Grundzüge der Kombinatorik

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1 Wahrschelchetsrechug WS 94/95 gehalte vo Uv.Doz. Erch Neuwrth (Zusammefassug der Vorlesug ) Bemerug: Dese Uterlage wll e Ersatz des Besuchs der Vorlesug se, se det ur als Ererugshlfe ud Abgrezug des behadelte Stoffes. Grudzüge der Kombator Kombator hadelt vom Abzähle vo Dge (Zähle ohe wrlch zu zähle). Es gbt ee Grudmege (vo Dge). Daraus werde Dge ausgewählt. De Auswahl a auf verschedee Arte geschehe: mt Wederholuge oder ohe Wederholuge, ud mt Berücschtgug der Rehefolge oder ohe Berücschtgug der Rehefolge. Auswahle ohe Berücschtgug der Rehefolge et ma auch Kombatoe, Auswahle mt Berücschtgug der Rehefolge heße Varatoe. De allgemee ormulerug des Problems läßt der Grudmege belebge Elemete zu. De Darstellug wrd aber efacher, we wr als Grudmege des Umfags de Zahle,,... wähle. Kombatoe ohe Wederholug Repräsetato durch aufstegede olge. Bespel: Jede Auswahl vo 4 Zahle aus 6, be der Duplate cht erlaubt sd, ud be der de Rehefolge ee Rolle spelt, a als aufstegede olge vo 4 Zahle dargestellt werde. Das letzte Elemet deser olge a höchstes 6 se. 34, 46, sd Bespele solcher olge. Dese olge öe wr daach uterschede, ob das letzte Elemet 6 st oder cht. We wr dese bede Telmege vo olge abzähle, ud de bede Azahle addere, habe wr de Gesamtzahl. De Zahl der olge mt höchstes 5 a letzter Stelle st geau de Zahl der 4 aus 5-olge. Adrersets st jede olge mt 6 a letzter Stelle ee verlägerte 3 aus 5-olge. Daher st de Zahl der 4 aus 6-olge glech der Summe der Zahl der 4 aus 5-olge ud der Zahl der 3 aus 5-olge. Deses Przp st allgeme awedbar ud glt für belebge olge der Läge mdestes. Außerdem st de Zahl der aus x-olge für jedes x glech desem x ud de Zahl der y aus ol ge glech 0 für y größer als. Zusammefassug als Tabelle: Objete De lasssche algebrasche Schrebwese deser Bezehuge st: assug vom 4. Aprl 995

2 Neuwrth: Wahrschelchetsrechug Sete f (, ) f (, ) 0 für alle > f (, ) f (, ) + f (, ) sost We wr jetzt och ee Spalte mt 0 eführe, dese Spalte mt fülle, ud de Spalte mt der Nummer ebefalls durch de reursve Summebezehug defere, erhalte wr folgede Tabelle: erhalte wr folgede Bezehug: Objete f (, 0) f (, ) 0 für alle > f (, ) f (, ) + f (, ) sost Üblcherwese wrd ee adere Bezechug verwedet: f(, ) H G K J Da deser Tabelle jede Zahl zwemal de Zele daruter scert, verdoppelt sch de Zelesumme vo Zele zu Zele, daher glt 0 K J Wr öe auch folgede Überlegug astelle: jede 3 aus 6-olge öe wr 3 Elemete efüge, de deser olge cht verwedet wurde, um ee 4 aus 6-olge zu erhalte. 34 a erwetert werde zu 34, 345 ud 346. Also sollte es 3 mal sovele 4 aus 6- olge we 3 aus 6-olge gebe. Das stmmte aber cht, wel 34 auch durch E füge der Zahl de olge 34 etstade se öte. De eu etstadee olge werde mehrfach gezählt. Da jedes Elemet der eue olge das eu egefügte se a, glt allgeme folgede Reurso: ud das führt zur üblche ormel: Tabelledarstellug deser ormel: f(, ) f(, ) ( ( )) K J ( )...( + )!....!( )! Objete *( - )/ 5 5

3 Neuwrth: Wahrschelchetsrechug Sete 3 Kombatoe mt Wederholug: Rehefolge spelt ee Rolle, Duplate erlaubt: Repräsetert durch chtfallede olge. Also a bespelswese jede 4 aus 6 olge ee 4 aus 5 olge oder ee um de Zahl 6 verlägerte 3 aus 6 olge se. Allgemee Tabelledarstellug: ormeldarstellug: Objete f (, 0) f (, ) für alle > f (, ) f (, ) + f (, ) sost Das führt zu folgeder Bezehug zwsche de bede Tabelledarstelluge: Obj Obj Ee Scherugsoperato lefert: Obj 0 Obj ud daher glt f (, ) f ( +, ) Varatoe mt Wederholug: Wevele olge vorgegebeer Läge, de ur de Zahle,... ethalte, gbt es? Da de Besetzuge a de ezele Stelle uabhägg voeader stattfde, werde de ezele Möglchete mteader multplzert.

4 Neuwrth: Wahrschelchetsrechug Sete 4 Varatoe ohe Wederholug ür de Besetzug der erste Stelle gbt es Möglchete, für de zwete Stelle Möglchete usw. Daher sgesamt ( )..( )! + H G K J Daher öe wr de Resultate zusammefasse: Rehe folge ohe mt ohe KJ ( -)...( - + )! H G K J Wederholuge mt + - KJ Ee wetere Glechug: Pfelverfolgug folgede Dagramm: lefert folgede Tatsache: Objete Objete De dule Zelle st de Summe aller helle Zelle. ormel, ud mt Rücüberset zug de Bomaloeffzete bedeutet das: + 0 KJ + + Weters wurde folgede ombatorsche Probleme behadelt: Sterlgzahle zweter Art: Azahl aller chttrvale Parttoe eer Mege mt Elemete Telmege. Reursosformel: KJ S (, ) S (, ) + S (, )

5 Neuwrth: Wahrschelchetsrechug Sete 5 Sterlgzahle erster Art: Azahl aller Permutatoe vo Elemete mt eer Zyledarstellug aus geau Zyle S (, ) S (, ) + S (, ) Das efachste ombatorsche Problem st de rage ach der Azahl der Permutatoe, der Aorduge vo Zahle belebger Rehefolge. Ma a deses Problem auch als rage ach de Varatoe ohe Wederholug, be dee de Platzzahl ud de Objetzahl glech st, deute. (Edlche) Wahrschelchetsrechug Grudlage Grudbegrff der Wahrschelchetsrechug st der Wahrschelchetsraum. Das st ee Mege X ud ee uto p, de jedem x aus X ee Zahl p( x) (geat Wahrschelchet) zuordet. De x heße Elemetareregsse. De Summe aller Wahrschelchete der Elemetareregsse muß se. Bespele: X {,, 3, 4, 5, 6 }, p( ) 6 für,,... 6 beschrebt ee fare Würfel X {, a}, p( a) p( ) beschrebt de Wurf eer fare Müze. X {, a}, p( a) p( ) p beschrebt de Wurf eer möglcherwese ufare Müze. vele älle st ur X gegebe ud aus sachlche Grüde a es svoll schee, jedem ezele x X deselbe Wahrschelchet zuzuorde. Vele lasssche Aufgabe der Wahrschelchetsrechug bege mt eem derartge Modell der glechwahrschelche Elemetareregsse. Der Wahrschelchetsbegrff wrd da auf belebge Telmege A vo X erwetert: P( A) p( x) We alle p( x) glech groß sd, da a ma dese Defto auch och folgedermaße terpretere: Es gbt Stüc x, ud A möge davo ethalte. Ma et da de Elemete auch de möglche älle ud de, de zu A gehöre, de güstge älle. Daher glt da auch: x A Azahl der güstge älle P( A) Azahl der möglche älle Vele Probleme bem Awede der Wahrschelchetsrechug etstehe dadurch, daß begrfflch cht sauber geug zwsche p ud P uterschede wrd. p st der Regel vo vorhere gegebe ud muß ur ee ezge Bedgug erfülle: p( x) Aus deser Egeschaft lasse sch wchtge Egeschafte vo P ablete: x X

6 Neuwrth: Wahrschelchetsrechug Sete 6 P( X) P( A B) P( A) + P( B) für A B P( A) P( A) Dese Egeschafte trfft ma machmal auch uter dem Ttel Axome vo Kolmogoroff a. m alle uedlcher Wahrschelchetsräume muß ma se auch zur Grudlage der Wahrschelchetsrechug mache. m alle der edlche Wahrschelchetsräume recht aber das Kozept der uto p (machmal auch Wahrschelchetsmassefuto geat) zur Schaffug scherer Grudlage aus. ür alle pratsche Aweduge deses Modells a ma sage, daß ma Wahrschelchete vo zusammegesetzte Eregsse (also Wahrschelchete vom Typus P( A)) bereche a, dem ma de passede Wahrschelchete vo Elemetareregsse (vom Typus p( x)) addert. Awedug: lusos-exlusos-przp Typsches Bespel: Persoe gebe hre Hut a der Garderobe ab. Da werde de Garderobezettel zufällg vermscht. We hoch st de Wahrschelchet, daß mde stes ee Perso weder hre egee Hut erhält? Mathematsche Übersetzug: We groß st de Wahrschelchet, daß ee zufällg ausgewählte Permutato a eer Stelle de Zahl stehe hat. Ma sagt da auch, daß so ee Permutato ee xput hat (Bespel: de Permutato (3,,4,) hat de xput, wel a der. Stelle de Zahl steht). Ausgagsput st de eststellug, daß leder folgede ormel m allgemee cht glt: Statt desse glt de Glechug P( A B) P( A) + P( B) P( A B) P( A) + P( B) P( A B) Dese Glechug läßt sch für Durchschtte vo mehr als Mege verallgemeer. P( A ) ( ) P( A ) j U < <... Dese ormel heßt auch lusos-exlusos-przp. Awedug auf user Hutproblem: A see alle Permutatoe mt xput. Da glt ud daher auch j P A ( ) j! ( )( ).. ( )!! j U P( A ) ( ) P( A ) < <...! ( ) H G K J ( )! ( )! e Awedugsbespel: Geburtstagsproblem We groß st de Wahrschelchet, daß eer Gruppe vo Persoe mdestes am selbe Tag Geburtstag habe? Mathematsches Modell: Wr betrachte olge der Läge gebldet aus Zahle vo bs 365. Es gbt 365 solche olge. Wevele davo bestehe aus lauter verschedee Zahle? Es gbt solche olge der Läge, solche olge der Läge 3. Allgeme gbt es ( ) solche olge. Daher st de gesuchte Wahrschelch- j j

7 Neuwrth: Wahrschelchetsrechug Sete 7 + et p ( 365 ). Wr öe dese ormel auch so umschrebe: Se q de 365 Wahrschelchet, daß alle betrachtete Persoe a verschedee Tage Geburtstag habe, da glt q Produtwahrschelchete q q 365 p q Wchtg der Wahrschelchetsrechug st, daß ma ausgehed vo bestmmte Wahrschelchetsräume, de bestmmte Expermete beschrebe, durch Zusammesetzug wetere Wahrschelchetsräume ostruert. E besoders wchtges Modell st dabe der Produtraum. Bege wr zuächst mt dem Produtraum vo zwe (möglcherwese verschedee) Wahrschelchetsräume: X mt Wahrschelchet p Y mt Wahrschelchet q Da defere wr ee eue Wahrschelchetsraum mt der Trägermege X Y ud der Wahrschelchetsfuto p(( x, y)) p( x) q( y) Natürlch glt p(( x, y)) p(( x, y)) x X, y Y ( x, y) X Y Dese Wahrschelchetsfuto für Elemetareregsse läßt sch gewohter Wese zu eer Wahrschelchetsfuto für zusammegesetzte Eregsse erweter. Außerdem glt folgede wchtge Glechug: P( A B) P( A) Q( B) Der Produtraum modellert das smultae oder sequetelle Ausführe mehrerer Expermete, wobe der Ausgag jedes ezele Telexpermets ee Efluß auf de Ausgäge der adere Telexpermete hat. Der Produtraum mt lauter gleche Kompoete modellert de Mehrfachhtereaderausführug ees Expermets, also bespelswese das 0-malge Werfe eer Müze. We X der Grudraum st, der zum efache Expermet gehört, da bldet ma das -fache artessche Produt X 44 X X -fach De Elemete des Produtraums sd edlche olge der orm ( x, x,..., x ), ud wr öe de Elemetarwahrschelchete für dese Elemete folgedermaße defere: p(( x, x..., x )) p( x ) p( x )... p( x ) p( x ), (Hter deser Defto stect de Verallgemeerug des Przps, daß m alle gle cher Elemetarwahrschelchete auf dem efache Grudraum de Multplato der Elemetarwahrschelchete der Kompoete weder gleche Elemetarwahrschelchete auf dem Produtraum lefert). Beged mt deser Elemetarwahrschelchet auf dem Produtraum erhalte wr ee Wahrschelchet (für Mege, also zusammegesetzte Eregsse) auf dem Produtraum, dem wr de Wahrschelchete der ezele Elemetareregsse der Mege addere. ür dese Wahrschelchet glt folgedes Ergebs: P( X X... A... B X... X) P( A) P( B) alle dese ormel sd p, Pde Wahrschelchete auf dem efache Grudraum ud p, P de etsprechede Wahrschelchete auf dem Produtraum.

8 Neuwrth: Wahrschelchetsrechug Sete 8 Dese Beschrebug ostruert de Produtraum aus mehrere detsche atore. Natürlch a ma de Kostruto auch aalog für das Produt zweer oder mehre rer verschedee atore durchführe. De meste teressate Aweduge deses Kostrutosprzps bezehe sch jedoch auf das Produt vo mehrere det sche atore. Awedugsbespel: Hypergeometrsche Vertelug Es werde Stchprobe fxe Umfags aus eer Grudmege vorgegebee Umfags gezoge. Stchprobe sd Telmege. Wr gehe vo eer Grudmege mt N Elemete aus, davo habe M ee bestmmte Egeschaft (Bespel: Grudmege sgesamt N Kugel, davo M weß ud N M schwarz). Wr wähle zufällg ee Telmege vom Umfag. Mt welcher Wahrschelchet ethält dese Telmege m weße Kugel? Grudaahme st, daß jede möglche Telmege glech wahrschelch st. Es gbt sgesamt möglche Telmege. De rage st, wevele davo geau m Elemete der M N KJ M ausgezechete Elemete ethalte. Es gbt geau verschedee Auswahle der m mkj N M Elemete ud Auswahle der restlche Elemete. sgesamt gbt es daher mkj M N M Telmege des Umfags mt geau m der teressate Elemete. De mkj mkj gesuchte Wahrschelchet beträgt daher: M N M m KJ m N Be desem Modell der hypergeometrsche Vertelug st zu beachte, daß de Elemete cht der Rehe ach, soder smulta gezoge werde ( ee Hadvoll auf emal ). Uabhägget ud bedgte Wahrschelchet Uter der bedgte Wahrschelchet vo A gegebe B versteht ma KJ KJ P( A B) P( A B) P( B) (De Ausgagsdee st, de Atel eer Uterutergruppe also bespelswese der rauchede Mäer a eer Utergruppe der Mäer der Grudgesamthet Mäer ud raue zusamme zu bereche. Wahrschelchete sd hrer dee ach dealserte Häufgete!) Selbstverstädlch st dese Defto ur svoll, falls P( B) > 0. Zwe Eregsse A ud B heße uabhägg, falls glt P( A B) P( A B) P( A) P( B) ( userem Raucherbespel würde das bedeute, daß der Raucheratel der Gruppe der Mäer glech hoch st we der Raucheratel der Gesamtgruppe Mäer ud raue) alls der zugrudelegede Wahrschelchetsraum X e Produtraum ud de vorlegede Wahrschelchet ee Produtwahrschelchet st, a ma zege, daß bestmmte Eregs uabhägg sd.

9 Neuwrth: Wahrschelchetsrechug Sete 9 Geauer: falls X X X da glt für belebge A X ud B X ud somt p( x, x ) p ( x ) p ( x ) P( A B) P ( A) P ( B) P(( A X) ( X B)) P( A X X B) P( X B) P( A B) P ( A) P ( B) P ( A) P ( B) P ( B) detfzert ma och etwas ugeauer Sprech- ud Schrebwese Eregsse A X mt A X X X (ud aaloges für B X ), da a ma ugeauer auch schrebe: P( A B) P ( A) P ( B) P( A) P( B) Eregsse, de verschedee Kompoete ees Produtraums lege, sd also uabhägg, we de Gesamtwahrschelchet ee Produtwahrschelchet st. ür bedgte Wahrschelchete gelte wchtge Sätze: Satz vo der totale Wahrschelchet We de Mege A,.. ee Partto der Grudmege X sd, also A Aj für U j ud A X, da glt Satz vo Bayes P( B) P( B A ) P( A ) We de Mege A,.. e Partto der Grudmege X sd, also A Aj für U j ud A X, da glt P( A B) j P( B A ) P( A ) j P( B A ) P( A ) Wahrschelchetsere ud bedgte Wahrschelchete. Oft versucht ma e mehrstufges Phäome zu modellere. Dabe mmt ma a, daß es für de erste Versuchsstufe ee Wahrschelchet gbt, de ma et. Außerdem mmt ma a, daß ma für de zwete Stufe ee Wahrschelchet et, we das Ergebs der erste Stufe vollstädg beat st. Geauer gesagt ehme wr a, daß wr auf dem Raum X ee Wahrschelchet p habe ud für jedes ezele Elemetareregs x X ee Wahrschelchet p( x, x) auf X ee. De uto p st für jedes ezele x ee Wahrschelchet, d.h. es glt p( x, x) für alle x. j x X Wr öe daher auch für jedes ezele x de zugehörge Megewahrschelchet P ( x, B) für B X betrachte. Ee Verallgemeerug vo p auf Mege als Argumete a Stelle der Elemete x st aber cht svoll.

10 Neuwrth: Wahrschelchetsrechug Sete 0 De Wahrschelchete p bzw. P et ma auch Wahrschelchetser. Wr öe da ee Wahrschelchet P auf X X folgedermaße defere: p( x, x ) p ( x ) p ( x, x ) ür de etsprechede (Mege-)Wahrschelchet glt ud daher glt auch ( x, x ) X X P( A) p ( x ) p ( x, x ) P({ x} B) p ( x) P ( x, B) P ({ x}) P ( x, B) P(( X B) ({ x} X)) P( X B { x} X) P({ x} X ) P({ x} B) p( x) P ( x, B) P({ x} X ) p ( x) P ( x, B) De bedgte Wahrschelchet de wr als Ergebs ees bestmmte Typs vo omberte Eregsse erhalte, sd also de Wahrschelchetsere, mt dee de Modellbldug begt. Wahrschelchetsere sd deser Termologe aber ur für bedgte Wahrschelchete defert, be dee de Bedgug e Elemetareregs, also ee eelemetge Mege st. Wahrschelchetsere mt Mege als Argumete a der erste Stelle sd cht svoll zu defere. Awedugbespel: Zehe ohe Zurüclege Wr habe ee Ure mt Kugle mt de Zahle,.... De Wahrschelchet, ee deser Zahle zu zehe st. Wr habe als p( ) für,,.. Be der zwete Zehug st de erste Kugel cht mehr vorhade (ohe Zurüclege!). Daher glt p(, j) für j ud p(, ) 0 für alle ür de Gesamtwahrschelchet P glt da p(, j) P({(, j)}) ( ) für j ud p (, ) P ({(. )}) 0 Zufallsvarable Wr gehe vo eem Wahrschelchetsraum X mt eer Wahrschelchet p (für Elemetareregsse) bzw. P (für zusammegesetzte Eregsse) aus. Auf der Mege X st och ee Abbldug f, de ee wetere Mege Y führt, defert. Da a ma auf Y ee durch f duzerte (Elemetar-)Wahrschelchet defere: f: X Y p ( y) p( x) P( f ({ y})) f x X, f ( x) y Dabe st f cht de verse uto, soder der Urbldoperator.

11 Neuwrth: Wahrschelchetsrechug Sete Es gbt auch e durch f duzertes P f. Ma a deses P f zuächst we üblch über p f defere. Es stellt sch da heraus, daß auch glt: P ( A) p( x) P( f ( A)) f x X, f ( x) A Damt vermttelt jede Abbldug auch eue Wahrschelchete. Alle Berechuge sd sehr efach, we de Abbldug f jetv st. teressate Aweduge etstehe jee älle, wo f cht jetv st. Dese Kostruto a für belebge utoe durchgeführt werde. alls der Werteraum der Abbldug f de reelle Zahle sd, et ma de Abbldug Zufallsvarable. Bespel: Bomalvertelug: Wr bege mt dem Grudraum X { 0, } ud der Wahrschelchet p( ) p, p( 0) p (Dese Notato st cht gaz osstet, aber üblch, ud ma gerät dabe auch cht allzu große Schwergete.) Als ächstes blde wr de -fache Produtraum r X { x ( x, x,..., x ), x X} r p( x) p( x ) Also hat ee olge, de aus Ese ud ( ) Nulle besteht, de Wahrschelchet p ( p) Nu betrachte wr de Abbldug f: X R r r f ( x) x für x ( x, x,... x ) De olge x r bestehe ur aus 0 ud, ud de Abbldug f bldet efach de Summe aller deser Zahle, se zählt also de Azahl der Eser der olge. Us teressert jetzt de Wahrschelchet p f ( ) Da alle olge mt derselbe Azahl Eser deselbe Wahrschelchet habe, (ämlch p ( p) be Eser), brauche wr ur de Azahl der olge mt geau Eser abzuzähle. Es gbt K J solche olge. Daher glt für de gesuchte Wahrschelchet r r r P( f ( x) ) P( x X : f ( x) ) p ( p ) H G K J Be deser ormel a ma verefached davo spreche, daß der Bomaloeffzet ee olge der Nchtjetvtät der Abbldug f st, ud daß der Ausdruc p ( p) deswege etsteht, wel der Bassraum der Abbldug f e Produtraum st. Bespel: Possovertelug Ee wetere wchtge Vertelug st de Possovertelug. Dese Vertelug hat postve Wahrschelchetswerte für alle atürlche Zahle. De ormel für de Elemetarwahrschelchete deser Vertelug laute: p( ) e λ λ!

12 Neuwrth: Wahrschelchetsrechug Sete Se hat folgede wchtge Egeschaft: ür ee olge vo Bomalverteluge mt ud p 0 ud p λ overgere de Wahrschelchete p p K J e λ λ ( )! Wr öe also be großem Stchprobeumfag ud leer Basswahrschelchet p de Wahrschelchete für ee Bomalvertelug äherugswese durch de etsprechede Werte eer Possovertelug ersetze. der Regel st de umersche Berechug der Posso-Wahrschelchete efacher. Bespel: Bomalvertelug ud hypergeometrsche Vertelug Es glt auch folgede äherugswese Bezehug: We für ee olge hypergeometrscher Vertelug M, N ud M p, da N geht (für festes ) M N M KJ KJ p N p p ( ) ( ) H KJ G K J Pratsch bedeutet das folgedes: we ma e Stchprobe vom Umfag aus eer Grudgesamthet vom Umfag N zeht ud sowohl m Verglech zu M als auch m Verglech zu N M (ud daher auch m Verglech zu N ) le st, da a ma de Berechugsformel für de hypergeometrsche Vertelug durch de ormel für de Bomalvertelug ersetze ud begeht erhält auf dese Wese ee brauchbare Näherugswert. De Berechug ach der Bomal-ormel st der Regel wesetlch efacher als ach der ormel für de hypergeometrsche Vertelug. Ee verefachde terpretato lautet: Zehe aus sehr große grudgesamthete st pratsch dasselbe we Wederholug ees mmer gleche Expermets. Erwartugswert ud Varaz vo Zufallsvarable Gegebe se ee Zufallsvarable f: X R Da st der Erwartugswert deser Zufallsvarable folgedermaße defert: E( f ) f ( x) p( x) x X deser orm der Defto werde de Abbldug f ud de Wahrschelchet auf X explzt verwedet. Efache Überleguge zege aber, daß auch glt: E( f ) rp( r) r f ( X) Es recht also, de vo f duzerte Wahrschelchet auf R zu ee. Ma muß X ud de Wahrschelchete darauf gar cht ee, um de Erwartugswert eer auf X deferte Zufallsvarable bereche zu öe. Mt Hlfe deser Überleguge läßt sch der Erwartugswert eer bomalvertelte Zufallsvarable bereche, ud ma erhält de Wert p. Ee wetere wchtge Größe st de Varaz eer Zufallsvarable, de folgedermaße defert st: V( ) p( x)( f ( x) E( f )) p ( r)( r E( f )) x X f r f ( X) E weterer wchtger Begrff st de Stadardabwechug eer Zufallsvarable:

13 Neuwrth: Wahrschelchetsrechug Sete 3 σ( f ) V( f ) We wr später sehe werde, erwest es sch aus mathematsche Grüde oft als svoll, aus eer Zufallsvarable f ee wetere Zufallsvarable g abzulete: f E( f ) g σ( f ) g heßt da stadardserte Zufallsvarable. g ud f habe ormalerwese atürlch cht deselbe Wahrschelchetsvertelug. altug, Summe uabhägger Zufallsvarabler vele Awedugsfälle trtt ee Stuato auf, de ma folgedermaße modelle re a: Gegebe sd zwe Zufallsvarable f ud g, de als uabhägg vorausgesetzt werde. Es glt also: P( f x, g y) P( f x) P( g y) p ( x) p ( y) Wr öe da de Wahrschelchete der Vertelug der Summe vo f ud g folgedermaße ausreche: P( f + g z) P( f z y) P( g y) p ( z y) p ( y) y alls de be de Zufallsvarable auftretede Werte (also de möglche x - ud y - Werte) alle gazzahlg sd, läßt sch dese ormel auch als eres Produt zweer Wahrschelchetsvetore terpretere. Dabe muß allerdgs der ee Vetor verschobe ud auf de Kopf gestellt werde. E Bespel, dem deses Modell azuwede st, wäre das Würfel mt Würfel mt Summato der bede Augezahle. Dabe öte ma sowohl vo zwe verschedee Würfel als auch vo eem Würfel, der zwemal geworfe wrd, ausgehe. Dese Kostruto a auch verallgemeert werde, wr öe auch Summe vo mehr als zwe uabhägge Zufallsvarable betrachte. De Wahrschelchetsvertelug eer solche Summe läßt sch da efach mt Hlfe reursver ormel bereche. Awedugsbespele für deses Modell sd Glücsspele, be dee oft htereader mmer weder dasselbe Spel gespelt wrd. (also etwa ee Abed lag Roulette, wobe ma mmer auf de selbe Art vo Chace setzt). y f f g g Grezwertsätze Summe veler Zufallsvarabler habe ege zuächst überraschede Egeschafte: m folgede see f, f,... uabhägge Zufallsvarable, de alle deselbe Vertelug ud daher auch de selbe Erwartugswert E( f ) ud deselbe Stadardabwechug s ( f ) bestze. Da glt: f lm PG E( f ) ε J 0 Deses Gesetz heßt Gesetz der große Zahle. Es besagt m wesetlche, daß be gro ßer Azahl vo Versuchswederholuge das arthmetsche Mttel der Versuchsausgä ge gege de Erwartugswert ees ezele Expermets overgert. Zum Bewes deses Gesetzes verwedet ma de Tschebyscheffsche Uglechug: P( f E( f ) t) V( f ) Der zwete wchtge Grezwertsatz st der Zetrale Grezwertsatz: t K

14 Neuwrth: Wahrschelchetsrechug Sete 4 lm P K f E( f ) x ( x) σ J Φ Dabe st ( x ) de Vertelugsfuto der Stadardormalvertelug, ud se st defert durch folgede Glechug: x p - z z ( x) e dz s Da vele Awedugsbespele egermaße realstsch als Summe uabhägger detsch vertelter zufällger Varabler gedeutet werde öe, st es mt Hlfe deses Sat zes oft möglch, äherugswese de Wahrschelchet teressereder Eregsse auszureche. Bespel: We groß st de Wahrschelchet, bem Würfel mt 00 Würfel ee Augesumme zwsche 35 ud 375 zu würfel? Usere Zufallsvarable f, f,... ehme alle de Werte bs 6 mt Wahrschelchet je /6 a. Daher glt 7 E( f ) 3. 5 ud daher glt auch 00 s ( f ) P( 35 Â f 375) P( Â f - E( f ) s ) 0 Der mttlere Ausdruc deser Uglechugsette st jetzt der orm, de dem zetrale Grezwertsatz etsprcht. Daher glt, daß de gesuchte Wahrschelchet sch folgedermaße bereche läßt: J G -. 0 J - 35 K H K 35