Stochastik Formeln von Gerald Meier

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1 Stochast Formel vo Gerald Meer Grudbegrffe ud Operatoe umöglches Eregs scheres Eregs Ω A mplzert B Glechhet A B AB cht A A A ud B A B A oder B A B A ohe B A \ B A B dsjut A B de Morga A B A B Elemetareregs ω Ω Potezmege vo Ω P Ω A P( Ω σ-algebra, falls Ω A A A ud A A A A U A Eregsraum ER edlch, falls Ω < N abzählbar, falls ΩN dsret, falls Ω N otuerlch, falls ΩR A Wahrschelchet. aomatsche Defto pa A A p( Ω A A für N ud A A für. Wahrschelchetsraum WR p( pa pa pa ( B pa + pb pa ( B A B p( A p( B A A für N A A A A für N A A ( Ω,, A p WR A, K,, da glt p UAp( A K p UA lm p A pia lm p A K A A - Sete -

2 - Gerald Meer: Stochast Formel - + pua pa pa A + pa A As K+ p IA, s,, p UA p A < < < s.3 dsrete Wahrschelchetsräume WR Glechvertelug / LAPLACE-Vertelug ΩN p( ω ω Ω pa N Geometrsche Vertelug p p p.4 otuerlche Wahrschelchetsräume WR Glechvertelug β α p( [ αβ, ] b a a α β b R 3 Bedgte Wahrschelchet 3. Defto pa ( B pab pb 3. Aweduge 3.. Multplatossatz pa ( B pb pab pa p( B A N > > ( K ( ( 3 K ( K pa A pa pa A pa A A pa A A A 3.. MARKOV-Kette A K A mt pa ( A A pa ( A K MARKOV-Kette pa ( K A pa pa ( A pa ( 3 A K pa ( A 3..3 Satz vo der totale Wahrschelchet A K A erlegug vo Ω pb pa pba 3..4 Pfadregel. De Wahrschelchet für das Etrete ees Pfades st glech dem Produt der Wahrschelchete der Äste des Pfades. De Wahrschelchet ees Eregsses st glech der Summe der Wahrschelchete derjege Pfade, de das Eregs blde Formel vo BAES ( Ω,, A p WR A,, ( B pa K A A erlegug vo Ω pa, B A, p( B pa pba für K pba j pa j j > > - Sete -

3 - Gerald Meer: Stochast Formel Stochastsche Uabhägget pa ( B pa pb A ud B uabhägg pa pab, pb pba p IA j p A j J j J ( j 3.3 BERNOULLI-Vertelug ( ω ( p p p 4 ufallsvarable 5 Dsrete ufallsvarable Vertelugsfuto VF: F ( p p p m m : 5. Glechvertelug / LAPLACE-Vertelug ( Ω {, K, } p p(,..., Awedug: Be ufallsvarable Va mt edlch vele Werte, de ee bevorzuge. 5. Geometrsche Vertelug ( Ω N p p p ( p Awedug: -stufges BERNOULLI-Epermet. 5.3 Bomalvertelug ( Ω N p p b( p p p ;, Awedug: -stufges BERNOULLI-Epermet (ehe mt urüclege. Es werde Tele herausgegrffe. De Wahrschelet e Ausschußtel zu zehe st p. Es were Ausschußtele gezoge. Wahrschelchste Azahl vo Erfolge: für festes, gesucht be dem p mamal wrd [( ma + p] - Nachommastelle werde abgeschtte ( + p N ( ma, + p, ma, ma, Wahrschelchet dafür, daß Erfolgsazahl aus Itervall stammt: p ( p p 5.4 POISSON-Vertelug λ ( Ω N p p p( e ; λ :! bp ;, p ; p Für >> ud p<< st λ λ> Awedug: De POISSON-Vertelug wrd als Näherug für de Bomavertelug verwedet - uter obe aufgeführte Voraussetzuge. - Sete 3 -

4 - Gerald Meer: Stochast Formel Hypergeometrsche Vertelug NM,, NN, M M N M ( Ω N p p h( ;, M, N M N p ur für, M, N M Awedug: Stchprobe ohe Rücgabe: Der Poste umfaßt N Tele - daruter M Ausschußtele. Tele werde etomme, daruter Ausschußtele. Grezwertsatz: lm hmn ( ;,, M bmn ( ;, N M pn 5.6 MOIVRE-LAPLACE-Asymptot STIRLING-Formel:! e π für Deftoe: ϕ( e π G( ϕ( t dt GAUSS-/Normalfuto erf( G( Fehlerfuto Satz: G( G( G( G( ϕ( MOIVRE-LAPLACE-Asymptot Mt < p <, q -p, -p pq glt für, bp p q p ;, pq ϕ pq Damt erhält ma gute Näheruge für pq > 9. Damt glt für BERNOULLI-Epermete p p p ( G G pq pq oder geauer p+ 5 p 5 p ( G, G, pq pq 5.7 BERNOULLI-Gesetz der große ahl -stufges BERNOULLI-Epermet mt der Erfolgswahrschelchet p. Azahl des Etretes ees bestmmte Eregsses, h de relatve Häufget. Für jedes ε> glt ( p ε p h für 6 Stetge ufallsvarable Vertelugsfuto: F f( t dt Dchte(-futo: f pa ( b pa ( < b K F ( b F ( a Dchte symmetrsch bezüglch a p ( a pa ( + pa ( pa ( + - Sete 4 -

5 - Gerald Meer: Stochast Formel - 6. Normalvertelug, > bzw. N ( µσ, -vertelt: ϕ ( ; µ, σ Va ormalvertelt mt Parameter µ ud σ (µσ ( µ Dchte: f ( : ϕ ( ; µ, σ : e πσ σ ϕ µ σ σ µ Vertelugsfuto: F ( : Φ ( ; µ, σ : ( ;, d ϕ µ σ G σ b µ a µ pa ( < < b G G p( µ < σ G σ σ p µ < σ 955 p( µ < σ 683,, ( µ σ symmetrsch zu µ p < 3, 997 Awedug: De ufallsvarable Va etsteht durch Überlagerug eer große Azahl uabhägger Effete, wobe jeder ur ee lee Efluß auf de Va hat (Meßfehler, Epoetalvertelug Va epoetalvertelt mt Parameter für < Dchte: f ( - α e α für Vertelugsfuto: F ( e α α α> : für < für p ( + h p ( h,h > st epoetalvertelt Awedug: Lebesdauer vo Schaltelemete, radoatver erfall, Futoe vo Va mt Dchte f ( g ( g( g ( f ( g ( g( g ( d d g f ( F ( p g d d d. g > f ( F ( d. g f ( F ( f + f 3. g d f ( F ( d weteres Sete Va vom gemschte Typ d d Va vom gemschte Typ cht stetg ud dsret p p Sprugstelle mt Sprughöhe: Vertelugsfuto: F ( f ( t dt+ p : 7 Charaterstsche Größe 7. Erwartugswert 7.. dsrete Va Erwartugswert: E p - Sete 5 -

6 - Gerald Meer: Stochast Formel - dsrete Glechvertelug: E p Bomalvertelug: E p Hypergeometrsche Vertelug: E p M N POISSON-Vertelug: E λ 7.. stetge Va Erwartugswert: E f ( d Glechmäßge Vertelug: E a b + Normalvertelug: E µ Epoetalvertelug: E α 7..3 Va vom gemschte Typ h Mttelwert: p Erwartugswert: E df( lm 7..4 Recheregel E( a+ b ae+ b E ( E dsrete Va: h -E heßt zetrere Eg g p stetge Va: Eg g f d -E heßt etrerug 7. Varaz ud Stadardabwechug Varaz: D: E ( E Stadardabwechug: σ : D h 7.. dsrete Va dsrete Glechvertelug: D: Bomalvertelug: D : p ( p Hypergeometrsche Vertelug: ( POISSON-Vertelug: D p p N : N D λ M p N 7.. stetge Va stetge Glechvertelug: Normalvertelug: b a D: D :σ - Sete 6 -

7 - Gerald Meer: Stochast Formel - Epoetalvertelug: D: α 7..3 Recheregel D: E E D ( a+ b : a D D σ E ( c mmal c E heßt Normerug σ E heßt Stadardserug σ 7..4 TSCHEBSCHEFF-Uglechug D p( E c c D p( E c > c D > < c D p E < c c p( E c Wetere charaterstsche Größe Srpt Sete 39 ff 8 ufallsvetore 8. Defto ud Vertelugsfuto -dmesoaler ufallsvetor -Ve: M :Ω R < y < y, K, < : { ω( ω < } Vertelugsfuto: F ( p( für R Sätze: F F st jeder Varable mooto wachsed F st jeder Varable rechtssetg stetg lm F ( für alle lm F ( für alle Deftoe: F lm F (, y, u yu, 8. Dsrete -Ve o.b.d.a. Rad- oder Margalvertelug F lm F (, y, u, u F( yu, p ( yu, u Va,..., uabhägg F (, K, F ( K F ( bedgte Vertelugsfuto vo Ezelwahrschelchet EW: p p(, y - Sete 7 -

8 - Gerald Meer: Stochast Formel - Vertelugsfuto VF: F, y p,, : y, y - Sete 8 -

9 - Gerald Meer: Stochast Formel - EW der Radvertelug: :. ( :. ( p p p uabhägge ud p p p 8.3 (Absolut- Stetge Ve o.b.d.a. p p y p.. Vertelugsfuto VF: (, (, F y f ydyd y Dchte der Radvertelug: f ( f, y dy, ( f Dchte der bedgte VF: (, y, f y f ( y u uabhägg f, y f f y, 8.4 Charaterstsche Größe o.b.d.a. Erwartugswert: (, E f d f y ddy (, (, (, be dsrete Va: Eg(, g(, y p Recheregel: ( K Eg g y f y ddy, E+ + E+ K+ E Va uabhägg E, EE Kovaraz: cov (, E( E E( E cov (, D cov (, E (, E E cov (,, uabhägg D ( + D + D + cov (,,..., paarwese uabhägg D D Kovarazmatr: B cov (, Srpt Sete 47 Korrelatosoeffzet: ρ(, D ρ(, ( cov, D ρ(, a + b mt sg( a sg( ρ ρ(, ud sd uabhägg ρ uorrelert, ρ> postv orrelert, ρ< egatv orrelert - Sete 9 -

10 - Gerald Meer: Stochast Formel - 9 Grezwerte 9. Kovergez Deftoe: s overgert scher gege falls lm ( ω ( ω fs overgert fast scher gege falls p ω lm ( ω ( ω p overgert stochastsch gege falls lm p( V overgert Vertelug gege falls lm F ( F ( Herarche: s fs p V < ε ε> 9. Überscht Kolmogoroff ( E E + ( E geügt schwg Marov D Tschebyscheff uabhägg oder uorrelert D geügt stg Kolmogoroff uabhägg D < uabhägg detsch D muß cht Posso uabhägg -Pt.-Vertelug Beroull uabhägg -Pt.-Vertelug detsch - Sete -