Mathematik p sitiv! Österreichischer Lehrplan. Helga Wagner Günther Wagner. 7. Klasse AHS

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1 oreterte Refeprüfug durchgeführt. Dese eue Form der Matura, auf de berets ab der 5. Klasse hgearbetet wrd, erfordert spezelle Grudkompeteze ud veretztes mathematsches Deke, de mt desem Buch perfekt erworbe ud traert werde köe. Mt Mathematk postv! 7 lerst du mt de eue Prüfugsformate we Multple-Choce-Verfahre, Aussage rchtgstelle, Iterpretere, Argumetere umzugehe. Du kast dch auf sämtlche Schularbete der 7. Klasse vorberete, dch für jede Prüfug ft mache, vele Bespele übe ud selbst kotrollere! Der Stoff des gaze Schuljahres wrd ausführlch erklärt ud ahad vo vele überschtlche Musterbespele verstädlch gemacht. De Abschluss jedes Kaptels bldet e Mdmap, das ee Überscht über de Ihalt gbt. Es hlft, de vorkommede Begrffe mt dem dazugehörede mathematsche Wsse zu verbde ud de Zusammehäge herzustelle. Helga Wager Güther Wager Mathematk p stv! Z 7. S Klasse AH Zetralmatura 4 Ab 4 wrd Österrech de stadardserte, kompetez- Mathematk p stv! 7 Alle Übugsbespele sd m Lösugsbad Mathematk postv! 7 Das ermöglcht Lösugswege zu kotrollere, aber auch Fehler zu fde. Mt Mathematk postv! 7 kast du mathematsches Wsse erwerbe, erweter sowe vertefe ud Mathematk besser verstehe! 7. Klasse AHS (ISBN ) durchgerechet ud mt Aletuge versehe. 6, Österrechscher Lehrpla usgabe a u Ne für de ura at etralm 4

2 ISBN Prted Europe

3 Lebe Schüler, leber Schüler! Mathematk postv! 7 deckt de gesamte Lehrstoff der 7. Klasse ab ud beretet dch auf de stadardserte ud kompetezoreterte Refeprüfug (Zetralmatura) vor. Zu Beg jedes Kaptels werde de Grudkompeteze ud de erweterte Kompeteze agegebe. Dese beschrebe de grudlegede ud uverzchtbare Berech des Lehrplas. De Theore dazu wrd verstädlch vorgeführt, wchtge Sätze, Deftoe ud Formel werde hervorgehobe. Durch ee Fülle vo Bespele werde de Kompeteze ud dere Aweduge aufgezegt ud dadurch achvollzehbar. De zusätzlche Übugsaufgabe sd eem Lösugsbad vollstädg durchgerechet ud gebe dr de Möglchket, selbststädg zu übe. We du dch für de Schularbet oder für ee Prüfug vorberetest, empfehle wr dr, zuächst de Theoretel zu lere ud da mt dem Übe zu bege. I eem egee Abschtt gbt es Frage zu desem Kaptel. Zur Kotrolle sd m Lösugsbad jee Sete agegebe, auf dee du de Atworte fdest. I eem eue Prüfugsformat (z. B. Multple-Choce-Verfahre, Aussage rchtgstelle, Argumetere, Begrüde) werde auch vele Bespele agegebe, welche de Grudkompeteze ud erweterte Kompeteze mt Blckrchtug auf de zetrale Refeprüfug Mathematk ab dem Hauptterm 4 festge. Kotrollere jedes deer Bespele mt dem Lösugsheft, rchtg gerechete Bespele gebe dr Scherhet für de Prüfugsstuato. Am Ede jedes Kaptel gbt es e Mdmap, das de wchtge Begrffe ud Zusammehäge vsualsert. Jede vorkommede Ausdruck solltest du mt de zugehörge Ihalte des Kaptels verbde köe. So kast du ochmals überprüfe, ob du de Lehrstoff beherrschst. Vel Erfolg ud dadurch Freude a der Mathematk wüsche dr de Autore.

4 INHALTSANGABE A Komplexe Zahle Abletug der Expoetalfuktoe 74 Defto 6 Arbete mt elektrosche Überblck über de Zahlemege 7 Hlfsmttel 75 Darstelle vo komplexe Zahle 9 Höhere Abletuge ud hre Bedeutug 8 GAUSS sche Zahleebee 9 Höhere Abletuge 8 Polardarstellug komplexer Zahle 9 Zusammehag zwsche der 4 Reche mt komplexe Zahle Fukto ud de bede erste Reche mt komplexe Zahle Abletuge 8 der Normalform 4 Kurvedskussoe 89 Reche mt komplexe Zahle Dskusso vo Polyomfuktoe 89 Polardarstellug bzw. der Dskusso vo ratoale Fuktoe 99 trgoometrsche Darstellug 4 Dskusso vo Wkelfuktoe Dskusso vo Expoetal- ud B Algebrasche Glechuge 4 Logarthmusfuktoe 7 Quadratsche Glechuge 4 5 Wetere Aweduge der Dfferetal- Löse vo quadratsche rechug Glechuge 4 Das Newto sche Darstelle vo quadratsche Näherugsverfahre 7 Polyome als Produkt vo Extremwertaufgabe 9 Learfaktore 5 Aufgabe aus Naturwsseschafte Lösbarket vo quadratsche ud Wrtschaft 6 Glechuge 5 Berechug vo Grezwerte mt Algebrasche Glechuge Hlfe der Regel vo l Hosptal 5 höhere Grades 6 Approxmato vo Fuktoe mt Grudlegede Begrffe 6 Hlfe vo Taylorrehe 6 Löse vo algebrasche Glechuge höhere Grades D Kres ud Kugel 45 4 Das Löse vo besodere Der Kres 45 Glechuge höhere Grades 7 Kres ud Gerade 5 Bquadratsche Glechuge 7 Gegesetge Lage ud Schtt vo Symmetrsche (rezproke) Kres ud Gerade 5 Glechuge 8 Krestagete 54 Bomsche Glechuge 9 Schtt ud gegesetge Lage vo Krese 58 C Dfferetalrechug 46 4 Schttwkelberechuge 6 Dfferezequotet Schttwkel zwsche Kres ud Dfferetalquotet 46 Gerade 6 Tagete eem Pukt ees Schttwkel zwsche Krese 6 Fuktosgraphe 46 5 De Kugel 65 Dfferezerbarket 49 Mttlere Geschwdgket E Kegelschtte Mometageschwdgket 5 De Ellpse 74 Mttlere Äderugsrate Defto ud Glechug der Ellpse 74 Mometae Äderugsrate 5 De Hyperbel 78 De Begrffe Dfferezequotet ud Defto ud Glechug der Hyperbel 78 Dfferetalquotet verschedee De Parabel 8 Kotexte 54 Defto ud Glechug der Parabel 8 Abletugsfukto 57 4 Kegelschtte 85 Regel für de Bldug der Begrffsklärug 85 Abletugsfukto 57 Schetelglechug der Kegelschtte 85 Implztes Dfferezere 65 5 Lagebezehug Gerade Kegelschtte 86 Abletug der Wkelfuktoe 69 Abletug der Logarthmusfukto 7

5 6 Kegelschtte ud Tagete 89 Tagete eem Pukt ees Kegelschtts 89 Tagete vo eem Pukt a ee Kegelschtt 9 7 Kegelschtte Vermschte Aufgabe 9 F Kurve ud Fläche 99 Parameterdarstellug ees Kreses 99 Parameterdarstellug vo Kegelschtte Parameterdarstellug vo wetere ebee Kurve 4 Parameterdarstelluge vo Kurve ud Fläche m Raum 6 G Wahrschelchket ud Statstk Date mt Hlfe der beschrebede Statstk darstelle Wahrschelchketsverteluge Zufallsvarable Wahrschelchketsfukto Vertelugsfukto 4 Kezahle vo Verteluge 7 Erwartugswert eer Zufallsvarable 7 Varaz eer Zufallsvarable 8 4 De Bomalvertelug Beroull-Expermet Bomalvertelug Erwartugswert ud Varaz eer bomalvertelte Zufallsvarable 6 5 De hypergeometrsche Vertelug 7

6 A. Komplexe Zahle A. KOMPLEXE ZAHLEN Komplexe Zahle spele der Mathematk ee große Rolle. Ma erwetert mt he de Zahleberech der reelle Zahle, um auch Wurzel aus egatve Zahle agebe zu köe. Komplexe Zahle werde aber auch der Physk verwedet, um bespelswese Berechuge der Wechselstrom-Techk durchführe zu köe. G R U N D K O M P E T E N Z E N Erweterte K O M P E T E N Z E N Du wrst desem Kaptel komplexe Zahle der Form ab keelere Recheregel für das Reche mt komplexe Zahle keelere de Zusammehag mt adere Darstellugsforme herlete ud awede komplexe Lösuge vo algebrasche Glechuge ermttel ee Überblck über de Zahlemege gewe Defto De quadratsche Glechug x hat der Mege kee Lösug. x x kee Lösug Um deoch für solche Glechuge Lösuge agebe zu köe, wrd de Mege der reelle bezechet. x x x x x x De Lösug der Glechug lautet daher: Bespel: Löse de Glechug x 4 x 4 x 4 x 4 x x x x 4! Imagäre Zahle De Zahl ud alle Velfache vo we, Zahle geat. Amerkug: Für de Poteze vo glt: Mathematk postv! 7. Klasse Neuausgabe für de Zetralmatura ab 4 G & G Verlagsgesellschaft mbh

7 A. Komplexe Zahle Bespel: Löse de Glechug x x9! x x9 Lösugsformel: p; q 9 x x 5 x 5x De Lösug deser Glechug setzt sch aus eer reelle Zahl ud eer magäre Zahl zusamme. 5 reelle Zahl magäre Zahl Solche Zahle werde als komplexe Zahle bezechet. Allgeme schrebt ma für komplexe Zahle zab mt a, b, wobe ma a als Realtel a Rezud b als Imagärtel b Imz der komplexe Zahl z bezechet. Komplexe Zahle Zahle der Form zab mt a, b werde als komplexe Zahle bezechet. Glt b, so sprcht ma vo echt-komplexe Zahle. Alle Zahle der Form zab mt a, b blde de Mege der komplexe Zahle. Amerkug: Ist b, da st za a, wobe a jede belebge reelle Zahl se ka. De Mege ethält daher auch alle reelle Zahle. Es glt. Ist a, da erhält ma: zb b, also ee magäre Zahl. De Mege ethält auch alle magäre Zahle. Bespel: Löse de quadratsche Glechug x 6x5 p6;q 5 x x 6x5 über der Grudmege. x 4; x 4; L 4; 4 De bede Lösugselemete uterschede sch ur durch das Vorzeche bem Imagärtel. Solche Zahle werde als kojugert-komplexe Zahle bezechet. Kojugert-komplexe Zahle Zwe komplexe Zahle z ud z heße zueader kojugert, we se sch ur m Vorzeche des Imagärtels uterschede. zab, zab a, b Überblck über de Zahlemege Berets der Uterstufe hast du ege Zahleberechserweteruge keegelert. Ausgagspukt sd de atürlche Zahle, de zum Zähle, Nummerere ud Orde verwedet werde. ; ; ; ; 4;... Mege der atürlche Zahle De Mege der atürlche Zahle st gegeüber der Addto ud der Multplkato abgeschlosse, d. h. de Addto ud de Multplkato sd uegeschräkt möglch. a, b : ab ab Ausgehed vo der Mege wurde de erste Zahleberechserweterug zu de gaze Zahle gemacht. I der Mege st de Subtrakto cht mmer möglch. Um dese stets ausführe zu köe, wrd de Mege um de Mege der egatve gaze Zahle erwetert. Dadurch erhält ma de Mege, de Mege der gaze Zahle.... ; ; ; ; ; ; ;... Mege der gaze Zahle G & G Verlagsgesellschaft mbh Neuausgabe für de Zetralmatura ab 4 Mathematk postv! 7. Klasse 7 p x q p

8 A. Komplexe Zahle De Mege der gaze Zahle st gegeüber der Addto, der Multplkato ud auch gegeüber der Subtrakto abgeschlosse. a, b : ab ab ab Um auch uegeschräkt dvdere zu köe (Ausahme: Dvso durch Null) wurde de Mege zur Mege der ratoale Zahle erwetert. a a b b \ Mege der ratoale Zahle I der Mege sd alle Zahle, de sch als Bruch a darstelle lasse, ethalte. b a, b : ab ab ab a:b mt b De Mege st gegeüber der Addto, Subtrakto, Multplkato ud Dvso (Ausahme: Dvso durch Null) abgeschlosse. De ächste Zahleberechserweterug wurde otwedg, um aus cht egatve Zahle Wurzelzehe zu köe. I der Mege der reelle Zahle st das möglch. a, b : ab ab ab a:b mt b a mt a De Mege st gegeüber der Addto, Subtrakto, Multplkato, Dvso (Ausahme: Dvso durch Null) dem Wurzelzehe a mt a abgeschlosse. Durch de letzte Zahleberechserweterug erhält ma de Mege der komplexe Zahle, der u auch de Wurzel eer egatve Zahl agegebe werde ka. De Mege st also gegeüber der Addto, Subtrakto, Multplkato, Dvso ud dem Wurzelzehe abgeschlosse. a, b : ab ab ab a:b mt b a mt a Überscht Zahlemege Recheoperato Recheoperatoe, de ohe Eschräkug möglch sd Eschräkuge Addto, Multplkato z. B. 5 cht ausführbar Addto, Subtrakto, Multplkato z. B. : cht ausführbar Addto, Subtrakto, Multplkato, Dvso () Addto, Subtrakto, Multplkato, Dvso (), Wurzelzehe aus cht egatve Zahle z. B. 5 cht ausführbar z. B. cht ausführbar Addto, Subtrakto, Multplkato, Dvso (), Wurzelzehe kee Rechegesetze für Addto ud Multplkato Überscht Zahlemege Zahlemege Kommutatvgesetz (KG) Assozatvgesetz (AG) Dstrbutvgesetz (DG) Addto Multplkato abb a ab ba abcab c ab c acb c a bc ab c Es glt: 8 Mathematk postv! 7. Klasse Neuausgabe für de Zetralmatura ab 4 G & G Verlagsgesellschaft mbh

9 A. Komplexe Zahle Darstelle vo komplexe Zahle e Zahleebee Da jede komplexe Zahl zab sch aus eem Realtel a ud eem Imagärtel b zusammesetzt, ka hr edeutg das Zahlepaar a;bzugeordet werde. zab z a;b De graphsche Darstellug deses Zahlepaares st ur eer Ebee möglch, der ma e rechtwklges Koordatesystem defert. Dabe wrd auf der. Achse (reelle Achse) der Realtel ud auf der. Achse (magäre Achse) der Imagärtel aufgetrage. Achse Ehete reelle Achse: magäre Achse: Bespel: Stelle de Zahle z 4, z, z, z4 5, z5, z6 5 der Amerkug: I der Mege gbt es kee Ordugsrelato. Ma ka vo zwe verschedee komplexe Zahle m Allgemee cht feststelle, welche de größere ud welche de kleere st. Polardarstellug komplexer Zahle Jeder komplexe Zahl z a b st der Pukt Jeder Pukt Zwsche a, b, r ud glt folgeder Zusammehag: r P a b Pa/b ee zugeordet. Pa/b edeutg durch de Abstad r P ud de Wkel bestmmt. De Läge r P heßt Betrag der komplexe Zahl z, also z r. Der Wkel mt heßt Argumet der komplexe Zahl, also arg z. z a b b ta a mt bzw. 6 zab zr; cos a r a r cos s b b r s zab zrcosrs r z r cos s G & G Verlagsgesellschaft mbh Neuausgabe für de Zetralmatura ab 4 Mathematk postv! 7. Klasse 9

10 A. Komplexe Zahle Schrebwese komplexer Zahle () zab Normalform a, b, Re z Im z () z a;b Zahlepaar () z r; Zahlepaar Polardarstellug a Realtel b Imagärtel (4) z r cos s trgoometrsche Darstellug Bespel: Gb vo der komplexe Zahl z alle adere Schrebwese a ud stelle se graphsch dar! (a) z 5 4 (b) z ; (c) z 4; (d) z4 cos s (a) Normalform: z 5 4 Zahlepaar: z 5;4 Polardarstellug: r a b r b ta a 4 ta,8 5 8, ,659.. Beachte: ta ta 8 Der Wkel muss e sptzer Wkel se, da auf Grud der gegebee Normalform de komplexe Zahl m erste Quadrate legt. z 4;8,66 trgoometrsche Darstellug: z 4cos 8,66 s 8,66 (b) Zahlepaar: z ; Normalform: z Polardarstellug: r a b r b ta a ta,5 56,9.. 6,9.. Beachte: ta ta 8 Der Wkel muss e erhabeer Wkel se, da auf Grud des gegebee Zahlepaares de komplexe Zahl m drtte Quadrate legt. z ; 6, trgoometrsche Darstellug: z cos 6, s 6, (c) Polardarstellug: z 4; trgoometrsche Darstellug: z 4cos s Normalform: z 4 cos s ausreche z,68..,758.. z,7,76 z,7;,76 Zahlepaar: Mathematk postv! 7. Klasse Neuausgabe für de Zetralmatura ab 4 G & G Verlagsgesellschaft mbh

11 A. Komplexe Zahle (d) trgoometrsche Darstellug: z cos s Normalform: z cos s ausreche 4 z4,5,598.. z4,5,6 z4,5;,6 z ; Zahlepaar: Polardarstellug: Bespel: Ermttle de komplexe Zahl za b für de (a) z z, Rez (b) z z, Imz glt! (a) z z, Rez za b z b Esetze b b b b 4 b b Bestmme de Betrag b b 6b 9 4 z a b Quadrere (bede Wurzelradkade sd >. Es legt also ee Äquvalezumformug vor.) b b 6b 9 Berechug vo b 6b 9 b,5 z,5 (b) z z, Im z za b za Esetze a a a a Bestmmug des Betrags, Quadrere a 9 a 4a 4 9 Berechug vo b 4a 4 a z Bespel: Stelle graphsch dar! (a) z (b) z? (a) Mt z werde alle komplexe Zahle beschrebe, dere Betrag glech st. Das sd also jee Zahle, für de r glt. (b) Mt z werde alle komplexe Zahle beschrebe, dere Betrag kleer oder glech st. Das sd also jee Zahle, für de r glt. G & G Verlagsgesellschaft mbh Neuausgabe für de Zetralmatura ab 4 Mathematk postv! 7. Klasse

12 A. Komplexe Zahle 4 Reche mt komplexe Zahle I der Mege gelte deselbe Rechegesetze we der Mege. Reche mt komplexe Zahle der Normalform Addto ud Subtrakto Bespel: Bereche de Summe ud de Dfferez der bede komplexe Zahle z 4 ud z 5 z z 4 5 z z graphsche Darstellug: Vergleche Addto bzw. Subtrakto vo Vektore Addto ud Subtrakto vo komplexe Zahle Komplexe Zahle werde addert (subtrahert), dem ma de Realtele bzw. de Imagärtele addert (subtrahert). z ab z cd z z ac bd z z ac bd Multplkato Bespel: Bereche das Produkt der Zahle z 4 ud z 7 zz 47 Multplzere der Bome Multplkato vo komplexe Zahle Komplexe Zahle werde multplzert, dem ma se we Bome multplzert. z ab z cd zz abcd ac bc ad bd ac bd bc ad Bespel: Bereche das Produkt der bede kojugert-komplexe Zahle z4 5 ud z4 5! Awede der Formel: xyxy x y 4 5 z z Das Ergebs st ee reelle Zahl. Mathematk postv! 7. Klasse Neuausgabe für de Zetralmatura ab 4 G & G Verlagsgesellschaft mbh

13 A. Komplexe Zahle Allgeme glt für das Produkt kojugert-komplexer Zahle zab ud zab : zz ab ab a b a b a b Produkt vo kojugert-komplexe Zahle Das Produkt zweer kojugert-komplexer Zahle st stets ee reelle Zahl. zab z ab zza b Dvso z Bespel: Bereche de Quotete z der Zahle z 4 ud z 7 z 4 z ,6,4 Ratoalmache des Neers durch Erweter mt der kojugert-komplexe Zahl 7 Dvso vo komplexe Zahle Komplexe Zahle werde dvdert, dem ma de Dvso als Bruch aschrebt, de Neer ratoal macht ud verefacht. Potezere Bespel: Bereche z ud z für z 4! Quadrat ees Boms: xy x xy y 44 z Formel: xy x x yxy y 44 4 z , Potezere vo komplexe Zahle Komplexe Zahle der Normalform werde potezert, dem ma se we Bome potezert ud verefacht. Beachte:, usw. G & G Verlagsgesellschaft mbh Neuausgabe für de Zetralmatura ab 4 Mathematk postv! 7. Klasse

14 A. Komplexe Zahle Reche mt komplexe Zahle Polardarstellug bzw. der trgoometrsche Darstellug Addto ud Subtrakto Bespel: Bereche de Summe ud de Dfferez der komplexe Zahle z,5;45 z ;! z,5 cos 45 s 45,5 cos 45,5 s 45 z cos s cos s Multplkato zz,5 cos 45,5 s 45cos s,5 cos 45cos,5 s 45s Durch Ausreche erhält ma de Summe Normalform: zz,6..,67..,6,7 zz,5 cos 45,5 s 45 cos s,5 cos 45cos,5 s 45s Normalform: zz,9..,67..,9,7 Für das Produkt der bede komplexe Zahle z r ; ud z r ; z rcos s z rcos s z z r cos s r cos s glt: r r cos cos s cos cos s s s ud rr cos cos s s s cos cos s Umkehrug des. Summesatzes (Mathematk postv! 5. Klasse, Sete 96) s s cos cos s cos cos cos s s rr cos s also: z z r ; r ; r r ; Multplkato vo komplexe Zahle Polardarstellug Komplexe Zahle werde multplzert, dem ma de Beträge multplzert ud de Argumete addert. z r ;, z r ; z z r ; r ; r r ; Bespel: Bereche das Produkt der komplexe Zahle z,5;45 ud zz,5;45,5; 75 trgoometrsche Darstellug: z z,5 cos 75 s 75 z ;! 4 Mathematk postv! 7. Klasse Neuausgabe für de Zetralmatura ab 4 G & G Verlagsgesellschaft mbh

15 A. Komplexe Zahle Dvso Für de Quotete der bede komplexe Zahle z r ; ud z r ; z rcos s z r cos s z:z glt: z rcos s Ratoalmache des Neers r cos s cos s r cos s cos s z r cos s r cos cos s cos cos s s s r cos s r cos cos s cos cos s s s r r r cos cos s s s cos cos s Umkehrug des. Summesatzes (Mathematk postv! 5. Klasse, Sete 96) s s cos cos s cos cos cos s s r r cos s also: z:z z r; r ; r; r z Dvso vo komplexe Zahle Polardarstellug Komplexe Zahle werde dvdert, dem ma de Beträge dvdert ud de Argumete subtrahert. z r ;, z r ; z r; r z:z ; r; r z z Bespel: Bereche de Quotete,5 z : z ; 45,5; 5 trgoometrsche Darstellug: z : z,5 cos 5 s 5 Potezere z der komplexe Zahle z,5;45 ud z ;! Das Potezere lässt sch auf ee Multplkato glecher Faktore zurückführe. Es gelte de Regel für das Multplzere. Für de Poteze der komplexe Zahle z glt: z r; z r cos s z r coss z r coss 4 4 z r cos4s4 z z z r; r; r r; r ; z z z r ; r; r ; 4 4 z z z r ; r; r ;4 usw. allgeme glt: z r ; z r coss Aus deser Abletug ergbt sch ee Formel für das Potezere eer komplexe Zahl, de ach dem frazössche Mathematker Abraham de MOIVRE ( ) beat wurde. G & G Verlagsgesellschaft mbh Neuausgabe für de Zetralmatura ab 4 Mathematk postv! 7. Klasse 5

16 A. Komplexe Zahle Bespel: Satz vo MOIVRE z r cos s z r cos s * Bereche 6 z, z ud z für z ; 4! z r cos s Awede des Satzes vo MOIVRE z cos 4 s 4 z 9 cos 8 s 8 z r cos s z 7 cos 4 s 4 Jeder Wkel 6 wrd durch de etsprechede Wkel des Itervalls ; 6 ( Deftosberech) des Argumets ersetzt: (reduzerte Darstellug). z 7 cos 6 s 6 6 z 6 r cos 6 s 6 6 z 79 cos 84 s z 79 cos s Radzere (Wurzelzehe) z r;, so Das Wurzelzehe st de Umkehrug des Potezeres. Zeht ma de drtte Wurzel vo z jee komplexe Zahl fde, für de muss ma als Wurzelwert z glt. Beachte: De Wurzel aus eer komplexe Zahl wrd mt dem grechsche Buchstabe Zeta bezechet. We ma bespelswese 7; 6 bereche möchte, muss ma jee Wurzelwert fde, für de 7; 6 st. Zu beachte st aber, dass mt z 7; 6 k 6 gerechet werde z 7;6 ee reduzerte Darstellug se ka. (Vergleche das vorge Bespel) muss, da 7; 6k 6 Polardarstellug R; R; 7; 6k 6 Ausreche der Potez R ; 7; 6 k 6 R 7 R 6k 6 mt R,6 6k6 66 Für k erhält ma für : 66 Für k erhält ma für : 4 66 Für k erhält ma für : 6 66 Für k erhält ma für : 8 Werte für k sd cht svoll, da da cht mehr m Itervall ; 6 legt. Für 7; 6 erhält ma also Lösuge: ; ; 4 ; 6 Amerkug: Der Wert für k wrd als Hauptwert, de Werte für k bzw. k werde als Nebewerte bezechet. Allgeme glt für de -te Wurzel der komplexe Zahl z z mt R; R; r; k 6 Ausreche der Potez R ; r; k 6 z r; : ud R,6 6 Mathematk postv! 7. Klasse Neuausgabe für de Zetralmatura ab 4 G & G Verlagsgesellschaft mbh

17 A. Komplexe Zahle R r R r k6 k6 Mt k ( k st cht svoll, da da cht mehr m Itervall ; 6 lege würde). k6 r; k Alle Werte für z erhält ma, dem ma für k de Werte vo bs esetzt: r; Hauptwert r; 6 r; r; Nebewerte De -te Wurzel z eer komplexe Zahl z r; k6 k r; allgemee Lösug z hat Lösuge: Für k erhält ma de Hauptwert r; De Nebewerte erhält ma, dem ma für k,,..., esetzt. Amerkug: k Ist der Wkel m Bogemaß gegebe, so glt für de allgemee Lösug k r; Bespel: Bereche (a) 5 z mt z ; k6 k r; Formel 5 k6 k 5 ; allgemee Lösug k : ;4 Hauptwert k : ;96 k : ;68 k : ; 4 k 4 : ; 4 Nebewerte (b) z mt z Verwadel der Normalform de Polarform: z : a,b r a b r,6.. ta,69.. b a,69 6, 46, z,6.. ; 6, z legt m 4. Quadrate, da a ud b glt. k6 k r; Formel 6,k6 k,6.. ; allgemee Lösug G & G Verlagsgesellschaft mbh Neuausgabe für de Zetralmatura ab 4 Mathematk postv! 7. Klasse 7

18 oreterte Refeprüfug durchgeführt. Dese eue Form der Matura, auf de berets ab der 5. Klasse hgearbetet wrd, erfordert spezelle Grudkompeteze ud veretztes mathematsches Deke, de mt desem Buch perfekt erworbe ud traert werde köe. Mt Mathematk postv! 7 lerst du mt de eue Prüfugsformate we Multple-Choce-Verfahre, Aussage rchtgstelle, Iterpretere, Argumetere umzugehe. Du kast dch auf sämtlche Schularbete der 7. Klasse vorberete, dch für jede Prüfug ft mache, vele Bespele übe ud selbst kotrollere! Der Stoff des gaze Schuljahres wrd ausführlch erklärt ud ahad vo vele überschtlche Musterbespele verstädlch gemacht. De Abschluss jedes Kaptels bldet e Mdmap, das ee Überscht über de Ihalt gbt. Es hlft, de vorkommede Begrffe mt dem dazugehörede mathematsche Wsse zu verbde ud de Zusammehäge herzustelle. Helga Wager Güther Wager Mathematk p stv! Z 7. S Klasse AH Zetralmatura 4 Ab 4 wrd Österrech de stadardserte, kompetez- Mathematk p stv! 7 Alle Übugsbespele sd m Lösugsbad Mathematk postv! 7 Das ermöglcht Lösugswege zu kotrollere, aber auch Fehler zu fde. Mt Mathematk postv! 7 kast du mathematsches Wsse erwerbe, erweter sowe vertefe ud Mathematk besser verstehe! 7. Klasse AHS (ISBN ) durchgerechet ud mt Aletuge versehe. 6, Österrechscher Lehrpla usgabe a u Ne für de ura at etralm 4