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1 Lageparameter Sete Glederug des Kurses: I II Allgemee Grudlage Statstsche Aalyse ees ezele Merkmals Aalyse/Beschrebug ees ezele Merkmals Zel: Verdchtug (Komprmerug) eer uüberschaubare Datemege Komprmerede Beschrebug mttels:. Häufgketsvertelug (Tabelle ud Grafe) 2. Term 2. Lageparameter 3. Term 3. Streuugsmaße bzw. -parameter 4. Term 4. Kozetrato der Vertelug 5. Term Glederug Term III: II. Statstsche Aalyse ees ezele Merkmals. Edmesoale HK-Vertelug & hre Darstellug 2. Lageparameter (S.54 bs S.64) 2. Modus 2.2 Meda 2.3 Arthmetsches Mttel 2.4 Geometrsches Mttel 2.5 Harmosches Mttel

2 2 Lageparameter Lageparameter Sete 2 Lage- ud Streuugsparameter Aussehe des Datefeldes z.b. Spa wete Ekomme Ekomme [Euro] [Euro] Lage des Datefeldes z.b. Mttelwert Def. (Lageparameter): Kezahl, mt der de mttlere Lage des Datematerals beschrebe wrd Skalerug ud Lageparameter Skala/Lageparameter Modus Meda Arthm. Mttel Nomal + Ordal + + Metrsch Amerkug:. Ugruppertes Datemateral: ur ezele Merkmalswerte 2. Gruppertes Datemateral: Merkmalswerte werde gruppert

3 Lageparameter Sete 3 2. Häufgster Wert (Modus/Modalwert) Modus D = Wert, der am häufgste vorkommt. Berechug:. Dskretes Merkmal Wert mt der größte relatve HK h(x ) 2. Stetges, gruppertes Merkmal Modalklasse: Klasse mt der größte Häufgketsdchte f(x) Modus: Klassemtte der Modalklasse Awedug ur be egpflge (umodale) Verteluge Gegebespel: x h(x ) 0 0,2 0,4 2 0,4 Bespel A: Bezehugsstatus A (Umfrage 2008) MMA (A ) Abs. HK () Solo (A ) 323 Feste Bezehug (A 2 ) 382 Verheratet (A 3 ) 20 Rel. HK (h=/) 0,438 0,58 0,027 Modus D = {Feste Bezehug}

4 Lageparameter Sete 4 Bespel B: Quadratmeter x (Umfrage 2008) Klasse u Meter² x < x x o Δ x Abs. HK Rel. HK h Klassebrete Dchte- Fukto f(x ) ,0357 0, ,2525 0, ,2439 0, ,969 0, ,3 0, ,598 0,0008 Isgesamt 70,000 Modalklasse: = 2 Modus D = 2,5 (Klassemtte)

5 Lageparameter Sete Meda Z (Zetralwert) Meda Z = halbert das Datemateral, d.h. 50 % aller Ehete lege oberhalb ud 50 % aller Ehete lege uterhalb deses Wertes (Meda = '50-Prozetpukt') a) Berechug (Ugrupperte Date): Gegebe sd: belebge Merkmalswerte x, x 2,..., x ; geordet ach Größe: x() x ( 2)... x ; Als Meda Z wrd defert Z = x +, falls ugerade 2 Z = x + x , falls gerade

6 Lageparameter Sete 6 Bespel: Moatsgehälter DALLES&CO. (Skrpt) Mäer: 650, 2030, 840, 520, 670; = 5 Fraue: 70, 960, 2570, 490; = 4 Geordete, sorterte Werte: Mäer: 520, 650, 670, 840, 2030 Fraue: 490, 70, 960, 2570 M/F: 490, 520, 650, 670, 70, 840, 960, 2030, 2570 Z = x = x = M M+ F ( ugerade) ZF = x + x x x = + = + = gerade Z = x = 70 ( ( 2) ( 3) ) b) Berechug (Grupperte Date): Berechug des Medas mt Hlfe der Vertelugsfukto F(x) Da 50 % der Merkmalswerte ee kleere Merkmalswert als de Meda Z habe, glt: h(x Z) = F(Z) = 0,5

7 Lageparameter Sete 7 b) Metrsch skalertes, dskretes Merkmal Ablese des Medas Z aus der Vertelugsfukto a der Stelle F(Z) = 0,5 a) Falls F(x) auf eer Treppestufe de Wert 0,5 ammt: Meda glech Durchschtt aus uterem ud obere Wert der Treppestufe b) Falls F(x) de Wert 0,5 cht ammt: Meda glech dem kleste Merkmalswert, a dem de Vertelugsfukto größer als 0,5 st. Fx Fx Z=2,5 Z=2 a) b) Auch Formel für ugruppertes Datemateral awedbar

8 Lageparameter Sete 8 Bespel: Semesterazahl x (Wohugsumfrage 2006) (a) Orgaldate MMA Abs. HK Rel. HK (x ) (x ) h(x ) (x ) 65 0,396 3 (x 2 ) 94 0,574 5 (x 3 ) 5 0,030 Summe = 64,000 Kum. abs. HK (x x ) Kum. rel. HK F(x ) 0,396 0,970,000. Berechug mt F(x ): ke Wert F(x ) = 0,5 wo wrd 0,5 zum erste Mal überschrtte? Z=3 2. Formel ugruppert: = 64 (gerade) = + = + = = Z x x x( 82) x ( 83) [ ] (b) Kostruertes Bespel MMA Abs. HK Rel. HK (x ) (x ) h(x ) (x ) 65 0,396 3 (x 2 ) 7 0,04 5 (x 3 ) 82 0,500 Summe = 64,000 Kum. abs. HK (x x ) Kum. rel. HK F(x ) 0,396 0,500,000. Berechug mt F(x ): Es gbt Wert F(x ) = 0,5 Durchschtt aus uterem ud obere Wert der = = 4 2 Treppestufe: Z [ ] 2. Formel ugruppert: Z = 4

9 Lageparameter Sete 9 b2) Metrsch skalertes, stetges Merkmal Uterhalb welche Wertes lege 50% aller Merkmalsauspräguge? gegebe: F(x) = 0,5 gesucht: x Iterpolatosformel 2 : u F( x ) F x u allg eme : x = x + Δx h x u ( ) 0,5 F x u kokret : Z = x + Δx h x

10 Lageparameter Sete 0 x Bespel: Quadratmeter x (Wohugsumfrage 2008) Klasse Meter² Klassebrete Abs. HK Rel. HK u o x < x x Δ h Vertelugsfukto o ( ) F x Dchtefukto f(x ) ,0357 0,0357 0, ,2525 0,2882 0, ,2439 0,532 0, ,969 0,7290 0, ,3 0,8403 0, ,598,000 0,0008 Isgesamt 70,000 Meda legt Klasse 3 (zwsche 5 ud 20) u ( ) 0,5 F x u Z= x + Δx h( x ) 0,5 0, 2882 = = 9,342 0, 2439

11 Lageparameter Sete 2.3 Arthmetsches Mttel Das arthmetsche Mttel x gbt a, welche Merkmalswert jede statstsche Ehet habe würde, we de gesamte Merkmalssumme glechmäßg auf alle statstsche Ehete vertelt wäre (Ersatzwert). Durchschtt aus de Merkmalswerte aller statstsche Ehete a) Formel Ugrupperte Date x = ( x + x x ) = x = 2 Bespel: Körpergröße cm x Durchschttlche Körpergröße st: = 5 x = x = x + x x = ( ) = 852 = 70,4cm 5 5

12 Lageparameter Sete 2 b) Formel Grrupperte Date Gewchtetes (gewogees) arthmetsches Mttel (Addtossatz für Mttelwerte): k = x = x h x Gewchte: relatve Häufgkete Was st x? Dskretes Merkmal: x = x (=Merkmalsausprägug) Stetges, klassertes Merkmal: (= Klassemtte) x = x *

13 Lageparameter Sete 3 Bespel: Klausurote (Dskretes MM) EIGENTLICH: Be Ordalskala ke Arthm. Mttel bereche! Note (x ) ,4 0,2 0,3 0, 0,0 0,0 x gewogees arthmetsches Mttel: k = x = x h x = 0,4 + 20,2 + 30,3 + 40, = 2, ugruppertes arthmetsches Mttel: x 0 x = = = = 2= 2, 0 0 0

14 Lageparameter Sete 4 Bespel: Quadratmeter x (Umfrage 2008) Klasse u Meter² x < x x o Klasse mtte x * Abs. HK Rel. HK h , ,5 77 0, ,5 7 0, , , ,598 Isgesamt 70,000 k * x = x h x = x h x = = k = 5 0, ,5 0, ,5 0, , , ,598 = 40,9475

15 Lageparameter Sete 5 Formale Egeschafte des arthmetsche Mttels x () De Summe der Abwechuge der Merkmalswerte vo x st Null. ( x x) = x x = x x = 0 qed... = = = = (2) De Summe der quadrerte Abwechuge der Merkmalswerte vo x st e Mmum. = ( x x) 2 = m Bewes: = ( ) 2 d a x a = a belebg Extremaproblem:. Abletug wrd Null gesetzt Extrema (m, max) möglch d a da Also: = 2 x a Ketteregel ( x a) = 2 = 0 ( x a) = 0 x a= 0 a= x = x qed..

16 Lageparameter Sete 6 Fechersche Lageregel zum Verglech vo arthmetschem Mttel x, Zetralwert (Meda) Z ud Modus D a) symmetrsche Vertelug: x = Z= D b) asymmetrsche Vertelug: x Z D Lks- ud rechtsstele Verteluge (Abb. III.8) Abb. III.8: Fechersche Lageregel ud lksud rechtsstele Vertelug

17 Lageparameter Sete Geometrsches Mttel Das geometrsche Mttel st svoll be der Mttlug vo Wachstumsrate oder adere multplkatv verküpfte Merkmalswerte. Gegebe: postve Merkmalswerte x, x 2,..., x Geometrsches Mttel GM = x x2... x = x x > 0 = oder log GM = ( log x+ log x log x) = log x =

18 Lageparameter Sete 8 Bespel: Umsätze der Frma F.I.R.M.A. vo Mo. DM Jahr Umsatz 984 2, , , , , Zuwachsrate % +20,00 +20,83-6,89 +4,8 Wachstumsfaktor,2000,2083 0,930,48 We groß st der durchschttlche relatve Umsatzzuwachs (Zuwachsrate) pro Jahr? GM = 4, 2, , 930, 48 =, 579 Durchschttlche Zuwachsrate pro Jahr:,579 00% =,579% Jahr Umsatz, ,0 2,236 2,4900 2,7783 3,000 2,236 2,4900 2,7783 3,

19 Lageparameter Sete Harmosches Mttel Das harmosche Mttel wrd be der Mttelug vo Brüche mt kostatem Zähler agewadt (z.b.: Geschwdgket dvdert durch de Zet, Prese, Verhältszahle). Harmosches Mttel HM = + = x x x x 2 = Bespel: Durchschttsgeschwdgket E Zug fährt vo A ach B ud weder zurück. Auf dem Hweg fährt er m Schtt mt 200 km/h, auf dem Rückweg ur mt 00 km/h. We groß st de Durchschttsgeschwdgket sgesamt? Gesucht: Mttelwert aus Brüche (km/h) Kostater Zähler: Gleche Klometerzahl Berechug: 2 HM = = = 33,3 km / h + = x We Strecke 200 km lag st: Hweg Stude ud Rückweg 2 Stude: 400 km/3h=33,3 km/h

20 Bespel: Wohugsumfrage 2008 Lageparameter Sete 20 Merkmal Skala Modus Meda Arthm. Mttel Afahrtsweg ( M) Metrsch ,07 Meter² Metrsch ,72 Warmmete Metrsch ,85 Ekomme Metrsch ,28 Geburtsjahr Metrsch ,8 Famledstaz Ordal 3 (bs zu 00 km) 3 (bs zu 00 km) Zufredehet Ordal 4 (gut) 4 (gut) Berufschace Ordal 4 (gut) 4 (gut) Aktvtät Nomal (Abtur) Lüeburg Nomal (Ja) Wohug Nomal 2 (WG/Wohhem) Studegag Nomal (BWL) Leuphaa_Medum Nomal 4 (Freude/Elter) Zel Nomal (Famle) Leuphaa_Grud Nomal 4 (Studefach) Geschlecht Nomal 2 (Frau) Bezehuugsstatus Nomal 2 (Feste Bezehug)

2. Mittelwerte (Lageparameter)

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