Diskrete Zufallsvariablen. Wahrscheinlichkeitsräume Zufallsvariablen Erwartungswert Varianz. Quiz

Transkript

1 Dskrete Zufallsvarable Wahrschelchketsräume Zufallsvarable rwartugswert Varaz Quz

2 Im Fall eer Glechvertelug sd glech große Telmege vo Ω glech wahrschelch. Z.B. glt für Ω{0,,}: {0}{}{} 3 {0,}{0,}{,} 3 Aalog müsste m Fall der uedlche Mege Ω0,] gelte: 0,] 0, ], ] , ], ], ] 0, ], ], ], ] De Wahrschelchket ees Teltervalls vo 0,] wäre also efach gegebe durch see Läge Komplemete, Vereguge ud Durchschtte vo Teltervalle vo 0,] sd weder Teltervalle vo 0,], z.b. c,], 3 3, ], 7], , ] ],, ], 7], ] 8 5, oder zumdest aber Vereguge dsukter Teltervalle vo 0,], z.b. c , ] 0, ] ,]. De Läge/Wahrschelchket eer Veregug dsukter Teltervalle vo 0,] st gegebe durch de Summe der Läge/Wahrschelchkete der ezele Teltervalle vo 0,], z.b , ], ], ], ]

3 Im Fall vo Ω0,] müsste ee Glechvertelug edem Teltervall vo 0,] see Läge als Wahrschelchket zuorde. Leder gbt es kee Wahrschelchketsvertelug, de dese Aforderug erfüllt ud darüber haus auch och eder belebge Telmege vo 0,] ee Wahrschelchket zuordet. Das legt dara, dass es auch sehr komplzerte Telmege vo 0,] gbt, für de ma umöglch ee Läge agebe ka. Wll ma für Ω0,] trotzdem ee Glechvertelug defere, da muss ma sch auf efachere Telmege beschräke, z.b. Teltervalle vo 0,] sowe hre Komplemete, Vereguge ud Durchschtte. Telmege vo R, de ma mt de Megeoperatoe c,, Mege. aus Itervalle erzeuge ka, heße Borel- Bespele vo Borel-Mege: [-8,-5 0,] π,, R,, c φ R, {3}[3,3] Abzählbar uedlche Vereguge ud Durchschtte sd auch erlaubt. Daher st bespelswese auch de Mege der atürlche Zahle ℵ { 0,,,3,...} {0} {} {} {3}... ee Borel-Mege. coutabl fte

4 e Mege F vo Telmege eer chtleere Mege Ω heßt σ-algebra auf Ω, we für alle A,A,A, F glt: φ F, Bespele: Ω F, A F A c F, A, A, A 3, F A A A 3 F, A, A, A 3, F A A A 3 F De Mege aller Borel-Mege st ee σ-algebra auf R. F{φ,{0},Ω} st kee σ-algebra auf Ω{0,}, wel {0} c {} F. F{φ,{},{},{,3},{,3},Ω} st kee σ-algebra auf Ω{,,3}, wel {} {}{,} F, {,3} {,3}{3} F. F{φ,{},{,3},Ω} st ee σ-algebra auf Ω{,,3}, wel φ F, Ω F, φ c Ω F, Ω c φ F, {} c {,3} F, {,3} c {} F, φ {}{} F, φ {,3}{,3} F, φ ΩΩ F, {} {,3}Ω F, {,3} ΩΩ F, φ {}φ F, φ {,3}φ F, φ Ωφ F, {} {,3}φ F, {,3} Ω{,3} F. De otezmege Ω eer chtleere Mege Ω st ee σ-algebra auf Ω. Se ethält alle Telmege vo Ω, also sbesodere auch φ ud Ω. Außerdem sd alle Komplemete, Vereguge ud Durchschtte vo Telmege vo Ω wederum Telmege vo Ω ud sd daher auch Ω ethalte. σ-algebra or σ-feld 3

5 e Fukto : F: [0,] heßt Wahrschelchketsvertelug 3, we F ee σ-algebra auf eer Mege Ω st ud für alle A F sowe für alle paarwese dsukte A,A,A 3, F glt: φ0, Ω, A c A, A A A 3 A A A 3 Telmege vo Ω, de F ethalte sd, heße regsse. De Wahrschelchketsvertelug ordet ur regsse Wahrschelchkete zu, cht aber Telmege vo Ω, de cht F ethalte sd. Das Trpel Ω,F, heßt Wahrschelchketsraum 5. Bespele: {φ,0,{},0.8,{,3},0.,{,,3},} st ee Wahrschelchketsvertelug auf F{φ,{},{,3},{,,3}}. {φ,0,{},0.7,{,3},0.,{,,3},} st kee Wahrschelchketsvertelug auf wel F{φ,{},{,3},{,,3}}, {}{,3} {} {,3}{,,3}. 3 probablt dstrbuto or probablt measure evets 5 probablt space

6 e Fukto : Ω R heßt Zufallsvarable auf dem Wahrschelchketsraum Ω,F,, we das Urbld eder Borel-Mege e regs st. De Wahrschelchket, dass ee Zufallsvarable ee Wert eer Borelmege B ammt, st gegebe durch B - B{ω Ω: ω B}. Für edes ω Ω heßt ω ee Realserug 7 vo. Bespel: Ist Ω{,,3} ud F{φ,{},{,3},Ω}, da st de Fukto {,5,,0,3,7} kee Zufallsvarable, wel - [,9]{ω {,,3}: ω [,9]}{,3} F, - [0,0]{ω {,,3}: ω [0,0]}{} F, M radom varable 7 realzato e Fukto : Ω R heßt -dmesoale Zufallsvarable auf dem Wahrschelchketsraum Ω,F,, we das Urbld eder -dmesoale Borel-Mege e regs st. De σ-algebra der -dmesoale Borel-Mege st de kleste σ-algebra auf R, de alle -dmesoale Itervalle ethält. -dmesoale Itervalle sd Rechtecke. 3-dmesoale Itervalle sd Quader. Bespel: Augezahl be Würfel Quadrat der Augezahl 3 Vorzeche der Augezahl 3-dmesoale Zufallsvarable:,, 3,, 3,, R 3 Statt 3,] ud [0,], 0,5] schrebt ma auch 3< bzw. 0 < <0<

7 Bespel: Azahl der Köpfe be -malgem Müzwurf Ω{0,0,0,,,0,,} {0,0}{0,}{,0}{,} 0,0, 0,,,0,,0 Bespel:, zwedmesoale Zufallsvarable Azahl der Zahle be -malgem Müzwurf Azahl der Köpfe be -malgem Müzwurf Ω{0,0,0,,,0,,}, {0,0} {,} 0,00,, 0,,,,0,,,,0 -<.5 -,.5] - -,.5] {0,0,0,,,0} 3 0.5<.5 0.5<.5 0.5,.5] 0.5,.5] - 0.5,.5] 0.5,.5]{0,,,0}

8 Der rwartugswert 8 eer Zufallsvarable : Ω R mt möglche Werte,, st gegebe durch... Bespel: Würfel Ω{,,3,,5,}, {}{} {} ωω Augezahl Möglche Werte:,, 3 33, 5 55,... {}... {}... {} epected value {}. g, g 3.5 Möglche Werte: g g g g 5 3 g g {.5}.5 {.5} {,}.5{,5} 0.5{3,} {0.5} Dasselbe rgebs erhält ma we folgt: g g g 3 3 g g 5 5 g Allgeme glt: g m g 7

9 8 s glt: λ λ Bewes: g λ Ω },,..., { g λ 3 λ e Zufallsvarable, de de Wert λ mt der Wahrschelchket ammt, hat ee puktvertelug 9 mt arameter λ. λ λ λ λ λ λ ud see auf demselbe Wahrschelchketsraum deferte Zufallsvarable mt de möglche Werte,, bzw.,,. s glt: 9 degeerate dstrbuto Bewes: 0 m m m m... m... m... m... m 0 Tet auf grüem Htergrud ka überspruge werde.

10 Bespel: malges Würfel De Zufallsvarable mmt m Fall ees rfolgs Sechser de Wert a ud m Fall ees Msserfolgs ke Sechser de Wert 0. Ω {,...,} {,0,,0,3,0,,0,5,0,,} rfolgswahrschelchket: {} Msserfolgswahrschelchket: 0 0 {,,3,,5} e Zufallsvarable, de de Wert mt der Wahrschelchket p ud de Wert 0 mt der Wahrschelchket -p ammt, st Beroull-vertelt mt arameter p rfolgswahrschelchket p p p 5 Ma sagt auch, dass ee Beroull-Vertelug mt arameter p hat, ud met damt deege Wahrschelchketsvertelug * auf R, de eder Borel-Mege A de Wahrschelchket zuordet. 0, p, * A p,, falls0 A, A falls0 A, A falls0 A, A falls0 A, A has a Beroull dstrbuto or s Beroull-dstrbuted 9

11 Bespel: Zwemalges Würfel Ω {,,,,...,,} mmt de Wert a, we bem. Wurf e Sechser kommt, aderfalls de Wert 0. mmt de Wert a, we bem. Wurf e Sechser kommt, aderfalls de Wert 0. De Zufallsvarable ordet edem rgebs ω Ω de Gesamtazahl der Sechser zu, z.b. { 5,} 0, {,}, {,}. z <- sample:,,replacetru; z 5 <- felsez,,0; 0 0 <- sum; 0 De Zufallsvarable ud heße uabhägg, falls A B A für alle Borel-Mege A ud B. B Im vorge Bespel sd de Zufallsvarable ud uabhägg. Bespelswese erhalte wr für A[-,0] ud B{}: [,0] {} 0 {,,,,3,,,,5,} [,0] {} Use the commad helpfelse to get more formato about felse. 0

12 Bespel: -malges Würfel Ω {,,...,,,,...,,...,,,...,} mmt de Wert a, we bem. Wurf e Sechser kommt, aderfalls de Wert 0. M mmt de Wert a, we bem. Wurf e Sechser kommt, aderfalls de Wert 0. De Zufallsvarable,, sd uabhägg, d.h. A... A A... A für alle Borelmege A,,A. De Zufallsvarable ordet edem rgebs ω Ω de Gesamtazahl der Sechser zu, z.b. {,,,,3,,,,,}. z <- sample:,0,replacetru; z 3 <- felsez,,0; ; <- sum; : :

13 De Summe... vo uabhäge Zufallsvarable,,, de ee Beroull-Vertelug mt arameter p habe, hat ee Bomalvertelug 3 mt arameter ud p. De Wahrschelchket, dass de Wert {0,,,,} ammt, st gegebe durch p p, wobe der Bomalkoeffzet!!! de Azahl der Möglchkete agbt, de erfolgreche Versuche aus de sgesamt Versuche auszuwähle. 3 bomal dstrbuto bomal coeffcet s gbt!... Faktorelle 5 -Tupel mt de Zahle,,, als hre Kompoete. Für de erste Kompoete des -Tupels komme och alle Zahle Frage, für de zwete ur och - usw. 3: 3 Wahlmöglchkete: 3 Wahlmöglchkete: 3 3 Wahlmöglchket: 3 3 Ma ka bespelswese edes der 3!3 Trpel,,3,,3,,,,3,,3,, 3,,, 3,, zur Auswahl vo Zahle verwede. Allerdgs wähle das. ud das 3., das. ud das 5. sowe das. ud das. Trpel ewels deselbe Zahle. De Azahl der Wahlmöglchkete st also desem Fall gegebe durch de Azahl der Trpel dvdert durch : 3:3!:!! 5 factoral

14 Da ee bomalvertelte Zufallsvarable mt arameter ud p defert st als Summe... vo uabhäge, Beroull-vertelte Zufallsvarable,, mt arameter p, st hr rwartugswert gegebe durch Bespele: p... p p. s gbt 5 über verschedee Tpps bem Lotto aus ! !5! 5 3 sample:5,,replacefals choose s gbt 5!5 3 0 verschedee Aorduge der 5 BRICS-Staate: BRA,CHN,IND,RUS,ZAF Alphabet CHN,IND,BRA,RUS,ZAF Bevölkerug M s gbt 30 über 5 verschedee Akteportfolos, de 5 der 30 m Dow Joes Idustral Average DJIA berückschtgte Idustreuterehme 7 ethalte: DIS,KO,MCD,AAL,NK 8 kds choce A,GS,JM,TRV,V 9 Geld M 30 30! !30 5! DJIA-Kompoete vom Walt Dse, Coca-Cola, McDoald's, Apple, Nke 9 Amerca press, Goldma Sachs, JMorga, Travelers, Vsa 3

15 Bespel: Würfel bs zum erste Sechser Ω {,,,,,...,5,,,,,,,,...} e Zufallsvarable heßt dskret 0, falls Ω edlch oder abzählbar uedlch st. De Zufallsvarable ordet edem rgebs de Azahl der Msserfolge bs zum rfolg erster Sechser zu. Bespelswese mmt de Wert 0 a, we glech bem erste Mal e Sechser kommt, de Wert, we erst bem zwete Mal e Sechser kommt, usw. ka also de Werte 0,,,3, aehme, d.h. Bespelswese st ud Ω {0,,,3,...} ℵ. { 3,,,3,5,5,3,} {,,3,,,,5,,,,,3,,,,} 5. 7 Ist de Mege der möglche Werte eer Zufallsvarable abzählbar uedlch, d.h. Ω {,,,...}, 3 da st hr rwartugswert gegebe durch..., allerdgs ur, falls dese uedlche Summe estert. Der rwartugswert eer dskrete Zufallsvarable ka ehetlch geschrebe werde als. Ω 0 dscrete

16 Würfelt ma solage, bs e Sechser kommt, da st de Wahrschelchket vo Msserfolge gegebe durch 5, ℵ. Glech bem. Mal e Sechser, ke Msserfolg: 0 rst bem. Mal e Sechser, e Msserfolg: 5 rst bem 3. Mal e Sechser, zwe Msserfolge: 5 5 rst bem. Mal e Sechser, dre Msserfolge: 3 M e dskrete Zufallsvarabe hat ee geometrsche Vertelug mt arameter p, falls p p ℵ. De Summe aller Wahrschelchkete st glech : 0 0 p p p, 0 p p De rwartugswert vo erhält ma we folgt: 0 p p p p p p p p p p p p p p p p 0 p p p p geometrc dstrbuto 5

17 Maß für de Streuug eer Zufallsvarable st gegebe durch de rwartugswert der absolute Abwechug vom rwartugswert: 3 mttlere absolute Abwechug alteratves Maß erhält ma, we ma zuerst de rwartugswert der quadrerte Abwechug vom rwartugswert ermttelt ud da de Wurzel zeht: var Varaz 5 sd var Stadardabwechug Für glt: Ω Ω Bespel: hat ee Beroull-Vertelug mt arameter p p 0 p p p var 0 p p p sd p p p p p p p p p <- c0.,0.,0.,0.8 MAD <- abs0-p*-pabs-p*p # absolute value sd <- sqrtp*-p # square root h <- rbdp,mad,sd; h # combe b rows p MAD sd dsperso 3 Weglasse der Klammer be ka de Lesbarket verbesser. mea absolute devato 5 varace stadard devato

18 geschafte der Varaz Zufallsvarable, α,β R: var var α β 3 3 R R α β α β α β α β α β α β β β β β β var Ist bomalvertelt mt arameter ud p, da glt für var für 3 ud allgeme 0 0 p 0 p p p p p p p, var... 3p p var p p. De Varaz eer Summe vo uabhäge, Beroullvertelte Zufallsvarable mt arameter p st also gegebe durch var... p p ud st somt glech der Summe var... var p p... p p der Varaze der Summade. 0 7

19 8 Allgeme glt... var var... var, falls,, paarwese uabhägg sd. Bewes für : Ω Ω Ω Ω Ω Ω var var var

20 Momete: Für k ℵ heßt das chtzetrale Momet der Ordug k 7 vo, k k Spezelle Momete: Nchtzetrales Momet der Ordug : rwartugswert Zetrales Momet der Ordug : Varaz Normertes zetrales Momet der Ordug 3: Schefe 30 Normertes zetrales Momet der Ordug : Wölbug 3 das zetrale Momet der Ordug k 8 vo ud sd das ormerte zetrale Momet der Ordug k 9 vo. k 7 ocetral momet of order k 8 cetral momet of order k* 9 ormalzed cetral momet of order k 30 skewess 3 kurtoss 9

21 Quz F{φ,{3,5},,} σ-algebra auf Ω{3,,5},? {φ,0,{0,,},0.,{3},,{0,,,3},},? Glechvertelug auf {-5,-,,}, ωω,? -50., -30., 0.7,?, -, Z33, Z? 30.3, -0., 0.5,? var3, -9, var?, var3,? Glechvertelug auf {,3,}, ~B,0.5 3,? Lösuge {3,5} c Ω {} Ω 3 {3}{0,,} c {3} {0,,} {-5} {} 0 {-,.,} Z varvar-9 var-9-- var 3 var var Abkürzug für: hat ee Bomalvertelug mt ud p0.5 0