Carl Friedrich Gauß (Deutscher Mathematiker, 1777 bis 1855) formulierte die folgende Formel n

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1 mthphys-ole Alyss. Klsse Techk Itegrlrechug Vertefug des Itegrlegrffs De Itegrlrechug ht ds Zel, de Flächehlt krummlg egrezter Flächestücke zu ereche. Be der äherugswese Berechug der Fläche uter Polyomfuktoe durch Oer- ud Utersumme trete Summe vo Poteze ufederfolgeder türlcher Zhle uf. Potezsumme. De Summeformel vo Guß Crl Fredrch Guß (Deutscher Mthemtker, 777 s 8) formulerte de folgede Formel für ee Potezsumme: k... ( ) k Der Üerleferug ch soll Guß de Aufge, de erste 00 Zhle zu ddere, erets der Grudschule gelöst he. Guß üerlegte sch folgedes: 00 k k Guß schre de Summe uf ud druter ochmls umgekehrter Rehefolge: Addert m jewels ee Splte, so ergt sch mmer de Summe 0, sgesmt sd es 00 Splte k 00 0 k 00 k k Verllgemeerug: 00 k 00 k k... () () () k ( ) ( ) ( )... Ohe Verküpfugszeche:... Addert m jewels ee Splte, so ergt sch mmer de Summe, sgesmt sd es Splte. () k () k get der klee Guß k k Itegrto-Rem.doc.0.0

2 mthphys-ole Alyss. Klsse Techk Itegrlrechug Bewes durch Idukto Vors.: Se : D st ( ) k rchtg. k Iduktoshme: Se : Schluss vo uf Mt der Iduktoshme glt: ( ) k st rchtg für e fest gewähltes. k : k... () () k k k k k Schlussfolgerug: We de Formel für e estmmtes IN glt, d glt se uch für ds ächste, lso für, usw., für ds üerächste, lso. Wetere Potezsumme De Summeformel folgeder Potezsumme köe cht so efch we em klee Guß gefude werde. k () () k... () k () k... () k 0 k... () 0 Der Bewes erfolgt jewels durch vollstädge Idukto. Itegrto-Rem.doc.0.0

3 mthphys-ole Alyss. Klsse Techk Itegrlrechug De Strefemethode. Ds Rem-Itegrl Gegee st ee Fukto f mt dem Fuktosterm f(x), woe x ;. De gesuchte Fläche uter dem Grphe vo f wrd mthlfe vo elemetr zu erechede Flächehlte vo Rechtecke geähert: Strefemethode Herfür wählt m eeschreee Rechtecke (Utersumme) ud umeschreee Rechtecke (Oersumme) so, dss der Grph der Fukto f zwsche he legt. Dzu wrd ds Itervll ; glech große Teltervlle zerlegt mt der Brete Δ x. Telpukte der Zerlegug: x Δ x () () ; x Δ x ; Be eer m Itervll ; streg mooto stegede Fukto f legt der kleste Fuktoswert ees Teltervlls jewels m lke Rd ud der größte Fuktoswert ees Teltervlls jewels m rechte Rd. Grph vo f mt eeschreee Rechtecke: Grph vo f mt umeschreee Rechtecke: Utersumme: U xf(x ) Oersumme: O xf(x ) f ( ) f Itegrto-Rem.doc.0.0

4 mthphys-ole Alyss. Klsse Techk Itegrlrechug Be eer m Itervll ; streg mooto fllede Fukto f legt der kleste Fuktoswert ees Teltervlls jewels m rechte Rd ud der größte Fuktoswert ees Teltervlls jewels m lke Rd. Grph vo f mt eeschreee Rechtecke: Grph vo f mt umeschreee Rechtecke: Utersumme: U xf(x ) Oersumme: O xf(x ) f f ( ) Durch schrttweses Erhöhe der Azhl der Rechtecke erhält m ee mmer geuere Aäherug der Fläche uter dem Grphe. De Berechug der Grezwerte vo Oersumme zw. Utersumme lefert ee gemesme Grezwert, der Rem-Itegrl get wrd. lm U f(x)dx lm O Itegrto-Rem.doc.0.0

5 mthphys-ole Alyss. Klsse Techk Itegrlrechug. Fläche uter eer Gerde Bespel Gegee st de Fukto f mt dem Fuktosterm f(x) x m Itervll x ;. Gesucht st e llgemeer Term für de Utersumme ud für de Oersumme. 7 eeschreee Rechtecke 7 umeschreee Rechtecke 0 0 Jedes Teltervll ht de Läge Δx = De Telpukte der Zerlegug lute: x -= + (- ) ; x = + ; D f m Itervll [ 0 ; ] streg mooto stegt, legt der kleste Fuktoswert ees Teltervlls jewels m lke Rd, der größte m rechte Rd. Utersumme für de Rechtecke: Oersumme für de Rechtecke: Für = 0 glt: U x f x f ( ) O x f x f U f ( ) 0... ( ) ( )... ( ) ( ) Wert der Potezsumme: () Esetze: ( ) U Itegrto-Rem.doc.0.0

6 mthphys-ole Alyss. Klsse Techk Itegrlrechug Für ee sehr fee Utertelug: lm U lm O f... ( )... () Wert der Potezsumme: () Esetze: ( ) O Für ee sehr fee Utertelug: lm O lm Spezell für = : U ; O ; Zum Verglech Berechug der Dreecksfläche drekt: A f() Itegrto-Rem.doc.0.0

7 mthphys-ole Alyss. Klsse Techk Itegrlrechug. Fläche uter eem stegede Grphe Bespel Gegee st de Fukto f mt dem Fuktosterm f(x) x m Itervll x ;. Gesucht st e llgemeer Term für de Utersumme ud für de Oersumme. eeschreee Rechtecke umeschreee Rechtecke 0 0 Jedes Teltervll ht de Läge Δx = De Telpukte der Zerlegug lute: x -= + (- ) ; x = + ; D f m Itervll [ 0 ; ] streg mooto stegt, legt der kleste Fuktoswert ees Teltervlls jewels m lke Rd, der größte m rechte Rd. Utersumme für de Rechtecke: Oersumme für de Rechtecke: U x f x f ( ) O x f x f Für = 0 glt: U f ( ) 0... ( ) ( )... ( ) ( ) () Wert der Potezsumme: () () () Itegrto-Rem.doc 7.0.0

8 mthphys-ole Alyss. Klsse Techk Itegrlrechug Esetze: ( ) ( ) U 8 8 Für ee sehr fee Utertelug: lm U lm 8 9 O f... ( )... ( ) () Wert der Potezsumme: () () () Esetze: ( ) ( ) O 8 8 Für ee sehr fee Utertelug: lm O lm 8 9 Spezell für = : O ; S O ; Itegrto-Rem.doc 8.0.0

9 mthphys-ole Alyss. Klsse Techk Itegrlrechug. Fläche uter eem fllede Grphe Bespel Gegee st de Fukto f mt dem Fuktosterm f(x) x m Itervll x ;. Gesucht st e Term für de Utersumme ud für de Oersumme e eer Utertelug vo =. eeschreee Rechtecke umeschreee Rechtecke 0 0 Jedes Teltervll ht de Läge Δx = De Telpukte der Zerlegug lute: x -= + (- ) ; x = + ; D f m Itervll [ 0 ; ] streg mooto fällt, legt der kleste Fuktoswert ees Teltervlls jewels m rechte Rd, der größte m lke Rd. Utersumme für de Rechtecke: U x f x f Oersumme für de Rechtecke: Kokrete Werte: U f() f() f() f() O x f x f ( ) 9,0 Itegrto-Rem.doc 9.0.0

10 mthphys-ole Alyss. Klsse Techk Itegrlrechug O f() f() f() f(). Bespele für Itegrto durch Uter- zw. Oersumme Bespel Üerprüfe Se, o de folgede Fuktoe m gegeee Itervll J streg mooto zuehme, ud ereche Se jewels de zugehörge Oer- ud Utersumme e eer Zerlegug des Itervlls J glechrete Itervlle. ) f(x) x x ; J ; ; ) g(x) x x ; J ; ; Grph vo f Grph vo g Bespel De Grphe der folgede Fuktoe schleße jewels mt der ud de Gerde mt de Glechuge x ud x e Flächestück e. Schätze Se de Flächehlt deses Flächestücks durch Berechug der zugehörge Oer- ud Utersumme mt x 0,. ) f(x) rct e x Df IR; ; ; ) x g(x) l x Dg IR ; ; ; Itegrto-Rem.doc 0.0.0

11 mthphys-ole Alyss. Klsse Techk Itegrlrechug Grph vo f Grph vo g Itegrto-Rem.doc.0.0

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