Kommentierte Formelsammlung der deskriptiven und induktiven Statistik für Wirtschaftswissenschaftler

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1 Kommeterte Formelsammlug der deskrptve ud duktve Statstk für Wrtschaftswsseschaftler Prof. Dr. Iree Rößler Prof. Dr. Albrecht Ugerer Wetere Bespele ud ausführlche Erläuteruge sowe detallerte Lösuge der m Buch: (013): Statstk für Wrtschaftswsseschaftler Sprger Gabler Übugsaufgabe zu Kaptel 4 ud 5 des Buches uter

2 Ihaltsverzechs Ihaltsverzechs 1 Grudlage 1 Phase eer statstsche Erhebug Merkmalsarte ud Skale Regel für de Erstellug vo Tabelle Grudforme grafscher Darstelluge Bespeldatesatz Deskrptve Statstk: Uvarate Verteluge 4.1 Darstellugsforme Klasserte Date, Hstogramm Maßzahle der zetrale Tedez Mttelwerte ud Vertelugsforme Ergäzuge Maßzahle der Streuug Varazzerlegug be m Utergruppe ( j = 1,...,m) Ergäzuge Deskrptve Statstk: Bvarate Verteluge Darstellugsforme Häufgketsvertelug Statstsche Uabhäggket Korrelato Maßzahle des rechersche Zusammehags Ergäzug: PRE-Maße (Proportoal Reducto Error) Wahrschelchketsrechug Wahrschelchkete ud Verteluge Regel der Wahrschelchketsrechug Praktsche Berechug vo Wahrschelchkete Wahrschelchketsverteluge De Normalvertelug als Stchprobevertelug Häufg agewadte Stchprobeverteluge ud hre Parameter Iduktve Statstk Grudlage des Schätzes ud Testes Schätzverfahre Efache Zufallsstchprobe Geschchtete Zufallsstchprobe Häufg agewadte Kofdeztervalle Testverfahre Sgfkaztest

3 Ihaltsverzechs Hwes zur Iterpretato Fehlermöglchkete be Tests Praktsche Vorgeheswese bem klasssche Sgfkaztest Häufg agewadte Testverfahre Wrtschaftsstatstsche Aweduge Dspartätsmessuge Bestads- ud Bewegugsmasse Idexzahle Regressosrechug Zetreheaalyse Häufg agewadte Progoseverfahre mt expoeteller Glättug De Normalvertelug als Rskovertelug Stchprobe m Rechugswese, Stchprobevetur Ahag: Tafel zu ege wchtge Verteluge 37 A Stadardormalvertelug B t -Vertelug C Ch-Quadrat-Vertelug D F -Vertelug

4 1 Grudlage 1 1 Grudlage Statstk, als Methodelehre ud cht als Zahleergebs verstade st ee wsseschaftlche Dszpl, de sch mt der Etwcklug ud Awedug vo Verfahre zur Gewug, Beschrebug ud Aalyse vo Zahle abbldbare emprsche Befude beschäftgt. Se soll eem Etschedugsprozess formatve Date lefer; sbesodere soll se helfe, Theore a der Realtät zu überprüfe. Phase eer statstsche Erhebug Fragestellug (Formulerug eer praktsche Etschedug oder wsseschaftlche Theore so, dass ee statstsche Messug möglch st: Grudprobleme der emprsche Sozalforschug ) Festlegug der statstsche (Grud-) Gesamthet [Bestmmug der sachlche, zetlche (Zetpukt: Bestadsmasse; Zetraum: Bewegugsmasse) ud räumlche Idetfkatosmerkmale] Wahl der Erhebugsmerkmale ud sbesodere be omale ud ordale Merkmale Etwurf eer Messskala Wahl des Erhebugsverfahres (z.b. schrftlche bzw. müdlche Befragug, Beobachtug, Expermet; Prmär- oder Sekudärerhebug; Voll- oder Telerhebug) Orgasato, Durchführug ud Kotrolle Aufberetug der Date (Orde, Dateverdchtug) Auswertug (Dateaalyse ud Iterpretato der Ergebsse bezüglch der Fragestellug uter Berückschtgug des Eflusses der Phase der Dateetstehug) Darstellug der Ergebsse (tabellarsche ud grafsche Darstellug) Gestaltugsbeschräkug durch Rahmebedguge (z.b. rechtlche) ud e ökoomsches Przp (Abwägug: aktuell bllg geau). Merkmalsarte ud Skale Merkmalsart Skala Iterpretato Trasformato Bespel qualtatv re qualtatv Nomalskala Beruf, Fachrchtug, Famlestad, Geschlecht, Körpergröße(?) komparatv Ordalskala 1. Verschedeartgket 1. Verschedeartgket. Ordug eedeutge Trasformatoe streg mootoe Trasformatoe Note, Kredtrakg, Zufredehetsgrad, sozale Schcht, Körpergröße(?) quattatv Itervallskala Celsus, Normabwechug, Altersjahrgag, Körpergröße(?) Verhältsskala 1. Verschedeartgket. Ordug 3. Dffereze 1. Verschedeartgket. Ordug 3. Dffereze 4. Verhältsse leare Trasformatoe y = ax + b, a > 0 lear-homogee Trasformatoe y = ax, a > 0 Kelv, Alter Jahre, Ekomme, Pres, Körpergröße

5 1 Grudlage Regel für de Erstellug vo Tabelle 1. Jede Tabelle trägt ee Überschrft, der de beschrebee statstsche Masse sachlch, zetlch ud räumlch abzugreze st.. Tabellekopf ud de Vorspalte ethalte de Erläuterug zum Zahletel. Jede Zahl m Zahletel st somt charaktersert durch de jewelge Zele- ( der Vorspalte) ud Spaltebezechug (m Tabellekopf). Ke Tabellefeld sollte leer se. Dabe bedeutet geau Null, währed 0 mehr als Null, aber weger als de Hälfte der kleste Darstellugsehet bedeutet (auch 0,0 oder 0,00). 3. Fußote ethalte Erläuteruge zum Ihalt eer Tabelle sowe Quellehwese. Bsp.: Tab... Wohbevölkerug der Stadt XY am ( Tsd.) Geschlecht Famlestad Isgesamt ledg verheratet verwtwet geschede mäl webl Isgesamt Quelle: Städtestatstsches Amt XY Grudforme grafscher Darstelluge Balkedagramm Flächedagramm Streuugsdagramm Kurvedagramm 1 Erstelle Se e Kresdagramm des Merkmals Famlestad für das obge Bespel der Wohbevölkerug.

6 1 Grudlage 3 Bespeldatesatz Be 5 Telehmer eer Statstk-Klausur wrd ee statstsche Erhebug mt de Merkmale Geschlecht (mälch 1, weblch ) Vertefugsfach (Bak 1, Hadel, Idustre 3) Mathematkote des voragegagee Semesters (, 3, 4) Ausgabe für Kope m letzte Semester (Euro) Ekomme m letzte Semester (Euro) Azahl gekaufter/ausgeleheer Fachbücher m letzte Semester erwartete Lestug (uterdurchschttlch -1, durchschttlch 0, eher besser +1) durchgeführt. Ma erhält folgede Datematrx: (als excel-date zum dowload) Stud.- Ge- Vertefugs- Note Ausgabe für Ekomme Azahl erwartete Nr. schlecht fach Kope Fachbücher Lestug

7 Deskrptve Statstk: Uvarate Verteluge 4 Deskrptve Statstk: Uvarate Verteluge.1 Darstellugsforme De erste Stufe eer Auswertug erhobeer Date umfasst de svolle Ordug der Merkmalswerte bzw. hre Zusammefassug zu Gruppe mt gleche Merkmalsauspräguge. De tabellarsche oder grafsche Darstellug der Häufgkete des Auftretes vo Merkmalsauspräguge heßt Häufgketsvertelug. Begrffe Statstsche Masse (Grudgesamthet) besteht aus statstsche Ehete mt deselbe Idetfkatosmerkmale. Urlste ethält Beobachtugswerte des Merkmals X vo statstsche Ehete. Merkmalsauspräguge des Merkmals X Symbole Umfag: (N) durchummererte (verschlüsselte, aoymserte) statstsche Ehete: = 1,,...,(N) a 1,...,a,...,a x 1,...,x j,...,x m absolute Häufgket der Ausprägug x j h j = h(x j ) mt m h j = j=1 relatve Häufgket vo x j relatve Häufgketsfukto f (x) = f j = f (x j ) = h m j mt f j = 1 j=1 { f j für x = x j, j = 1,...,m 0 sost kumulerte absolute Häufgket vo x j des mdestes ordale Merkmals X H j = H(x j ) mt H j = j h k, x k < x k+1, H m = k=1 kumulerte relatve Häufgket vo x j des mdestes ordale Merkmals X F j = F(x j ) mt F j = Emprsche Vertelugsfukto F(x) = j f k = H j k=1, x k < x k+1, F m = 1 0 für x < x 1 F j für x j x < x j+1, j = 1,...,m 1 1 für x x m Be eer Erhebug stellt ma folgede Persoezahl je Wohug de 40 Sozalwohuge eer Stadt fest (Urlste): 5,,1,4,6, 3,,4,4,7, 6,1,,3,5, 3,3,4,3,3 0,5,,4,3, 3,6,5,6,4, 3,5,3,4,3, 3,5,7,3,4. Bereche Se tabellarscher Form absolute ud relatve Häufgkete sowe de kumulerte Häufgkete. Zeche Se de Häufgketsverteluge.

8 Deskrptve Statstk: Uvarate Verteluge 5 Relatve Häufgkete Relatve Häufgketsfukto Kumulerte relatve Häufgkete Emprsche Vertelugsfukto

9 Deskrptve Statstk: Uvarate Verteluge 6 Klasserte Date, Hstogramm Be quattatve Merkmale mt sehr vele Auspräguge (z.b. Ekomme) oder be stetge Merkmale werde zur Erhebug bzw. vor der Auszählug beachbarte Beobachtugswerte zu Klasse zusammegefasst. De Klassegreze dürfe sch cht überschede. De Wahl der Klassebrete hägt eersets vo der Erhebbarket, aderersets vom gewüschte Iformatosgehalt ud der Klassebesetzug ab. Wese de Klasse ee uterschedlche Brete auf, so werde zur Vermedug vo Mssverstädsse de Klassehäufgkete auf de Klassebrete bezoge. Als Ergebs erhält ma de besser verglechbare Besetzugsdchte je Klasse. Dese werde Hstogramme auf der Ordate abgetrage, de Häufgkete somt als Rechteckfläche dargestellt. De Dchtefuktoe erhalb der Klasse etspreche also Rechteckverteluge (efachstes Modell). Begrffe Symbole m Klasse (vo... bs uter...) [a 1,b 1 ),...,[a j,b j ),...,[a m,b m ) Klassebrete absolute / / Klassemtte w j = b j a j / relatve Häufgket h j = h(x ) mt x [a j,b j ) x j = a j + b j m h j = j=1 / f j = h m j mt f j = 1 j=1 / absolute relatve Dchte h j = h m / j mt w j h jw j = f j = f m j mt j=1 w j f j w j = 1 j=1 { f Klasserte Dchtefukto f b m (x) = j für x [a j,b j ), j = 1,...,m mt f (x)dx = 1 0 sost a 1 / j / j kumulerte abs. rel. Häufgk. H j = h k mt H m = F j = f k = H j k=1 k=1 mt F m = 1 Klasserte Vertelugsfukto F (x) = x a 1 f (u)du 0 für x < a 1 = F j 1 + f j (x a j) für x [a j,b j ), j = 1,...,m 1 für x b m 3 Ekomme % vo... bs uter Zeche Se e Hstogramm ud de klasserte Vertelugsfukto. Schätze Se ach der Grafk, wevel Prozet weger als verdee.

10 Deskrptve Statstk: Uvarate Verteluge 7 Hstogramm Hstogramm Ergebs eer Schellvetur Tele f j 100 f j 100 vo... bs uter , falsche Darstellug: rchtge Darstellug: Kumulerte relatve Häufgkete Klasserte Vertelugsfukto

11 Deskrptve Statstk: Uvarate Verteluge 8. Maßzahle der zetrale Tedez I der zwete Stufe der Auswertug werde Beobachtugswerte bzw. Häufgketsverteluge zu Maßzahle verdchtet. Im Sachzusammehag svolle Maßzahle solle so u.a. sofer se cht selbst Utersuchugszel sd ee überschtlche Verglech verschedeer statstscher Rehe erlaube. Mttelwerte Symbol Berechug Skaleveau Aussage Modus (häufgster Wert, Dchtemttel) D D = x k mt h k = maxh j j belebg De Merkmalsausprägug eer Vertelug, auf de de meste Beobachtugswerte etfalle. Meda (Zetralwert,. Quartl) Arthmetsches Mttel Z Z = a (k) mt k = +1 für ugerade ud x (µ) k = für gerade, a der Größe ach geordet. Für Z = x j glt: F(x j ) = 0,5. x = 1 = 1 = a m h j x j j=1 m f j x j j=1 ordal oder metrsch metrsch Der Beobachtugswert eer der Größe ach geordete Rehe (a () ), uterhalb dem de Hälfte aller Merkmalsträger legt. Echte Mtte. Be Verteluge mt ur wege Beobachtugswerte als Deskrpto oft cht svoll. De Größe, de sch ergbt, we de Merkmalssumme glechmäßg auf de Merkmalsträger aufgetelt wrd. Zur Beschrebug der Mtte eer Vertelug ur be symmetrsche Verteluge geeget. Mttelwerte ud Vertelugsforme symmetrsch lksstel rechtsstel x = D = Z D < Z < x x < Z < D 4 Bereche Se für de. de dre behadelte Mttelwerte.

12 Deskrptve Statstk: Uvarate Verteluge 9 Ergäzuge Modalklasse [a D,b D ) = [a k,b k ) mt h k = max h j j De am dchteste besetzte Klasse. Quatle F (x k ) = k De Merkmalsausprägug x k, uterhalb der z.b. z.b. Perzetle 1%-Schrtte (k {1,,..., 99}) 99% der Werte (99. Perzetl) Dezle 10%-Schrtte (k {1,,..., 9}) 90% der Werte (9. Dezl) Quartle Q k 5%-Schrtte (k {1,,3}) 75% der Werte (3. Quartl) lege. Arthmetsches Mttel x Hochrechugsegeschaft leare Trasformato Arthmetsches Mttel aus arthmetsche Mttel Geometrsches Mttel g x = a = x z = c + d a = z = c + d x x = 1 ˆx = 1 m j=1 j x j mt = m j j=1 m h j x j mt x j = a j + b j j=1 g = T x1 x 0 x x 1 mt Harmosches Mttel h h = g g x 1 5 = x T xt = x T T 1 x 0 x t : Messzahle aus äqudstat x t 1 gemessee Größe, t = 1,...,T = ( g x 1 g ) 1 km km ( ) 1 = km km Std Std Das arthmetsche Mttel ethält als wchtgste Iformato de Merkmalssumme. Arthmetsches Mttel aus arthmetsche Mttel vo m Utergruppe. Schätzug des arth. Mttels be klasserter Vertelug, falls x j ubekat. Durchschttlche Wachstumsfaktore wrtschaftsstatstscher Zetrehe. [Z.B. Durchschttsverzsug be Wederalage der Zse.] Durchschttsgröße, we sch de gegebee Gewchte auf Zählergröße bezehe. [Z.B. Durchschttsgeschwdgket, we de Gewchte Telstrecke sd.] Bereche Se für de 3. de Modalklasse, de Quartle ud das arthmetsche Mttel.

13 Deskrptve Statstk: Uvarate Verteluge 10.3 Maßzahle der Streuug Maßzahle der Streuug solle de Varato der Ehete de Merkmalsauspräguge abblde, be quattatve Merkmale besoders bezüglch ees Mttelwertes. So gesehe sd se auch ee Maßgröße für de Iformatosgehalt ees Mttelwertes als Abbldugsergebs eer statstsche Vertelug. Streuugs- Symbol Berechug Skale- Aussage maße veau Homogetätsdex Quartlsabstad Box-ad- Whsker Plot Varaz ud Stadardabwechug P P = m m m 1 (1 f j ), j=1 0 P 1 QA QA = Q 3 Q 1 s (σ ) s (σ) s = + s s = 1 = 1 s = 1 = 1 Merkmal X (a x) a x m h j (x j x) j=1 m h j x j x j=1 belebg ordal oder metrsch metrsch Varazzerlegug be m Utergruppe ( j =1,..., m) s = 1 (a x) = 1 m j j=1 (a j x j ) + 1 } {{ } s t m j=1 j (x j x) = 1 } {{ } s ext P st be der Glechvertelug am größte ud be der Epuktvertelug am gergste. QA gbt de mttlere Berech der Beobachtugswerte eer der Größe ach geordete Rehe a, uterhalb bzw. oberhalb dem je e Vertel der Merkmalsträger legt. Be ordale Merkmale ur svoll, we cht de Dfferez ausgerechet wrd (so allerdgs kee Maßzahl). s st e Durchschtt aus quadrerte Dffereze zwsche Beobachtugswert ud dem arthmetsche Mttel. Größere Dffereze werde stärker gewchtet als klee. Verschebugssatz m j s j + s ext = s t + s ext j=1 De Gesamtvaraz lässt sch be Etelug eer Gesamthet Gruppe so zerlege, dass e Tel de Streuug der Ezelwerte erhalb der Gruppe (s t), der adere Tel de Streuug zwsche de Mttelwerte der Gruppe (s ext) abbldet. 6 Bereche Se für de. de Quartlsabstad ud de Stadardabwechug. Nehme Se ee Varazzerlegug für das Vertefugsfach ( j = 1,,3) ud de 7 Ausgabe für Kope (a j ) des Bespeldatesatzes Sete 3 vor.

14 Deskrptve Statstk: Uvarate Verteluge 11 Ergäzuge Spawete R R = a max a m Dfferez zwsche größtem ud klestem Beobachtugswert, z.b. be Pres-/Kursetwckluge. Durchschttlche (mttlere absolute) Abwechug d A Mmumegeschaft vo d Z d A = 1 = 1 = d A = 1 a A m h j x j A j=1 m f j x j A, A = x,z,... j=1 a A = m für A = Z Da (a x) = 0 glt (Schwerpuktegeschaft des arth. Mttels), bldet ma das arth. Mttel der Absolutbeträge der Abwechuge der Beobachtugswerte vom arth. Mttel (A = x). Als Bezugspukt der Abwechuge der Beobachtugswerte ka auch der Meda Z oder e aderer Mttelwert gewählt werde. Varaz Mmumegeschaft leare Trasformato z-trasformato (Stadardserug) Varaz be klasserte Date Dabe getroffee Aahme: Rechteckvertelug erhalb eer Klasse. Falls x j ubekat st, wrd x j verwedet. Varatoskoeffzet V s A = 1 s A = 1 (a A) = m für A = x (a x) + (x A) z = c + d a = s Z = d s X mt s X = 1 z = a x s ŝ = m w j f j j=1 1 } {{ } ŝ t (a x) = z = 0 ud s Z = 1 + m j=1 f j (x j x) } {{ } s ext V = s x, x j 0, j = 1,...,m ud x > 0 De mttlere quadratsche Abwechug bezoge auf das arth. Mttel st stets kleer als de mttlere quadratsche Abwechug bezoge auf ee belebge Wert A. Aus rechersche Grüde bzw. wege des Verglechs zwsche verschedee Merkmale werde Date oft z-trasformert. Relatves Streuugsmaß (dmesoslos): De Stadardabwechug wrd auf das arthmetsche Mttel bezoge. 8 Bereche Se für de. de Varatoskoeffzete ud für de 3. de Quartlsabstad ud de Stadardabwechug.

15 3 Deskrptve Statstk: Bvarate Verteluge 1 3 Deskrptve Statstk: Bvarate Verteluge 3.1 Darstellugsforme Werde a eem Merkmalsträger zwe Beobachtugswerte a ud b der Merkmale X ud Y festgestellt, so ka utersucht werde, ob e recherscher Zusammehag zwsche dese Merkmale besteht. I tabellarscher Form gescheht des be Häufuge vo gleche Beobachtugspaare durch ee Häufgketstabelle (Assozatos-, Kotgez-, Korrelatostabelle), sost durch ee der Größe (ees Merkmals) ach geordete Rehe der Beobachtugspaare (cht be omale Merkmale möglch). De Auswertug erfolgt m erste Fall durch Spalte- bzw. Zeleverglech, m zwete Fall (vor allem grafsch) durch Rehefolgeverglech. Häufgketsvertelug Zwedmesoale Häufgketstabelle Bedgte Verteluge Notato: x j mt j = 1,...,k Zeleverglech Spalteverglech y mt = 1,...,m (y festgehalte) (x j festgehalte) x 1... x j... x k y 1 h h 1 j... h 1k y h 1... h j... h k y m h m1... h m j... h mk m j....k x j x 1 x h 1 j 1. h j. h m j m.. x k y y 1 y h 1.1 h j. j h k.k. y m Statstsche Uabhäggket Besteht ke recherscher Zusammehag zwsche de Merkmale der betrachtete Gesamthet, so ergebe sch de Spalte bzw. Zele deselbe relatve Häufgkete, we als Bezugsgröße jewels de Spalte- bzw. Zelesumme verwedet wrd (bedgte Vertelug). De absolute Häufgkete de Tabellefelder h e j lasse sch da als ormertes Produkt der Radhäufgkete erreche: h e j =. j.

16 3 Deskrptve Statstk: Bvarate Verteluge 13 Korrelato Korrelatosrechug be ordale oder metrsche Merkmale: Messug der Stärke ud Rchtug des rechersche Zusammehags zwsche Merkmale, der esetg (x y), gegesetg (x y) oder über e drttes Merkmal (oder ee Merkmalskomplex) (z (x, y)) bewrkt se ka. De Korrelato st a der Form der tabellarsche oder grafsche Aordug erkebar. schwache starke schwache starke learer cht learer postve Korrelato egatve Korrelato statstscher Zusammehag Es wrd ab jetzt cht mehr de Symbole zwsche Beobachtugswert ud Merkmalsausprägug uterschede, soder sowohl de Beobachtugswerte als auch de Merkmalsauspräguge des Merkmals X werde mt x bzw. des Merkmals Y mt y bezechet. Be = 1,..., hadelt es sch um Beobachtugswerte ud be = 1,...,m(k) um Merkmalsauspräguge erwerbstätge Wähler werde ach der Stellug m Beruf (x j mt x 1 : Arbeter, x : Agestellte/Beamte, x 3 : Selbstädge) ud hrer Wahletschedug be de letzte Ladtagswahle (y mt y 1 : CDU, y : SPD, y 3 : FDP, y 4 : Grüe) befragt. Ma erhält folgedes Ergebs: x 1 x x 3 y y y y Bereche Se de Radverteluge, de (sebe) bedgte Verteluge sowe de absolute Häufgkete der Assozatostabelle be statstscher Uabhäggket der betrachtete Merkmale deser Gesamthet. We hoch st der Atel der Agestellte/Beamte, de de SPD wähle? der Agestellte/Beamte uter de Wähler der SPD? der Wähler der SPD uter de Agestellte/Beamte? 10 I eem Betreb werde für de letzte zwölf Quartale de Zahl der Arbetslose m zugehörge Arbetsamtsbezrk (x Hdrt.) ud de Zahl der Krakmelduge (y Hdrt.) verglche: x y Zeche Se e Streuugsdagramm. Iterpretato?

17 3 Deskrptve Statstk: Bvarate Verteluge Maßzahle des rechersche Zusammehags Kegröße bvarater Verteluge, de de Stärke des rechersche Zusammehags zwsche de bede Merkmale der utersuchte Gesamthet abblde, heße Assozatos- oder Kotgezmaße (we ees der Merkmale omal skalert st) bzw. Korrelatoskoeffzete (we kees der Merkmale omal skalert st). Bezech. Symbol Berechug Skal.-v. Aussage Ch- Quadrat- Koeff. Pearso s Kotgezkoeff. Korrgerter Kotgezkoeff. χ C C χ = m χ C = χ + C = C max = C C max k (h j h e j ) j=1 h e j mt m(k,m) 1 m(k, m) belebg Es st χ > 0, we e Zusammehag besteht. Ee Rchtug des Zusammehags st cht terpreterbar. Vele Assozatosmaße beruhe auf der Größe χ, de de Utersched zwsche de tatsächlche Häufgkete ud de be Uabhäggket geltede Häufgkete abbldet. Kedalls Tau-b Somers d τ b d y c d τ b = (c + d + T x )( c + d + T y ) be symmetr. Zusammehag. d y = c d c + d + T y d y = ad bc (a + c)(b + d) (Y abh. Varable) be - Tabelle. bede Merkmale mdestes ordal Paarvergleche. Azahl möglcher Paare be Ehete: ( 1). Zahl der kokordate Paare: c, der dskordate Paare: d, Tes (ke Utersched bzgl. beder Merkmale): T x, T y, (T xy ). 1 τ b,d y 1. Korrelatoskoeff. vo Bravas- Pearso Eta- Quadrat- Koeff. 11 r (ρ) η s XY r = s X s Y mt der Kovaraz s XY = 1 = 1 η = s ext s (x x)(y y) x y xy = 1 s t s bede Merkmale metrsch beeflussedes M. belebg, beeflusstes M. metrsch r msst de Stärke des leare Zusammehags. Es glt: 1 r 1. r = 1 r = 1 η gbt a, welcher Atel der Streuug durch de Gruppezugehörgket erklärt werde ka. Es glt: 0 η 1. Bereche Se für de 7, 9 ud 10 svolle Maßzahle des rechersche Zusammehags.

18 3 Deskrptve Statstk: Bvarate Verteluge 15 Ergäzug: PRE-Maße (Proportoal Reducto Error) PRE-Maße solle ee Iterpretato der Stärke des Eflusses der uabhägge auf de abhägge Varable erlaube. PRE = E 1 E proportoale Abahme des Vorhersagefehlers E 1 : E 1 Fehler bzgl. der Vorhersage der abhägge Varable Y aufgrud hrer Vertelug. E : Fehler bzgl. der Vorhersage der abhägge Varable Y be Kets des Eflusses der uabhägge Varable X. De PRE-Maße uterschede sch je ach Fehler -Defto ud verwedetem Vorhersagewert. Bezech- Symbol Berechug Skale- Aussage ug veau Goodmas ud Kruskals Lambda Goodmas ud Kruskals Gamma Bestmmthetsmaß Eta- Quadrat- Koeffzet λ y λ y = j γ r r = η λ y = E 1 E maxh j max. E 1 max. mt E 1 = max. E = (. j maxh j ) j γ = c d c + d γ = E 1 E mt E 1 E 1 = 0,5 ( c + d ) E = m( c, d ) für c < d : γ < 0 für c > d : γ > 0 s Ŷ s Y = 1 s e s Y r = E 1 E E 1 (be weg Tes) mt E 1 = s Y, E = s e η = s ext s η = E 1 E E 1 = 1 s t s mt E 1 = s, E = s t belebg bede Merkmale mdestes ordal bede Merkmale metrsch uabh. Merkmal belebg, abh. Merkmal metrsch Ma würde de häufgste Wert vorhersage, also st E 1 de Zahl der falsche Voraussage. Etspreched E : Ma würde de häufgste Werte der bedgte Verteluge voraussage, also st E de Azahl der falsche Voraussage. Es glt: 0 λ y 1. We ma chts weß außer der Zahl Paare mt edeutger Rehefolge, würde ma E 1 tppe (Przp des uzurechede Grudes). γ st größer ull, we de Zahl der kokordate Paare überwegt ud γ st kleer ull, we de Zahl der dskordate Paare überwegt. Es glt: 1 γ 1. E 1 st der als Varaz berechete Progosefehler, we ma y als Vorhersagewert für jedes y verwede würde. E st der Progosefehler, we ma ŷ als Vorhersagewert verwedet. Es glt: 0 r 1. E 1 st der als Varaz berechete Progosefehler, we ma y als Vorhersagewert für jedes y j verwede würde. E st der Progosefehler, we ma be j = 1,...,m Utergruppe y j als Vorhersagewert verwedet. Es glt: 0 η 1.

19 4 Wahrschelchketsrechug 16 4 Wahrschelchketsrechug 4.1 Wahrschelchkete ud Verteluge Bsher wurde Methode zur zahlemäßge Beschrebug geau abgegrezter statstscher Masse vorgestellt. Zel statstscher Utersuchuge st jedoch mest, allgemegültgere Ergebsse zu erhalte. Werde solche Date als Ergebsse vo Zufallsexpermete z.b. Befragugsergebsse aus eer Zufallsstchprobe vo Persoe gewoe, so st zwar der Grad der Allgemegültgket des Ergebsses (der Iduktosschluss) uscher, er ka aber mt Hlfe der Wahrschelchketsrechug quatfzert werde. Regel der Wahrschelchketsrechug (am Bespel der 9, Sete 13) 1. Egeschafte des Wahrschelchketsmaßes (Axome vo Kolmogoroff) P(A) 0 P(I) = 1 P(A B) = P(A) + P(B) P(SPD) = 0,4 P(FDP) = 0,1 P(SPD FDP) = 0,4 + 0,1 = 0,5. Addtossatz (Verküpfug : etweder-oder, Veregug) P(A B) = P(A)+P(B) P(A B) P(SPD Arbeter) = 0,4 + 0,4 0, = 0,58 3. Multplkatossatz (Verküpfug : sowohl-als-auch, Schtt) P(A B) = P(A) P(B A) P(SPD Selbstg.) = P(B) P(A B) = 0,4 0,05 = 0,0 P(A B) = 0,1 0, = 0,0 P(A B) = P(B) De Wahrschelchket P für e Eregs A (Zusammefassug möglcher Ergebsse ees Zufallsexpermets) st e egatv. De Wahrschelchket für das schere Eregs I st 1. De Wahrschelchkete für sch ausschleßede Eregsse köe addert werde. Schleße sch zwe Eregsse cht aus, so muss vo der Summe der Wahrschelchkete für de Ezelergebsse de Wahrschelchket der Schttmege abgezoge werde. Be (stochastscher) Uabhäggket zweer Eregsse glt: P(A B) = P(A) P(B) P(A B) = P(A) Praktsche Berechug vo Wahrschelchkete Be efache Zufallsexpermete, dere Ergebsse (Elemetareregsse) glechwahrschelch sd, lasse sch Wahrschelchkete aus dem Verhälts vo güstge zu möglche Fälle bereche (Glücksspele, Uremodelle). De desem Wahrschelchketsmaß zugrudelegede Auffassug wrd auch klassscher Wahrschelchketsbegrff geat. I de Wrtschafts- ud Sozalwsseschafte wrd bem Schätze ud Teste (vgl. Abschtt 5.1) zumest vom statstsche oder frequetstsche Wahrschelchketsbegrff ausgegage: Wahrschelchket st ee relatve Häufgket, de eer sehr lage Rehe uabhägger Versuche festgestellt wurde. Der allgemee Ursachekomplex für de Häufgketsvertelug muss allerdgs kostat blebe. Bespelswese köte ma so ee Vertelug vo möglche Ergebsse eer Stchprobezehug erreche ud aus deser Vertelug da Wahrschelchkete für gaz bestmmte Ergebsse etehme. Isbesodere be ökoomsche Aweduge (z.b. be Rskoabschätzuge Etschedugsstuatoe) spelt der duktve, spezell der subjektve Wahrschelchketsbegrff ee Rolle. De Wahr-

20 4 Wahrschelchketsrechug 17 schelchket wrd als e Maß für de Grad der Überzeugthet vo der Rchtgket eer Aussage aufgefasst. Velfach wrd de Meug vertrete, dass praktsche Aweduge jede Wahrschelchketsaussage subjektve Elemete ethalte. Wahrschelchketsverteluge Drückt ma de möglche Ergebsse als Zufallsvarable X aus, d.h. als ee Abbldug, de jedem Ergebs aus der Ergebsmege ee reelle Zahl zuordet, so köte ma alle dre geate Fälle ee Vertelug vo Wahrschelchkete auf de Zufallsvarable X als Fuktosglechug erstelle. De Fukto F(x), de jedem x R de Wahrschelchket P(X x) zuordet, also F(x) = P(X x), heßt Vertelugsfukto vo X. De Wahrschelchkete für möglche Realsatoe x ka ma da a der Vertelugsfukto F(x) ablese. Für de praktsche Awedug üblch sd häufg verwedete Wahrschelchkets- bzw. Vertelugsfuktoe, de scho tabellarsch ( Tafel ) ausgewertet sd. P(X x 1 ) = F(x 1 ) P(X > x 1 ) = 1 F(x 1 ) P(x 1 < X x ) = F(x ) F(x 1 ) I der Praxs wrd zur Bestmmug vo Wahrschelchkete oft so vorgegage, dass je ach Art der Zufallsvarable ud des de Wahrschelchket erzeugede Zufallsprozesses aus vorlegede theoretsche Verteluge, das sd mathematsche Modelle her Fuktosglechuge abgebldete, theoretsche Zufallsprozesse, ee passede ausgewählt wrd. Ee so zustadekommede Wahrschelchketsaussage st da atürlch selbst mt eer gewsse Uscherhet (ämlch de der rchtge Modellauswahl) behaftet, ohe dass dese Uscherhet quatfzert werde köte. Für derartge Verteluge lasse sch ormalerwese Kegröße we der deskrptve Statstk (Erwartugswert, Varaz) bereche. Güstg st es, we dese Kegröße auch ee Fukto der Parameter der Vertelug sd. Bespelswese sd be der Gauß sche Normalvertelug de Kegröße µ ud σ selbst Parameter der Vertelug (vgl. Abschtt 4.). 1 a) Bereche Se de Wahrschelchketsvertelug für das Eregs Zahl der Arbeter eer Stchprobe m.z. vo 3 Persoe aus de 00 der 9, Sete 13. b) Ageomme, wr zehe aus der Ekommesvertelug vo 3, Sete 6, ee Stchprobe vom Umfag = 1. We groß st de Wahrschelchket, jemade zu zehe, desse Ekomme weger als 1 000, 000 ud mehr, zwsche 1 50 ud uter beträgt?

21 4 Wahrschelchketsrechug De Normalvertelug als Stchprobevertelug De am häufgste egesetzte theoretsche Vertelug st de Gauß sche Normalvertelug. De Zufallsvarable ka her als Summe sehr veler voeader uabhägger Eflussvarable terpretert werde, also z.b. als arthmetsches Mttel be der Zehug vo efache, uabhägge Zufallsstchprobe. De Normalvertelug st da de Vertelug aller möglche Zehugsergebsse. De Parameter der Normalvertelug sd de (auch deshalb scho der deskrptve Statstk häufg verwedete) Größe µ ud σ. Für X N(µ,σ ) glt: P(X x) = F(x) = 1 x ( ) σ e 1 u µ σ du. π I der Praxs bestmmt ma dese Wahrschelchket be bekate µ ud σ so, dass ma de Dfferez x µ als Velfaches z vo σ ausdrückt, also x = µ + z σ bzw. z = x µ σ berechet. De zu z gehörede Wahrschelchket ka Tafel zur Stadardormalvertelug abgelese werde. P(Z z 1 ) = Φ(z 1 ) P(Z z 1 ) = Φ( z 1 ) = 1 Φ(z 1 ) P( z 1 Z z 1 ) = Φ(z 1 ) 1 z 0,00 0,5 0,50 0,75 1,00 1,5 1,50 1,75,00,50 3,00 Φ(z) 0,500 0,5987 0,6915 0,7734 0,8413 0,8944 0,933 0,9599 0,977 0,9938 0,9987 Be der Zehug uabhägger Zufallsstchprobe vom Umfag aus eer belebge Grudgesamthet mt arthmetschem Mttel µ ud Stadardabwechug σ glt für de Vertelug aller möglche arthmetsche Mttel: Der Erwartugswert ( Durchschtt ) aller möglche Stchprobeergebsse für das arthmetsche Mttel st das arthmetsche Mttel der Grudgesamthet, d.h. E(X) = µ. De Streuug aller möglche Durchschtte hägt vo der Streuug der Grudgesamthet ud dem Stchprobeumfag ab, d.h. E(X µ) = Var(X) = σx = σ N (bzw. N 1 σ ohe Zurücklege; für N gegeüber geüged groß ka der Korrekturfaktor (N )/(N 1) verachlässgt werde). Be große (Praxs: > 100) Stchprobeumfäge ka de Vertelug der Stchprobeergebsse durch ee Normalvertelug mt de Parameter µ ud σx = σ approxmert werde (zetraler Grezwertsatz, vgl. Bespel mt Mcrosoft Excel 13 Ageomme, de Körpergröße vo Mäer Deutschlad se ormalvertelt mt µ = 178cm ud σ = 10cm. a) We groß st de Wahrschelchket be zufällger Auswahl ees Maes, ee Körpergröße aa) x 193cm ab) x > 168cm ac) 158cm < x 198cm zu erhalte? b) Ageomme, ma zehe ee Stchprobe mt Zurücklege vom Umfag = 100 (1000). We groß st de Wahrschelchket, als arthmetsches Mttel ee Wert ba) x > 177cm bb) x 180cm bc) 175cm < x 181cm zu erhalte?

22 4 Wahrschelchketsrechug 19 Häufg agewadte Stchprobeverteluge ud hre Parameter Zufallsvarable Stchprobevertelug ud Vertelugsvoraussetzuge Parameter X N(µ,σ ) für X N(µ,σ ) oder > 30: X bel. vertelt P B(π, π) (m.z.) X µ σ N(π,π(1 π)) für π(1 π) 9 N(0,1) für X N(µ,σ ) X µ t( 1) für X N(µ,σ ) S N(0, 1) für > 30: X bel. vertelt ( 1)S σ χ ( 1) für X N(µ,σ ) E(X) = µ Var(X) = σx = σ Var(X) = σx = σ N N 1 (m.z.) (o.z.) für N < 0,05 ka N N 1 verachlässgt werde. E(P) = π π(1 π) Var(P) = ( ) X µ E = 0 σ ( ) X µ Var = 1 σ ν = 1 ν = 1 (m.z.) S1 S f ( 1 1, 1) für X g N(µ g,σ g ) g = 1, ν 1 = 1 1, ν = 1 X 1 X N(µ 1 µ,σx 1 x ) für X g N(µ g,σg ) oder > 30: X g bel. vertelt g = 1, P 1 P N( 1 π 1 π, 1 π 1 (1 π 1 )+ π (1 π )) für g π g (1 π g ) 9 g = 1, E(X 1 X ) = µ 1 µ Var(X 1 X ) = σ x 1 x = σ σ (m.z. bzw. o.z. für g N g < 0,05, g = 1,) E(P 1 P ) = π 1 π Var(P 1 P ) = π 1 (1 π 1 ) 1 + π (1 π ) (m.z. bzw. o.z. für g N g < 0,05, g = 1,)

23 5 Iduktve Statstk 0 5 Iduktve Statstk 5.1 Grudlage des Schätzes ud Testes Ist de Vertelug möglcher Stchprobeergebsse bekat also z.b. ee bestmmte theoretsche Vertelug oder ee durch Smulatosstude äherugswese abgeletete Vertelug so köe scho vor eer spezelle Stchprobezehug Wahrschelchketsaussage zu erwartete Ergebsse getroffe (Iklusosschluss) oder e otwedger Stchprobeumfag, der ee Mdestgeaugket gewährlestet, bestmmt werde. Auch köte vo eem gegebee Stchprobeergebs aus quatfzerte Mutmaßuge über de wahre Wert der Grudgesamthet agestellt werde (Repräsetatosschluss). Ist de Stchprobevertelug de Normalvertelug N(µ,σx ), so lässt sch de Vorgeheswese für z.b. symmetrsche Itervalle we folgt veraschaulche. Iklusosschluss P(µ z σ x X µ + z σ x ) = 1 α Repräsetatosschluss P(X z σ x µ X + z σ x ) = 1 α ca. 95% der x lege m Berech ± σ x um µ ca. 95% der Itervalle der Läge ± σ x um de x überdecke de Wert µ Vertrauestervalle De Größe e = z σ x st der sog. Stchprobefehler. Sd e, z ud σ gegebe, so ka e otwedger Stchprobeumfag berechet werde: z σ. e Bem Repräsetatosschluss wrd be vorgegebeem z ud σ x e Itervall berechet, das mt eer Wahrschelchket vo (1 α) de ubekate Wert µ überdeckt. σ st jedoch mest ubekat ud wrd da aus der Stchprobe geschätzt: ˆσ = s = 1 1 (x x) (wel E(s ) = σ, d.h. s erwartugstreue Schätzfukto für σ. (N groß: ke Korrekturfaktor, groß: Z = X µ s/ N(0,1).)) Bem Hypothesetest wrd überprüft, ob e bestmmtes Stchprobeergebs zu de (ach dem Iklusosschluss) wahrschelche Ergebsse gehört. We cht, glt de Hypothese als wderlegt. Bem Rückschluss vo eem bestmmte repräsetatve Stchprobeergebs auf de ubekate Grudgesamthet de üblche Awedug der Markt- ud Meugsforschug wrd de Güte des Ergebsses durch de Agabe ees Vertrauestervalls (Repräsetatosschluss), des Stchprobefehlers oder wegstes des Stchprobeumfags dokumetert. Ist X ee 0,1-Varable ud p (bzw. π) der Atel der 1-Träger der Stchprobe (Grudgesamthet), so st x = p (bzw. µ = π) ud s = 1 p(1 p) (bzw. σ = π(1 π)). a) Es wrd behauptet, deutsche Mäer see m Durchschtt 178cm groß be eer Stadardabwechug vo 10cm. Wr überprüfe de Behauptug durch Zufallsstchprobe vom Umfag = 100 (1000) ud erhalte jewels x = 179. Ist de eer Irrtumswahrschelchket vo α = 0,0455 wderlegbar)? Behauptug be eer Wahrschelchket vo (1 α) = 0, 9545 haltbar (also be b) Durch ee efache Zufallsstchprobe vo 900 Haushalte aus de ca 39 Mo. 14 Haushalte Deutschlad solle de Durchschttsausgabe für Nachrchteübermttlug erfasst werde. Wr erhalte 900 x = ud 900 x = We geau st das Ergebs?

24 5 Iduktve Statstk 1 5. Schätzverfahre Der Repräsetatosschluss st e Rückschluss vom egetroffee Stchprobeergebs auf de ubekate, aber feste Parameter der Grudgesamthet. Da ach der Realsato kee Wahrschelchketsaussage mehr möglch sd, sprcht ma frequetstscher Betrachtugswese vo eer Kofdezaussage: De bzgl. des Stchprobefehlers getroffee Aussage (das Itervall) wäre be eer große Zahl uabhägger Stchprobezehuge z.b. 95,45% (Kofdezveau) der Fälle rchtg. Als teresserede Ergebsse aus Zufallsstchprobe werde her arthmetsche Mttel bzw. Merkmalssumme betrachtet. Be gegebeem Kofdezveau also gegebeem z, sofer de Gauß sche Normalvertelug als Stchprobevertelug verwedet werde darf, hägt der Stchprobefehler vo der Streuug der möglche Stchprobeergebsse, also her vo der Stadardabwechug σ x ab, de der Praxs geschätzt werde muss. Efache Zufallsstchprobe Be efache Zufallsstchprobe (smple radom samplg) hat vor der erste zufällge Auswahl jede Ehet der Grudgesamthet deselbe Auswahlwahrschelchket. Es ka mt (m.z.) oder ohe (o.z.) Zurücklege gezoge werde. Vorgeheswese m.z. o.z. 1. Geaugketsvorgabe, d.h. gewüschte Geaugket etweder absolut (e ) oder relatv (e r = e µ ) be vermutetem µ. Abschätzug der Varaz (aus adere, z.b. frühere Erhebuge, Plotstude, Aahme bzw. der Stchproberealsato selbst) σ σ 3. Bestmmug des otwedge Stchprobeumfags [ N N 1 1 ] N mt N : Auswahlsatz z σ e z V e r ) 1 N (1 + Ne z σ ) 1 N (1 + Ne r z V 4. Zufallsauswahl (vollstädge Auswahllste!) ud Erhebug x 5. Hochrechug ˆµ = x ˆµ = x 6. Fehlerrechug ê ê = z s ê = z s 1 N 7. Kofdeztervalle x ê µ x + ê N x N ê N µ N x + N ê

25 5 Iduktve Statstk Geschchtete Zufallsstchprobe Um de Streuug der möglche Ergebsse zu verrger, versucht ma der Praxs durch Nutzug vo Zusatzformatoe de Gesamthet bezüglch der Varaz des zu erhebede (bzw. ees mt hm hoch korrelerte) Merkmals homogee Utergruppe zu schchte (stratfed samplg). Wr gehe davo aus, dass de Zahl der Schchte ud de Schchtgreze scho festgelegt sd, de Gesamtstchprobe proportoal zu de Schchtumfäge N h der L Schchte (h = 1,...,L) aufgetelt wrd ud de Stchprobe je Schcht h m.z. ausgewählt werde. ( h =, N h = N) Vorgeheswese 1. Geaugketsvorgabe e = z σ x = z 1 N N h σh 1 = z N h h N σ h mt h = N h N. Abschätzug der Varaze σ h 3. Notwedger Stchprobeumfag (be proportoaler Auftelug) 4. Proportoale Auftelug z N hσ h N e, σ h geschätzt e vorgegebe h = N h N 5. Zufallsauswahl m.z. je Schcht ud Berechug x h 6. Hochrechug 7. Fehlerrechug ê ê = z 1 N Nh ˆµ = x = 1 N N h x h s h 1 = z h N h N s h 8. Kofdeztervalle x ê µ x + ê N x N ê N µ N x + N ê Aus eer frühere Erhebug zu de moatlche Ausgabe für e Kd hat ma für ee Grudgesamthet vo Haushalte mt Kdergeldasprüche folgede Date: 15 Schcht Nr. Azahl der Gesamtausgabe Summe der quadrerte Haushalte je Schcht Ezelausgabe je Schcht (Mo) (Mo ) (Mo ) Ma bereche für ee geplate eue Erhebug der Durchschttsausgabe de otwedge Stchprobeumfag be uegeschräkter ud be geschchteter Zufallsauswahl (Aussagewahrschelchket 95,45%, zulässger absoluter Zufallsfehler 5,- ).

26 5 Iduktve Statstk 3 Häufg agewadte Kofdeztervalle Parameter µ be bekatem σ Kofdeztervall x z σ x µ x + z σ x mt σ x = σ (m.z.) σ x = σ N N 1 (o.z.) Vertelug N(µ,σ ) für X N(µ,σ ) oder > 30: X bel. vertelt µ be ubekatem σ x t ˆσ x µ x +t ˆσ x x z ˆσ x µ x + z ˆσ x mt ˆσ x = s ˆσ x = s N N 1 (m.z.) (o.z.) t( 1) für X N(µ,σ ) N(µ,σ ) für > 30: X bel. vertelt für N < 0,05 ka N N 1 verachlässgt werde. σ ( 1)s π χ1 α ( 1) σ p z ˆσ p π p + z ˆσ p ( 1)s χ α ( 1) χ ( 1) für X N(µ,σ ) ormalvertelt für > 30 ud X N(µ,σ ) N(π,π(1 π)) für p(1 p) 9 p(1 p) mt ˆσ p = 1 p(1 p) N ˆσ p = 1 N 1 (m.z.) (o.z.) µ 1 µ (x1 x ) t ˆσ D µ 1 µ (x 1 x ) +t ˆσ D s 1 mt ˆσ D = + s 1 (m.z. bzw. o.z. für g N g < 0,05, g = 1,) t(ν) mt ν = ( s 1 + s 1 ( s ) ( 1 s ) ) 1 für X g N(µ g,σg ) N(µ 1 µ,σx 1 x ) für > 30: X g bel. vertelt, g = 1, π 1 π (p1 p ) z ˆσ D π 1 π (p 1 p )+z ˆσ D p mt ˆσ D = 1 (1 p 1 ) + p (1 p ) (m.z. bzw. o.z. für g N g < 0,05, g = 1,) N(µ,σ ) mt µ = 1 π 1 π, σ = 1 π 1 (1 π 1 ) + π (1 π )) für g p g (1 p g ) 9, g = 1,

27 5 Iduktve Statstk Testverfahre De sog. Nullhypothese (H 0 ) st de mathematsche Formulerug eer aus der Theore oder Erfahrug oder Güteforderug etc. sch ergebede Hypothese so, dass ee Überprüfug durch ee statstsche Test möglch st. Dazu gehöre ee adäquate emprsche Messug ud dere Umsetzug ee statstsche Kegröße (Testfukto T als Zufallsvarable) so, dass be bekatem Zufallsprozess ee Vertelug möglcher Ergebsse agegebe werde ka. So lasse sch Regel ablete, de möglche Stchprobeergebsse als mt eer Hypothese verträglch oder cht verträglch ezuorde erlaube. Sgfkaztest H 0 : t t 0 Berechshypothese H 0 : t = t 0 Pukthypothese H 0 : t t 0 Berechshypothese Zur Etschedug, ob ee Hypothese vorläufg aufrechterhalte werde ka oder durch ee Stchprobe als wderlegt glt, wrd ee Vertelug der möglche Ergebsse t eer Testfukto betrachtet, de sch be wahrer Hypothese ergebe hätte [ f (t H 0 )]. Ist das egetroffee Ergebs als uwahrschelch ezustufe, so glt de Hypothese als wderlegt. Je uwahrschelcher das Ergebs wäre, d.h. je stärker de Wderlegug ausfällt, desto höher st de Sgfkaz. Bespel: 14, Sete 0: Stchprobeergebsse x. Sd Mäer größer als 178cm oder cht? µ 0 = 178, σ = 10, α = 0,0446, T = X, H 0 : µ µ 0 = 178, f (t H 0 ) = N(µ, σ ) = 40 x = 180 = 100 x = 179,5 = 400 x = 179 für x kee Wderlegug vo H 0 für x kee Wderlegug vo H 0 für x Wderlegug vo H 0 Hwes zur Iterpretato E Ergebs, das sgfkat oder gar hochsgfkat st (vgl. purer Sgfkaztest, Sete 5), bedeutet u cht, dass es der Sache wesetlch se, soder ur, dass der Verfahresefluss vermutlch gerg st. Des ka efach z.b. durch ee große Stchprobeumfag errecht werde. Nchtsgfkaz, also ke Wderspruch zur Hypothese, bedeutet ebesoweg, dass de Hypothese sachlch gerechtfertgt oder gar bestätgt wurde se wurde ur cht mt der gewählte Verfahreswese wderlegt.

28 5 Iduktve Statstk 5 Fehlermöglchkete be Tests Be der geschlderte Vorgeheswese der Hypotheseprüfug ämlch sehr uwahrschelche Ergebsse (am Rad der Testvertelug) als Wderlegug aufzufasse, geht ma atürlch das Rsko e, fälschlcherwese zu wderlege. Das Rskomaß herfür st de Irrtumswahrschelchket α, d.h. der Atel all derjeger Ergebsse für t, de ma als uwahrschelch bezeche würde. Testetschedug tatsächlcher Zustad H 0 cht verworfe H 0 verworfe H 0 rchtg rchtge Etschedug (Wahrschelchket 1 α) Fehler 1. Art (Wahrschelchket α) H 0 falsch Fehler. Art (Wahrschelchket β) rchtge Etschedug (Wahrschelchket 1 β) α wrd bem klasssche Sgfkaztest vorgegebe. Be gegebeer Testfukto ud hrer Vertelug st damt der Ablehugsberech für H 0 festgelegt. Machmal wrd erst ach der Stchprobeauswertug e α berechet, zu dem H 0 gerade och cht verworfe wrd ( purer Sgfkaztest). Je gerger da α ausfällt, desto stärker st de Wderlegug vo H 0, d.h. desto höher st de Sgfkaz. β hägt vo eer Alteratvhypothese H 1 ab, de wsseschaftlche Aweduge selte als Pukthypothese (klassscher Alteratvtest) formulerbar st. (1 β) wrd als Macht β als Operatoscharakterstk ees Tests bezechet ud glt als Auswahlkrterum: Hat ma be vorgegebeem α de Wahl zwsche verschedee Testverfahre, so wrd ma jees mt der größte Macht wähle. Bespel: 14, Sete 0: µ 0 = 178, σ = 10, α = 0,0446, H 0 : µ µ 0 = 178 = z = 1,7 = 100: σ x = 1, c = 179,7 H 1 : µ µ 1 = 180: β = 0,381 = 00: σ x = 0,707, c = 179, H 1 : µ µ 1 = 180: β = 0,19 = 400: σ x = 0,5, c = 178,85 H 1 : µ µ 1 = 180: β = 0,0107

29 5 Iduktve Statstk 6 Praktsche Vorgeheswese bem klasssche Sgfkaztest Ee Testetschedug bzw. de Agabe ees Sgfkazveaus wrd getroffe auf der Grudlage eer Testvertelug be Gültgket der Nullhypothese. Wderlegt ma de H 0, da wäre auch de Testvertelug ud damt de so berechete Irrtumswahrschelchket α falsch. Ma wrd deshalb de zu prüfede Hypothese be eer Berechshypothese als Berechsgegehypothese H 1 bzw. be eer Pukthypothese als Berechsgegehypothese H 1 ud H formulere. De Irrtumswahrschelchket errecht da höchstes α, auch we H 0 cht zutrfft. Bsp.: Be H 0 : µ µ 0 st für jedes µ < µ 0 das zugehörge α kleer als be H 0 : µ = µ 0. Z.B.: α = 0,1, µ 0 = 178, σ = 10, = 100 α 1 = 0,0374, µ 1 = 177,5 α = 0,0113, µ = 177 = c = 179,3 Da H 0 also e bestätgt, soder höchstes cht wderlegt werde ka, bedeutet damt ee Wderlegug vo H 0 drekt ee Bestätgug (ud cht ur Ncht-Wderlegug) vo H 1. Schrtte Bespel 1 Bespel 1. Formulerug vo H 0 H 0 : µ µ 0 H 1 : µ > µ 0 H 0 : µ 1 µ H 1 : µ 1 > µ. Wahl der Testfukto ud Bestmmug der T = X µ 0 Testvertelug be Gültgket vo H 0 σ 4. Stchprobezehug ud Berechug vo t N(0,1) T = X 1 X 1 ˆσ N(0,1) z 1 α z 1 α für 1 + > Testetschedug, d.h. Wderlegug vo H 0 be t > z 1 α t > z 1 α Für wetere Tests vgl. Häufg agewadte Testverfahre. 3. Wahl vo α ud Bestmmug des Ablehugsberechs 16 Deutsche Mäer sd m Durchschtt 178cm groß be eer Streuug vo σ = 10cm. 10% sd blod. Ee Stchprobe vo 100 Maager höhere Postoe ergab ee durchschttlche Körpergröße vo x = 175cm. 13 Maager ware blod. Prüfe Se be eer Irrtumswahrschelchket vo α = 0,0446 a) de Napoleo -Hypothese: Im Beruf erfolgreche Mäer sd m Durchschtt kleer als adere, b) de Teutoe -Hypothese: Uter de m Beruf erfolgreche Mäer gbt es mehr Blode.

30 5 Iduktve Statstk 7 Häufg agewadte Testverfahre, α vorgegebe (Hypothetsche) Frage, de durch das Verfahre beatwortet werde soll Zu verglechede statstsche Kegröße (Vertelugsvoraussetzug) Nullhypothese Testfukto H 0 T Testvertelug T/H 0 Etschedugsregel zur Ablehug vo H 0 be gegebeem α, z.b. α = 0,05 Ka ee Stchprobe gemesse am arthmetsche Mttel aus eer bestmmte Grudgesamthet stamme? X ud µ0 be bekatem σ (X N(µ,σ )) X ud µ0 be ubekatem σ ( > 30 : X bel. vert.) H0 : µ = µ0 (H0 : µ µ0 H0 : µ µ0) H0 : µ = µ0 (H0 : µ µ0 H0 : µ µ0) X µ0 σ X µ0 S N(0,1) t( 1) be > 30 N(0, 1) t > z 1 α/ (t > z1 α t < z1 α) t > t 1 α/ t > z 1 α/ (t > t1 α, t > z1 α t < t1 α, t < z1 α) Uterschede sch zwe Stchprobe oder stamme se aus derselbe Grudgesamthet? ( g = 1,) X 1 ud X mt σ 1 = σ =: σ, aber ubekat (g > 30 : Xg bel. vert.) H0 : µ1 = µ (H0 : µ1 µ H0 : µ1 µ) ˆσ X 1 X ˆσ = ( 1 1)S 1 + ( 1)S 1 + t(1 + ) be 1, > 30 N(0, 1) t > t 1 α/ t > z 1 α/ (t > t1 α, t > z1 α t < t1 α, t < z1 α) Uterschede sch mdestes zwe Stchprobe bem Verglech vo r Stchprobe? ( g =1,..., r) X 1,X,...,X r mt σ 1 = σ =... = σ r, aber ubekat (Xg N(µg,σ g )) H0 : µ1 = µ =... = µr S ext r 1 S t r = r g(x g X) g=1 r 1 r g (Xg X g) g=1 r f (r 1, r) mt = r g g=1 t > f1 α Ka ee Stchprobe gemesse a der Varaz aus eer belebge Grudgesamthet stamme? S ud σ 0 mt µ ubekat (X N(µ,σ )) H0 : σ = σ 0 ( 1)S σ 0 χ ( 1) t > χ 1 α Uterschede sch zwe Stchprobe bezüglch der Varaz? S 1 ud S (X1 N(µ1,σ 1 ) H0 : σ 1 = σ X N(µ,σ )) S 1 S f (1 1, 1) t > f1 α Sd zwe Merkmale statstsch verbude? h j ud h e j eer Kreuztabelle mt m Zele ud k Spalte H0 : π j = π e j m k (h j h e j ) j=1 h e j χ ([m 1] [k 1]) (h e j t > χ 1 α sollte größer als 5 se)

31 6 Wrtschaftsstatstsche Aweduge 8 6 Wrtschaftsstatstsche Aweduge 6.1 Dspartätsmessuge De Vertelug der Merkmalssumme (cht-egatver metrscher Merkmale) auf de Merkmalsträger st Gegestad der Kozetratos- ud Dspartätsmessug. Kozetrato bedeutet, dass auf wege (große) Merkmalsträger e großer Tel der Merkmalssumme etfällt (absolute Kozetrato), Dspartät bedeutet, dass auf ee klee Atel der Merkmalsträger e großer Tel der Merkmalssumme etfällt (relatve Kozetrato). Volkswrtschaftlche Dspartätsmessuge betreffe Merkmale we Ekomme ud Vermöge vo Haushalte, betrebswrtschaftlche Dspartätsmessuge ( ABC-Aalyse ) werde be Auftragswerte, Umsätze, Deckugsbeträge vo Produkte etc. vorgeomme. Be große erlaube Lorezkurve überschtlche Darstelluge. Beobachtugswerte Grupperte Vertelug Klasserte Vertelug Bezugsgröße jewels der Größe ach geordet x = (1),...,() x (Merkmalsauspr.) = 1,...,m [a j,b j ) j = 1,...,m relatve Häufgket f = 1 f f j kumulerte relatve Häufgket kumulerte relatve Merkmalssumme F = () l = x () L = x l = F = h x m l k L = k=1 j f k F j = f k k=1 k=1 h x = f x x l j = h jx j m j=1 l k L j = k=1 h j x j = j l k k=1 f j x j x Be kle A: f l B: f l C: f l Be groß: Lorezkurve A: dl df 1 B: dl df 1 C: dl df 1 relatve Merkmalssumme 17 vo... bs uter... Ford.-Zahl Gesamtwert Tsd ud mehr Der Forderugsbestad ees Uterehmes zegte am ebestehede Struktur. Führe Se mt Hlfe der Lorezkurve ee ABC- Aalyse durch.

32 6 Wrtschaftsstatstsche Aweduge 9 6. Bestads- ud Bewegugsmasse Bestadsmasse sd zetpuktbezoge, Bewegugsmasse bezehe sch auf Zeträume. Strukturbeschrebuge des Bestads sollte zur Erhöhug des Iformatosgehalts durch ee Aalyse der de Struktur beeflussede Bewegugsgröße ergäzt werde. De zetlche Etwcklug des Bestads eem Zettervall, de Bestadsfukto, wrd durch de aus dem Zetmegebestad abgeletete Kegröße Durchschttsbestad, Mttlere Verweldauer ud Umschlagshäufgket beschrebe. Be der Iterpretato sollte beachtet werde, auf welche Zetraum sch de utersuchte statstsche Masse bezeht ud welche Streuug sch hter de Durchschtte verbrgt. Begrffe Symbole Berechug Afagsbestad m Zetpukt a a köe Mege- (Stück) oder Edbestad m Zetpukt b b Wertehete ( ) se Zugäge m Itervall [a,b) Abgäge m Itervall (a,b] + ab ab Fortschrebug b = a + + ab ab Bestadsfukto, Bestad m Zetpukt t (t) (t) 0 Verweldauer der -te Ehet [a,b] d Zetmegebestad [a,b] D b ab D ab = (t)dt = a d Durchschttsbestad [a,b] B ab Bab = D ab b a, oft: B ab = a + b B ab = a b 13 oder Umschlagshäufgket [a,b] u ab u ab = b a d ab = B ab, oft: u ab = ab B ab Mttlere Verweldauer [a,b] d ab d ab = 1 d = b a u ab 18 Für e Lager werde folgede Moatsedbestäde festgestellt: Moat Tsd Afagsbestad: 15 Tsd., Zugäge: 469 Tsd.. Bereche Se: Durchschttsbestad, Umschlagshäufgket, durchschttlche Lagerdauer.

33 6 Wrtschaftsstatstsche Aweduge Idexzahle Der Iformatosgehalt statstscher Date erschleßt sch häufg erst m Verglech, bespelswese durch Bldug vo Verhältszahle. Ma sprcht vo Glederugszahle, we de Zählergröße Tel der Neergröße st, vo Bezehugszahle, we Zähler ud Neer sachlch uterschedlche, jedoch svoller Bezehug stehede Größe sd ud vo Messzahle, we Zähler ud Neer Tele derselbe statstsche Masse sd. Idexzahle sd gewogee Mttelwerte vo Messzahle. I praktsche Aweduge dee Messzahle mest der Darstellug der zetlche Etwcklug wrtschaftsstatstscher Größe. Derartge Zetrehe vo Mege- ud sbesodere Presmesszahle werde zu Idexrehe aggregert. I Deutschlad wrd de Presetwcklug durch Idzes ach Laspeyres (z.b. Presdzes für de Lebeshaltug: Bassjahr z.zt. 010, d.h. Prese ud Mege des zur Gewchtug verwedete Warekorbs vo 010), Europa durch de HVPI (Harmoserter Verbraucherpresdex: Mege für Deutschlad vo 010, Prese des Warekorbs regelmäßg aktualsert) gemesse. Name Presdex Megedex Awedug Laspeyres Paasche P La 0t = P Pa 0t = p t q 0 p 0 q 0 p t = g 0 p 0 p t q t p 0 q t ( p 0 = g t p t Q La 0t = p 0 q t p 0 q 0 mt g 0 = p 0 q 0 p 0 q 0 ) 1 Q Pa 0t = q t = g 0 q 0 p t q t p t q 0 mt g t = p t q t p t q t ( q 0 = g t q t ) 1 Der Presdex ach Laspeyres erlaubt Vergleche belebger Idexstäde, z.b. Pt,t 1 La = PLa t0 : PLa t 1,0. So st es üblch, de Idexstad des Berchtsmoats vergl. mt dem Idexstad des Vorjahresmoats als Iflatosrate zu bezeche. ( Wevel hätte ma für ee Warekorb aus 0 t mehr als t 1 bezahle müsse? ) Der Presdex ach Paasche wrd zur Deflatoerug (Presberegug) verwedet, dem ma de Volumegröße (-etwcklug) durch de passede Paasche-Presdex dvdert: p t q t : P0t Pa = p 0 q t (... Prese des Bassjahres ). Der sch ergebede Laspeyres sche Megedex lässt weder belebge Idexstadvergleche, z.b. zum Vorjahr, zu. Ma sprcht vo realer Etwcklug. Für dre Produkte hat ma folgede Prese (p ) ud Ausgabe (p q ) jewels zum Bass- (0) ud Berchtsjahr (t): 19 p 0 p 0 q 0 p t p t q t Bereche Se gewogee Mttel der Presstegerugsrate ach Laspeyres ud Paasche sowe omale ud reale Ausgabestegeruge.

34 6 Wrtschaftsstatstsche Aweduge Regressosrechug Durch de Regressosrechug wrd der rechersche Efluss vo erklärede Varable auf Zelvarable utersucht. Der durchschttlche Efluss der quattatve Äderug der erklärede Varable auf de erklärte() Größe() wrd her durch ee leare Regressosfukto abgebldet. der (deskrptve) Regressosaalyse st de Bestmmug der Parameter b 0,b 1,...,b k deser Fukto ŷ = b 0 + b 1 x 1 + b x + + b k x k. (y ŷ ) = Methode der kleste Quadrate (für Stchprobeumfag ) (y b 0 b 1 x 1 b x b k x k ) = f (b 0,b 1,...,b k ) m Lösug: Normalglechuge b 0 + b 1 x 1 + b x b k k = x b 0 x 1 + b 1 x 1 + b x 1 x b k 1 x k = x... b 0 x k + b 1 x 1 x k + b x x k b k k x =.. b 0,b 1,...,b k y x 1 y. x k y Be ur eer erklärede Varable: b 0 a, b 1 b = ŷ = a + bx Normalglechuge Bestmmugsglechuge a + bx = y x y xy b = ax + bx x = x y = s XY x s X a = y bx (Schwerpuktegeschaft) 1 (y y) } {{ } s Y Varazzerlegug = 1 (y ŷ ) } {{ } s e Bestmmthetsmaß + 1 (ŷ y) } {{ } s Ŷ ( ) r sxy s Ŷ = = s X s Y s Y Atel der durch de Regressosgerade erklärte Varaz der Zelvarable, 0 r 1. 0 Zwölf Studete wurde ach hre moatlche Ekomme (x ) ud de Ausgabe für de Mete (y ) befragt (jewels 100 ). Ma erhelt folgedes Ergebs: x y,0 4,4 3,6 3,6 6,0 3,6 3, 3,6 4,0,4 4,0,8 Bestmme Se de Regressosgerade ŷ = a + bx ach der Methode der kleste Quadrate ud bereche Se das Bestmmthetsmaß.

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