Dr. Jürgen Senger INDUKTIVE STATISTIK. Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätz- und Testverfahren
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- Bastian Baum
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1 Dr. Jürge Seger INDUKTIVE STATISTIK Wahrschelchetstheore, Schätz- ud Testverfahre ÜBUNG 5 - LÖSUNGEN. Wahrschelchets- ud Vertelugsfuto der Zufallsvarable a. Zufallsepermet: Werfe ees Würfels Zufallsvarable: Augezahl Tabellarsche Darstellug der Wahrschelchets- ud Vertelugsfuto e Pe X f F / / / / / / / / / / / / 5 / 5 / 5/ / / / Grafsche Darstellug der Wahrschelchets- ud Vertelugsfuto F Vertelugsfuto f Wahrschelchetsfuto / / 5 / 5 Wahrschelchete P f P < X < f P < X F F f f Seger Idutve Statst
2 ÜBUNG 5 - LÖSUNGEN b. Zufallsepermet: Werfe dreer Würfel Zufallsvarable: Augesumme Tabellarsche Darstellug der Wahrschelchets- ud Vertelugsfuto e X f F / / / / 5 / / / / 5 7 5/ 5/ 5 / 5/ / / 5 5 7/ / / 5/ / / / / / 9/ / / 55 / / 5 7 / 5/ / / Ls sd de möglche Kombatoe der Augezahle der dre Würfel ohe Berücschtgug der Aordug aufgeführt. Für jede deser Kombatoe muß de Zahl der Permutatoe ermttelt ud da zelewese zur Gesamtzahl der Kombatoe mt der Augesumme addert werde. Sd de dre Augezahle glech, st de Zahl der Permutatoe. Sd zwe Augezahle glech, beträgt de Zahl der Permutatoe!/! ud sd alle dre Augezahle verschede!. Wahrschelchete oder P f P X f P X P5 < X F F5 5 5 Seger Idutve Statst
3 ÜBUNG 5 - LÖSUNGEN Grafsche Darstellug der Wahrschelchets- ud Vertelugsfuto F Vertelugsfuto / / / / f Wahrschelchetsfuto / 5/ / / / / Seger Idutve Statst
4 ÜBUNG 5 - LÖSUNGEN c. Zufallsepermet: Werfe eer Müze bs zum Etreffe der. Zahl Zufallsvarable: Azahl der Würfe bs zum Etreffe der. Zahl Es hadelt sch her um das Petersburger Spel aus Aufgabe Übug. Tabellarsche Darstellug der Wahrschelchets- ud Vertelugsfuto e Pe X f F Z / /,5 KZ / /,75 KKZ / /,75 KKKZ / /,975 KKKKZ / 5 5 / 5,975 KK... KZ M M M / / / Formale Darstellug der Wahrschelchets- ud Vertelugsfuto De Wahrschelchetsfuto lautet f,,,... ud de Vertelugsfuto F,,,... Grafsche Darstellug der Wahrschelchets- ud Vertelugsfuto f Wahrschelchetsfuto F Vertelugsfuto / / 5 5 Seger Idutve Statst
5 ÜBUNG 5 - LÖSUNGEN 5 Seger Idutve Statst Wahrschelchete, < < < < f X P f P oder,975,975 5 < < < F F X P X P Es hadelt sch um ee Wahrschelchetsvertelug, be der de Zufallsvarable X abzählbar uedlch vele Werte aehme a. Es stellt sch daher de Frage, ob de Wahrschelchetsfuto tatsächlch de geforderte Egeschafte aufwest. De Nchtegatvtät vo f folgt aus der Defto,5 > f,,,... Zu prüfe blebt, ob de uedlche Summe der Wahrschelchete es ergbt? W f Das läßt sch we folgt zege lm... lm... lm lm
6 ÜBUNG 5 - LÖSUNGEN d. Zufallsepermet: Vermalges Werfe eer Müze Zufallsvarable: Azahl "Kopf" Tabellarsche Darstellug der Wahrschelchets- ud Vertelugsfuto e Pe X f F ZZZZ / / / ZZZK ZZKZ ZKZZ KZZZ / / / / / 5/ ZZKK ZKZK KZZK ZKKZ KZKZ KKZZ ZKKK KZKK KKZK KKKZ / / / / / / / / / / / / / 5/ KKKK / / / Grafsche Darstellug der Wahrschelchets- ud Vertelugsfuto f Wahrschelchetsfuto F Vertelugsfuto / / 5 5 Wahrschelchete P P < X f < f Seger Idutve Statst
7 ÜBUNG 5 - LÖSUNGEN P < X F F P X F. Wahrschelchetsvertelug vo Mädchegeburte Zufallsepermet: Geburt dreer Kder Ezelgeburte Zufallsvarable: Azahl der Mädche Tabellarsche Darstellug der Wahrschelchets- ud Vertelugsfuto e Pe X f F KKK / / / MKK KMK KKM / / / / / MMK MKM KMM / / / / 7/ MMM / / / Grafsche Darstellug der Wahrschelchets- ud Vertelugsfuto f Wahrschelchetsfuto F Vertelugsfuto / / / 5 / 5 Wahrschelchete P f P < X < f f f f 7 Seger Idutve Statst
8 ÜBUNG 5 - LÖSUNGEN P < X F F. Wahrschelchetsvertelug der Kugel bem Zehe aus eer Ure Zufallsepermet: Zehe vo dre Kugel ohe Zurüclege aus eer Ure mt weße ud rote Kugel Zufallsvarable: Azahl der rote Kugel Tabellarsche Darstellug der Wahrschelchets- ud Vertelugsfuto 7 e Pe X f F WWW 5, 9 7,, WWR WRW RWW WRR RWR RRW 9 5 7,,5, 7,,,9 9 7 RRR,,, 9 7 oder mt Uremodell X f F, 5, 5,,,,,9, Seger Idutve Statst
9 ÜBUNG 5 - LÖSUNGEN 9 Grafsche Darstellug der Wahrschelchets- ud Vertelugsfuto f Wahrschelchetsfuto F Vertelugsfuto / / 5 5 Wahrschelchete P < X P f,5 F F,,,5 P,5 < X < P,5 < X F F,5,,. Stetge Glechvertelug Rechtecvertelug Gegebe st de Dchtefuto f b a a X b alle adere a. Egeschafte der Dchtefuto b. Vertelugsfuto b b a b a f d d b a b a b a b a b a a f folgt aus der Defto b a >! b a F f t dt a t dt b a b a a a a b a b a b a Seger Idutve Statst
10 ÜBUNG 5 - LÖSUNGEN Folglch lautet de Vertelugsfuto F a b a < a a b > b c. Grafsche Darstellug der Dchte- ud Vertelugsfuto F f b a a b a b 5. Leare Wahrschelchetsvertelug Gegebe st de Dchtefuto f alleadere a. Egeschafte der Dchtefuto b. Vertelugsfuto Daraus folgt f d d f folgt aus der Defto F f t dt t dt t F < > Seger Idutve Statst
11 ÜBUNG 5 - LÖSUNGEN c. Grafsche Darstellug der Dchtefuto ud der Vertelugsfuto f F d. Wahrschelchete P, X, F, F,,,, P X. Epoetalvertelug Gegebe st de Dchtefuto >,7 P X,7 F,7,9,5 e f,5 < a. Berechug der Kostate f d e lm b b b b b lm,5 e d,5 d,5 [ e ] lm e lm e,5b b,5b e,5 Seger Idutve Statst
12 ÜBUNG 5 - LÖSUNGEN De Fläche uter der Dchtefuto setze wr glech ud löse ach auf Also lautet de Dchtefuto deser Epoetalvertelug,5e f,5 < b. Berechug der Vertelugsfuto Daraus folgt F e f t dt,5 e,5e,5,5t e dt,5,5t [,5e ] e F,5 < c. Grafsche Darstellug der Dchtefuto ud der Vertelugsfuto f F d. Wahrschelchete P X F F e P X e e,5,5,5,5 e e e,5,5,,7, > P X F e,5 e,79 Seger Idutve Statst
13 ÜBUNG 5 - LÖSUNGEN Seger Idutve Statst 7. Leare Wahrschelchetsvertelug Gegebe st de Dchtefuto f alleadere a. Dchtefuto Wr bereche zuerst de Fläche uter der Dchtefuto d d f 9 Da setze wr de Fläche glech ud löse ach auf b. Vertelugsfuto t t dt dt t f F Daraus folgt > < F c. Grafsche Darstellug der Dchtefuto ud der Vertelugsfuto / F f
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