11 Stetige Funktionen

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1 $Id: stetg.tex,v /02/03 11:42:42 hk Exp $ 11 Stetge Fuktoe 11.3 Egeschafte reeller stetger Fuktoe I desem Abschtt beschäftge wr us mt auf R deferte, reellwertge stetge Fuktoe. Für derartge Fuktoe werde wr zwe grudlegede Sätze herlete, zum ee de Satz über de Beschräkthet solcher Fuktoe ud zum adere de sogeate Zwschewertsatz. Letzterer st dabe ur ee etwas exaktere Verso der aschaulche Beobachtug das stetge Fuktoe kee Sprüge habe. Bsher habe wr ur beschräkte Mege ud Folge defert, aber och kee beschräkte Fuktoe, was wr u achhole müsse. Defto 11.5: See K {R, C} ud D ee Mege. Ee Fukto f : D K heßt beschräkt we hre Bldmege f(d) {f(x) x D} K beschräkt st, we es also e C 0 mt f(x) C für alle x D gbt. Ist K R, so ee wr f etspreched ach obe beschräkt we de Mege f(d) ach obe beschräkt st ud ach ute beschräkt we de Mege f(d) ach ute beschräkt st. Ee reellwertge Fukto st atürlch geau da beschräkt we se ach obe ud ach ute beschräkt st. Geau we wr es für Mege 3.2 egesehe habe, st ee komplexwertge Fukto f : D C geau da beschräkt we de bede reellwertge Fuktoe Re f ud Im f bede beschräkt sd. Wr komme u zum ageküdgte Satz über de Beschräkthet stetger Fuktoe. Für de Gültgket deses Satzes st cht ur de Stetgket der Fukto wchtg, soder auch de Form des Deftosberechs der Fukto. Es gbt ja offebar ubeschräkte stetge Fuktoe we etwa f(x) x defert auf gaz R. Satz (Exstez vo Maxmum ud Mmum) See a, b R mt a b ud se f : [a, b] R ee stetge Fukto. Da st f beschräkt ud mmt hr Supremum ud Ifmum a, d.h. es gbt x 1, x 2 [a, b] mt f(x 1 ) f(x) f(x 2 ) für alle x [a, b]. Bewes: Setze s : sup f([a, b]) R {+ }. Weter wähle ee gege s kovergete Folge (s ) N R mt s < s für alle N, also bespelswese s s 1/( + 1) für jedes N m Fall s R ud s für jedes N m Fall s. Für jedes N exstert da wege s < s e x [a, b] mt f(x ) > s. Nach dem Satz vo Hee-Borel 4.Satz 13 exstert ee kovergete Telfolge (x k ) k N vo (x ) N. Wr setze x : lm k x k ud wege a x k b für alle k N st auch a x b, d.h. 23-1

2 x [a, b]. Mt 4.Lemma 5.(a) folgt s lm s lm k s k lm k f(x k ) f ( ) lm x k k f(x) s, d.h. es st f(x) s. Isbesodere st s < +, d.h. de Fukto f st ach obe beschräkt. De Aussage über das Mmum folgt aalog. Damt komme wr zum Zwschewertsatz. Das wesetlche Bewesprzp habe wr scho emal gesehe, ämlch bem Bewes der Exstez reeller Wurzel 1.Lemma 8. De Detals werde sch atürlch uterschede, be der Behadlug der Wurzel kote wr spezfsche Abschätzuge über Poteze verwede, be eer allgemee stetge Fukto muss ma dagege etwas abstrakter vorgehe. Tatsächlch lefert us der Zwschewertsatz auch ee zwete Bewes der Exstez vo Wurzel. Satz (Zwschewertsatz) See a, b R mt a b ud se f : [a, b] R ee stetge Fukto. Weter se y R zwsche f(a) ud f(b), also f(a) y f(b) oder f(b) y f(a). Da exstert e x [a, b] mt f(x) y. Bewes: Wr behadel de Fall f(a) y f(b), der adere Fall st da aalog. Ist y f(a) oder y f(b), so sd wr berets fertg, d.h. wr köe sogar f(a) < y < f(b) aehme. Wr betrachte de Mege M : {x [a, b] f(x) y} [a, b]. Wege b M st M cht leer ud durch a ach ute beschräkt, also exstert x : f M ud es st a x b, d.h. x [a, b]. Für jedes N mt 1 st x + 1/ > x f M, also exstert e x M [a, b] mt x x < x + 1/. Nach dem Eschürugslemma für Folge 4.Lemma 5.(b) st damt lm x x, ud wege f(x ) y für alle N st auch ( ) f(x) f lm x lm f(x ) y. Wege f(a) < y st x > a. Isbesodere exstert e 0 N mt x 1/ 0 > a, ud für jedes 0 habe wr damt auch a < x 1 0 x 1 < x f M, also auch x 1/ / M aber x 1/ [a, b], also f(x 1/) < y. Es folgt ( ( f(x) f lm x 1 )) ( lm f x 1 ) y. 23-2

3 Isgesamt st somt f(x) y. Als e Bespel wolle wr emal de Lösbarket vo Glechuge f(x) y mt stetger lker Sete herlete. Gegebe se ee stetge Fukto f : R R mt lm x f(x) ud lm x f(x) + ud wr wolle zege, dass f(x) y mmer lösbar st, de Abbldug f also surjektv st. Se ämlch e y R gegebe. Wege lm x f(x) gbt es da e a R mt f(a) < y ud wege lm x f(x) + gbt es weter e b R mt b > a ud f(b) > y. Der Zwschewertsatz lefert da e x [a, b] mt f(x) y. Ee Verallgemeerug deses Argumets werde wr m folgede Satz festhalte. De Hauptaussage wrd dabe se, dass für auf Itervalle deferte stetge Fuktoe de Begrffe jektv ud streg mooto äquvalet sd. Da wr bsher Mootoeegeschafte ur be Folge defert habe, müsse wr dese aber erst emal auf reelle Fuktoe übertrage. Defto 11.6: See I R e Itervall ud f : I R ee Fukto. Da heßt f 1. mooto steged we f(x) f(y) für alle x, y I mt x y glt, 2. streg mooto steged we f(x) < f(y) für alle x, y I mt x < y glt, 3. mooto falled we f(x) f(y) für alle x, y I mt x y glt, 4. streg mooto falled we f(x) > f(y) für alle x, y I mt x < y glt, 5. mooto we f mooto steged oder mooto falled st, 6. streg mooto we f streg mooto steged oder streg mooto falled st. Beachte das ee streg mootoe Fukto f : I R mmer jektv st, sd x, y m Deftosberech der Fukto mt x y, so köe wr ach evetuelle Vertausche vo x ud y auch x < y aehme, ud habe da f(x) < f(y) oder f(y) < f(x), also auf jede Fall f(x) f(y). Weter st de Umkehrfukto f 1 : f(i) I weder streg mooto vo derselbe Sorte we f. Se f streg mooto steged. Sd da x, y f(i) mt x < y, so folgte aus f 1 (y) f 1 (x) auch der Wderspruch y f(f 1 (y)) f(f 1 (x)) x, es muss also f 1 (x) < f 1 (y) se ud f 1 st weder streg mooto steged. Aalog folgt das f 1 streg mooto falled st we f streg mooto falled st. We scho bemerkt wolle wr esehe, dass ee jektve stetge Fukto streg mooto steged oder streg mooto falled st. Der Bewes wurde der Vorlesug y cht vorgeführt, ma ka sch aber schell a eem Bld klarmache warum de Fukto mooto se muss. We f rgedwa see Rchtug ädert, also etwa zuächst stegt ud da a weder fällt, so habe wr de ebestehed abgebldete Stuato. Wede wr da de Zwschewertsatz de lks ud rechts vom Umkehrpukt 23-3

4 legede Itervalle a, so erhalte wr das e geegetes y R lks ud rechts vo a vo der Fukto als Wert ageomme wrd. Des wedersprcht da der Ijektvtät der Fukto f, da ee jektve Fukto jede Wert a höchstes eer Stelle ammt. Des ersetzt atürlch kee exakte Bewes, der Vollstädgket halber werde wr auch ee solche agebe. Satz (Mootoe stetger Fuktoe) See I R e Itervall ud f : I R ee stetge Fukto. (a) Das Bld J : f(i) R st weder e Itervall. (b) Geau da st f jektv we f streg mooto st. (c) Ist f streg mooto, so st auch de Umkehrfukto f 1 : J I stetg. Bewes: (a) Setze a : f J R { } ud b : sup J R {+ }. Da st a b. Ist sogar a b, so habe wr J {a} ud sd berets fertg, wr köe also a < b aehme. Se y R mt f J a < x < b sup J. Da exstere u, v I mt f(u) < x < f(v), ud ach dem Zwschewertsatz Satz 14 exstert e x zwsche u ud v, also auch x I, mt y f(x) J. Des zegt (a, b) J, ud damt st J ees der höchstes ver möglche Itervalle mt Greze a ud b. (b) Es st ur de Implkato vo lks ach rechts zu zege, wr ehme also a, dass de Fukto f jektv st. Wr tele de Bewes dre Schrtte auf. (1) See a, b I mt a < b ud f(a) < f(b). Da st für alle x (a, b) auch f(x) (f(a), f(b)). Aderfalls wäre ämlch f(x) f(a) oder f(x) f(b). Ist f(x) f(a), so hätte wr f(x) f(a) < f(b) also legt f(a) zwsche f(x) ud f(b), d.h. ach Satz 14 exstert e x [x, b] mt f(x ) f(a). Wege a < x x st x a, m Wderspruch zur Ijektvtät vo f. Der zwete Fall f(x) f(b) führt aalog zu eem Wderspruch. Damt st Schrtt (1) egesehe. Aalog ergbt sch das für a, b I mt a < b ud f(a) > f(b) auch f(x) (f(b), f(a)) für alle x (a, b) st. (2) Sd a, b I mt a < b ud f(a) < f(b), so st f [a, b] streg mooto steged. See ämlch x, y [a, b] mt x < y gegebe. Nach Schrtt (1) st da f(x) < f(b) ud wege y (x, b) ergbt ee wetere Awedug vo Schrtt (1) auch f(x) < f(y). Damt st auch Schrtt (2) egesehe. Aalog folgt das für a, b I mt a < b ud f(a) > f(b) de Fukto f [a, b] streg mooto falled st. (3) Jetzt zege wr, dass f streg mooto st. Glt für alle x, y I mt x < y stets f(y) f(x), so st sogar f(y) < f(x) für alle x, y I mt x < y da f jektv st, d.h. de Fukto f st streg mooto falled. Aderfalls exstere a, b I mt a < b ud f(a) < f(b). See x, y I mt x < y. Setze u : m{a, x} I ud v : max{y, b} I. Da st u a < b v ud u x < y v, also u < v ud a, b, x, y [u, v]. Wäre f(v) < f(u), so wäre f [a, b] ach Schrtt (2) streg mooto falled, m Wderspruch zu f(a) < f(b). Da f jektv st, ka auch cht f(u) f(v) se, d.h. es st f(u) < f(v). Ereut ach Schrtt (2) st f [u, v] streg 23-4

5 mooto steged, ud damt habe wr f(x) < f(y). Des zegt, das f streg mooto steged st. (c) Ageomme de Umkehrabbldug f 1 : J R wäre cht stetg. Da exstert e Pukt y J dem f 1 cht stetg st, ud des bedeutet das f 1 (y) cht der Grezwert vo f 1 a der Stelle y st. Nach Lemma 1.(b) exstere e ɛ > 0 ud ee gege y kovergete Folge (y ) N J mt f 1 (y ) f 1 (y) ɛ für alle N. Da J e Itervall st, exstere u, v J mt u v ud e δ > 0 mt J (y δ, y + δ) [u, v]. Wege u, v J f(i) köe wr {u, v} {f(a), f(b)} mt a, b I, a < b schrebe. Wege (y ) N y exstert e 0 N mt y y < δ für alle N mt 0, ud für dese st damt auch y J (y δ, y + δ) [u, v], d.h. u y v. Da auch f 1 weder mooto st, glt damt auch a f 1 (y ) b für alle 0, ud sbesodere st de Folge (f 1 (y )) N beschräkt. Nach dem Satz vo Hee Borel 4.Satz 13 exstert ee kovergete Telfolge (f 1 (y k )) k N vo (f 1 (y )) N, ud es bezeche x R hre Grezwert. Wege a f 1 (y k ) b für alle k N st auch a x b, also x [a, b] I. De Stetgket vo f mplzert u f(x) lm k f(f 1 (y k )) lm k y k y, d.h. es st x f 1 (y), ud somt habe wr f 1 (y k ) x f 1 (y k ) f 1 (y) ɛ für alle k N, m Wderspruch zu (f 1 (y k )) k N x. Deser Wderspruch bewest de Stetgket vo f 1. Als ee erste Awedug köe wr de Stetgket der Wurzelfuktoe achwese. Se N mt 1. Da st de Fukto f : R 0 R 0 ; x x stetg, streg mooto steged ud ach 1.Lemma 8 auch surjektv, ud hre Umkehrfukto st de Wurzelfukto : R 0 R 0. Der ebe bewesee Satz sagt da, dass auch dese Wurzelfukto stetg st. Damt wsse wr da zum Bespel, das für ee kovergete Folge (x k ) k N a R 0 auch ( x k ) k N a st. Weter folgt de Stetgket der Potezfuktoe zu ratoale Expoete, d.h. st α Q, so st de Fukto R >0 R >0 ; x x α stetg. Schrebe wr ämlch α p/q mt p Z, q N, q 1, so st x α ( q x) p für alle x > 0 ud des st als ee Htereaderausführug stetger Fuktoe weder stetg. Damt st da 4.Lemma 4.(f) auf allgemee kovergete Folge ausgedeht, sd (a ) N ee Folge postver reeller Zahle de gege ee reelle Zahl a > 0 kovergert ud α Q mt α > 0, so kovergert auch (a α ) N gege a α. I eem letzte Schrtt ka ma da mt 4.Satz 6.(d) auch de Voraussetzug α > 0 falle lasse. 23-5

6 11.4 Potezrehe Bsher habe wr a Bespele stetger Fuktoe ur Polyome, ratoale Fuktoe, Wurzel ud aus solche Tele zusammegesetzte Fuktoe. I desem Abschtt wolle wr jetzt ee umfagreche Klasse stetger Fuktoe kostruere de sogeate Potezrehe. Ee Potezrehe über K {R, C} st ee Rehe der Form f(z) a (z z 0 ) mt Koeffzete a K für N. Etwas geauer sprcht ma vo eer Potezrehe mt dem Etwcklugspukt z 0 K. Solage dese Rehe kovergert ka ma se als ee Fukto z K auffasse, de machmal ebefalls als Potezrehe bezechet wrd. Bespelswese st de geometrsche Rehe f(z) ee für z < 1 deferte Fukto. Wr wsse auch scho, dass efach f(z) z z 1 1 z für z < 1 glt. De Rehe kovergert her auf eem Kres desse Mttelpukt der Etwcklugspukt z 0 0 der Potezrehe st. Es stellt sch heraus, dass des das ormale Kovergezverhalte vo Potezrehe st. Auch de Radus deses Kreses ka ma explzt hschrebe. Defto 11.7 (Der Kovergezradus eer Potezrehe) Der Kovergezradus eer Potezrehe f(z) a (z z 0 ) über K {R, C} st de Zahl r : sup {q R 0 De Folge ( a q ) N st beschräkt} R 0 { }. Es wrd sch herausstelle, dass sch Potezrehe eem gewsse Se we Polyome vom Grad verhalte. Dese Aaloge ka ma tatsächlch sehr wet trebe, aber des werde wr desem Semester och cht tu. Wr werde jetzt ur ege Grudegeschafte vo Potezrehe herlete. Auf de Bewese all der folgede Aussage über Potezrehe musste der Vorlesug leder verzchtet werde, aber her werde wr de Bewese mt aufführe. Lemma (Kovergezverhalte vo Potezrehe) Se K {R, C} ud se f(z) a (z z 0 ) ee Potezrehe über K mt Etwcklugspukt z 0 K ud Kovergezradus r. Da gelte: 23-6

7 (a) Für jedes z K mt z z 0 > r st de Potezrehe f(z) dverget. (b) Se s R mt 0 < s < r. Da exstere Kostate q, C R mt s < q r ud C > 0 mt de folgede Egeschafte: 1. Für jedes N st a C q. 2. Für jedes z K mt z z 0 s st de Rehe f(z) absolut koverget ud (s/q) st ee kovergete Majorate vo f(z). 3. Für jedes z K mt z z 0 s glt f(z) Cq q s. Bewes: (a) Ageomme de Rehe a (z z 0 ) st koverget. Nach 5.Lemma 3 st (a (z z 0 ) ) N ee Nullfolge, ud damt st auch ( a z z 0 ) N ee Nullfolge, also ach 4.Lemma 2.(a) sbesodere beschräkt. Es folgt z z 0 r. (b) Wege s < r exstert e q R mt q > s so, dass de Folge ( a q ) N beschräkt st, d.h. es gbt e C R mt C > 0 ud a q C für alle N. Isbesodere habe wr Egeschaft (1). Für jedes z K mt z z 0 s folgt weter a (z z 0 ) a z z 0 a q z z 0 q C ( ) s, q für alle N ud wege s/q < 1 st (s/q) ee kovergete Majorate vo f(z). Nach dem Majoratekrterum 5.Satz 15 st damt f(z) absolut koverget, ud wr habe (2). Schleßlch glt ach 5.Lemma 10 auch f(z) a (z z 0 ) ud auch (3) st bewese. a (z z 0 ) C ( ) s Cq q q s, Ierhalb des Kreses mt Mttelpukt z 0 ud Radus r st f(z) also absolut koverget ud außerhalb deses Kreses st f(z) dverget, ma bezechet de Kres B r (z 0 ) mt Radus r ud Mttelpukt z 0 daher auch als de Kovergezkres der Potezrehe. Für r + wrd der Kres dabe als gaz K terpretert. Im reelle Fall K R hat ma atürlch egetlch ur e Itervall, aber der Ehetlchket halber sprcht ma weter vo eem Kovergezkres. Was auf dem Rad des Kreses, also m Fall z z 0 r, passert, hägt gaz vo (absolute) Kovergez x 0 r Dvergez 23-7

8 der spezelle Potezrehe ab. Beachte weter das der Kovergezradus ur vo de Beträge der Koeffzete a abhägt, d.h. de reelle Potezrehe F (x) : a x hat deselbe Kovergezradus r, ud st ach Lemma 16 für x < r koverget. Nach 5.Lemma 10 st für jedes z K mt z z 0 < r auch f(z) a (z z 0 ) a z z 0 F ( z z 0 ). Es gbt auch ee explzte Formel für de Kovergezradus, de wr u herlete wolle. Satz (Hadamardsche Formel für de Kovergezradus) Se K {R, C} ud se f(z) a (z z 0 ) ee Potezrehe über K mt Etwcklugspukt z 0 ud Kovergezradus r. Da glt r 1 lm sup a, wobe 1/0 als + zu terpretere st. Gbt es e 0 N mt a 0 für alle 0 ud st de Folge ( a / a +1 ) N R koverget, so st auch r lm a a +1. Bewes: Wr schrebe s : lm sup a R 0 {+ }. Se q R >0 so, dass de Folge ( a q ) N beschräkt st, d.h. es gbt e C > 0 mt a q C für alle N. Für jedes N mt 1 st damt auch a q C, ud es folgt qs q lm sup a lm sup ( a q) lm sup C lm C 1. Isbesodere st s + ud q 1/s. Im Fall s + st de Folge ( a q ) N also ur für q 0 beschräkt, ud somt st r 0 1/s. Wr köe jetzt also s < + aehme, ud habe da q 1/s für jedes q R 0 für das ( a q ) N beschräkt st, wobe für s 0 der Quotet 1/s + terpretert wrd. Des zegt r 1/s. Se jetzt q R mt 0 q < 1/s, also sq < 1. Da st lm sup a q q lm sup a sq < 1, ud ach dem Wurzelkrterum 5.Korollar 16 st f(z 0 + q) absolut koverget. Mt Lemma 16.(a) folgt q r. Da des für jedes q [0, 1/s) glt, folgt auch 1/s r, d.h. sgesamt st r 1/s auch m Fall s <

9 Damt st de erste Aussage bewese, ud wr komme zur zwete Behauptug. Nehme u also a 0 für alle 0 sowe de Exstez des Grezwertes t : lm a / a +1 R 0 {+ } a. Nach de Recheregel für Folgegrezwerte zusamme mt de Ergäzuge für Grezwerte R folgt auch de Exstez vo lm a +1 / a 1/t R we wr weder 1/t + für t 0 setze. Mt 5.Lemma 17.(c) folgt auch lm sup a lm a +1 a lm a 1 t, ud somt st 1 r lm sup a t. Damt st auch de Quoteteformel für de Kovergezradus bewese. Mt deset Former köe wr jetzt bespelswese de Kovergezradus jeder Potezrehe der Form f(z) 0 a (z z 0 ) bereche der de Koeffzete de Form a b r r + + b 0 c s s + + c 0 für 0 habe. Dabe soll b r, c s 0 se ud der Neer werde für 0 cht Null. Nach Aufgabe (24) glt ämlch für jede Folge (a ) 0 deser Form stets lm a 1 ud damt hat de Potezrehe f(z) 0 a z de Kovergezradus 1. Wr wolle och ee wetere klee Kosequez der Formel für de Kovergezradus festhalte. Ageomme wr habe ee Potezrehe a (z z 0 ) mt Kovergezradus r. Da st auch für jede Idex 0 N ud jedes z K\{z 0 } a 0 +(z z 0 ) 1 (z z 0 ) 0 a 0 +(z z 0 ) 0+ ( 1 a (z z 0 ) (z z 0 ) a (z z 0 ) ) d.h. geau da st a 0 +(z z 0 ) koverget we a (z z 0 ) kovergert. Mt Lemma 16 folgt das auch de Potezrehe a 0 +(z z 0 ) de Kovergezradus r hat, ud damt folgt auch lm sup a0 + lm sup 23-9 a.,

10 Des ka ma sch atürlch auch drekt überlege, aber so st es efacher. Wr wolle zege, dass ee durch ee Potezrehe deferte Fukto m Iere hres Kovergezkreses stetg st. De Stetgket m Etwcklugspukt selber st dabe lecht ezusehe. Um heraus de Stetgket alle adere Pukte des Kovergezkreses herzulete, zege wr das wr überhaupt jede Pukt des Kovergezkreses als Etwcklugspukt verwede köe. Lemma (Wechsel des Etwcklugspuktes) Se K {R, C} ud se f(z) a (z z 0 ) ee Potezrehe über K mt Etwcklugspukt z 0 ud Kovergezradus r > 0. Weter se z 1 K mt z 1 z 0 < r. Für jedes N st de Rehe ( ) + k b : a +k (z 1 z 0 ) k k0 absolut koverget ud de Potezrehe g(z) b (z z 1 ) hat ee Kovergezradus r r z 1 z 0 > 0. Für jedes z K mt z z 1 < r z 1 z 0 st f(z) g(z). Bewes: Se N. Für jedes k N st da ( ) + k ( + k)! (k + 1)... (k + ), k!!! d.h. deser Bomalkoeffzet st e Polyom vo Grad k, ud ach Aufgabe (24) glt ( ) k + k lm 1. k Mt 4.Lemma 12.(c) folgt jetzt auch ( k + k lm sup k ) a +k (z 1 z 0 ) k z 1 z 0 lm sup k ud ach dem Wurzelkrterum 5.Korollar 16 st ( ) + k b : a +k (z 1 z 0 ) k k0 k a+k z 1 z 0 r absolut koverget. Setze s : r z 1 z 0 > 0 ud se z K mt z z 1 < s. Da st auch z z 0 z z 1 + z 1 z 0 < s + z 1 z 0 r ud ach Lemma 16 st de Rehe f(z) a (z z 0 ) absolut koverget. Wr zege, dass auch g(z) koverget mt demselbe Grezwert st. Se also ɛ > 0 gegebe. Wege z z 1 + z 1 z 0 < r st de Rehe a ( z z 1 + z 1 z 0 ) koverget, ud ach dem Cauchy-Krterum für Rehe 5.Satz 9 exstert < 1,

11 e 0 N so, dass für alle, m N mt m 0 stets m k a k ( z z 1 + z 1 z 0 ) k < ɛ/3 glt. Weter exstert e 1 N mt f(z) k0 a k(z z 0 ) k < ɛ/3 für alle N mt 1. Setze k 0 : max{ 0, 1 }. Se k N mt k k 0. Für jedes 0 k st da ( ) + j ( ) j b (z z 1 ) a +j (z 1 z 0 ) j (z z 1 ) a j (z 1 z 0 ) j (z z 1 ), j0 ud somt exstert e m N mt m ud m ( j b (z z 1 ) j j ) a j (z 1 z 0 ) j (z z 1 ) < ɛ 3(k + 1) für alle m N mt m m. Setze schleßlch : max{m 0,..., m k, k + 1} N. Da st b (z z 1 ) ( ) a (z 1 z 0 ) (z z 1 ) 0 0 k b ( ) (z z 1 ) a (z 1 z 0 ) (z z 1 ) ɛ < 3(k + 1) ɛ 3. 0 Weter habe wr ach der bomsche Formel 1.Lemma 7 ( ) a (z 1 z 0 ) (z z 1 ) 0 k 0 ( ) a (z 1 z 0 ) (z z 1 ) + a (z 1 z 0 + z z 1 ) + k+1 0 a (z z 0 ) + k+1 0 ( k ( ) a (z 1 z 0 ) (z z 1 ) ) a (z 1 z 0 ) (z z 1 ) ( ) a (z 1 z 0 ) (z z 1 ) ud ebefalls ach der bomsche Formel 1.Lemma 7 sowe der Aahme k k 0 0 st dabe k+1 0 k+1 ( ) a (z 1 z 0 ) (z z 1 ) a 0 ( ) z 1 z 0 z z k+1 0 k+1 ( ) a z 1 z 0 z z 1 a ( z 1 z 0 + z z 1 ) < ɛ 3.

12 Des zegt 0 k ( ) a (z 1 z 0 ) (z z 1 ) a (z z 0 ) k+1 0 ( ) a (z 1 z 0 ) (z z 1 ) < ɛ 3. Wege k k 0 1 st aderersets auch f(z) k a (z z 0 ) < ɛ/3, ud wr habe sgesamt de Abschätzug f(z) b (z z 1 ) f(z) a (z z 0 ) 0 Damt habe wr + a (z z 0 ) + 0 k < ɛ 3 + ɛ 3 + ɛ 3 ɛ. b (z z 1 ) lm k 0 k ( ) ( ) a (z 1 z 0 ) (z z 1 ) b (z z 1 ) f(z) a (z 1 z 0 ) (z z 1 ) b (z z 1 ) 0 egesehe, d.h. de Potezrehe g(z) b (z z 1 ) kovergert z mt g(z) f(z). Nach Lemma 16 st sbesodere r z z 1. Da des für jedes z K mt z z 1 < r z 1 z 0 glt, st damt auch r r z 1 z 0. We scho bemerkt, st es jetzt efach de Stetgket vo Potezrehe erhalb hres Kovergezkreses zu bewese. Satz (Stetgket vo Potezrehe) Se K {R, C} ud se f(z) a (z z 0 ) ee Potezrehe über K mt Etwcklugspukt z 0 ud Kovergezradus r > 0. Da st de Fukto f : B r (z 0 ) K stetg. Bewes: Nach Lemma 8.(d) ud Lemma 18 recht es de Stetgket vo f z 0 zu zege. Wähle e s R mt 0 < s < r. Nach Satz 17 hat auch de Potezrehe 23-12

13 g(z) : a +1(z z 0 ) de Kovergezradus r, also gbt es ach Lemma 16 ee Kostate C > 0 mt a +1 (z z 0 ) C für alle z K mt z z 0 s. Für jedes z K mt z z 0 s folgt damt auch f(z) f(z 0 ) f(z) a 0 a (z z 0 ) a +1 (z z 0 ) z z 0 C z z 0. 1 Jetzt ergbt Lemma 7.(c) de Stetgket vo f z 0. Mttels des Begrffs eer Potezrehe köe wr jetzt de meste der sogeate Grudfuktoe behadel. Als Grudfuktoe bezechet ma dabe de folgede Fuktoe: 1. Polyome ud ratoale Fuktoe. 2. De Potezfuktoe, sbesodere de Expoetalfukto ud de Wurzelfuktoe. 3. Der Logarthmus. 4. De trgoometrsche Fuktoe, also Sus, Cosus, Tages ud Cotages. 5. De Umkehrfuktoe der trgoometrsche Fuktoe, de sogeate Arcusfuktoe. 6. De Hyperbelfuktoe. 7. De Umkehrfuktoe der Hyperbelfuktoe, de sogeate Areafuktoe. De drekt, also cht als Umkehrfuktoe, deferte Grudfuktoe lasse sch alle mttels geegeter Potezrehe eführe. Wr bege mt der komplexe Expoetalfukto, ud herzu verwede wr de Potezrehe mt de Koeffzete a 1/!. Zur Berechug des Kovergezradus wolle wr über Satz 17 vorgehe ud habe lm d.h. de Potezrehe 1/! 1/( + 1)! lm ( + 1)!! exp(z) : lm ( + 1) +, hat de Kovergezradus r +. Das folgede Lemma stellt ege Egeschafte der herdurch deferte Fukto exp : C C zusamme. Satz (Grudegeschafte der Expoetalfukto) De Expoetalfukto exp : C C hat de folgede Egeschafte: z!

14 (a) De Fukto exp : C C st stetg. (b) Es sd exp(0) 1 ud exp(1) e. (c) Für alle z, w C glt de Fuktoalglechug exp(z + w) exp(z) exp(w). (d) Für jedes z C st exp(z) 0 ud 1/ exp(z) exp( z). (e) Für jedes z C st exp(z) exp(z). (f) Für jedes x R st exp(x) R mt exp(x) > 0. (g) Für jedes z C glt exp(z) exp(re(z)). Bewes: (a) Klar ach Lemma 19. (b) De erste Aussage st klar ud de zwete st Aufgabe (30). (c) See z, w C. Nach Lemma 16.(b) sd de Rehe für exp(z) ud exp(w) absolut koverget, also st ach 5.Satz 19 ud der bomsche Formel 1.Satz 7 ( ) ( z ) ( w ) z k w k exp(z) exp(w)!! k!( k)! k0 ( ( ) 1 )z k w k (z + w)! k! (d) Nach (c) ud (d) glt für z C k0 exp(z) exp( z) exp(z z) exp(0) 1, exp(z + w). also exp(z) 0 ud 1/ exp(z) exp( z). (e) Da wr berets wsse das Real- ud Imagärtel stetge Fuktoe sd, st auch de komplexe Kojugato stetg, ud damt folgt für jedes z C exp(z) z! z! exp(z). (f) Se x R. Da de Rehe exp(x) x /! reell st, st zumdest exp(x) R ud ach (d) st auch exp(x) 0. Ebeso st exp(x/2) R ud mt (c) folgt exp(x) exp(x/2) 2 0, d.h. es st exp(x) > 0. (g) Se z C. Nach (e) ud (c) st exp(z) 2 exp(z) exp(z) exp(z) exp(z) exp(z+z) exp(2 Re(z)) exp(re(z)) 2, ud mt (f) ergbt sch schleßlch exp(z) exp(re(z))

15 Aus der Fuktoalglechug erhält ma durch Idukto auch exp(z) exp(z) für alle z C, N mt 1. Wege exp(0) 1 glt des auch für 0. Zur Ausdehug deser Egeschaft auf belebge gazzahlge Expoete ehme wr e N mt 1 ud reche 1 exp( z) exp(z) 1 exp(z) exp(z), also st exp(z) exp(z) sogar für alle Z. Für reelles z ka ma das och etwas wetertrebe. Sd x R ud N mt 1, so wsse wr exp(x/) > 0 ud ( x ( exp exp ) x ) ( x exp(x) exp ) exp(x). Ist also schleßlch α Q, so schrebe wr α p/q mt p, q Z, q 1 ud habe ( exp(αx) exp p x ) ( ) p x exp ( q exp(x)) p exp(x) α. q q Isbesodere st für jedes α Q auch exp(α) exp(1) α e α, ud damt st es aheleged für überhaupt jedes z C de Schrebwese e z : exp(z) ezuführe da es sch für ratoale Expoete z Q wrklch um ee Potez hadelt. Wr reche jetzt och etwas weter mt der Expoetalfukto herum. Für jedes z C habe wr e z ( z) ( 1) z!!, ud mt 5.Lemma 5 folgt Aalog ergbt sch auch e z + e z (1 + ( 1) ) z! 2 z 2 (2)!. e z e z 2 z 2+1 (2 + 1)!. Dese Formel führe us auf de Defto der sogeate Hyperbelfuktoe. Defto 11.8 (Hyperbelfuktoe) Für jedes z C defere wr de Hyperbelfuktoe durch sh z : ez e z z 2+1 (Sus Hyperbolcus), 2 (2 + 1)! cosh z : ez + e z z 2 (Cosus Hyperbolcus), 2 (2)! tah z : sh z cosh z coth z : cosh z sh z (Tages Hyperbolcus), (Cotages Hyperbolcus), 23-15

16 wobe de letztere bede ur defert werde we der jewelge Neer vo Null verschede st. Wege e x R für x R habe auch de ver Hyperbelfuktoe für reelle Argumete stets reelle Werte. De reelle Graphe deser Fuktoe sowe der Expoetalfukto sehe we folgt aus y 2 y 2 y 2 y 2 y x 1 x 1 x 1 x 1 x e x sh x cosh x tah x coth x Für jedes z C gelte sh z + cosh z e z ud sh z cosh z e z. De Hyperbelfuktoe erfülle fast deselbe Formel we de trgoometrsche Fuktoe. I der Vorlesug wurde des ur erwäht aber cht weter vorgeführt. A deser Stelle wolle wr de Rechuge aber ruhg emal vorführe. Das Aalogo zum Pythagoras s 2 + cos 2 1 st cosh 2 z sh 2 z (cosh z + sh z) (cosh z sh z) e z e z e 0 1 für jedes z C, ud de Addtostheoreme bereche sch als sh(z + w) 1 2 (ez+w e (z+w) ) ud aalog folgt 1 4 (ez e w + e z e w e z e w e z e w + e z e w e z e w + e z e w e z e w ) 1 4 ((ez e z ) (e w + e w ) + (e z + e z ) (e w e w )) sh(z) cosh(w) + cosh(z) sh(w) cosh(z + w) cosh(z) cosh(w) + sh(z) sh(w). Bs auf Vorzeche sd das geau de vertraute Formel für de trgoometrsche Fuktoe. De trgoometrsche Fuktoe ka ma für für z C jetzt durch 23-16

17 Rückgrff auf de Hyperbelfuktoe defere: s z : sh(z) ez e z 2 cos z : cosh(z) ez + e z ta z : tah(z) s z cos z, cot z : coth(z) cos z s z, 2 ( 1) z 2+1 (2 + 1)!, ( 1) x2 (2)!, letztere weder solage des defert st. Für reelle Argumete sd des tatsächlch de ver vertraute trgoometrsche Fuktoe, was wr aber erst m ächste Kaptel begrüde werde. Be eem etwas systematschere Aufbau der Theore wäre de obge Formel tatsächlch de Deftoe der trgoometrsche Fuktoe, ud ma köte jetzt bege hre Theore zu etwckel. Bespelswese ergebe sch de grudlegede Addtostheoreme durch s 2 z + cos 2 z cosh 2 z sh 2 z 1, s(z + w) sh(z + w) sh(z) cosh(z) + cosh(z) ( sh(w)) s(z) cos(w) + cos(z) s(w), cos(z + w) cosh(z + w) cosh(z) cosh(w) + sh(z) sh(w) cosh(z) cosh(w) ( sh(z))( sh(w)) cos(z) cos(w) s(z) s(w) für z, w C. Etwas rafferter st da der Nachwes der Perodztätsegeschafte der trgoometrsche Fuktoe, für dese muss ma sch erst emal ee geegete Defto der Kreszahl π verschaffe. Herzu betrachte wr für x R de Rehe cos x ( 1) (2)! x2. Dese Rehe st alterered, also ergbt 5.Satz 7 Für 0 x 7/5 st damt 1 x2 2 cos x 1 x2 2 + x4 24. ud aderersets cos cos x 1 x > < 0,

18 also gbt es ach dem Zwschewertsatz Satz 14 e x (7/5, 8/5) mt cos x 0. Damt köe wr π/2 als de kleste postve Nullstelle des Cosus defere, also π 2 : f{x R 0 cos x 0}. Des st tatsächlch ee Nullstelle des Cosus, demm für jedes N mt 1 exstert e x R 0 mt π/2 x < π/2 + 1/ ud cos x 0, also sbesodere (x ) N π/2 ud de Stetgket des Cosus lefert Damt habe wr cos π 2 lm cos x 0. cos π 2 0 ud 7 5 < π 2 < 8 14, also 5 5 < π < 16 5, bezehugswese 2, 8 < π < 3, 2. Das st geau geug um mt Aufgabe (19) ezusehe das π > e st, m ächste Kaptel werde des eem wetere Bespel och etwas verbesser. Verwede wr jetzt de aus dem Addtostheorem folgede ud für alle z C gültge Verdopplugsformel ud cos(2z) cos(z + z) cos 2 z s 2 z cos 2 z (1 cos 2 z) 2 cos 2 z 1 so erhalte wr ( s π s 2 π ) 2 s(2z) s(z + z) 2 s z cos z, 2 s π 2 cos π 2 0 ud ebeso cos π 2 cos2 π Ee ereute Awedug der Addtostheoreme lefert us da für alle z C de Perodztätsegeschafte s(z + π) s z cos π + cos z s π s z, cos(z + π) cos z cos π s z s π cos z, s(z + 2π) s((z + π) + π) ( s z) s z ud ebeso cos(z + 2π) cos z