergete Folge ach (3-) Kovergete Folge Ee komplee Folge (a ) kovergert gege de Grezwert a, also a = lm a, we zu jeder postv reelle Zahl ε ee atürlche Zahl ε estert, so dass st. a a < ε für alle > ε Schlägt ma also der Gaußsche Zahleebee um a ee Kres mt belebg kleem Radus ε, so lässt sch für ee kovergete Folge mmer e ε fde, so dass alle wetere Folgegleder desem Kres lege. Betrachte wr de m rechte Bld vo Abbldug 3- dargestellte Folge. (3-3) (3-4)

36 3 K. Bräuer Mathematscher Vorberetugskurs für das Physkstudum Folge: ( a ) = + 3 Grezwert: a = + 3 Bewes: Bedgug für ε N : ε ε damt: a a = < < ε für alle > Vor allem st de Folge (a )=/ koverget. Folge: ( a ) = Grezwert: a = Nullfolge Bewes: ε Bedgug für ε N : ε ε damt: a a = < < ε für alle > Als Gegebespel det der lke Tel vo Abbldug 3-. Legt ma etwa ee Kres vom Radus ε= um oder -, so legt das ächste Folgegled uwegerlch außerhalb des Kreses. Dvergete Folge Ee Folge, de kee Grezwert bestzt, heßt dverget. E Bespel dafür st de Folge (a ) = ((-) ) =-,,-, m lke Tel vo Abbldug 3-. Ee reelle Folge heßt bestmmt dverget, we für jede 'och so große' postve reelle Zahl A ee atürlche Zahl N estert, das dass alle a mt >N größer als A (oder kleer als A) werde. De Folge bestzt da de 'uegetlche Grezwert + (oder - )'. ( a ) bestmmt dvergete Folge: = =, 4,8,6,... Grezwert: lm a ε ( a ) dvergete Folge: = =, + 4, 8, + 6,... Grezwert: lm a estert cht = Recheregel zur Bestmmug vo Grezwerte Addert, subtrahert, multplzert oder dvdert ma be zwe kovergete Folge mmer de etsprechede Gleder, so erhält ma ee eue Folge, dere Grezwert glech Summe, Dfferez, Produkt oder Quotet der Grezwerte der ursprüglche Folge st. Durch '' darf ma jedoch auch her cht tele: ε ε (3-5) (3-6) (3-7)

37 3. Grezwerte ud Rehe 3 Rehe Bespele: lm + = lm + lm = + = + lm+ lm + lm lm + = 3 = = = + 3 lm 3 lm Wr betrachte de komplee Folge (a ) ud de Folge vo Partalsumme S : Bespele für Rehe Folge: Partalsumme: eue Folge: ( a ) S ( S ) = estert lm S = a S, N N = N = da ee wr S ee kovergete Rehe Rehe: = = N Grezwert: S = Bewes: S N = N N a Aufspalte: = = eu zusammefasse: = = = (3-8) (3-9) (3-) Tübge, de 3..3

38 3 K. Bräuer Mathematscher Vorberetugskurs für das Physkstudum Harmosche Rehe: = = 3 4 N S N = ( dvergert bestmmt )... (3-) Potezrehe Bespele Geometrsche Rehe: Potezrehe: α, α, C = = = Grezwert: für jedes C mt < st Bewes: 3 = = = = N N N N ( ) ( ) = ( ) = = also: N N SN = = ud N lm N S = lm SN = = N für < für = -:, dvergert ubestmmt, sehe Abbldug 3. lks N (3-) (3-3) = = = Mt Fakultät:! = 3,! Epoetalrehe: Kovergez: 3 = ! 3 für jedes C st = e Epoetalfukto! mt e = = kee Perode!! Der Kovergezbewes kommt glech bem Quotetekrterum. Mt der Epoetalrehe lässt sch auch das (3-4)

39 3. Grezwerte ud Rehe 33 bewese. y + y Multplkatostheorem e e = e,, y C 'für alle' ud e = cos + s, R (3-5) ( ( )) Mt Bomalkoeffzete: α α α α α (3-6)! Bomalrehe ( α > ): α α α ( α ) ( + ) = = + α = kovergert für jedes < Bespel α = / : / 3 + = ( + ) = De Rehe kovergert sehr schell, de Gleder werde sehr schell kle. Ma ka daher mt (3-6) auch krumme Potezausdrücke sehr gut aäher. Kovergezkrtere Majoratekrterum Rehe: kovergete Rehe: Krterum: Bewes: = = a b, mt b > N glt für fast alle : a < b da kovergert a 'bs auf edlch vele Ausahme' S S = a a N = N + = N + = b für N = N + (3-7) Tübge, de 3..3

40 34 K. Bräuer Mathematscher Vorberetugskurs für das Physkstudum Quotetekrterum: Bewes: aus = a a + a δ + kovergert, we fast mmer δ < st 'bs auf edlch vele Ausahme' + dvergert, we fast mmer > st a 3 a a a a δ = δ = = = kovergert folgt a δ a, a δ a δ a,, a Majorate: a a a δ δ a (3-8) Awedug des Quotetekrterums: Epoetalrehe: Kovergez: e = =! + ( + )!! = = = δ <! δ! + a+ a ( + ) + (3-9) Übugsaufgabe: ( + ). Bereche Se de Grezwerte folgeder Folge falls se estere a) b) c) d) e) (3-)

41 3. Grezwerte ud Rehe 35. Bereche Se 3. Ordug eer Reheetwcklug ( Trck: 3 = ) 4 3. Was läßt sch mt Hlfe des Quotetekrterums über Kovergez oder Dvergez der harmosche Rehe sage? 4. Bewese Se mt Hlfe der Bomalrehe, dass st. = lm + = e 5. Aus = e ud e e = e! y + y ( + y) y folgt = =! =! =! Reche Se des bs zu Terme 4. Ordug ach! k l ( D.h. ur Terme y mt k + l 4 solle berückschtgt werde) 6. Bewese Se de Kovergez der Bomalrehe α α + = für < ud α > = Tübge, de 3..3

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43 4. Reelle Fuktoe eer reelle Veräderlche Reellwertge Fuktoe Ee Fukto oder Abbldug ordet jedem Pukt aus dem Deftosberech geau ee Pukt eem Werteberech oder Bld zu: Deftosberech: reelle Fuktoswerte: M Telmege = = { R = } y f Werteberech: f M y, mt y f, M allgemeer Abbldugsbegrff: f : M R R Fukto f bldet de Deftosberech M auf de reelle Zahle R ab Geometrsche Iterpretato De Fukto f ka durch Pukte eem Koordatesystem als Graph dargestellt werde. (4-) Graph oder Kurve vo f : (, f ( ) ), mt M Vektor Oft bldet de Mege aller deser Pukte ee zusammehägede Kurve. Ma sprcht da vo eer stetge Fukto. (4-) Abbldug 4-:Veraschaulchug der Fukto f als Graph oder Kurve eem Koordatesystem Physkalsche Bespele Be eem Fallepermet lässt ma ee Körper vor eem Maßstab falle. Ee Kamera macht alle. Sekude e Bld. Auf de Blder ka ma da zu jedem Zetpukt t=,.,., de Fallhöhe auf cm geau ablese.

44 38 K. Bräuer Mathematscher Vorberetugskurs für das Physkstudum Messwerte: t h h ( M) ( Ma) Fukto: h t = 5cm 5 t cm / sek De Fukto h(t) st so gewählt, dass se zu jedem Messzetpukt t=,., sek durch das gemessee, cm große Itervall geht. sek cm cm (4-3) Abbldug 4-: Physkalsche Verwedug eer Fukto h(t) zur Beschrebug vo Höhemesswerte be eem Fallepermet. Aus de Messwerte ka ma auf de mttlere Geschwdgket des Körpers zwsche zwe Messzetpukte schleße. Da de Messug der Fallhöhe jedoch mt eer Ugeaugket oder Uschärfe behaftet st, erhält ma aus der Messug ur ee Abschätzug über de mmale ud mamale mttlere Geschwdgket zwsche zwe Messpukte. t ( M) Mttlere Geschwdgkete: v, + ( M ) ( Ma ) h t h t v, ( Ma t ) h ( t ) h t v t M +, + h( t+ ) h( t ) t ( M ) Ma +, v cm / sek ( Ma) v cm / sek Fukto: v t = t cm / sek Weder ka ma ee Fukto der Zet agebe, desmal für de Geschwdgket v. sek (4-4)

45 4. Reelle Fuktoe eer reelle Veräderlche 39 Abbldug 4-3: Physkalsche Verwedug eer Fukto v(t) zur Beschrebug der Geschwdgket ees Körpers be eem Fallepermet. Messuge sd mmer mt eem Messfehler oder eer Uschärfe behaftet ud köe ur zu edlch vele Zetpukte stattfde. Durch de Beschrebug des Fallvorgages mt Fuktoe wrd der raum-zetlch Prozess des Falles zu der Bewegug auf eer Bahkurve dealsert. Das st de Grudlage der gesamte klasssche Mechak. Auf hr lasse sch sehr vele Probleme löse. Wr habe u de Vorstellug etwckelt, dass sch der fallede Körper tatsächlch auf eer solche 'Bahkurve' bewegt, de wr durch de Fuktoe h(t) ud v(t) beschrebe. Tatsächlch ka der Natur ee solche Bahkurve grudsätzlch cht belebg geau beobachtet werde. Es gbt ee Naturkostate, das Placksche Wrkugsquatum h, das de mamale Geaugket eer solche Messug agbt. Es glt Grudsätzlch Ortsuschärfe Geschwdgketsuschärfe Masse ħ (4-5) Placksches Wrkugsquatum getelt durch π Bem obge Fallepermet ka das gorert werde, be eem Elektro eer Browsche Röhre we m Praktkum allerdgs cht. De przpelle Uschärfe physkalscher Phäomee st Grudlage etwa für de Atomstrukture, das Perodsche System der Elemete, de Gesetze der Cheme oder de Halbleterelektrok. Bahkurve zur Beschrebug vo Bewegugsabläufe sd e geales mathematsches Hlfsmttel, das de tatsächlche Gegebehete jedoch ur aäherd wedergbt. Als weteres Bespel zur Beschrebug physkalscher Zusammehäge betrachte wr ee Fahrradpumpe, be der wr de Gasaustrtt zuhalte ud da mt Kraft de Kolbe hedrücke. Der otwedge Druck P hägt vom Volume V des Gases ab ud ka ach Va der Waals uter bestmmte Bedguge durch de Fukto beschrebe werde. c a V b V =, a, b, c kostat p V (4-6) Tübge, de 3..3

46 4 K. Bräuer Mathematscher Vorberetugskurs für das Physkstudum Abbldug 4-4: Physkalsche Verwedug vo Fuktoe P(V) zur Beschrebug des Drucks auf de Kolbe eer zugehaltee Fahrradluftpumpe. Der Zusammehag (4-6) glt be kostater Temperatur des Gases m Kolbe. Das Mmum des Druckes kommt daher, dass sch bem Zusammedrücke des Gases ab eem bestmmte Volume zuerst de Azehug der Atome ud da hre Abstoßug bemerkbar mache. Egeschafte vo Fuktoe Stetgket Ee reelle Fukto f heßt stetg eem Pukt aus M, we für alle Folge,, 3,... aus M, de zum Grezwert habe, auch de Bldfolge f( ), f( ), f( 3 ), alle deselbe Grezwert f() habe. Ist des für alle aus M erfüllt, so heßt de Fukto stetg auf M. f heßt stetg a der Stelle, ( ) M = f ( ) = f ( ) we für jede Folge mt lm glt: lm (4-7) Abbldug 4-5: Umkehrbarket f Fukto mt eer ustetge Stelle be =X. De Folge f(' ) kovergert gege ee adere Grezwert als de Folge f( ). heßt umkehrbar, we es für jedes y N geau e M gbt mt y = f Umkehrfukto oder Iverse: :, - f N M y = f y Graphsch bedeutet de Umkehrug das Vertausche der bede Achse. (4-8)

47 4. Reelle Fuktoe eer reelle Veräderlche 4 Abbldug 4-6: Bespel eer umkehrbare Fukto ud eer cht umkehrbare Fukto. Durch Eschräkug des Deftosberechs auf a c wrd auch de Fukto rechts umkehrbar. De Glechug für de Umkehrfukto erhält ma durch Auflöse vo y=f() ach. Bespel: 4 f : y = +, mt 4 f : = 4 y, mt y 9 (4-9) Mooto wachsed ud falled f heßt mooto wachsed, we für alle < auch f f st f heßt streg mooto wachsed, we für alle < auch f < f st f heßt mooto falled, we für alle < auch f f st f heßt streg mooto falled, we für alle < auch f > f st Zusammegesetze Fuktoe Ee Fukto ka mehrere Schrtte aufgebaut werde:. Schrtt: g : z g. Schrtt: h : y h z Zusamme: = = ( ) y = f = h g h g Es sd atürlch auch mehr als zwe Verküpfuge möglch. Bespele: = 3 = s ( ) g., h ( ) f = g h = = 3 3/. g, f ( ) = g ( g ( ) ) = h = g 3. g =, f ( ) g ( h( ) ) = = s h( ) = (4-) (4-) (4-) Tübge, de 3..3

48 4 K. Bräuer Mathematscher Vorberetugskurs für das Physkstudum Abbldug 4-7: De Fukto f()=s(/) oszllert be = uedlch oft Elemetare Fuktoe Polyome k k k= Polyom 'te Grades: P = a + a + a a = a, a R (4-3) Fudametalsatz der Jedes Polyom 'te Grades hat komplee Nullstelle Algebra: ( λ ) also: Es estere λ C, k =..., so dass P = st = ( λ ) ( λ ) ( λ ) = ( λ ) daher: P a... a Mehrfache Nullstelle: m k k k k = λ = λ mt m Komplee Nullstelle: we λ = a + b Nullstelle, da auch λ = λ = a b Bespele: b P a b a a 3 ( P ( a + b) = P( a b) = ) k m m = + = + ( Gerade) b b 4ac b + b 4ac P a b c a a a = + + = + + ( Parabel) 3 = ( Kurve 3. Ordug) P a b c d (4-4) (4-5)

49 4. Reelle Fuktoe eer reelle Veräderlche 43 Abbldug 4-8: De Graphe der Gerade P, Parabel P ud Kurve 3. Ordug P 3 Ratoale Fuktoe Ratoale Fukto: P ( ) R ( ) =, ( P, Qm sd Polyome vom Grade ud m) Q ( ) m (4-6) echt gebroche: m > P pk uecht gebroche: m, da: R ( ) = = r ( ) + Q m q Polyom l m k'fache Nullstelle echt gebroche Pol k-ter Ordug: Q = ud P lm R = Asymtotk: für m > lm R ( ) = edlch für m = ± für m < Bespel: Hyperbel: a + b R ( ) = c + d Pol. Ordug: -d = c Asymtotk: a lm R ( ) = c (4-7) (4-8) Tübge, de 3..3

50 44 K. Bräuer Mathematscher Vorberetugskurs für das Physkstudum Abbldug 4-9: Der Graph der Hyperbelfukto Irratoale Fuktoe Se etstehe zum Bespel be der Umkehrug vo Polyome Bespel Fukto y =, > Irratoale Umkehrfukto: = y (4-9) Abbldug 4-: De Graphe efacher rratoaler Fuktoe ach (4-9) Traszedete Fuktoe Epoetalfukto ud Logarthmus Se lasse sch cht durch de Awedug edlch veler elemetarer Recheoperatoe defere, soder ur durch uedlche Rehe.

51 4. Reelle Fuktoe eer reelle Veräderlche 45 Epoetalfukto: ep ( ) =! = = e = ( ) ( y) = ( + y) ( ) ( ) = = ep ep Potezgesetze: ep ep ep Iverse: ep ep ep Schrebwese betet sch a: ep( ) = ep Umkehrfukto der Epoetalfukto ep ( ) ( ) e y + y e e = e, e =, e = e, e = e Recheregel für Poteze! y = ( ) > Epoetalfukto: ep ( y) Umkehrfukto Logarthmus : = ep y l y ep ( y) =! ep y>! ( y) = ( ) + ( y) mt l l l Umrechug adere Grudzahl als e: l = l l y l ( ) ( y) a α e a : a = e = e, mt α = l a a a l a Logarthmus zur Bass : log = log = log l Zeherlogarthmus : log log a e e (4-) (4-) (4-) Abbldug 4-: De Graphe vo Epoetalfukto ud Logarthmusfukto Tübge, de 3..3

52 46 K. Bräuer Mathematscher Vorberetugskurs für das Physkstudum Trgoometrsche Fuktoe Eulersche Formel: ud cos s ( ) + ( ) ( ) ( ) : : s = +...! 3! 5! ( ) = ( + ) 4 cos = +...!! 4! ( ) = ( ) 3 4 cos ( ) + s ( ) = + + = e! 3! 4! cos s ( ) ( ) ( ) = e ( ) ( ) = ( e + e ) ( ) = ( e e ) (4-3) Abbldug 4-: De Graphe der s- ud cos Fukto Perode: für Z : Symmetre: ( + π ) = ( ) ( + π ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = + ( ) s s cos cos E Pukt auf dem Ehetskres hat de Koordate = cosφ y = sφ s - s atsymmetrsch cos - cos symmetrsch (4-4) (4-5)

53 4. Reelle Fuktoe eer reelle Veräderlche 47 Abbldug 4-3: Sus ud Cosus als Koordate ees auf dem Ehetskres umlaufede Vektors Wetere trgoometrsche Fuktoe Tages: Kotages: ta cot ( ) ( ) s cos ( ) ( ) ( ) ( ) ta ( ) cos = s Sus Hyperbolcus: 3 5 sh ( ) ( e e ) = ! 5! Kosus Hyperbolcus: 4 cosh ( ) ( e + e ) = ! 4! (4-6) Abbldug 4-4: De Graphe der Epoetal- ud Hyperbelfuktoe Trgoometrsche Umkehrfuktoe arcs arccos arcta arccot ( ) s ( ) [,] ( ) cos ( ) [,] ( ) ta ( ) ( ) cot ( ) R R (4-7) Tübge, de 3..3

54 48 K. Bräuer Mathematscher Vorberetugskurs für das Physkstudum Abbldug 4-5: De Graphe der Umkehrfuktoe des Sus ud des Kosus Übugsaufgabe. Suche Se de Nullstelle der folgede Polyome ud skzzere Se de zugehörge Graphe: a) f = + b f ) = c f ) = + d f ) = + 3 e) f = (4-8). (4-9) Skzzere Se für de Fuktoe aus Aufgabe de Graphe vo f ( ) Schrebe Se de Fukto als Summe ees Polyoms ud eer echt gebrochee ratoale Fukto (4-3) 4. Skzzere Se de Graphe vo = ( ) a) f, = ( ) b) f, (4-3) 5. Skzzere Se de Graphe der Physk ud Statstk wchtge Gaußfukto f = e λ für λ = ud λ = 4 (4-3)

55 4. Reelle Fuktoe eer reelle Veräderlche Skzzere Se de Graphe vo = = a) f ta b) f cot Dskutere Se de Perodztät, Symmetre ud Stetgket deser Fuktoe (4-33) 7. Bewese Se mt der Eulersche Formel de Addtostheoreme ( + ) = + ( + ) = a) s y s cos y cos s y b) cos y cos cos y s s y c) Was erhält ma bede Fälle für y = - (4-34) 8. Bewese Se de Formel a a a) log = log e l a b) log e = l a (4-35) Drücke Se de Fuktoe arcsh=sh ud arccosh=cosh durch de Logarthmus- ud Wurzelfuktoe aus. Bestmme Se dazu de Fuktoe ( ( )) ( ) f ud g mt sh l f = ud cosh l g =. (4-36) Tübge, de 3..3

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57 5. Dfferetalrechug Begrff der Abletug Verwedete Begrffe Graph: Edmesoale, gekrümmte Le Sekate: Gerade durch zwe Pukte ees Graphe Tagete: Gerade, de ee Graphe eem Pukt berührt Sekate eer Fukto, Dfferezequotet Fukto: f : f ( ) Pukte auf dem Graphe: P, f, P, f Sekate durch P ud P :, g mt es glt: g g = ( ) = ( + ( + )) ( s ) R { } ( + ) ( ) f f g ( ) = f ( ) + f ( + ) f ( ) = f + ( ) = f ( ) s s = s ( + ) ( ) ( ) = f ( + ) f f + = f + + = (5-) (5-) ( + ) ( + ) Zuwachs vo f zu f : y f f y Stegug der Sekate: Tagete eer Fukto, Dfferetalquotet f ( + ) f ( ) {( t ) R} g ( ) lm g ( ) ( Dfferezequotet ) we lm estert: Tagete :, g mt t dy y Stegug der Tagete: lm Dfferetalquotet d s (5-3) (5-4)

58 5 K. Bräuer Mathematscher Vorberetugskurs für das Physkstudum. Abletug der Fukto f Abbldug 5-: Schaubld eer Fukto mt Sekate ud Tagete ( + ) f f estert lm, f f da bezechet ma f ( ) lm als erste Abletug der Fukto f. Verschedee Schrebwese für de erste Abletug: lm ( + ) f + f dy df d d d f ( ) f f f d f d d d d d De Brüche mee dabe cht wrklch Quotete, soder sd ree Symbole oder Kurzschrebwese für de Grezwert! De erste Abletug m Pukt st glech dem Tages des Wkels zwsche der Tagete ud der Abszsse f ( ) = taα (5-5) (5-6) (5-7) Abbldug 5-: Schaubld eer Fukto mt Tagete

59 5. Dfferetalrechug 53 Gegebespele für de Estez eer Abletug Abbldug 5-3 zegt zwe Fuktoe, dee der Dfferezequotet kee edeutge Grezwert hat. Abbldug 5-3: Schaubld vo Fuktoe, für de de. Abletug cht defert st Höhere Abletuge. Abletug: ( ) ( ). Abletug: f f ( Abletug der ( - ). Abletug) ( ) df ( ) d f ( d ) f f ( ) d = ( f ) ( ) d d ( Abletug der. Abletug ) (5-8) Geschwdgket als Abletug eer Bahkurve Gemessee Geschwdgket: [ t, t + t] t t + t erhalb des Zetveralls, zurückgelegter Weg [ t t + τ ] für de Weg beötgte Zetspae Iterpolato des Weges durch Bahkurve:, v t + t t t t : t ( t) Fukto ( + ) Defto der Geschwdgket zum Zetpukt t : t t t v( t) lm t t ( t) ɺ ( t) Schrebwese für Zetabletuge De Abletuge ach der Zet bezechet ma üblcherwese mt eem Pukt über der Fukto. Es wrd klar, dass de Geschwdgket eem Pukt ree Defto st, also e mathematsches Hlfsmttel der Physk. Wrklch beobachtbar oder messbar sd ur mttlere Geschwdgkete. De Geschwdgket eem Pukt oder de Posto st przpell mt eer Uschärfe behaftet. Das wrd der Quatemechak wchtg ud erklärt zum Bespel de Egeschafte vo Atome. (5-9) Tübge, de 3..3

60 54 K. Bräuer Mathematscher Vorberetugskurs für das Physkstudum Bespele für Abletuge : f = f + f + lm = lm ud aalog Terme mt, + + O ( ) = lm = lm ( + O( ) ) = = s : ( + ) s ( + ) s f f f lm = lm sehe. Kaptel Folgerug aus Movresche Formel cos( ) s ( ) + s ( ) cos ( ) s = lm s ( ) = cos ( ) lm Abschätzug: mt s α α taα, ( α < π / ) sehe Ehetskres st α s α cos α ud α = lm lm lm α α sα α cosα also lm = s ( ) ( ) ( ) also s = cos ( ) s ( ) cos = (5-) (5-) (5-) Abbldug 5-4: Wkel m Ehetskres zur Abschätzug: sα<α<taα