Lösungen der Übungsaufgaben zu Kapitel 7

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1 Kapel 7: Prmzahlen Lösungen der Übungsaufgaben zu Kapel 7 Ü: Se p IP belebg gewähl. IA: n = : Zu zegen s p a a p a p a, des s aber genau de Aussage von Saz 7. und dam beres bewesen. IS: Se IN m belebg aber fes. IV: Für belebge -vele naürlche Zahlen a, a,..., a gele: p a a... a p a p a... p a IB: Dann gl auch für (+-vele na. Zahlen a, a,..., a, a + : p a a... a a + p a p a... p a p a + Gele also p a a... a a + p (a a... a a + (ASS p s a + m s: = a a... a und s IN (Mulplaon n IN abgeschlossen p s p a + (Saz 7. Sa p s läß sch auch schreben p a a... a und m IV gl dann: p a p a... p a. (p a p a... p a p a + (IV p a p a... p a p a + (ASS Insgesam s nach dem Induonsaxom dam de Behaupung bewesen. Ü: heurssche Bespele: = + = 3, 3 IP = 3+ = 7, 7 IP 3 = 3 5+ = 3, 3 IP 4 = =, IP 5 = = 3, 3 IP 6 = = 3003, aber 3003 IP!, da 3003 = D.h. s nch ses ene Prmzahl, da z.b. 6 ene Prmzahl s (was schwer zu sehen s, da de echen Teler von 3003 zemlch groß snd. Wchg feszuhalen s also, daß auch ene ganze Rehe von Bespelen, für de de Aussage gl, noch enerle Gewähr dafür gb, daß de Behaupung mmer gl. In dese Falle app man her sehr schnell. 93

2 Kapel 7: Prmzahlen Ü3: Zu zegen: Jede naürlche Zahl besz ene Prmfaorzerlegung. Da Prmzahlen - we m großen GEPAD n der Vorbemerung auf See 09 herausgesell - ene PFZ beszen, bleb m folgenden Bewes noch zu zegen, daß selbges auch für alle zusammengesezen Zahlen gl. Deshalb wrd m IA m der ersen zusammengesezen Zahl begonnen. IA: De erse zusammengeseze Zahl z = 4 ha ene Prmfaorzerlegung, nämlch de Zerlegung. IS: Se IN m belebg aber fes. IV: De ersen zusammengesezen Zahlen z, z,..., z haben ene Prmfaorzerlegung. IB: Dann ha auch de (+-e zusammengeseze Zahl z + ene PFZ. z + se de (+-e zusammengeseze Zahl. Für ene zusammengeseze Zahl n gl nach Defnon Zusammengeseze Zahl : Es gb naürlche Zahlen a,b m z + = a b. Für a und b gl zudem: a < z + und b < z + (vgl. Bewes der Charaerserung m großen GEPAD, S. 03. Enweder snd a oder b nun prm oder se snd wederum zusammengesez, n jedem Fall beszen se jedoch ene PFZ:. Fall: a und b prm: vgl. Vorbemerung. Fall: enweder a oder b prm: O.B.d.A.: a prm, dann s b zusammengesez. a ha dann lau Vorbemerung ene PFZ, b ha ene PFZ nach IV, da b (< z + ene der ersen zusammengesezen Zahlen s. 3. Fall: a und b zusammengesez: Da a,b < z + gl, haben a und b nach IV ene PFZ. In allen dre Fällen s ene PFZ von z + = a b das Produ der PFZ en von a und b, d.h. de (+-e zusammengeseze Zahl z + ha ene PFZ. Insgesam s nach P3 dam de Behaupung bewesen. Ü4:.Fall: p und q snd bedes ungerade Zahlen, (d.h. sowohl p als auch q snd unglech. Sowohl de Summe als auch de Dfferenz zweer ungerader Zahlen s jedoch ses gerade. Da nun p und q bede größer als snd, s de Summe p+q auf jeden Fall größer als. Insgesam gl dann: p+q und p+q> p+q IP De Berachung des ersen Falls zeg also, daß ene der beden Prmzahlen gerade, d.h. glech sen muß. 94

3 Kapel 7: Prmzahlen.Fall: p oder q s ene gerade Zahl, d.h. p oder q s. Es muß gelen p>q, da sons p q negav s (und dam ene Prmzahl. Dann gl: q =. D.h. für möglche Lösungen für p und q gl: q = und p+ IP und p IP. Ene möglche Lösung ergb sch für p = 5, da 5+ IP und 5 IP. Dre Prmzahlen der Form p, p und p+ blden enen sogenannen Prmzahldrllng. Ob es weere Prmzahldrllnge neben (3/5/7 gb, soll n der nächsen Aufgabe unersuch werden. Ü5: En Prmzahldrllng s (3/5/7. Be jedem anderen Prmzahldrllng muß p >3 gelen, da für p offenschlch nch n Berach omm. Suche nach weeren Prmzahldrllngen: Unersuch werden jewels dre aufenanderfolgende ungerade Zahlen (da gerade Zahlen größer nch prm sen önnen: 5, 7, 9: en Prmzahldrllng 9,, 3: en Prmzahldrllng, 3, 5: en Prmzahldrllng 3, 5, 7: en Prmzahldrllng 5, 7, 9: en Prmzahldrllng 7, 9, : en Prmzahldrllng usf. Es fäll auf, daß be allen Versuchen, enen weeren Prmzahldrllng zu onsrueren, deses daran scheer, daß jewels ene der dre Zahlen (de her jewels durch Unersrechen geennzechne snd durch 3 elbar s. Nun zum Bewes: Gl nun p >3 für p IP, so folg: 3 / p. [3 s de enzge Prmzahl, de von 3 geel wrd, be jeder größeren äme zu den beden Telern und p als weerer Teler 3 hnzu.] Wenn gl 3 / p, so läß p be Dvson durch 3 enweder den Res oder den Res (vgl. Dvson m Res:.Fall: p läß den Dreerres, d.h. es gb en q IN 0 m p = q 3+ (Saz über Dvson m Res. Für p läß sch dann folgern: p = p + = (q 3++ = q 3+3 = 3(q+ d.h. 3 p (nach def. Telbare, q+ IN 0, da q IN 0, dann s p (>p >3 aber ene Prmzahl. 95

4 Kapel 7: Prmzahlen.Fall: p läß den Dreerres, d.h. es gb en q IN 0 m p = q 3+. [Sez man dese Summe analog zum ersen Fall für p n den Ausdruc für p en, so wrd man fessellen, daß deses nch zu dem erwünschen Wderspruch führ. Daher unersuch man, was sch ergb, wenn man n den Ausdruc für p 3 ensez.] p 3 = p + = (p ++ = p +4 Aus p = q 3+ ergb sch dann: p 3 = p +4 = (q 3++4 = q 3+6 = 3(q+ d.h. 3 p 3 dann s p 3 aber ene Prmzahl. Insgesam ergb sch dam, daß für p 3 p und p 3 nch glechzeg auch Prmzahlen sen önnen, d.h. 3 s de enzge Zahl, de für p n Frage omm, also s (3/5/7 der enzge Prmzahldrllng. Ü6: Bem.: Zur Defnon Faulä (n! = 3... n vgl. Unerap Lau Tp überleg man sch, durch welche Zahlen n!+ elbar s, falls ene Zahl zwschen und n s. Bespel (für n 6: Se = 6, dann gl 6 n!, da n! den Faor 6 explz enhäl (n! = n. M 6 6 folg dann (Saz 6.3 (, daß 6 auch de Summe el: 6 n!+6. Allgemen gl (Saz 6. ( und (da n auch n!. Dam folg (Saz 6.3 (: n!+. Also ha jede Zahl n!+ m n (des s ene Zahl zwschen n!+ und n!+n neben den Telern und sch selbs noch (mndesens den Teler und s som ene Prmzahl. Wähl man ene belebge Zahl n, so lassen sch (n vele aufenanderfolgende Zahlen (von n!+ bs n!+n fnden, de zusammengesez snd. Se bespelswese n = 4, dann snd de dre Zahlen 4!+, 4!+3 und 4!+4 zusammengesez. Durch Wahl enes großen n, ann man demnach auch (belebg große Lücen fnden. Ü7: Nen, es gb ene Prmzahlen, de dese Aussage erfüllen: Aus p n+ und p n folg p (Saz 6.3 (v. Aus p folg aber (nach Saz 6.4 ( p und dam erhäl man enen Wderspruch zu def. Prmzahl. 96

5 Kapel 7: Prmzahlen Ü8: a In der PFZ der gesuchen Zahl (n IN ommen höchsens de Prmfaoren, 3 und 5 vor, d.h. n = m,, 3 IN 0. Für de Anzahl der Teler (n soll gelen: (n = 8. Nach Saz 7.5 wrd de Anzahl der Teler berechne, ndem de um erhöhen Exponenen der Prmfaoren mulplzer werden, also: (n = ( + ( + ( 3 + Da de Anzahl der Teler also en Produ (m maxmal 3 Faoren s, wrd 8 n Faoren zerleg - und zwar auf alle Aren, auf de deses möglch s:. 8 = (n = (+ (+ (+ ( + ( + ( 3 + = (+ (+ (+ (Saz 7.5 = = 3 = d.h. n ha dre Prmfaoren, de jewels den Exponenen haben: Enzge Möglche für n: 3 5 = = 4, dann ha de gesuche Zahl n zwe Prmfaoren, von denen der ene den Exponenen (+ ergb dann den ersen Faor, nämlch und der andere den Exponenen 3 ha: 3 (n = (+ (3+ n = p p m m m und p,p m {,3,5} 3 3 = 54, 5 3 = 50, 3 3 = 4, 3 5 = 40, = 375, = = 8, dann ha n nur enen Prmfaor, da von enem Exponenen 0 herrühr (d.h. von ener Prmzahl, de n der PFZ von n nch enhalen s!: n 7 = p m p {,3,5} 7 = 8, 3 7 = 87, 5 7 = 785 Es gb also nsgesam 0 Möglcheen für de gesuche Zahl n. b Um de Zahlen zu besmmen, de 0 Teler und ver verschedene Prmfaoren haben, besmm man zuers (analog zu Tel a de mulplaven Zerlegungen der 0: 0 = 5 0 = ( 5 = = ( 5 = 0 0 = 5 = 0 Des snd alle unerschedlchen Zerlegungen der 0 n Faoren (des wrd besonders deulch, wenn man von der PFZ 5 ausgeh. Gäbe es nun ene Zahl m den gewünschen Egenschafen, so müße sch 0 n en Produ von 4 Faoren unglech zerlegen lassen. [Der Faor lefer ene Erennnsse über de gesuche Zahl, da er von enem Exponenen 0 herrühr, d.h. vom Aufreen des Faors läß sch nch auf enen weeren Prmfaor n der Zahl schleßen]. In den Zerlegungen auchen jedoch ne ver Faoren auf, de größer als snd. Dam ann es de gesuche Zahl nch geben. 97

6 Kapel 7: Prmzahlen Ü9: Da a ene Quadrazahl s, gb es ene naürlche Zahl, de m sch selbs mulplzer a ergb: a = Se n sener anonschen PFZ gegeben: 98 = p a = ( p m p IP, IN 0, IN a = ( p (Poenzgesez a = p (Poenzgesez (a = ( + (Saz 7.5 Da + (m IN 0 ses ene ungerade Zahl s, s ener der Faoren durch elbar, daher s auch das gesame Produ nch durch elbar. Andernfalls ergäbe sch en Wderspruch m Saz 7., da IP : Ann.: ( (SATZ 7. Des s en Wderspruch zu + s ses ene ungerade Zahl. Som s de Anzahl der Teler (a ungerade. Gl auch de Umehrung? Se a = p JA und dam (a = ( +. Da (a ungerade s, ann ener der Faoren ( + gerade sen, da andernfalls auch (a gerade wäre (TRANS. Also s für alle IN gerade, d.h. es gb naürlche Zahlen m =. Som ergb sch für de PFZ von a: a = p = ( p Dam s a ene Quadrazahl. = ( p Bemerung: Was her gezeg worden s, s ene sehr nahelegende Erennns: De Telermenge ener belebgen Zahl n sez sch zusammen aus Paaren von Telern, de menander mulplzer n ergeben. Den Parner, den jeder Teler ha, nenn man Komplemenäreler (vgl. Kap. 6, Ü9. Da nun Teler und Komplemenäreler mmer paarwese aufreen, gb es nsgesam mmer geradzahlg vele Teler - außer be Quadrazahlen. Genau be den Quadrazahlen smm ener Teler m senem Komplemenäreler überen: Be der Quadrazahl a s a der Komplemenäreler zu a, so daß sch her ene ungerade Anzahl von Telern ergb.

7 Kapel 7: Prmzahlen Ü0: a = 3, 6 = a = 3 β β b = 3 Wegen a (= gv(a,b und b ommen n der PFZ von a und b ene anderen Prmfaoren als m gv vor (nach Saz 7.4 enhäl der Teler ener Zahl deselben Prmfaoren deser Zahl m leneren oder glechen Exponenen. Nach Saz 7.6 gl: mn(, β mn(, β ggt(a,b = 3 = 3 mn(,β = mn(,β = max(, β max(, β gv(a,b = 3 = max(,β = 3 max(,β = 3 Für und β gl demnach: = β = 3 oder = 3 β = und für und β gl: = β = 3 = 3 β = Dam ergeben sch folgende oder Möglcheen für a und b: ❶ a = 3 =, b = = 6 ❷ a = 3 3 = 08, b = 3 3 = 4 ❸ a = 3 3 = 4, b = 3 3 = 08 ❹ a = = 6, b = 3 = b Se a = p Dann gl nach Saz 7.6 : m p IP, IN 0, IN 35 = mn(, mn(, mn(, 3 4 ggt(a,35 = (wegen ggt(a,35 35 ommen ene anderen Prmfaoren n Frage mn(, mn(, 3 mn(, 4 (ggt(a,35 = (Poenzgesez max(, max(, max(, 3 4 Aus Saz 7.6 folg ferner: gv(a,35 = Dam läß sch de zu unersuchende Glechung we folg umformen: (ggt(a,35 = gv(a,35 mn(, mn(, 3 mn(, max(, max(, max(, 3 4 = mn(, = max(, mn(, 3 = max(, 3 mn(, 4 = max(, 4 (wegen FusZa Da sch nach FusZa jede naürlche Zahl (unglech endeug n en Produ von Prmzahlen zerlegen läß, önnen zwe gleche Zahlen ( (ggt(a,35 = gv(a,35 nch unerschedlche Zerlegungen haben, nsbesondere bedeue des her, daß de Exponenen der Prmzahlpoenzen an jeder Selle überensmmen müssen. 99

8 Kapel 7: Prmzahlen Dam gl: ❶ mn(, = max(, = = 4, denn: mn(, {0,,} mn(, {0,,4} max(, {0,,4} max(, {,4} (max(, s nach def. mndesens max(, = max(, = 4 = = = 4 Prüf man dese Fälle hnschlch der Bedngung mn(, = max(,, so sell man fes, daß nur de beden obgen Fälle n Frage ommen. ❷ mn(, 3 = max(, 3 3 =, denn: mn(, 3 {0,} mn(, 3 {0,} max(, 3 {0,} 3 = ❸ mn(, 4 = max(, 4 4 = (m analoger Argumenaon Für den Prmfaoren der PFZ der gesuchen Zahl a gb es som folgende Möglcheen: p = 3 ann m den Exponenen oder 4 vorommen p 3 = 5 ann nur m dem Exponenen vorommen p 4 = 7 ann ebenfalls nur m dem Exponenen vorommen Für a exseren also de beden folgenden Möglcheen: a = = 3675 oder a = = 995 Ü: Nach FusZa gl: a,b,c beszen endeuge (anonsche PFZ: Se a = p p p......, β b = p p p β β......, c = p p... p... m, β, und IN 0. β + β + β + Dann ergb sch: b c = p p... p... (Poenzrechnung De erse Voraussezung läß sch dann nach Saz 7.4 we folg umformen: a b c β + für alle IN Nach Voraussezung gl außerdem: ggt(a,b = ggt(a,b = p β mn(, = (Saz 7.6 mn(, β En Produ naürlcher Zahlen (p IN ergb genau dann, wenn jeder mn(, β enzelne Faor s, d.h. es muß gelen: p = für alle IN. Da p und p 0 =, müssen alle Exponenen 0 sen: 00

9 Kapel 7: Prmzahlen mn(,β = 0 für alle IN = 0 β = 0 für alle IN Se IN belebg, wegen gl ener der beden Fälle:. Fall: = 0 (da IN 0. Fall: β = 0 0+ ( Also gl für alle IN : a c (Saz 7.4 Ü: Nach FusZa gl: a,b,n beszen endeuge (anonsche PFZ: β β β Se a = p p... p..., b = p p... p..., n = p p... p... m p IP,,β, IN 0 und IN. Dann ergb sch: n a = p + p + p β + β + β mn(, β und n b = p p... p... Nach Saz 7.6 gl : ggt(a,b = p mn( n ggt(a,b = p, β β Nach Saz 7.6 gl ferner: ggt(na,nb = p = mn(, Dam läß sch de zu zegende Aussage we folg umformen: n ggt(a,b = ggt(na,nb mn( p, β + = mn( +, + β p (Poenzrechnung mn(,β + = mn( +, +β für alle IN Es gl: mn(,β = mn(,β = β 0

10 Kapel 7: Prmzahlen. Fall: mn(,β = mn(,β + = + UND mn( +, +β = + (da aus β folg + β + mn(,β + = mn( +, +β. Fall: mn(,β = β Deser Fall verläuf analog zum. Fall - für bede Mnma ergb sch β + und dam de Glechhe. In beden Fällen erhäl man, daß de Mnma an allen Sellen ( IN glech snd und wegen gl dam de zu zegende Aussage. Ü3: Seen a,b n hrer anonschen PFZ we folg gegeben: a = p p... p... β β β b = p p... p... m p IP,,β IN 0 und IN gv(a,b = p β Es gl also: max(, a = p p... p... und gv(a,b = p ggt(a,gv(a,b = mn (, max (, β p max(, β (Saz 7.6 (Saz 7.6 Nach def. Maxmum gl: max(,β für alle IN, so ergb sch: mn(, max(,β = für alle IN (def. Mnmum ggt(a,gv(a,b = p = p p... p... = a ( IN ( 0