Einführung in Statistik

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1 Eführug Statstk 4. Semester Begletedes Skrptum zur Vorlesug m Fachhochschul-Studegag Iformatostechologe ud Telekommukato vo Güther Kargl FH Campus We 2009

2 Ihaltsverzechs Eführug Statstk Eletug. Deskrptve Statstk 3. Uvarate Datebeschrebug 3.2 Multvarate Datebeschrebug 3 2. Wahrschelchketsrechug Grudlage der Wahrschelchketsrechug Dskrete Verteluge Stetge Verteluge Überblck Schätz- ud Testverfahre 4 3. Pukt- ud Itervallschätzug Ege statstsche Testverfahre 46 Ahag: Statstsche Tafel ud Fuktoe A

3 Eletug Eletug We ma vo Statstk hört, dekt ma vellecht zuächst a Erhebuge über Kosumgewohhete, Verkehrsufälle, a Berechuge vo Presdzes oder Durchschttsekomme kurzum a das wete Gebet der sogeate beschrebede (deskrptve) Statstk. Deser älteste Zweg der Statstk beschäftgt sch vor allem mt der überschtlche Darstellug vo Datemege mttels Tabelle, Graphke ud der Berechug charakterstscher Maßzahle (Mttelwert, Varaz, Korrelatoskoeffzet u.a.). De beschrebede Statstk wrd heute z.b. vo der Republk Österrech m Rahme der "Amtlche Statstk", vo Markt- ud Meugsforschugssttute, u.s.w. betrebe. Daebe wrd das Wort Statstk och eem adere S verwedet: Ma deke etwa a Wahlhochrechuge, a Progose über de Bevölkerugsetwcklug, a Vergleche über de Wrksamket vo Medkamete oder a de Prüfug vo Umweltbelastuge durch Schadstoffe. Frage deser Art gehöre zum Gebet der beurtelede (duktve) Statstk, dere Zel es st, auf Grud vo Stchprobedate allgemegültge Aussage über ee bestmmte Grudgesamthet zu gewe. E Verstäds der Methode der beurtelede Statstk, de vele Bereche der Techk, der Medz, der Wrtschafts- ud der Sozalwsseschafte zur Awedug gelage, setzt zumdest Grudketsse der Mathematk, sbesodere der Wahrschelchketsrechug, voraus. E efaches Bespel möge ee erste Eblck de Arbetswese der duktve Statstk vermttel: Der Efluss vo Alkohol auf das meschlche Reaktosvermöge soll utersucht werde. Dazu werde zeh Persoe (behadelte Gruppe "B") zufällg ausgewählt ud dere Reaktoszet eem geau festgelegte Expermet ach Kosumato eer bestmmte Alkoholmege gemesse. Zusätzlch werde de Reaktoszete vo zeh wetere Persoe (Kotrollgruppe "K") ermttelt, de kee Alkohol zu sch geomme habe. De erhaltee Messwerte sd der folgede Tabelle zusammegefasst: Reaktoszete ( s) der ezele Persoe Gruppe B 0.79, 0.82, 0.82, 0.67, 0.88, 0.60, 0.94, 0.77, 0.90, 0.74 Gruppe K 0.59, 0.68, 0.80, 0.62, 0.64, 0.70, 0.82, 0.9, 0.72, 0.60 De bede Gruppe solle also hschtlch ees Merkmals, der Reaktoszet, mteader verglche werde. Dazu wrd ma zuächst de bede Gruppemttel x B = bzw. x K = bereche, de erwartugsgemäß cht überestmme. Für de Verschedehet ka es mehrere Grüde gebe. Wr wolle ausschleße, dass de Versuchsplaug oder Versuchsdurchführug fehlerhaft war (z.b. ka be cht zufällger Auswahl der Probade ee küstlche Heterogetät zwsche de bede Gruppe etstehe). I der Regel werde aber be jedem Versuch Zufallsschwakuge mtspele, de z.b. durch bologsche Varabltät oder durch Messfehler bedgt sd. Solche Abwechuge sd uvermedbar ud werde de statstsche Verfahre etspreched berückschtgt.

4 Eletug 2 Schleßlch ka tatsächlch e Utersched m Verhalte der Gruppe bestehe, d.h. e Efluss des Alkoholkosums auf de Reaktoszet, ud deser Effekt soll ja gerade aufgedeckt werde. Ka also aus der Uglechhet der Gruppemttel geschlosse werde, dass de mttlere Reaktoszet all jeer Mesche, de durch dese 20 Versuchspersoe repräsetert werde, vo Alkoholkosum beeflusst wrd? Dese Frage lässt sch durch ee statstsche Test beatworte, der agbt, we ud mt welcher Scherhet vo de bede Stchprobe auf de etsprechede Grudgesamthete geschlosse werde ka. Am Beg eer jede statstsche Utersuchug sollte stets ee geaue Abgrezug des zu utersuchede Problems ud de Formulerug vo Hypothese stehe. Erst da ka svoller wese e Expermet oder ee Erhebug geplat, ausgeführt ud ausgewertet werde. De statstsche Aalyse des Datematerals ermöglcht schleßlch de Schluss vo de Stchprobedate auf de (reale oder hypothetsche) Grudgesamthet, der e mt vollkommeer Scherhet, soder ledglch mt eer bestmmte, agebbare Wahrschelchket erfolge ka. Dabe versteht ma uter eer reale Grudgesamthet ee tatsächlch exsterede Grudgesamthet, bestehed aus eer edlche Azahl vo Idvdue oder Objekte (z.b. de Gesamtbevölkerug Österrechs, alle Neugeboree des Jahres 2000 oder alle Computer eer bestmmte Type aus eer festgelegte Produktosperode). Hypothetsche Grudgesamthete hgege exstere ur der Vorstellug ud köe mest als uedlch groß aufgefasst werde (z.b. alle Leukämepatete verglechbarem Zustad, de der gleche Therape uterzoge werde köte, oder alle Messuge, de mt demselbe Apparat a eem bestmmte Präparat durchgeführt werde köte). Aussage über de Grudgesamthete erhalte wr aus Utersuchuge vo Stchprobe. Dese müsse daher so gewählt se, dass de Ergebsse auf de betreffede Grudgesamthet verallgemeerbar sd. Zumest gescheht des Form vo Zufallsstchprobe, d.h., dass jedes Elemet der Grudgesamthet be eer Auswahl de gleche Chace hat, de Stchprobe zu gelage. Dese Darstellug st folgedermaße gegledert: Der erste Abschtt st der deskrptve Statstk gewdmet. Dabe werde beschrebede Verfahre für e- ud mehrdmesoale Stchprobe, d.h. für Beobachtuge, be dee e oder mehrere Merkmale erfasst werde, behadelt. Herzu zähle tabellarsche ud graphsche Methode, de Berechug vo Maßzahle sowe de Regressos- ud Korrelatosrechug. Der ächste Abschtt behaltet das Reche mt Wahrschelchkete, dskrete ud stetge Zufallsvarable ud dere Verteluge. Der drtte Abschtt st der beurtelede Statstk vorbehalte. Dazu zähle sbesodere Verfahre zur Schätzug vo Parameter sowe Hypothesetests, wobe Hypothese über Grudgesamthete ahad vo Stchprobe überprüft ud etweder ageomme oder verworfe werde. Uumgäglch m Berech der Statstk st atürlch auch de Verwedug geegeter Statstk-Software. Auswertuge m Rahme der beschrebede, aber auch der beurtelede Statstk sd ohe EDV-Uterstützug praktsch cht möglch. Aus desem Grud st das begletede EXCEL-Arbetsskrptum ee wesetlche Ergäzug.

5 . Uvarate Datebeschrebug 3. Deskrptve Statstk De statstsche Auswertug ees Datematerals, das durch Messuge, Zähluge oder allgeme durch Beobachtuge a rgedwelche Objekte gewoe wurde, begt m Allgemee wohl damt, dass ma de Date überschaubar ordet. Dese werde afags mest lsteartg der Rehefolge, we se de Utersuchug ergebe hat, vorlege. Ee solche Darstellug st aber kaum geeget, Besoderhete der Date erkee zu lasse ud ka vor allem auch kee Vorstellug darüber vermttel, we sch z.b. de Beobachtugswerte be de verschedee Merkmalsauspräguge kozetrere oder welche Symmetre das so etstehede Vertelugsbld hat. Iformatoe darüber erhält ma mest erst aus eer überschtlche Darstellug der Date Form der verschedee, der deskrptve Statstk gebräuchlche Tabelle oder Dagramme. Währed dese also Überschaubarket mt möglchst detallerter Erfassug der Datestruktur verbde, hat ma de Lage- ud Streuugsmaße umersche Größe zur Verfügug, de das Datemateral global kezeche, ud zwar eersets hschtlch der Lage des Zetrums der Beobachtugswerte, aderersets hschtlch dere Streuug. Das zu utersuchede Datemateral wrd der Regel aus eer umfassedere Grudgesamthet ausgewählt se, d. h. ee Stchprobe blde. Währed sch also deses Kaptel mt der Beschrebug vo Stchprobe m Se der deskrptve Statstk befasst, wrd es später m Rahme der duktve Statstk darum gehe, auf der Bass vo Stchprobe Aussage über de etsprechede Grudgesamthete zu gewe.. Uvarate Datebeschrebug A Had des der folgede Tabelle dargestellte Beobachtugsmaterals solle zuerst ege grudlegede Begrffe erläutert werde. De Tabelle Tab. ethält Date über gewsse Egeschafte vo sgesamt 64 Kraftfahrzeuge, de durchumerert ud Form eer sogeate Urlste ageschrebe wurde. Ma et de be eer statstsche Utersuchug beobachtete Objekte, her also de ezele Fahrzeuge, auch Beobachtugsehete. Um klar zu mache, dass de Lste gerade aus 64 Beobachtugsehete besteht, sprcht ma geauer vo eer Stchprobe vom Umfag = 64. Währed sch Tab. jede Zele auf ee Beobachtugsehet bezeht, wrd durch de mt X, X 2 ud X 3 überschrebee Spalte agegebe, we gewsse Egeschafte (Egegewcht, Vorhadese ees Katalysators bzw. Fahrzeugtyp), de ma desem Zusammehag Merkmale (oder Varable) et, der aus de 64 Fahrzeuge bestehede Stchprobe varere. A jeder Beobachtugsehet köe etweder e oder auch mehrere Merkmalsauspräguge erfasst werde. Etspreched et ma, je achdem, we vele Merkmalsauspräguge vo jeder Beobachtugsehet vorlege, ee Stchprobe e-, zweoder mehrdmesoal (bzw. uvarat, bvarat oder multvarat). So stellt z.b. das gesamte Datemateral Tab. ee dredmesoale Stchprobe dar. Beschräke wr us etwa ur auf das Merkmal X (Egegewcht), so habe wr ee edmesoale Stchprobe.

6 . Uvarate Datebeschrebug 4 Tab.. Urlste für de a 64 Kraftfahrzeuge beobachtete Merkmale: X Egegewcht ( kg) X 2 Katalysator: vorhade (j), cht vorhade () X 3 Typ: Kle-LKW (), Komb (2), Sportwage (3), PKW (4), Oldtmer (5) Lfd.Nr. X X 2 X 3 Lfd.Nr. X X 2 X j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j 4 Es st zweckmäßg, zwsche quattatve ud qualtatve Merkmale zu uterschede. Be quattatv oder metrsch skalerte Merkmale sd de Merkmalsauspräguge Ergebsse vo Messuge oder Zähluge ud somt vo Natur aus zahlemäßg darstellbar. Vo de Merkmale Tab. st X (Egegewcht) atürlch metrsch. Im Gegesatz zu de quattatve Merkmale sd de Merkmalsauspräguge be qualtatv skalerte Merkmale cht mehr mess- oder zählbar, soder ur begrfflch uterschedbar. Folglch sd de Merkmalsauspräguge häufg Verbalform dargestellt, we z.b. vorhade bzw. cht vorhade bem Merkmal X 2 (Katalysator) vo Tab.. Machmal

7 . Uvarate Datebeschrebug 5 lasse sch de Auspräguge ees Merkmals jedoch aorde, etwa be Auspräguge der Form schwach, mttel, stark. Qualtatve Merkmale, dere Auspräguge ee solche Ragordug gebracht werde köe, heße ordal m Utersched zu de omale, be dee des cht möglch st. Somt ergbt sch de achstehede, Hblck auf de Weterverarbetug wchtge Uterschedug der sogeate Skaleveaus vo Merkmale: Nomalskala: Dese hat das edrgste Nveau. De ezele Auspräguge uterschede sch ur begrfflch voeader. Sd se durch Zahle codert, ka ma mt dese Zahle keer Wese reche. Bespel: Geschlecht (mälch, weblch), Farbe (rot, blau, usw.) oder Kraftfahrzeugtyp (Varable X 3 Tab. ). Ordalskala: Her st ee Aordug der Auspräguge festgelegt, wetergehede Berechuge sd aber cht möglch. Bespel: Schulote vo sehr gut () bs cht geüged (5). Metrsche Skala: De Werte auf deser Skala sd stets Zahle, mt dee auch gerechet werde ka. Be der Itervallskala köe Dffereze vo Messwerte gebldet ud verglche werde, der Nullpukt st jedoch mehr oder weger wllkürlch festgelegt. Bespel: Temperatur ( C). De Verhältsskala dagege hat ee absolute Nullpukt, asoste gbt es ur postve Werte. Isbesodere köe aber auch Quotete ud prozetuelle Uterschede svoller Wese betrachtet werde. Bespel: Körpergewcht oder Körpergröße eer Perso, Größe der Klasse a Schule ud Fachhochschule. Merkmale lasse darüber haus auch ee Etelug dskret ud stetg zu. Im dskrete Fall komme ur bestmmte, edlch oder abzählbar uedlch vele Werte als Merkmalsauspräguge Frage. Stetge Merkmale sd hgege solche, dere Auspräguge (zumdest theoretsch) belebge Zahlewerte aus eem Itervall auf der reelle Zahlegerade aehme köe. Häufgkete be dskrete Merkmale I eer Urlste wrd oft deselbe Ausprägug ees bestmmte Merkmals be mehrere verschedee Beobachtugsehete auftrete. Es st aheleged, dese zusammezufasse ud so de Urlste ee wesetlch überschtlchere Häufgketstabelle für das betrachtete Merkmal zu verdchte. Bespel: Wr betrachte de aus de Tab. ethaltee Beobachtuge des qualtatve Merkmals X 3 (Fahrzeugtyp) bestehede edmesoale Stchprobe. Der Stchprobeumfag st = 64, ud es gbt de füf möglche Merkmalsauspräguge a =, a 2 = 2, a 3 = 3, a 4 = 4, a 5 = 5. De Zusammefassug glecher Auspräguge ergbt umttelbar de absolute Häufgkete der ezele Merkmalsauspräguge, de durch Abzähle gewoe werde köe. So fdet ma als absolute Häufgket der Ausprägug a = l, kurz mt k bezechet, de Wert k = 0, usw. Dvdert ma de absolute Häufgkete k ( =,2,3,4,5) durch de Stchprobeumfag, so erhält ma de etsprechede relatve Häufgkete h = k / = 0/64 = 0,56, usw. Durch Zusammefasse der so gewoee Ergebsse erhält ma schleßlch de achstehede Häufgketstabelle für de betrachtete Stchprobe. Isbesodere erket ma auch, dass stets h 0 glt ud dass h + h 2 + h 3 + h 4 + h 5 = se muss.

8 . Uvarate Datebeschrebug 6 Häufgketstabelle für de aus de Beobachtugswerte des Fahrzeugtyps X 3 gebldete Stchprobe vo Tab. Auspr. a Strchlste abs. Häuf. k rel. Häuf. h ( %) //// //// //// //// //// /// //// //// //// //// //// //// //// / /.6 Summe Allgeme ka also über edmesoale Stchprobe vom Umfag für e Merkmal mt de m Auspräguge a l, a 2,..., a m gesagt werde: De relatve Häufgket h eer jede Ausprägug a erhält ma als Quotet hrer absolute Häufgket k ud des Stchprobeumfages, d.h. h k = (,2,...,m). = Dabe glt stets h 0 ud Σ h =. Der durch de Zuordug zwsche Merkmalsausprägug a ud der relatve Häufgket h für alle =,2,...,m gegebee Zusammehag heßt kurz Häufgketsvertelug des betrachtete Merkmals. Nebe der tabellarsche Darstellug eer Häufgketsvertelug gbt es auch verschedee graphsche Veraschaulchuge, vo dee das Stabdagramm sowe das Kresdagramm geat see (sehe Abbldug). Stabdagramm Kresdagramm abs. Häufgket Fahrzeugtyp 3 Klassebldug Be quattatv dskrete Merkmale mt eer große Zahl verschedeer Merkmalsauspräguge st es zumest zweckmäßg, beachbarte Merkmalsauspräguge zu Klasse zusammezufasse. Dazu wrd e Itervall, dem alle beobachtete Werte lege, ee bestmmte Azahl vo mest glech große Teltervalle, de sogeate Klasse, zerlegt.

9 . Uvarate Datebeschrebug 7 Uumgäglch sd Klasseeteluge be stetge Merkmale. Tatsächlch stellt berets de Nederschrft eer Urlste ee Klasseetelug dar, de durch de begrezte Geaugket de Zahleagabe bedgt st. Bespel: Für de 64 Messwerte der Varable X (Fahrzeuggewcht) vo Tab. wähle wr ee Etelug Klasse vo 300 bs 500, vo über 500 bs 700,..., vo über 500 bs 700, was ee Grupperug der Date 7 Klasse ergbt. De obe geate Zahle heße de Klassegreze ud de (kostate) Dfferez jewels aus oberer ud uterer Klassegreze wrd Klassebrete geat. Für de Festlegug der Klassebrete bzw. der Azahl der zu bldede Klasse gbt es kee feste Regel. Als Faustregel für de Klassezahl ka ma sch am Wert Klassezahl oretere, wobe de Umfag der Stchprobe bezechet. Vele (ud damt ege) Klasse setze eersets de Überschtlchket herab, aderersets köe be wege (d.h. große) Klasse teressate Detals verlore gehe. Dese Etelug st auch de Grudlage für de achstehede Häufgketstabelle. Nach der Klasseummer sd dort de Klassegreze ageführt, daach de Klassemtte u, weters für jede Klasse de absolute Klassehäufgket k (d.h. de Azahl der Stchprobewerte, de de jewelge Klasse falle) sowe de relatve Klassehäufgket h (d.h. de durch de Stchprobeumfag dvderte absolute Klassehäufgket) ud schleßlch de relatve Summehäufgket H, de de Atel der Beobachtugsdate de Klasse vo bs agbt. Folglch erhält ma H auch durch Aufsummere der relatve Klassehäufgkete h, h 2,, h. Häufgketstabelle für de grupperte Egegewchtswerte X vo Tab. Kl.Nr. Kl.Greze Kl.Mtte abs.kl.h. rel.kl.h. rel.s.h. vo über / bs u k h ( %) H ( %) Summe Ee graphsche Veraschaulchug der durch dese Häufgketstabelle bestmmte Vertelug st das Hstogramm. Auf eer horzotale Merkmalsachse werde de Klassegreze bzw. Klassemtte vermerkt ud über jeder Klasse e Rechteck mt eer der absolute oder relatve Klassehäufgket etsprechede Höhe errchtet. (De Rechteckfläche sd also de jewelge Klassehäufgkete proportoal.) Gegeüber de Orgaldate bedeutet de Häufgketstabelle bzw. das Hstogramm aber ee Verlust a Iformato, ämlch über de Vertelug der Stchprobewerte jeder ezele Klasse.

10 . Uvarate Datebeschrebug 8 Hstogramm Häufgket Fahrzeuggewcht (gruppert) Lage- ud Streuugsmaße Stchprobe werde überschtlcher Form ud, we ma vo Klasseeteluge abseht, ohe jede Iformatosverlust durch Häufgketstabelle dargestellt. Dem gegeüber werde zur globale Kezechug vo Stchprobe ege umersche Größe verwedet, zu dee vor allem de verschedee Lage- ud Streuugsmaße gehöre. Vo de Lagemaße fdet zwefellos das arthmetsche Mttel, kurz der Mttelwert am häufgste Verwedug. Ma berechet h bekatlch, dem ma alle Stchprobewerte zuerst aufsummert ud de Summe da durch de Stchprobeumfag getelt wrd. Ist der Stchprobeumfag ud sd x l, x 2,..., x de Stchprobewerte, so glt für de Mttelwert x = (x. + x x ) = x = Erlechtert wrd de Berechug vo x, we ma cht auf de Urlste zurückgrefe muss, soder berets ee Häufgketstabelle vorhade st. Legt deser ee Klasseetelug zugrude, so lässt sch daraus der Mttelwert allerdgs ur äherugswese bestmme. We sgesamt Stchprobewerte m Klasse egetelt sd ud we u bzw. k de Klassemtte bzw. absolute Klassehäufgket der -te Klasse st, da glt x = (k. m u + k 2u k mu m ) = k u = Bespel: Für de Fahrzeuggewchte vo Tab. beträgt der Mttelwert x = 90,77 kg. Auf Bass der vorgeommee Klasseetelug erhält ma statt des exakte Wertes de Näherugswert x 900,00 kg. De Überestmmug mt dem exakte Wert st atürlch umso besser, je feer de Klasseetelug vorgeomme wrd. Ma beachte, dass das arthmetsche Mttel. Allg. mt keem Stchprobewert zusammefällt, ja be eem dskrete Merkmal zumest cht emal mt rgedeer möglche

11 . Uvarate Datebeschrebug 9 Merkmalsausprägug überestmme wrd. Ferer st de Bldug des Mttelswert ur auf metrschem Skaleveau möglch, be qualtatve Merkmale st se slos. Nebe dem arthmetsche Mttel spelt auch der Meda (oder Zetralwert) als Mttelwertmaß ee wchtge Rolle. Zu seer Bestmmug wrd de Stchprobe x l, x 2,..., x der Größe ach geordet, sodass se als sogeate Raglste der Form x (l) x (2)... x () vorlegt. Be ugeradem Stchprobeumfag st der Meda x ~ da ämlch glech dem mttlere der Stchprobewerte, be geradem glech dem arthmetsche Mttel aus de bede mttlere Werte, d.h. x(k+ ) für = 2k + xɶ = x(k) + x. (k+ ) für = 2k 2 Damt lege stets glech vele Stchprobewerte uterhalb we oberhalb vo x ~. Der Meda st e Soderfall ees allgemeere Lagemaßes, ämlch des p-quatls x~ p (für 0 < p < ). Dabe st x~ p jeer Wert, der vo eem Atel p aller Stchprobewerte uterschrtte ud vo eem Atel p überschrtte wrd. See explzte Berechug erfolgt ach folgeder Formel: x(k+ ) mt k = [p], falls p kee gaze Zahl xɶ p = x(k) + x(k+ ) mt k = p,falls p gaze Zahl 2 (wobe k = [p] der erste Zele de ächst kleere gaze Zahl a p, also k + de ächst größere gaze Zahl a p bezechet). Somt stellt der Meda x ~ = x ~ 0.5 gerade das 50%- Quatl dar, währed de 25%- bzw. 75%-Quatle auch erstes Quartl Q = x ~ 0.25 ud drttes Quartl Q 3 = x ~ 0.75 geat werde. Währed der Mttelwert streg geomme ur für quattatve Merkmale svoll st, köe der Meda ud alle Quatle auch für ordale Merkmale verwedet werde. Bestze de Ausgagsdate ledglch omales Merkmalsveau, eget sch als Lagemaß eer solche Stchprobe ur och de Agabe des Modalwerts (oder Modus) x mod, welcher efach als häufgster Wert des betrachtete Merkmals defert st (falls es dese gbt). Zwe Stchprobe köe das gleche Mttelwertmaß bestze ud trotzdem stark voeader abweche, dem de Stchprobewerte mehr oder weger um deses Maß streue. Demetspreched wrd de Häufgketsvertelug eem Fall ee eher flache, m adere Fall ee eher stele Verlauf aufwese. Zur Kezechug deser Egeschaft st über das Lagemaß haus de Agabe ees Streuugsmaßes uerlässlch. Das wchtgste Streuugsmaß st de Varaz s 2. Dese st für ee Stchprobe x l, x 2,..., x mt dem Umfag ud dem Mttelwert x defert durch s = (x x) = ( x x ). = Falls alle Stchprobewerte x zusammefalle, glt x = x ud folglch s 2 = 0. I jedem adere Fall st s 2 > 0. De Wurzel vo s 2 et ma de Stadardabwechug s. =

12 . Uvarate Datebeschrebug 0 Bespel: Für de Fahrzeuggewchte vo Tab. lautet der Mttelwert x = 90,77 kg. De Varaz st gegebe durch s 2 = 6436,50 kg 2, ud damt beträgt de Stadardabwechug s = 247,86 kg. Legt de Stchprobe als Klasseetelug vor, so erhält ma we vorh be der Berechug des arthmetsche Mttels ee Näherugswert für s 2, we ma für jede Klasse de dar legede Stchprobewerte als der Klassemtte befdlch ammt. Für de grupperte Fahrzeuggewchte bereche wr: Kl.Nr. Kl.Mtte abs.kl.h. u k k u k (u x ) Summe Desem Schema ka ma umttelbar als Näheruge x = 57600/64 = 900 sowe s 2 = /63 = 6730,59 ud folglch s = 259,43 etehme. Vergleche zwsche de Streuuge zwe Stchprobe mttels s 2 oder s sd ur da svoll, we de Werte bede Stchprobe deselbe Größeordug bestze. Asoste st ee Relatverug vo s auf de Mttelwert x agebracht. De dadurch etstehede Größe v = s/ x heßt Varatoskoeffzet, se st dmesoslos ud wrd mest Prozete agegebe. Besoders efach ka de Streuug eer Stchprobe durch hre Spawete R = x max x m erfasst werde, d.h. durch de Dfferez zwsche dem größte ud kleste Messwert. Dese schell zu bldede Größe st vor allem be kleem Stchprobeumfag durchaus geeget, ee Vorstellug über de Streuug der Beobachtugswerte zu vermttel, se st allerdgs sehr stark durch Ausreßer beeflusst. Deser Abhäggket der Spawete vo Ausreßer versucht ma dadurch etgegezuwrke, dass ma de Date a de bede äußerste Räder der Stchprobe cht ebezeht. Auf dese Wese erhält ma etwa de sogeate Iterquartlabstad IQR, welcher als Abstad zwsche dem erste ud drtte Quartl defert st, also IQR = Q 3 Q. De folgede Überscht zegt, welche Skaleveaus für de svolle Berechug der ezele Lage- ud Streuugsmaße otwedg sd. Skala Lagemaße Streuugsmaße Modalwert Meda, Quatle Mttelwert Spawete, IQR Varaz, Std.Abw. Varatoskoeffzet omal ja ordal ja ja metrsch (Itervall) ja ja ja ja ja metrsch (Verhält.) ja ja ja ja ja ja

13 . Uvarate Datebeschrebug Ee efache graphsche Darstellug, welche Aufschlüsse über Lage ud Streuug eer Stchprobe erlaubt, sd de sogeate Box-Plots (oder Box-ad-Whskers-Plots). Dabe wrd um de Meda e Rechteck vom erste zum drtte Quartl gezechet, welches 50% der Stchprobewerte behaltet. De vo desem Rechteck ausgehede Strche zege de Lage des Mmums ud des Maxmums der Stchprobe a (sehe Abbldug).. Quartl Mmum Meda 3. Quartl Mttelwert Maxmum Box-Plots zum Verglech der Körpergröße vo = 39 mälche ud 2 = 30 weblche Studete Nebe de Lage- ud Streuugsmaße gbt es och wetere Kezahle zur Charakterserug vo Stchprobe ud dere Verteluge. Dazu gehört u.a. de Schefe g, welche e Maß für de Symmetre bzw. Asymmetre der Vertelug ees metrsch skalerte Merkmals darstellt. Se st formelmäßg gegebe durch

14 . Uvarate Datebeschrebug 2 g 3 (x x) = =. 3 De Schefe g st dmesoslos, se ka sowohl postv als auch egatv se. Für ee symmetrsche Vertelug glt g = 0, se st rechtsschef, falls g > 0 bzw. lksschef, falls g < 0 (sehe Abbldug). s Emprsche Verteluge mt uterschedlcher Schefe lksschef symmetrsch rechtsschef g < 0 g = 0 g > 0 x < x ~ < x mod x = x ~ = x mod x > x ~ > x mod Zusammefassug Das be eer Utersuchug afallede Datemateral schrebt ma zweckmäßgerwese zuerst eer so geate Urlste zusamme, etwa Form eer Tabelle, der jede Zele eer Beobachtugsehet der Stchprobe ud jede Spalte eem Merkmal etsprcht. De Azahl der Beobachtugsehete bestmmt de Stchprobeumfag, je ach der Azahl der Merkmale sprcht ma vo e- oder mehrdmesoale Stchprobe. De ezele Merkmale köe omales, ordales oder metrsches Skaleveau bestze. Ee efache ud zuglech überschtlche Darstellug des Datematerals eer edmesoale Stchprobe st de Häufgketstabelle. Dese ethält ebe de ezele Auspräguge a, a 2,..., a m des beobachtete Merkmals de etsprechede absolute Häufgkete k l, k 2,...,k m bzw. relatve Häufgkete h, h 2,..., h m, wobe für =,2,...,m glt: m k h = 0 ud h =. = Zur Errechug eer überschtlchere Darstellug st es be stetge ud häufg auch be dskrete Merkmale otwedg, de Merkmalsauspräguge Klasse zusammezufasse. Erfahrugsgemäß wählt ma etwa m Klasse be eem Stchprobeumfag vo. Ubesetzte mttlere Klasse sollte durch geegete Wahl vo m bzw. der Klassegreze vermede werde. De Azahl der Stchprobewerte, de de Klasse falle, heßt de etsprechede absolute Klassehäufgket k. Nach Dvso durch de Stchprobeumfag ergbt sch daraus de relatve Klassehäufgket h = k /. Schleßlch st de relatve Summehäufgket H glech der auf de Stchprobeumfag bezogee Azahl der Stchprobewerte de Klasse,2,...,, d.h.

15 . Uvarate Datebeschrebug 3 H =. h j j= Nach der Klasseetelug trete de ursprüglche Beobachtugsdate cht mehr Erscheug. Velmehr wrd ageomme, dass alle Werte eer Klasse der zugehörge Klassemtte u lege. Graphsch lasse sch edmesoale Stchprobe z.b. durch Stabud Kresdagramme bzw. be grupperte Date durch Hstogramme veraschaulche. De Lagemaße kezeche de Werte eer Stchprobe sofer, als se dere Lage jewels durch ee ezge Zahl beschrebe. Am wchtgste st das arthmetsche Mttel x, das ma durch efache Durchschttsbldug erhält. Demgegeüber st der Meda x ~ als spezelles Quatl jee Zahl, de vo ebeso vele Stchprobewerte uter- we überschrtte wrd. Wetere Quatle sd de bede Quartle Q ud Q 3. Der Modalwert st der häufgste Wert erhalb eer Stchprobe. Offeschtlch st be omale ud ordale Merkmale de Bldug des arthmetsche Mttels slos, ebeso de Bldug des Medas be omale, cht aber be ordale Merkmale. Be metrsche Merkmale fdet mest das arthmetsche Mttel Verwedug. Da deses m Utersched zum Meda vo extreme Stchprobewerte, sogeate Ausreßer, stark beeflusst wrd, ka sch be usymmetrscher Häufgketsvertelug der Meda als das zweckmäßgere Lagemaß erwese. Be symmetrsche Verteluge falle x ud x ~ zusamme; egpfelge usymmetrsche Verteluge mt x ~ < x heße rechtsschef, solche mt x < x ~ lksschef. Zur Kezechug der Streuug der Werte eer Stchprobe (für e metrsches Merkmal) sd de Spawete R, d.. der maxmale Abstad der Stchprobewerte, der Iterquartlabstad IQR, d.. der Abstad der bede Quartle ud schleßlch de Varaz s 2 bzw. de Wurzel aus s 2, d.. de Stadardabwechug s gebräuchlch. Lage ud Streuug vo Stchprobe köe überschtlch mt Hlfe vo Box-Plots dargestellt werde..2 Multvarate Datebeschrebug Weglech auch bsher scho mehrere Merkmale je Beobachtugsehet betrachtet ud datemäßg erfasst wurde, so erfolgte doch dere statstsche Auswertug stets getret. I desem Abschtt solle u der Zusammehag zwsche zwe Merkmale, also z.b. Körpergröße ud Körpergewcht, Haarfarbe ud Augefarbe oder Geschwdgket ud Bremsweg utersucht sowe Art ud Ausmaß der Abhäggkete zwsche dese Merkmale beschrebe werde. Zu desem Zweck solle zwe Stuatoe auseadergehalte werde, je achdem, ob de bede betrachtete Merkmale qualtatver oder quattatver Natur sd. Kotgeztafel Wr betrachte zuächst de Fall, dass bede Beobachtuge qualtatve Merkmale betreffe, dere Auspräguge also (zwe oder mehrere) begrfflch uterschedbare Klasse e-

16 .2 Multvarate Datebeschrebug 4 getelt werde köe. Ee derartge Stuato st z.b. da gegebe, we Haarfarbe ud Augefarbe oder we folgedem Bespel Geschlecht ud Rauchgewohhete mteader verglche werde solle. Bespel: I eer Gruppe vo Studete befde sch 39 Mäer ud 30 Fraue. Uter de Mäer sd 9 Raucher, uter de Fraue sd es dagege 0. Ka vo dese Date auf ee Zusammehag zwsche de bede Merkmale Geschlecht ud Rauchgewohhete geschlosse werde? Tab. 2. Verfeldertafel für de Merkmale Geschlecht ud Rauche Raucher Nchtraucher mälch = 9 2 = 20. = 39 weblch 2 = 0 22 = = 30. = 29.2 = 40 = 69 Ee überschtlche Darstellug des Datematerals errecht ma Form eer so geate Verfeldertafel, der de absolute Häufgkete aller möglche Kombatoe vo Merkmalsauspräguge egetrage sd. De Azahl der mälche Raucher bezeche wr mt = 9, ud etspreched sd de Besetzugszahle der wetere Klasse durch 2, 2 ud 22 gegebe (sehe Tab. 2). Aus he lasse sch de Radhäufgkete bereche, das sd de Zelesumme. = + 2 = 39 ud 2. = = 30, de de Besetzugszahle für das Merkmal Geschlecht agebe, ud de Spaltesumme. = + 2 = 29 ud.2 = = 40, de de Besetzugszahle für das Merkmal Rauche darstelle (dabe gbt der Pukt jewels a, über welche Idex summert wurde). De Gesamtzahl aller Studete st somt = =. +.2 = 69. Um aus de obe egeführte absolute Häufgkete de etsprechede relatve Häufgkete zu erhalte, dvdere wr durch de Stchprobeumfag. Berechug der relatve Häufgkete für Tab. 2 Raucher Nchtraucher mälch h = 0,275 h 2 = 0,290 h. = 0,565 weblch h 2 = 0,45 h 22 = 0,290 h 2. = 0,435 h. = 0,420 h.2 = 0,580 Aus deser Tabelle geht hervor, dass sch usere Stchprobe aus 56,5% Mäer ud 43,5% Fraue bzw. aus 42% Raucher ud 58% Nchtraucher zusammesetzt. Mt Hlfe deser relatve Häufgkete ka ma sch scho e grobes Bld vo der Abhäggket zwsche de bede betrachtete Merkmale verschaffe. Nehme wr ämlch a, dass zwsche bede Merkmale Uabhäggket besteht, so müsste der Prozetsatz der Raucher (jewels erhalb der Mäer bzw. Fraue) für Mäer ud Fraue glech groß, ud zwar glech h. = 0,42 se. Das bedeutet bespelswese für de mälche Raucher, dass /. = h. bzw.

17 .2 Multvarate Datebeschrebug 5 =. h. = h. h. se muss. Wr köe daher m Fall der Uabhäggket der bede Merkmale de folgede absolute Klassehäufgkete erwarte: e = h. h. = 6,4, e 2 = h. h.2 = 22,6, e 2 = h 2. h. = 2,6, e 22 = h 2. h.2 = 7,4. E Verglech deser erwartete Ergebsse mt de tatsächlch beobachtete Größe, 2, 2 ud 22 (Tab. 2) zegt jedoch deutlche Uterschede, ud es köte vermutet werde, dass allgeme der Atel der Raucher uter de Mäer größer st als uter de Fraue. Präzse Aussage lefert erst e statstscher Test, ämlch der χ 2 -Test. Im Allgemee köe de bede Merkmale atürlch auch mehr als zwe verschedee Merkmalsauspräguge aufwese. Betrachtet ma de Merkmale X ud Y, de de Auspräguge a, a 2,..., a k bzw. b l, b 2,..., b m vorkomme, so ka ma de Besetzugszahle j der ezele Klasse Form eer Kotgeztafel aorde. (De Verfeldertafel st also e Spezalfall eer Kotgeztafel für k = m = 2.) Allgemee Form eer Kotgeztafel für zwe Merkmale mt k bzw. m Auspräguge a a a a 2 k b 2 k. b k2.2 b j j 2 j j kj. j b m m 2m m km.m. 2.. k. De Radhäufgkete. ud.j sd weder de Zele- bzw. Spaltesumme, ud de Gesamtsumme etsprcht der Azahl aller Beobachtuge. De relatve Häufgkete ergebe sch geauso we be der Verfeldertafel, ud auch de Überleguge zur Uabhäggket gelte her uverädert. Korrelato Zu de der Statstk am häufgste verwedete Verfahre zähle zwefellos de Korrelatos- ud de Regressosaalyse. Bede Verfahre sd dazu geeget, Bezehuge zwsche zwe (oder mehrere) quattatve Merkmale zu studere, jedoch zu jewels verschedeem Zweck. Wr betrachte m Folgede zwe Varable X ud Y, de mt eer Stchprobe (x,y ), (x 2,y 2 ),..., (x,y ) vom Umfag erhobe wurde. Zuächst ehme wr a, dass kee Uterschedug ee abhägge ud ee uabhägge Varable möglch oder svoll st, soder bede Größe eader glechberechtgt gegeüberstehe. De älteste Bespele für dese für de Korrelatosaalyse typsche Stuato stamme aus der Bostatstk ud betreffe de Zusammehag quattatver Merkmale zwsche Verwadte, also z.b. de Körpergröße vo Brüder ud Schwester. Ee Beurtelug des Zusammehages zwsche derartge Größe ermöglcht der (emprsche) Korrelatoskoeffzet r, der als Maß für de Kovarabltät der bede Merkmale agesehe werde ka; er gbt de Grad der Leartät des Zusammehages zwsche de beobachtete Größe a ud wrd we folgt berechet:

18 .2 Multvarate Datebeschrebug 6 s xy r =. s s Dabe bedeute s x ud s y de Stadardabwechuge der x- bzw. y-werte ud s xy de Kovaraz der (x,y)-wertepaare der Stchprobe gemäß Ferer glt stets s = (x x)(y y) = x y = = x y xy xy. r. Bespel: I Tab. 3 st der systolsche Blutdruck für 6 Zwllgspaare agegebe. Wr frage ach der Güte des leare Zusammehages zwsche de Blutdruckwerte der Zwllgspaare ud bereche dazu de Korrelatoskoeffzete der Stchprobe. Tab. 3. Systolscher Blutdruck ( mm Hg) vo detsche Zwllge. Zwllg X Zwllg Y Korrelogramm Blutdruck Y Blutdruck X Um ee ugefähre Vorstellug über de möglche Zusammehag zwsche de x- ud y- Werte zu gewe, zeche wr de sechzeh Wertepaare e (x,y)-koordatesystem, wobe sch e sogeates Korrelogramm (oder Streudagramm) ergbt (sehe Abbldug). Deses vermttelt de Edruck, dass de etsprechede Pukte aäherd auf eer Gerade lege, d.h., dass e learer Zusammehag zwsche de Größe X ud Y besteht. Der Rehe ach bereche wr u s x = 24,26, s y = 23,07 ud s xy = 55,; daraus ergbt sch der Korrelatoskoeffzet r = s xy / (s x s y ) = 0,92.

19 .2 Multvarate Datebeschrebug 7 Zur Beurtelug deses Wertes betrachte ma zuächst de theoretsch möglche Grezfälle r = 0 ud r = ±l. Allgeme bedeutet r = 0, dass aus de beobachtete Date ke learer Zusammehag erkebar st. Ist r = oder r =, da lege alle Beobachtugspukte m Korrelogramm exakt auf eer Gerade, sost hgege cht. Je äher r be (oder ) legt, desto geauer folge de Pukte der Gerade m Korrelogramm. E postver Korrelatoskoeffzet bedeutet, dass für wachsede x-werte m Durchschtt auch de y-werte astege; st r egatv, so fällt y m Mttel für größer werdedes x. Der Korrelatoskoeffzet st ee dmesoslose Größe, se Wert st uabhägg vo de Maßehete der x- bzw. y-werte. I obgem Bespel sd de Blutdruckwerte der bede Zwllge postv korrelert: Mt stegedem Blutdruck des erste Zwllgs mmt auch der des zwete Zwllgs zu. Der hohe Wert vo r = 0,92 für de Korrelatoskoeffzete zegt ee sehr gute leare Zusammehag der bede Merkmale de beobachtete Date. Der Korrelatoskoeffzet r st ke Maß für de Zusammehag zweer Merkmale schlechth, soder r beurtelt ur de leare Zusammehag; es st daher durchaus möglch, dass r ahe be 0 legt, obwohl de Datepaare z.b. recht geau dem Verlauf eer Parabel folge. Zur rchtge Eschätzug des rechersche Ergebsses st daher ubedgt auch das Korrelogramm zu studere. E hoher r-wert sagt ur statstsch etwas über de Zusammehag der beobachtete Date aus. Keeswegs darf ee solcherart errechete Abhäggket ohe jede wetere Überlegug als Kausalzusammehag terpretert werde. I solch eem Fall ka ämlch Y vo X oder auch X vo Y abhäge, de bede Merkmale köe eader aber auch gegesetg beeflusse. Oder aber es gbt och ee drtte Größe Z m Htergrud, welche sowohl X als auch Y beeflusst. Be eem Zusammehag deser Art sprcht ma vo eer Schekorrelato. Der Korrelatoskoeffzet r ka ur gebldet werde, we de Merkmale X ud Y bede quattatv sd. Ist mdestes ees der bede Merkmale ur ordal, so ka ma sch so behelfe, dass ma statt der Orgalwerte x, x 2,..., x bzw. y, y 2,..., y de Ragzahle R(x ), R(x 2 ),..., R(x ) bzw. R(y ), R(y 2 ),..., R(y ) mmt, de dese be eer aufstegede Sorterug zukomme. Durch Esetze obge Formel für r ergbt sch da der sogeate Ragkorrelatoskoeffzet vo Spearma r s 6 d = = ( )( + ) 2 mt d = R(x ) R(y ). Geau we der Korrelatoskoeffzet r ka auch r s ur Werte dem Itervall [,] aehme, allerdgs mt dem Utersched, dass de Extremwerte + ud geau da ageomme werde, we e durchgägger mootoer Zusammehag (ud zwar wachsed bzw. falled, je ach Vorzeche) zwsche de ursprüglche x- ud y-werte besteht. Regresso I desem Abschtt wolle wr zwe quattatve Größe studere, be dee de Werte des ee Merkmals ursprüglch bekat oder vorgegebe sd, währed de Werte des zwete Merkmals vo dese we auch mt zufallsbedgte Schwakuge abhäge möge.

20 .2 Multvarate Datebeschrebug 8 De Regressosaalyse wrd agewedet, we der formelmäßge Zusammehag bestmmt ud Werte des ee Merkmals zu gegebee Werte des adere Merkmals vorhergesagt bzw. geschätzt werde solle. Hstorsch geht de Bezechug Regresso auf Beobachtuge über de Zusammehag zwsche der Größe vo Väter ud dere Söhe zurück, de zuerst vo F. Galto gemacht wurde: Es zegte sch, dass große Väter m Durchschtt zwar auch große Söhe habe, dese sd aber zumest etwas kleer als hre Väter; etsprechedes glt für klee Väter. Galto schloss daraus auf ee Rückschrtt (Regress) zur durchschttlche Größe der Populato. Bespel: Aus eer Stchprobe vo zwölf Fraue se das Alter X ( Jahre) sowe der systolsche Blutdruck Y ( mm Hg) gegebe (Tab. 4). Ka damt allgeme aus der Kets des Alters eer Frau ee Aussage über dere ugefähre Blutdruck gemacht werde? Tab. 4. Alter ud systolscher Blutdruck vo Fraue Alter X ( Jahre) Syst. Blutdruck Y ( mm Hg) Wr stelle de zwölf Wertepaare zuächst weder eem Korrelogramm dar ud erkee, dass Y bs auf zufallsbedgte Schwakuge lear vo X abhägt, d.h., dass wr de x-y- Zusammehag aäherd durch ee Gerade beschrebe köe. Dejege Gerade, de dese Zusammehag gewssem S am beste erfasst, heßt (emprsche) Regressosgerade vo Y bezüglch X; se mmert de Summe der Quadrate der sekrechte Abstäde (Przp der kleste Quadrate). De Regressosgerade lässt sch allgeme darstelle durch

21 .2 Multvarate Datebeschrebug 9 y = a + bx (a,b kostat) oder y y = b (x x ). Dabe sd x ud y de arthmetsche Mttel der x- ud y-werte. De Proportoaltätsfaktor b et ma Regressoskoeffzet. Zu seer Berechug ermttel wr zuerst de Varaz s x 2 der x-werte ud de Kovaraz s xy der (x,y)-wertepaare der Stchprobe; der Regressoskoeffzet ergbt sch da aus de Kostate a aus s xy b =, s 2 x a = y bx. Für de Date aus obgem Bespel bereche wr u sukzessve x = 48,33, y = 49,83, s x 2 = 230,6 ud s xy = 307,33. Somt erhalte wr b = s xy / s x 2 =,33 ud a = y b x = 85,42. De Regressosgerade st also durch de Glechug y = 85,42 +,33 x bestmmt ud ebefalls obger Abbldug dargestellt. Se erlaubt es us, zu eer vorgegebee Ausprägug x des Merkmals X ee Näherugswert y des Merkmals Y zu fde, d.h., zu eem gewsse Alter ee erwartete (durchschttlche) Wert für de systolsche Blutdruck azugebe. E Maß dafür, we geau de ezele Beobachtuge der Regressosgerade folge, st das so geate Bestmmthetsmaß r 2, welches als Quadrat des Korrelatoskoeffzete r berechet wrd. Das Bestmmthetsmaß ka als Atel der durch Regresso erklärte Varato a der Gesamtvarato terpretert werde, es glt stets 0 r 2. Der Wert r 2 = wrd geau da ageomme, we alle Pukte auf der Regressosgerade lege. I desem Fall sprcht ma davo, dass de gesamte Streuug der y-werte durch de Regresso erklärt wrd. Je mehr de Pukte vo der Regressosgerade abweche, desto kleer wrd das Bestmmthetsmaß. Vo der Regressosgerade vo Y bezüglch X (fast mmer) verschede st de Gerade vo X bezüglch Y, de de Summe der Quadrate der waagrechte Abstäde mmert. Se ka vollkomme aalog zu de obge Überleguge bestmmt werde, wobe ledglch de x- Werte gege de y-werte auszutausche sd. Im Allgemee st aber ees der bede Merkmale als ursprüglche, bekate oder uabhägge Varable ausgezechet, aus der ma mttels eer Regressosformel de ubekate, abhägge Varable äherugswese bereche möchte. De Ermttlug eer Regressosgerade st allerdgs ur da svoll, we sch m Korrelogramm tatsächlch e aäherd learer Zusammehag ud cht etwa e deutlcher Kurveverlauf zegt. Da wäre uter Umstäde e Verfahre der chtleare Regresso zelführed, wobe gelegetlch ee Zurückführug auf de leare Fall möglch st, we das achfolgede Bespel zegt. Bespel: Für e radoaktves Präparat wurde ach x Tage de folgede Aktvtäte gemesse: Zet X ( Tage) Aktvtät Y ( Zerfälle/Mute)

22 .2 Multvarate Datebeschrebug 20 Wr wolle mt Hlfe deser Date ee formelmäßge Zusammehag zwsche de Größe X ud Y fde ud daraus de Halbwertszet für de Zerfallsprozess bestmme. Trägt ma de sebe Wertepaare (x,y ) als Pukte e Korrelogramm e, so ka ma deutlch ee abehmede chtleare Kurveverlauf erkee (vgl. utestehede Abbldug). Tatsächlch wrd e radoaktver Zerfall durch ee Expoetalfukto der Form y = y e 0 beschrebe, wobe de Kostate y 0 de Aktvtät zum Zetpukt x = 0 ud λ de sogeate Zerfallskostate bedeute. Ee häufg agewadte Methode zur Bestmmug deser Größe besteht u dar, dese Glechug zu logarthmere, also λx l y = l y 0 λx zu blde, ud auf dese Wese de expoetelle Zusammehag zwsche X ud Y auf ee leare Zusammehag zwsche X ud Z = l Y mt a = l y 0 ud b = λ zurückzuführe. De Awedug der leare Regressosrechug auf de etsprechede Wertepaare (x,z ) lefert umttelbar de Kostate a = 6,24 ud b = 0,052, somt y 0 = e a = 53,84 ud λ = b = 0,052. De Zerfallskurve wrd daher durch de Glechug y = 53,84e 0,052x beschrebe ud ermöglcht für jede Zetpukt x de äherugswese Bestmmug der etsprechede Aktvtät y(x). De Halbwertszet τ ergbt sch schleßlch aus der Glechug y(τ) = 0,5 y 0 ud beträgt somt τ = (l 0,5)/λ = 3,3 Tage. Zusammefassug Ee zwedmesoale Stchprobe qualtatver Merkmale ka überschtlcher Form durch ee Kotgeztafel dargestellt werde. Komme de Merkmale A ud B de Auspräguge A, A 2,..., A k bzw. B l, B 2,..., B s vor, so gebe de Besetzugszahle j der -te

23 .2 Multvarate Datebeschrebug 2 Zele bzw. j-te Spalte der Kotgeztafel de Azahl jeer Elemete der Stchprobe a, de vom Typ A ud zuglech vom Typ B j sd. Bestzt jedes Merkmal ur zwe verschedee Auspräguge, d.h. k = s = 2, sprcht ma vo eer Verfeldertafel. De Radhäufgkete, das sd de Zele- bzw. Spaltesumme der Kotgeztafel, bestmme de Radverteluge der ezele Merkmale. Ee Dvso sämtlcher absoluter Größe durch de Stchprobeumfag lefert de relatve Häufgkete, mt dere Hlfe erste grobe Überleguge zur Abhäggket der betrachtete Merkmale agestellt werde köe. De Eschätzug der Stärke des leare Zusammehags zwsche zwe quattatve Merkmale st durch de Korrelatoskoeffzete r möglch, der gemäß r = s xy / (s x s y ) defert st (s x, s y Stadardabwechuge der x- bzw. y-werte, s xy Kovaraz). Der Korrelatoskoeffzet gbt de Grad der Leartät des Zusammehages zwsche de beobachtete Größe a, er ka aber auch m Rahme eer Regressosaalyse als Maß für de Güte der Apassug der Regressosgerade a de Datepukte m Korrelogramm terpretert werde. E hoher Wert des Korrelatoskoeffzete lässt jedoch och kee Schluss auf de Art oder Rchtug der Abhäggket zwsche de bede Merkmale zu; be eer Schekorrelato besteht trotz ees hohe r-wertes überhaupt ke umttelbarer Zusammehag zwsche de etsprechede Größe. Ferer st für de Beurtelug vo r de Azahl der Beobachtugspaare wesetlch. Mt zuehmedem stegt auch de Zuverlässgket des Korrelatoskoeffzete, währed etwa große r-werte be gergem Stchprobeumfag ur weg Aussagekraft bestze. (Im Fall = 2 glt sogar stets r = ±.) De Regressosaalyse ermöglcht de Beschrebug ees fuktoelle Zusammehages zwsche zwe (oder mehrere) quattatve Größe. Ausgagspukt st ee Stchprobe vo Zahlepaare, de graphsch eem (x,y)-dagramm Form ees Korrelogramms veraschaulcht werde köe. De m Se der Methode der kleste Quadrate bestmöglche Approxmato deser Datepukte m Korrelogramm durch ee Gerade stellt de Regressosgerade dar. Se st durch de Glechug y = a + bx gegebe, wobe de Kostate a durch a = y b x ud der Regressoskoeffzet b durch b = s xy /s x 2 festgelegt sd ( x, y arthmetsche Mttel, s x 2 Varaz, s xy Kovaraz). Dese Regressosgerade, dere Ermttlug allerdgs ur svoll st, we das Korrelogramm oder auch adere Überleguge ee aäherd leare Zusammehag vermute lasse, ermöglcht es, zu jedem vorgegebee Wert des ee Merkmals ee durchschttlche Wert für das zwete Merkmal azugebe.