3.1 Absolute und relative Häufigkeiten 39

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1 3 Häufgkete 3.1 Absolute ud relatve Häufgkete Häufgkete be dskrete Merkmale Das Przp der Klassebldug Graphsche Darstelluge Summehäufgkete dmesoale Häufgkete De Kotgeztafel De Beschrebug eer Assozato Ausblck auf de duktve Statstk 51

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3 3.1 Absolute ud relatve Häufgkete Absolute ud relatve Häufgkete Häufgkete be dskrete Merkmale Um sch ee Überblck bezüglch wesetlcher Egeschafte ees Merkmals azuege, begt ma mt der Häufgketsvertelug. Dese Vertelug beschrebt, we häufg de ezele Merkmalsauspräguge der Stchprobe zu fde sd. Häufgkete lasse sch für jedes Merkmal ud jedes Skaleveau ermttel. Zu de dskrete Merkmale zähle alle qualtatve sowe de quattatv-dskrete Merkmale. De Azahl der Auspräguge st der Regel wesetlch kleer als der Stchprobeumfag ud somt überschaubar. So gehöre bespelswese zum qualtatve Merkmal Blutgruppe de ver Auspräguge 0, A, B ud AB. Durch efaches Abzähle lässt sch ermttel, we häufg de ezele Auspräguge der Stchprobe vertrete sd. Allgeme formulert ma dese Sachverhalt folgedermaße: E dskretes Merkmal A habe k verschedee Auspräguge A 1,..., A k. De absolute Häufgket eer Ausprägug A wrd mt bezechet. Der Buchstabe st der so geate Laufdex, der zwsche 1 ud k varert. De Summe aller absolute Häufgkete etsprcht der Azahl der Beobachtugsehete der Stchprobe das st der Stchprobeumfag : k (3.1) 1 Be dem Summe-Zeche hadelt es sch um de grechsche Buchstabe Sgma. Damt werde Summe verkürzter Schrebwese k dargestellt. Der Ausdruck etsprcht der Summe k. 1 Uter der relatve Häufgket ma de Quotete h h eer Ausprägug A versteht (3.2) Aus deser Defto folgt, dass 0 1, ud dass sch de relatve Häufgkete aller Auspräguge zu 1 aufaddere:

4 40 Kaptel 3 Häufgkete k 1 h 1 (3.3) 1 k 3 I der Praxs gewt ma de Häufgkete am efachste durch das Erstelle eer Strchlste oder weger mühsam mttels eer geegete Software ( Bespel 3.1). De Ausprägug mt der größte Häufgket et ma Modus oder modaler Wert ( Abschtt 4.2.4, S. 61). De Neug ees Modus st jedoch ur da svoll, we de relevate Häufgket wesetlch größer st als de adere Häufgkete. Bespel 3.1: Häufgkete ees qualtatve Merkmals Wr betrachte das qualtatve Merkmal Blutgruppe mt de Date der Tabelle 2.1 aufgelstete Stchprobe vo = 76 Beobachtugsehete. Es ergebe sch folgede Häufgkete: Ausprägug absolute Häufgkete relatve Häufgkete A 1 =Blutgruppe h 1 41 % A 2 =Blutgruppe A 2 32 h 2 42 % A 3 =Blutgruppe B 3 9 h 3 12 % A 4 =Blutgruppe AB 4 4 h 4 5 % Summe % De Agabe ees Modalwertes (theoretsch: Blutgruppe A) st her weg svoll, da de Häufgkete der Blutgruppe A ud 0 fast glech sd.! Der Ausdruck Prozet bedeutet vo Hudert. Deshalb sd derle Agabe ur be eem hreched große Stchprobeumfag svoll. We ma be kleere Stchprobe Prozete berechet, täuscht ma ee höhere Geaugket vor als Wrklchket gegebe st. Aderersets ege sch Prozetagabe, um Stchprobe uterschedlcher Größe mteader zu vergleche; deshalb werde relatve Häufgkete gere Prozetwerte agegebe. Ma sollte dabe jedoch beachte, dass es sch dabe möglcherwese um sehr vage Schätzuge hadelt Das Przp der Klassebldug Be der Erfassug ees stetge Merkmals (z. B. der Körpergröße) werde bedgt durch de begrezte Messgeaugket de gemessee Werte m Ezelfall auf- oder abgerudet. Im Verglech zum

5 3.1 Absolute ud relatve Häufgkete 41 3 Stchprobeumfag ergebe sch zahlreche Auspräguge, dere Häufgkete mest gerg ud daher weg formatv sd. So schwakt bespelswese de Körpergröße der Studete Tabelle 2.1 zwsche 155 cm ud 197 cm des sd 43 Werte für 76 Beobachtugsehete. Davo habe zeh Auspräguge de Häufgket 0, zwölf sd ur emal vertrete. Um ee Überblck bezüglch der Häufgketsvertelug zu erhalte, erwest es sch als svoll, mehrere ebeeader legede Auspräguge zusammezufasse ud Klasse zu blde. Des st auch be eem quattatv-dskrete Merkmal mt extrem vele, fe abgestufte Auspräguge gerechtfertgt (z. B. de Leukozyteazahl pro l 3 Blut). E solches Merkmal ka für praktsche Aalyse we e stetges Merkmal behadelt werde. Damt verbdet sch de Frage, we de Azahl der Klasse ud dere Brete festzulege sd. Be sehr vele, schmale Klasse st de Darstellug uüberschtlch ud der Vertelugstyp schwer erkebar. Dagege st ee gerge Azahl vo brete Klasse mt eem hohe Iformatosverlust verbude; charakterstsche Egeschafte der Vertelug werde evetuell verdeckt. Es gbt bezüglch der Klassebldug zwar kee strege Vorschrfte, jedoch ege Faustregel, de ee Kompromss zwsche eer überschtlche Darstellug eersets ud eem gerge Iformatosverlust aderersets behalte: De Klasseazahl k rchtet sch ach dem Stchprobeumfag. Als Ahaltspukt glt: k. Für größere Stchprobeumfäge 1000 verwedet ma k 10 lg (wobe lg der Zeherlogarthmus bedeutet), damt de Klasseazahl cht zu groß wrd. Weger als dre Klasse sd geerell cht svoll. Am überschtlchste st de Darstellug, we de Klassebrete glech sd. We jedoch Ausreßer vorhade sd, st es evetuell svoll, am jewelge Rad ee bretere Klasse zu blde. Es muss edeutg geklärt se, welcher Klasse e Wert zugeordet wrd, der auf ee Klassegreze fällt. Ma umgeht deses Problem, dem ma de Greze so defert, dass se cht mt Werte der Stchprobe zusammefalle. Asoste muss ma de Klasse als halboffee Itervalle festlege (mest beutzt ma Itervalle, de lks offe ud rechts abgeschlosse sd). De Besetzugszahl eer Klasse st de jewelge absolute Häufgket. Der Laufdex kezechet de Klasse aufstegeder Rehefolge ( 1 bezechet also de erste Klasse mt de kleste

6 42 Kaptel 3 Häufgkete Messwerte, k de letzte Klasse mt de größte Werte). Basered auf de absolute Häufgkete berechet ma de relatve Klassehäufgkete h ebeso we be dskrete Merkmale. 3 Bespel 3.2: Klasseetelug be eem quattatve Merkmal De Messwerte für de Körpergröße der 76 Studete Tabelle 2.1 varere zwsche 155 ud 197 cm. Es betet sch a, das Itervall (152,5 cm; 197,5 cm) 9 Klasse der Klassebrete 5 cm ezutele. Dadurch st gewährlestet, dass ke Messwert auf ee Klassegreze fällt. Agegebe sd de absolute ud relatve Häufgkete sowe de Summehäufgkete ( Abschtt 3.3). Laufdex Klassegreze cm absolute Häufgket relatve Häufgket h absolute Summeh. N relatve Summeh. H 1 (152,5 ; 157,5) 2 0, ,026 2 (157,5 ; 162,5) 4 0, ,079 3 (162,5 ; 167,5) 15 0, ,276 4 (167,5 ; 172,5) 19 0, ,526 5 (172,5 ; 177,5) 13 0, ,697 6 (177,5 ; 182,5) 10 0, ,829 7 (182,5 ; 187,5) 8 0, ,934 8 (187,5 ; 192,5) 3 0, ,974 9 (192,5 ; 197,5) 2 0, Um de Häufgketsbegrffe zu verdeutlche, betracht e wr de 4. Klasse. De absolute ud de relatve Häufgket 4 bzw. h 4 bedeute: 19 Studete (das etsprcht 25%) habe ee Körpergröße zwsche 167,5 ud 172,5 cm. De absolute ud de relatve Summehäufgket N 4 bzw. H 4 besage, dass sgesamt 40 Studete bzw. 53% kleer als 172,5 cm sd. We ee Itervallgreze durch ee rude Klammer agegebe wrd, st der Grezwert cht m Itervall ethalte. Ee eckge Klammer ([ oder ]) zegt a, dass der Grezwert zum Itervall gehört. De mathematsche Fukto, de de Häufgketsvertelug beschrebt, bezechet ma als emprsche Dchte: 0 für x a0 h f( ) für 1 ( 1,..., a a 1 0 für k ) (3.4)

7 3.1 Absolute ud relatve Häufgkete 43 3 Dabe sd a 1 ud a de utere bzw. obere Greze der. Klasse, ud k st de Klasseazahl. Das ach (3.4) deferte Hstogramm besteht aus k Rechtecke mt de Fläche h ; de Gesamtfläche hat de Wert 1.! I frühere Zete als ma ee Mttelwert och per Had oder mt dem Tascherecher ermttelte erlechterte ma sch de Arbet, dem ma de Date ee überschaubare Azahl vo Klasse zusammefasste ud de Kegröße aus de Klassemtte ermttelte. Deshalb legte ma Wert darauf, dass de Klassemtte rechetechsch güstge Werte ware. Im Zetalter beutzerfreudlcher Statstksoftware st deses Argumet obsolet. De Etelug Klasse wrd hauptsächlch vorgeomme, um de Date überschtlch graphsch darzustelle Graphsche Darstelluge Graphsche Darstelluge brge de obe beschrebee Sachverhalte prägat zum Ausdruck. Kresdagramm ( Abbldug 3.1). Be deser Darstellug gebe de ezele Kressektore de absolute Häufgkete oder de relatve Häufgkete h weder. Allerdgs kommt her cht (zumdest cht auf de erste Blck) zur Geltug, welches de kleste oder de größte Ausprägug st. Deshalb eget sch dese Art der Darstellug ur für omal skalerte Merkmale. Rechteckdagramm (oder Blockdagramm). Her st de Fläche ees Rechtecks etspreched der ezele Häufgkete utertelt. Dese Darstellug eget sch auch für ordal skalerte Merkmale, da de kleste ud de größte Ausprägug zu erkee sd. Balkedagramm ( Abbldug 3.2). Dese Art vo Dagramme eget sch für alle dskrete Merkmale. De Läge der ezele Balke etspreche de Häufgkete oder h. Dabe sd zahlreche Varate dekbar. De 2-dmesoale Balke lasse sch durch 1-dmesoale Strche oder 3-dmesoale Säule ersetze. Be sekrechter Aordug sprcht ma auch vo eem Säuledagramm oder eem Stabdagramm. Darüber haus köe de Balke horzotal astatt vertkal ageordet werde; bezüglch Farbe, Muster ud Htergrüde sd cht zuletzt dak geegeter Software- ud Hardwareprodukte der Phatase kee Greze gesetzt. Ma sollte jedoch be solche Darstelluge vor allem darauf achte, dass de wesetlche Egeschafte der Häufgketsvertelug optmal zur Geltug komme ud cht zuguste optscher Effekte de Htergrud trete.

8 44 Kaptel 3 Häufgkete 3 Abb. 3.1 Kresdagramm; Darstellug der Häufgkete des Merkmals Blutgruppe (Bespel 3.1, S. 40) B AB 0 A Abb. 3.2 Balkedagramm; Darstellug der absolute Häufgkete des Merkmals Azahl rchtg gelöster Klausuraufgabe Hstogramm ( Abbldug 3.3, S. 45). Dese Darstellug eget sch für klasserte Date. Jede Klasse wrd durch e Rechteck repräsetert, desse Fläche proportoal zu de jewelge Klassehäufgkete sd. Am überschtlchste st e Hstogramm mt gleche Klassebrete. Falls Date auf ee Klassegreze falle, muss gekezechet werde, welcher Klasse dese Date zugerechet werde (üblcherwese wählt ma de utere Klasse). Häufgketspolygo ( Abbldug 3.4, S. 45). Dese Darstellug erhält ma, dem ma sekrecht auf de Klassemtte Strecke Höhe der etsprechede Häufgkete aufträgt ud dere Edpukte mteader verbdet. Stamm-ud-Blatt-Dagramm ( Abbldug 3.5, S. 45). Her werde de Date ees quattatves oder ordal skalerte Merkmals ach der Größe geordet vo ute ach obe aufgetrage. Der Stamm besteht aus der oder de erste Stelle der Stchprobewerte, de Blätter stelle de folgede Zffer dar; de jewelge Häufgkete lasse sch zusätzlch am Rad agebe. Dese Darstellug be-

9 3.1 Absolute ud relatve Häufgkete 45 3 utzt ma, um sch ee schelle Überblck über de Häufgketsvertelug zu verschaffe. Für Präsetatoszwecke st se weger geeget. Ee graphsche Darstellug lefert auf ee Blck wesetlche Iformatoe bezüglch der Häufgketsvertelug ees Merkmals. Für ee statstsche Dateaalyse st se jedoch uzureched. Kegröße, de de obe geate Egeschafte quattatv beschrebe, sd Gegestad des Kaptels 4 ( S. 55 ff). 20 Abb. 3.3 Hstogramm für das Merkmal Körpergröße (Bespel 3.2, S. 42), Etelug 9 Klasse ,5 197,5 Abb. 3.4 Häufgketspolygo für das Merkmal Körpergröße (Bespel 3.2, S. 42) ,5 197,5 Abb. 3.5 Stamm- ud Blattdagramm; Darstellug der Körpergröße

10 46 Kaptel 3 Häufgkete 3.2 Summehäufgkete 3 Be mache Merkmale st es weg svoll, ach de Häufgkete ezeler Auspräguge zu frage. So sd bespelswese Agabe we etwa 7 Studete (9%) sd 170 cm groß oder 16% der Studete beatworte de Frage, ob homöopathsche Helmttel ee glechwertge Alteratve zu schulmedzsche Methode darstelle, mt +1 (schwache Zustmmug) cht sehr aufschlussrech, wel se ur puktuelle Iformatoe vermttel. Iteressater sd kumulatve Agabe, we etwa de Azahl der Studete, de 170 cm oder größer sd oder der Atel, der de Esatz homöopathscher Helmttel postv (also mt Bewertuge 1) beurtelt. Um derle Frage zu beatworte, st es svoll, de Häufgkete beged be der kleste Ausprägug aufstegeder Rehefolge aufzuaddere. Dadurch erhält ma de Atel der Werte, de ee bestmmte Greze cht überschrete. Dese Häufgkete et ma kumulatve, kumulerte oder Summehäufgkete. Se lasse sch geerell für alle ordal skalerte ud quattatve Merkmale sowe für klasserte Date bestmme. We de Auspräguge der Stchprobe sortert sd mt A1 A 2... A k, glt für de absolute Summehäufgkete: N j (für k j 1 1,..., ) (3.5) De relatve Summehäufgkete sd etspreched defert als: H h (für 1,..., k ) (3.6) j 1 j De relatve Summehäufgkete H werde durch de emprsche Vertelugsfukto F(x) mathematsch beschrebe: 0 für x A 1 F( ( ) für 1 ( 1,..., 1) 1 für x A k (3.7) De Fukto F (x) st für jede x-wert defert ud gbt de relatve Häufgkete a, mt der der Stchprobe Werte vorhade

11 3.2 Summehäufgkete 47 3 sd, de glech x oder kleer als x sd. Für das Bespel 3.3 (S. 47) glt etwa: F (0) 0,434. Das bedeutet: Etwa 43% der Studete habe ee egatve oder eutrale Estellug zu alteratve Helmethode; 57% habe ee eher postve Estellug. Bespel 3.3: emprsche Vertelugsfukto Für de Date des ordal skalerte Merkmals Estellug zu alteratve Helverfahre (Tabelle 2.1, Sete 34 f) ergebe sch folgede Häufgkete. Beurtelug N H Fuktoswerte F( ) F( ( ) 0 für x ,079 F( ( ) 0,079 für ,250 F( ( ) 0,250 für 2 x ,303 F( ( ) 0,303 für ,434 F( ( ) 0,434 für ,592 F( ( ) 0,592 für 1 x ,947 F( ( ) 0,974 für F( ( ) 1 für x 3 De Abbldug 3.6 verdeutlcht wesetlche Egeschafte der Vertelugsfukto F (x) : F (x) st ee Treppefukto, de mooto wächst vo 0 bs 1. F( x) 0 für alle x, de kleer als der kleste Stchprobewert sd. Be jeder Ausprägug (bzw. Messwert, Zählwert, Klassegreze) sprgt F(x) ach obe. F( x) 1 ab dem größte Wert x max. Abb. 3.6 emprsche Vertelugsfukto F( x ) für das Merkmal Körpergröße (Bespel 3.2, S. 42 ) 1,0 0,5 0,

12 48 Kaptel 3 Häufgkete 3 De graphsche Darstellug vo F ( ) st sbesodere für stetge Merkmale aufschlussrech. Be fe abgestufte Auspräguge st de Azahl der Treppe zahlrech ud de Stufe sd etspreched edrg; de Treppefukto ähert sch da eer glatte Kurve. I der Pharmakologe werde Vertelugsfuktoe zur Aalyse der dossabhägge Wrksamket ees Pharmakos verwedet. Dabe beschrebt de Fukto F (x) de relatve Atel der Utersuchugsehete, be dee e Effekt der Doss x erkebar st. De graphsche Darstellug vo F (x) bezechet ma als Dosswrkugskurve. Auch der Labormedz arbetet ma häufg mt der Vertelugsfukto. We etwa für ee Cholesterwert x glt F ( x) 0,98, formert dese Agabe darüber, dass deser Wert m obere 2%-Berech legt dmesoale Häufgkete De Kotgeztafel Bsher wurde ledglch de Häufgketsvertelug ees ezele Merkmals betrachtet. Bswele st es teressat, de Zusammehag zwsche zwe Merkmale, de a de Beobachtugsehete erhobe wurde, äher zu beleuchte. We es sch dabe um zwe qualtatve Merkmale hadelt, sprcht ma vo Assozato oder Kotgez. Wr betrachte m Folgede zwe dskrete Merkmale mt de Auspräguge A ( 1,..., k) ud B j ( j 1,..., ). Da beträgt de Azahl aller dekbare Kombatoe k. De absolute Häufgkete j bezeche de Azahl der Beobachtugsehete, be dee de Auspräguge A ud B j gemesam auftrete. Für de relatve Häufgkete ergbt sch da: j hj mt 1,..., k ud j 1,..., (3.8) De hj erstrecke sch zwsche 0 ud 1. We ma alle Häufgkete aufaddert, erhält ma: k 1 j 1 j (3.9)

13 3.3 2-dmesoale Häufgkete 49 3 Bespel 3.4: Kotgeztafel Für de Merkmale Rauche ud Geschlecht ergebe sch aus de Date der Tabelle 2.1 folgede Assozatoe. I de Felder der Kotgeztafel sd agegebe: - de absolute Häufgkete j, - de relatve Rehehäufgkete, - de relatve Spaltehäufgkete. - de relatve Häufgkete h j (bezoge auf de Stchprobe). mälch weblch Raucher a 7 (33 %) (35 %) (9 %) c 13 (24 %) (65 %) (17 %) 20 (26 %) Nchtraucher b 14 (67 %) (25 %) (18 %) d 42 (76 %) (75 %) (55 %) 56 (74 %) 21 (28 %) 55 (72 %) Daraus geht hervor, dass sch de Mege der 76 Studete aus 20 Raucher (das sd 26%) ud 56 Nchtraucher (74%) bzw. aus 21 Mäer (28%) ud 55 Fraue (72%) zusammesetzt. De 14 cht rauchede Mäer stelle 18% des Gesamtkollektvs dar. 33% der Mäer ud 24% der Fraue rauche. De Raucher sd zu 35% mälch; de Nchtraucher zu 25%. Für de Odds Rato (S. 50) ergbt sch OR (7 42) / (14 13) 1,6. 76 k h j 1 j 1 1 (3.10) De Häufgkete, de sch ur auf de Auspräguge A oder B j bezehe, sd de so geate Radhäufgkete oder Radsumme. Alle Häufgkete lasse sch überschtlch eer Tabelle der so geate Kotgeztafel darstelle. Im Kopf ud der Vorspalte sd de Auspräguge der bede Merkmale aufgelstet. Im Ier ethält de Tabelle Felder mt de jewelge Häufgkete. I der letzte Tabellespalte oder der letzte Zele köe Radsumme egetrage werde. I Bespel 3.4 werde zwe Alteratvmerkmale betrachtet; daher ethält de Tabelle m Ier ur ver Felder. Dese efachste Form der Kotgeztafel et ma auch Verfeldertafel. De dazu gehörede absolute Häufgkete werde üblcherwese mt a, b, c ud

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