Lageparameter (Mittelwerte) und Streuungsparameter
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- Kristina Elizabeth Graf
- vor 7 Jahren
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Transkript
1 Statstk Grudlage Charakterserug vo Verteluge Eführug Wahrschelchketsrechug Wahrschelchketsverteluge Schätze ud Teste Korrelato Regresso
2 Lageparameter (Mttelwerte) ud Streuugsparameter Mttelwerte: Gebe de zetrale Tedez der Vertelug der Date wder. Streuugsparameter: Gebe de Varato der Date wder.
3 Mttelwerte Arthmetsches Mttel: Das arthmetsche Mttel st de Summe aller Messwerte, getelt durch dere Azahl : ( ) Egeschafte: Ist edeutg bestmmt, wrd für metrsche Skale verwedet. De Summe der Abwechuge der Ezelwerte vo hrem gemesame Mttelwert st glech Null (Schwerpuktsegeschaft). ( ) 0 De Summe der quadratsche Abwechuge vom Mttel st kleer als de Summe der quadratsche Abwechuge vo eem belebge adere Wert j der Stchprobe. ( ) 2 ( ) 2 für j j { j j }
4 Mttelwerte Arthmetsches Mttel: Das arthmetsche Mttel st de Summe aller Messwerte, getelt durch de Azahl der Messwerte: ( ) Egeschafte: Das arthmetsche Mttel st besoders aussagekräftg, we sch de Wertevertelug eg um de Mttelwert kozetrert, d.h. ee starke zetrale Tedez aufwest. Ist des cht der Fall, d.h. st de Stchprobe sehr homoge ud dspers vertelt, sd adere Mttelwerte vo höherer Aussagekraft. Berückschtgt alle ethaltee Iformatoe, Mmum ud Mamum köe starke Efluss bestze. Allerdgs trete verschedee Verteluge be glechem Mttel auf. Daher werde auch adere Ortsparameter beötgt.
5 Mttelwerte Verschedee Verteluge be glechem Mttel
6 Mttelwerte Modus: Der Modus Mo (Modalwert, Dchtemttel) st derjege Varablewert, der eer Vertelug am häufgste vorkommt, de Häufgketsvertelug errecht her also hr absolutes Mamum: y y Mo U + k k b mt U utere Greze ud y y k y k y 2 k Azahl der Elemete k + der am häufgste besetzte Klasse, y k-, y k+ Azahl der Elemete de Nachbarklasse, b Klassebrete Verschedee Ergebsse: Abhägg vo f k- ud f k+. y y k k y k y k y 2 k + z damt st z 0, we y k y k- z, we y k y k+ z 0.5, we y k- y k+ y k
7 Mttelwerte Egeschafte: Der Modus gewchtet de häufgste Wert etspreched y k- ud y k+. Ka be alle Skaletype verwedet werde. Ausahmewerte mt gergere als de mamale Häufgket beeflusse de Modus cht. Für klassfzerte Date st der Modus stark vo der Klasseetelug abhägg. Kee Berückschtgug der Vertelug der Werte. Auch bmodale oder multmodale Verteluge köe erfasst werde.
8 Mttelwerte 0 9 Modus Mo Häufgkete Ekomme Modus Mo 6.5 Häufgkete Ekomme
9 Mttelwerte Meda: Der Meda Me (Zetralwert) st derjege Varablewert, der ee ach der Größe geordete Ragfolge vo Messwerte geau halbert, uterhalb ud oberhalb des Medas lege also jewels 50% der Messwerte: Uklassfzerte Date Me ( +) / 2 + Me 2 / 2 / 2+ für ugerades ud für gerades be uklassfzerte Date
10 Mttelwerte Meda: Der Meda Me (Zetralwert) st derjege Varablewert, der ee ach der Größe geordete Ragfolge vo Messwerte geau halbert, uterhalb ud oberhalb des Medas lege also jewels 50% der Messwerte: Klassfzerte Date / 2 H Me U + H k k H k- b mt H k klester Summehäufgket (absolut oder relatv) /2, U utere Klassegreze des zu H k gehörede Itervalls, H k -H k- Häufgket der Klasse H k b Klassebrete Summehäufgket Meda Me 6.34 /2 H k 5 H k b U Ekomme
11 Mttelwerte Egeschafte: Berechug des Meda setzt Ordug der Varablewerte voraus, daher ka Meda ur auf ordale ud metrsch Varable agewedet werde. Uterhalb ud oberhalb des Medas lege 50% der Messwerte, Summehäufgketsdarstelluge lecht ablesbar. Ee Verschebug des Mmum ud des Mamum hat be größerem kee Auswrkuge, daher besteht ee Resstez gegeüber Ausreßer. Der Meda muss selber cht zur Datemege der Stchprobe gehöre. Der Meda hat de Egeschaft, dass er derjege Wert st, desse Summe der absolute Abstäde zu alle Messdate mmal st. Damt eget er sch be Fragestelluge der Stadortoptmerug. Me mmal
12 Mttelwerte Quartl: Wert, be dee e bestmmter Prozetsatz der Date oberhalb ud uterhalb deses Wertes lege. De Bestmmug des Quartls erfolgt etspreched dem des Meda. Q : 25% der Date lege uterhalb ud 75% oberhalb davo (betrachtet wrd /4). Q 2 : 50% der Date lege uterhalb ud 50% oberhalb davo ( Me, /2). Q 3 : 25% der Date lege oberhalb ud 75% uterhalb davo (3/4). 25 Summehäufgkete Q Q Q Ekomme
13 Mttelwerte Bo-Whsker-Plot
14 Mttelwerte Kedate für Ekommesvertelug: Arthmetsches Mttel: 6.2 Modus: 6.7 Modus, klassfzert: 6.52 Meda: 6.5 Meda, klassfzert: 6.3 Q : 4.9 Q 3 : 7.5 Iterquartlsabstad: 2.6 Spawete: 8.2
15 Mttelwerte Bespel: Verglech des arthmetsche Mttels, dem Modus ud dem Meda be uklassfzerte Date. X X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 Modus Meda Arth. Mttel
16 Mttelwerte Bespel: Verglech des arthmetsche Mttels, dem Modus ud dem Meda be klassfzerte Date. Symmetrsche Glockekurve Mo Me Lksgpflge Glockekurve Mo Me Rechtsgpflge Glockekurve Me Mo
17 Mttelwerte Gewchtetes arthmetsches Mttel: Das gewchtete arthmetsche Mttel wrd für Messwerte berechet durch: g g g + g + + g mt Wert der -te Varable, g + g g g g Gewcht der -te Varable g Egeschafte: Awedug be Abschätzug vo fehlede Varablewerte durch gewchtetes Mttel aus see Nachbarwerte. Glättug vo emprsche Rehe zur Erfassug vo Treds oder Perode mt jewels stärkerer Gewchtug des Glättugspuktes gegeüber see Nachbar.
18 Mttelwerte Bespel: Awedug be Nederschlags-Messdate vo Klmastatoe A, B, C, D de uterschedlch große Gebete repräsetere. Ee mttlere Nederschlagswert wrd dadurch bestmmt, dass größere Gebete stärker berückschtgt werde solle, daher wrd ee Gewchtug des Gebetes vorgeomme. Zur Verefachug soll g + g g se. Daher st g Fläche Fläche Mess-Stato Messwert (mm) Fläche (km 2 ) g A B C D Summe 27 Damt beträgt der gewchtete mttlere Nederschlag g 4.66 mm
19 Mttelwerte Bespel: Awedug etwa be Ozo-Messdate vo Klmastatoe A, B, C, D de uterschedlch wet vo eem zu betrachtede Ort P etfert lege. Da zu P ähere Klmastatoe stärker berückschtgt werde solle, wrd ee verse Gewchtug der Dstaz vorgeomme. Zur Verefachug soll g + g g se. Daher st g * Dst. Dst. ud damt g g * g * Mess- Stato Messwert (mg/l) Dst. zu P (km) g A B C D Damt beträgt am Ort P der gewchtete Ozo-Mttelwert g 28.8 mg/l
20 Mttelwerte Geometrsches Mttel: Das geometrsche Mttel G wrd für Messwerte berechet als de -te Wurzel aus dem Produkt der Varablewerte durch: G bzw. l( G) l( 2... ) Egeschafte: Wrd be verhältsskalerte Merkmalswerte verwedet, we dese e epoetelles Wachstum zege (Verhältsse, Wachstumsrate). Auch be Stchprobe mt ezele Ausreßer. Awedug etwa be Bevölkerugsetwcklug eer Stadt oder be epoetellem Verlauf eer Etwässerugskurve. Reagert weger empfdlcher gegeüber Ausreßer als das arthmetsche Mttel.
21 Mttelwerte Bespel: Das Mttel aus eer Verdoppelug ud eer achfolgede Verachtfachug etwa eer Bakterekultur st ee Ververfachug (cht ee Vervelfachug um de Faktor 5)
22 Mttelwerte Bespel: E Guthabe G wrd m. Jahr mt 2%, m 2. Jahr mt 5% ud m 3. Jahr mt 7% verzst. Aufgrud der Wachstumsfaktore ergbt sch ach 3 Jahre daher e Guthabe vo G Das gleche Guthabe ergbt sch über de Zetraum vo 3 Jahre be eem kostate Zssatz durch: ( + p) 3 G G , daher + p
23 Mttelwerte Harmosches Mttel: Das geometrsche Mttel H wrd für Messwerte berechet durch: H Egeschafte: Der Kehrwert des harmosche Mttels st das arthmetsche Mttel der Kehrwerte. Wrd Ausahmefälle astelle des arthmetsche Mttels verwedet. Voraussetzug st, dass de Bezugsehete ee ehetlche Läge bestze. Awedug etwa glech lage Streckeabschtte ees Flusses dee uterschedlche Fleßgeschwdgkete auftrete, oder etwa be Fahrgeschwdgkete.
24 Mttelwerte Bespel: Fährt ma 00 km mt 50 km/h ud da 00 km mt 00 km/h, da legt ma 200 km 3h zurück. De Durchschttsgeschwdgket st das harmosche Mttel ud beträgt ~66.6 km/h. Dabe erfolgt der Bezug auf de Telstreckeläge. H ~66.6 Im Utersched dazu würde ma das arthmetsche Mttel verwede we de Agabe auf de Telgeschwdgkete bezoge wäre, dass ma also 2 h mt 50 km/h fährt ud da h mt 00 km/h. Da ma 200 km 3 h zurücklegt beträgt de Durchschttsgeschwdgket etspreched ~66.6 km/h.
25 Streuugsmaße Spawete: De Spawete R bezechet de Dfferet zwsche dem mamale ud dem mmale Wert eer Vertelug: R ma - m Egeschafte: Beschrebt de Größe des Itervalls, cht aber de Vertelug der Date.
26 Streuugsmaße Durchschttlche Abwechug: De durchschttlche Abwechug d bezeht sch auf de arthmetsche Mttelwert ud wrd für Messwerte berechet durch: d Egeschafte: Det als Charakterserug der Aussagekraft des arthmetsche Mttels für de Häufgketsvertelug eer Stchprobe. De Aussagekraft st daher um so größer, je besser das arthmetsche Mttel zur Charakterserug der Zetraltedez geeget st.
27 Streuugsmaße Bespel: Bezug zum arthmetsche Mttel für Häufgkete.
28 Streuugsmaße Stadardabwechug: De Stadardabwechug σ bezechet de Streuug um de arthmetsche Mttelwert ud wrd für Messwerte berechet durch: σ ( ) 2 Egeschafte: De Stadardabwechug lässt sch auch als Maß für de mttlere Abwechug der Werte voeader auffasse. Allerdgs werde durch das Quadrere etreme Werte be der Stadardabwechug stärker berückschtgt als be der mttlere Abwechug. De Stadardabwechug st zwar das gebräuchlchste Maß für de Agabe der Streuug eer Vertelug um das Mttel, be Vergleche vo uterschedlche Verteluge ka se jedoch ur verwedet werde, we de arthmetsche Mttel der Verteluge etwa glech sd.
29 Streuugsmaße Stadardabwechug: De Stadardabwechug σ bezechet de Streuug um de arthmetsche Mttelwert ud wrd für Messwerte berechet durch: σ ( ) 2 Egeschafte: Ierhalb des Berechs der doppelte Stadardabwechug 2σ um das arthmetsche Mttel lege be eer ormalvertelte Stchprobe ~95% aller Werte.
30 Streuugsmaße Varaz: De Varaz σ 2 wrd für Messwerte berechet durch: 2 σ ( ) 2 Egeschafte: Stellt de durchschttlche quadratsche Abwechug der Ezelwerte vom arthmetsche Mttelwert dar. Je kleer de Varaz st, desto eger streue de Ezelwerte arthmetsche Mttel. um das
31 Streuugsmaße Verglech der Egeschafte der verschedee Streuugsmaße: Mttlere Abwechug ud Stadardabwechug habe gegeüber der Varaz de Vortel, dass se de Streuug der Varablewerte der ursprüglche Ehet messe ud somt haltlch lechter zu terpretere sd. Ist m (oder C) z.b. de Maßehet der Varable, so werde de mttlere Abwechug ud de Stadardabwechug ebefalls m (oder C) agegebe, de Varaz dagege m² (oder C²). Dese Maße ege sch besoders zur Charakterserug umodaler, symmetrscher Verteluge. Je schefer ee Vertelug st, desto otwedger st de Beutzug vo Häufgketstabelle ud -dagramme. Varaz ud Stadardabwechug habe der Statstk sgesamt ee größere Bedeutug als de mttlere Abwechug, wel se sch lecht für theoretsche Verteluge bereche lasse. Relatve Streuugsmaße De bsherge Streuugsmaße sd absolute Größe ud da für Vergleche kaum esetzbar, we ma etwa de Streuug mehrerer Stchprobe mt verschedee Mttelwerte vergleche wll. Dazu werde relatve Streuugsmaße betrachtet.
32 Streuugsmaße Varatoskoeffzet: Der Varatoskoeffzet υ wrd berechet durch: σ υ 00 für 0 Egeschafte: Stellt de relatve Stadardabwechug dar, wrd mest % agegebe. Wrd verwedet falls uterschedlche Verteluge vorlege ud dese mteader verglche werde solle. De Verwedug des Varatoskoeffzete bestzt Voraussetzuge, de der geowsseschaftlche Pras vo großer Bedeutug sd: De verwedete Skala muss ee absolute Nullpukt (Verhältsskala) oder kostate Klassegröße habe. Daraus folgt z.b., dass Temperaturmessuge C erst K umgerechet werde müsse, bevor hre Streuuge ausgedrückt als Varatoskoeffzet vergleched terpretert werde köe.
33 Streuugsmaße Bespel: Körpergröße uterschedlche Altersgruppe. Arthm. Stad. Körpergröße Azahl Mttel abw. Varatoskoeffzet Gruppe A % Gruppe B %
34 Streuugsmaße Kedate für Ekommesvertelug: Arthmetsches Mttel: 6.2 Modus: 6.7 Modus, klassfzert: 6.52 Meda: 6.5 Meda, klassfzert: 6.3 Q : 4.9 Q 3 : 7.5 Spawete: 8.2 Durchschttlche Abwechug:.79 Varaz: 5.2 Stadardabwechug: 2.26 Varatoskoeffzet: 36.95% Iterquartlsabstad: 2.6
35 Streuugsmaße Skaletyp Mttelwerte Streuugsmaße Nomal Modus Ordal Itervall Meda Modus Quartl Meda Modus Quartl Arthmetsches Mttel Spawete Iterquartlsabstad Spawete Iterquartlsabstad Stadardabwechug Varaz Verhälts Meda Modus Quartl Arthmetsches Mttel Geometrsches Mttel Spawete Iterquartlsabstad Stadardabwechug Varaz Varatoskoeffzet
36 Stadardserug Stadardserug: De für de Varable mt Elemete stadardserte Varable z wrd berechet durch:, wobe das arthmetsche Mttel ud σ de Stadardabwechug der Varable st. Egeschafte: Zel der Stadardserug metrscher Varable st es, de Messwerte so zu trasformere, dass se das arthmetsche Mttel ud de Stadardabwechug (ud Varaz) σ aufwese. Damt werde verschedee Varable verglechbar. für z σ 0 0 ) ( z z σ σ z z z 2 2 ) ( σ σ σ ) ( ) ( ) ( σ
37 Stadardserug Bespel: Körpergröße uterschedlche Altersgruppe. Gruppe A Gruppe A, Stadardsert Gruppe B Gruppe B, Stadardsert Arthm. Mttel Stadardabw
38 Stadardserug Bespel: Körpergröße uterschedlche Altersgruppe. Gruppe A Gruppe B 2,00,90,80,70,60,50,40,30 + σ - σ 2,00,90,80,70,60,50,40, Gruppe A, Stadardsert,50,00 0,50 0,00-0, ,00 -,50-2,00 Gruppe B, Stadardsert,50,00 0,50 0,00-0, ,00 -,50-2,00
Verdichtete Informationen
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