Stephan Brumme, SST, 2.FS, Matrikelnr konvergiert und der Grenzwert 1 ist, d.h. es gilt: 1. k 1

Transkript

1 Stehn Brumme, SST,.FS, Mtrelnr Aufge... Zegen Se, dss de Folge onvergert und der Grenwert st, d.h. es glt lm Es st u egen, dss ene Nullfolge st D ene Nullfolge st, stellt ene onvergente Folge mt dem Grenwert dr. Aufge... Zegen Se, dss de Folge onvergert und der Grenwert st, d.h. lm! De Vorgehenswese glecht der us Aufge... Der Ftor - eenflusst nur ds Vorechen er st mmer oder, der egentlche Wert der Folge wrd durch - estmmt, ws wederum ene Nullfolge st de sch mt lternerendem Vorechen der Null nähert. Aufge... Zegen Se, dss de Folge ncht onvergert! Wenn ene gerde Zhl st n, n ℵ, entsrcht ext der Folge us Aufge..., onvergert demufolge gegen. Für n, n ℵ, ergt sch Mthemt - Anlyss SS Üungsltt Nr. Sete von 6

2 Stehn Brumme, SST,.FS, Mtrelnr , n, n ℵ Der Grenwert st her - vergleche weder mt Aufge... Jede deser eden Telfolgen ht enen endeutgen Grenwert, der jewels enen Häufungswert der Gesmtfolge drstellt. D de Gesmtfolge er we vonennder verschedene Häufungswerte ht, nn se ncht onvergeren. Aufge..4. Zegen Se, dss de Folge ncht onvergert! Ds Cuchyrterum esgt, dss ene reelle Zhlenfolge genu dnn gegen ene reelle Zhl onvergert, wenn se ene Cuchyfolge st. Sollte oge Folge onvergeren, müsste se lle Egenschften ene Cuchyfolge esten jewels für lle reellen ε> < ε für lle n, m n ε n m Angewndt uf de gegeene Folge entsrcht des n m < ε für lle n, m n ε Schon für ε lässt sch nur de Lösung nm we groß n w. m snd, st de rrelevnt fnden. Dese genue Sefton st er durch de Unglechung für lle n, m n ε ncht herstellr. Dmt nn ene Cuchyfolge sen und st dmt uch ncht onvergent. Aufge... Wesen Se nch, dss de Folge ene Cuchyfolge st! sehe..4. Aufge... Wesen Se nch, dss de Folge, mt und, ℵ, ene Cuchyfolge st. Zegen Se, dss de Folge ncht onvergent n Q st! Es st u egen, dss für lle reellen ostven ε mt n, m n ε de Unglechung < ε glt. Der Strtwert st ene rtonle Zhl und jedes endlche Folgengled lässt sch ls solche drstellen, d nur elementre Oertonen n Q verwendet werden Addton und Dvson. Somt nn ch jedes Folgengled drstellen ls. Für nn ch dnn entwceln n m Mthemt - Anlyss SS Üungsltt Nr. Sete von 6

3 Stehn Brumme, SST,.FS, Mtrelnr Mthemt - Anlyss SS Üungsltt Nr. Sete von 6 Für - ergt sch De Ursrungsfolge onvergert genu dnn, wenn lm. In oger Glechung edeutet des, dss lm. Drus folgt, dss lm, d.h. für sehr große st D und stets ostv snd und,, önnen de Betrgsstrche entfernt werden Dss Q glt, st mehrfch ewesen worden und dher ls ennt vorusgesett. Somt ht wr de Zhlenfolge enen erechenren Grenwert, deser stellt er ene rtonle Zhl dr. Aufge...

4 Stehn Brumme, SST,.FS, Mtrelnr Mthemt - Anlyss SS Üungsltt Nr. Sete 4 von 6 Zegen Se, dss de Folgen und äuvlent snd! Zwe Folgen snd genu dnn äuvlent, wenn hre Dfferen ene Nullfolge st. Beogen uf de gegeenen Folgen entsteht D schneller wächst ls und stets ostv st, glt <. In der Vorlesung wurde geegt, dss ene Nullfolge st. Somt muss uch ene Nullfolge sen. Aufge... Zegen Se, dss de Folge, defnert n Aufge..., und de Folge, mt und, ℵ, äuvlent snd! Wederum st u egen, dss de Dfferen eden Folgen ene Nullfolge st.. Es muss de gelten, dss d uch glecher Strtwert Es wurde n Aufge... geegt, dss lm. Sett mn desen Grenwert n de gewonnene Glechung en, ergt sch

5 Stehn Brumme, SST,.FS, Mtrelnr Mthemt - Anlyss SS Üungsltt Nr. Sete 5 von 6 4 Somt geht für, de sehr nhe gegen hren Grenwert lm gehen, de Folge gegen Null. Aufge.4. Bewesen Se, dss de Multlton von omlexen Zhlen ommuttv st, d.h. es glt! D,, und reelle Zhlen snd und de Kommuttvtät sowohl der Addton ls uch der Multlton erets n der Vorlesung nchgewesen wurde, glt Somt wurde geegt, dss de Multlton omlexer Zhlen ommuttv st. Aufge.5. Bewesen Se, dss de Unglechung m Berech der omlexen Zhlen esteht! Zwe wchtge Egenschften der omlexen Zhlen werden vorusgesett, snd reelle Zhlen I. II. Dmt lässt sch herleten

6 Stehn Brumme, SST,.FS, Mtrelnr Mthemt - Anlyss SS Üungsltt Nr. Sete 6 von 6 D weterhn x für lle x glt, st de Unglechung ewesen worden.