Übungen zum Vorkurs Mathematik

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1 Matheatsches Isttut der Uverstät zu Köl Dr. L. Galat WSe 016/017 Motag, Blatt 6-10 Übuge zu Vorkurs Matheatk Aufgabe 0. (1 Es gbt Möglchkete. 1 ( Uter Aahe vo Glechvertelug ergbt sch ee Chace vo , Prozet. Aufgabe 1. (1 8! ( ( Aufgabe. De Wahrschelchket das A gewt st de Sue der Wahrschelchket für W, SSW ud SSSSW ud sot geau ! ! De Wahrschelchket ädert sch überhaupt cht, we a och ee gerade Azahl a schwarze Kugel hzufügt. E öglcher Bewes fuktoert ach de gleche Przp we erste Tel: Se de Azahl der Kugel. Da st de Wahrschelchket für A erste Zug zu gewe 1. De Wahrschelchket t see zwete Zug zu gewe st ( 1 ( 1 usw. ( 1 ( Aufgabe 3. (1 Es glt ( ( 1 0. Für ugerades folgt dese Aussage drekt aus der Syetre ( ( der Tatsache, dass ( 1 ud ( 1 uterschedlche Vorzeche habe. Für belebges ka a des per drekte Bewes zege: ( ( 1 De Glechug ( ( 1 ( ( 1 ( 1 0 ( 1 ( 1 1 ( 1 ( 1 ( 1 ( 1 ud 1 wrd der Vorlesug dskutert. Btte wede!

2 ( Der Iduktosschrtt lautet we folgt: ( 1 ( ( ( ( 1 ( 1 1 (3 Idukto führt her cht zu Zel, a ka aber de allgeeere Vaderode Glechug per Idukto bewese (oder aber auch aders, we wr orge sehe werde. Her e drekter Bewes: Aus der Vorlesug st bekat, dass ( de Zehe vo Eleete aus eer -eleetge Mege ohe Zurücklege ud ohe Beachtug der Rehefolge etsprcht. Wr tele de -eleetge Mege u zwe dsjukte -eleetge Mege auf ud zehe aus dese. We wr aus der erste k Eleete zehe, üsse wr aus der zwete och k Eleete zehe. Wege ( ( k k folgt sot de Behauptug. Aufgabe 4. (1 Es sd 6 5 Passwörter öglch. ( De Wahrschelchket beträgt Aufgabe 5. (1 Nach Vorlesug gbt es ( kürzeste Wege vo (0, ach (, 0. Geauso gtb es ( ( 1 kürzeste Wege vo (0, ach (1, 1 ud 1 kürzeste Wege vo (1, 1 ach (, 0. Es blebe der Maus also ( ( ( 1 ( 1 kürzeste Wege übrg. ( See a, b, c postve atürlche Zahle ud see de Eckpukte des Würfels (0, 0, 0, (a, 0, 0, (0, b, 0, (0, 0, c, (a, b, 0, (a, 0, c, (0, b, c ud (a, b, c. E kürzester Weg vo (0, 0, 0 ach (a, b, c besteht also aus a b c Schrtte, wobe a davo x-rchtug, b y-rchtug ud c z- Rchtug ausgeführt werde üsse. Es gbt also zuächst ( abc a öglche Wahle für de x- Rchtug ud da och ( bc c öglche Wahle für de y-rchtug zu treffe. Da st autoatsch festgelegt, welche der Schrtte z-rchtug erfolge ud es ergebe sch sot ( ( a b c b c (a b c! a b a! b! c! Möglchkete. De rechte Sete der Glechhet zegt auch schö, dass das Ergebs uabhägg vo der Rchtug, t der user Arguet startet, st. Aufgabe 6. (1 Aus de zwete Tel folgt, dass es ( öglche Lösuge gbt. ( See, postve atürlche Zahle. Wr suche de Azahl a Lösuge vo x 1 x... x, wobe alle x N gelte soll. Wr betrachte herfür de -eleetge Mege {0,..., }. Wr defere Eleete a 1,..., a 1 aus deser Mege we folgt: a 1 x 1, a x 1 x, usw., a 1 x 1 x... x 1

3 Da glt 0 a 1 a... a 1. Dese Vorschrft st ukehrbar, d.h. eer jede solche Aordug 0 a 1 a... a 1 ka a per x 1 a 1, x a a 1, x 3 a 3 a usw., x a 1 ee Lösug vo x 1 x... x zuorde. Es gbt also geauso vele Lösuge, we es Aordug 0 a 1 a... a 1 gbt. Letzteres etsprcht geau de Zehe vo 1 Eleete aus {0,..., } t Zurücklege ohe Beachtug der Rehefolge. Herfür gbt es ach der Vorlesug geau ( 1 Möglchkete. Aufgabe 7. (1 Folgt drekt, we a Bosche Lehrsatz a 1 ud b 1 esetzt. ( Es glt (1 x ( x ud (1 x ( x. Nu st ( x (1 x (1 x (1 x ( ( k0 x ( j0 ( ( k k ud de Aussage folgt t Koeffzeteverglech. ( x j j Aufgabe 8. Es glt f (x ax b ud f (x a. Nullstelle vo f sd b± b 4ac, falls der Ihalt der Wurzel postv st, sost gbt es kee. Ob es sch a be b u e globales Mu oder Maxu hadelt, hägt ausschleßlch vo a Vorzeche vo a ab ud her seht a da auch drekt, welche Berech der Graph streg ooto steged, bzw. falled st. Kovextät, bzw. Kokavtät hägt ebefalls auschleßlch vo Vorzeche vo a ab. Aufgabe 9. Her habe ch ch bestt a der ee oder adere Stelle verrechet: (1 3 (3x 5 (6x ( x s(x x cos(x x (3 3x s(x 3 1 (x 5x5 (x5 cos(x 3 1 (x 5x5 (4 exp( x x exp( x (x3 3 x 3(x3 x 3 (5 (x3 6 (6 cos(x s(x Aufgabe 30. Da Sus ud Kosus ur verschobe sd, ka a des vollstädg auf de scho der Vorlesug behadelte Fall zurückühre. Alteratv ka a jedes dort aufgeführte Arguet efach wederhole. x Aufgabe 31. Btte wede!

4 (1 Es st f (x x x ud f (x x 1. De Nullstelle vo f lege also be 1 ud. Wege Betrachtug der zwete Abletug legt be e Maxu ud be 1 e Mu vor. Adere Extrea ka es cht gebe, da de erste Abletug ur zwe Nullstelle bestzt. ( Es st f (x exp(x ud deser bestzt kee Nullstelle. Also gbt es auch kee Extrewerte. (3 Es st f (x 016 x 015, welches ur der Null ee Nullstelle bestzt. Da x 016 er größer glech Null st, uss es sch be Null u e globales Mu vo f hadel. (4 Es st f (x x(x 1 exp( x ud dese Fukto bestzt Nullstelle be x {0, 1, 1}. Mt Hlfe der zwete Abletug f (x (4x 4 10x exp( x seht a, dass es sch be 1 ud 1 u lokale Ma ud be 0 u e lokales Maxu hadelt. (5 Es glt f (x x ud dese Fukto hat Nullstelle be x ±. Da de 3 3 zwete Abletug durch x x gegebe st, hadelt es sch be der egatve Nullstelle vo f u e lokales Maxu ud be der postve u e lokales Mu. Aufgabe 3. Es st aschaulch klar, dass de Eckpukte des Dreecks auf de Rad lege sollte, we wr de Fläche axere wolle. Wr ehe a, dass de Seteläge a doppelt vorkot. Da lässt sch der Flächehalt des Drecks b ( r ausdrücke als b 4 r Wr fasse des als Fukto f(b auf axere dese auf [0, r]. (r b4 r b Nach der Produktregel habe wr f 4 r (b b 4. Für etwage Nullstelle der erste Abletug glt also ( r b 4 r b 4 r b 4 Multplkato t de Neer der rechte Sete lefert 4(r b 4 4r r b 4 b. Ustelle ud quadrere lefert (b 4r 16r (r b 4. Ufore lefert b 4 3b r ud des hat Nullstelle be b {0, 3r, 3r}. Da alles Äquvalezuforuge ware, sd des auch de Nullstelle der erste Abletug. Es st klar, dass höchstes b 3r das gesuchte Maxu se ka ud esetze de zwete Abletug f (b b3 6r b lefert des. Das gesuchte Dreck st da glechsetg. (r b Aufgabe 33. Zuächst reche yπx 400. Esetze de Flächehaltsforel x y lefert also ee Fukto f(x x (00 π x, de es zu axere glt. De erste bede Abletuge sd gegebe als f (x πx 00 ud f (x π. De ezge Nullstelle x 00 der erste Abletug lefert also das gesuchte Maxu. π.

5 Aufgabe 34. Der Abstad vo (x, y zu Ursprug st x y ach de Satz vo Pythagoras. Wr teressere us also für das Mu der Fukto f(x x (x 3. De erste bede Abletuge deser Fukto sd f (x x3 7x ud f x (x x6 1x 4 54x 63. De ezge Nullstelle der erste 4 7x 9 (x 4 7x 9 3 Abletug legt be x 0 vor ud da de zwete Abletug postv st, st des das globale Mu. Natürlch st des aschaulch berets aus der Kurvedskusso eer Parabel klar gewese. Aufgabe 35. Se a de Seteläge der Grudflächesete ud h de Höhe des Zeltes. Da glt a 6 h. Da das Volue des Zeltes sch zu a h berechet, 3 üsse wr also de Fukto f(h h(6 h ere. 3 De erste bede Abletuge bereche sch zu f (h h ud f (h 4h. De erste Abletug hat zwe Nullstelle, älch ±1, vo dee ur 1 ee S für de Aufgabe ergbt. Tatsächlch zegt esetze de zwete Abletug auch, dass h 1 ud sot a das Volue des Zeltes axert. Aufgabe 36. (1 Das Volue st er x π 1 π. x ( Das Rechteck legt koplett erhalb, da f(x auf (0, streg ooto falled st. Aufgabe 37. Se α der Wkel. Der Flächehalt berechet sch da zu ud a verfährt aalog zur Vorlesug. f(α l cos(α 1 l s(α cos(α Aufgabe 38. Der Flächehalt st gegebe durch f(x x (ax b. De erste bede Abletuge sd f (x 3ax b ud f (x 6ax. Deetspreched legt b das Maxu be x vor. 3a Aufgabe 39. Es glt zuächst de Höhe h K des Kegels Abhäggket der Höhe h des Zylders ud des Raduses r auszudrücke. Des acht a über de Satz vo Pythagoras: h K r 9h We a des ach r ufort ud de Volueforel für de Trchter esetzt, ergbt sch f(h K π(9h h Kh 1 3 π(9h h Kh K. Durch Bldug der erste bede Abletuge fdet a, dass h K 3h das Volue axert. Nu st der Kosus des gesuchte Wkels gerade h K h 1 ud 3 sot st der gesuchte Wkel ugefähr 70, 5. Besprechug: I de Übuge der zwete Vorkurswoche.