6. Übung zur Linearen Algebra II

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1 Unverstät Würzburg Mathematsches Insttut Prof. Dr. Peter Müller Dr. Peter Fleschmann SS Übung zur Lnearen Algebra II Abgabe: Bs Mttwoch, , 11:00 Uhr n de Brefkästen vor der Bblothek. 6.1 Se de folgende Matrx gegeben A (a Bestmmen Se das charakterstsche Polynom von A. (b Welche Egenwerte hat A? (c Geben Se ene maxmale Menge von lnear unabhänggen Egenvektoren von A an. Im folgenden seen de her gefundenen Egenvektoren mt v 1, v 2,... bezechnet. (d Bestmmen Se für den Egenwert λ den Defekt d : dm Kern(A λe für 0 5. (e Bestmmen Se s 2d d 1 d +1 für 1 4. (De s geben de Anzahl der Jordanblöcke der Größe an. (f Bestmmen Se, sowet möglch, zu jedem Egenvektor v aus (c ene Kette von sogenannten Hauptvektoren w,j mt w,1 v und w,j (A λew,j+1 für j 1. (g Se T (w 1,1, w,2,..., w 2,1, w 2,2,..., w,1,... de aus den w,j als Spalten gebldeten Matrx. Bestmmen Se de Inverse von T und berechnen Se T 1 AT. (h Geben Se de Jordan-Normalform von A an. ( Geben Se das Mnmalpolynom von A an. ( Punkte 6.2 Se V en endlch-dmensonaler komplexer Vektorraum und ϕ Aut(V mt ϕ n d für en n 1. Zegen Se: Es gbt ene Zerlegung V V 1 V n mt ϕ Vj : V j V j und ϕ(v e j 2π n v für v V j. (5 Punkte

2 6.3 Zegen Se, dass de Matrx e π enen reellen Egenwert bestzt, wobe e de Euler sche Zahl und π de Kreszahl bezechnet. (2 Punkte 6.4 Se A, B quadratsche Matrzen mt AB BA. Zegen Se: (a Es glt (A + B n n A B n. 0 (b Ist B nlpotent mt B m 0, so glt für n m : (A + B n A n m+1 (A + B m 1. (3+2 Punkte 6.5 Zegen Se, dass jede quadratsche Matrx A ähnlch zu hrer Transponerten A T st. (5 Punkte Lösung 6.1 (a Entwcklung nach der ersten und den letzten 4 Zelen ergbt: x x x χ A (x x x x x x 2 x (x x x 2 (x 2 5 (x 2[(x 3(x 1 + 1] (x 2 8. (b Wegen χ A (x (x 2 8 st 2 enzger Egenwert von A. (c De gesuchten Egenvektoren spannen Kern(A 2E auf. Zelenumformungen ändern

3 den Kern ncht. Daher glt Kern(A 2E Kern Kern (d Se B (A 2E. Dann glt und weter (e Weter glt dann (f Soweso glt v 1 e 2 + e 3, v 2 e 5 + e 8, v 3 e 4, v 4 e 6 B 2 B d 0 dm(kern(b 0 dm(kern(e 0 d 1 dm(kern(b 4 d 2 dm(kern(b 2 7 d 3 d 4 d 5 dm(kern(b 3 dm(kern(0 8. s 1 2d 1 d 0 d s 2 2d 2 d 1 d s 3 2d 3 d 2 d s 4 2d 4 d 3 d w 11 v 1 e 2 + e 3 w 21 v 2 e 5 + e 8 w 31 v 3 e 4 w 41 v 4 e 6

4 Gesucht wrd nur jewels ene spezelle Lösung von Bw 2 w 1 für {1, 2, 3, 4}. Also w 12 w 22 w 32 w We man lecht erkennen kann, st Bw 22 w 21 ncht lösbar. De restlchen Lösungen snd z.b. w 12 e 2 w 32 e 5 w 42 e 3 + e 7 e8. Nun wrd jewels ene spezelle Lösung von Bw 3 w 2 für {1, 3, 4} gesucht. Also w 13 w 33 w Wederum erkennt man sofort, dass Bw 3 w 2 für {3, 4} kene Lösung bestzt. Ene Lösung für Bw 13 w 12 st zum Bespel Somt erhält man w 13 e 1 e 2 e 5. w 11 e 2 + e 3 w 21 e 5 + e 8 w 31 e 4 w 41 e 6 w 12 e 2 w 32 e 5 w 42 e 3 + e 7 e8 w 13 e 1 e 2 e 5 (g Somt st T

5 Bestmmung der Inversen von T : Somt st T

6 und es glt T 1 AT T (h De Jordan-Normalform st das Ergebns von T 1 AT, also De Lösungen aus Telaufgabe (e führen zum selben Ergebns. De Rehenfolge der Blöcke st dabe rrelevant. ( Aus der Jordannormalform kann man das Mnmalpolynom drekt ablesen. De Velfachhet der Nullstelle 2 m Mnmalpolynom entsprcht der Größe des größten Blocks, st also 3. Somt st das Mnmalpolynom m(x (x 2 3. Lösung 6.2 Das Mnmalpolynom von ϕ st x n 1 und zerfällt (m komplexen n paarwese verschedene Lnearfaktoren. n x n 1 (x ζ j mt ζ j e j 2π j1 Seen V j Kern(ϕ ζ j d für 1 j n de Egenräume zu den Egenwerten ζ j. n.

7 Weter st ϕ dagonalserbar, d.h. es gbt ene Bass aus Egenvektoren und de Egenräume erzeugen ganz V. Da de Egenräume zu verschedenen Egenwerten dsjunkt snd, st de Summe der Engenräume drekt, d.h. es glt V V 1 V n. Lösung 6.3 Das charakterstsche Polynom hat Grad 5 und damt mndestens ene reelle Nullstelle, also bestzt de Matrx enen reellen Egenwert. Lösung 6.4 (a Bewes durch Indukton: Es glt (A + B 1 ( 1 0 A 0 B + ( 1 1 AB 0 B + A. Weter st (A + B n+1 (A + B(A + B n (A + B ABBA 0 0 A B n ( n AA B n ( n A +1 B n n+1 ( n A B (n [( n A n+1 + B n A n+1 + B n n+1 ( n A B (n+1 (b De Behauptung st falsch. Es glt nach (a: (A + B n 0 n m+1 A B n m 1 A n m+1 ( n A B n ( 0 n + n m + 1 BA B n A B (n+1 A B (n+1 A B (n+1 A B n. ] A B (n+1 Lösung 6.5 De Matrx A st ähnlch zu hrer Normalform N S 1 AS. Dabe hat N de folgende Block-Struktur N 1 0 N 2 N... 0 N r Dabe st für jedes N das charakterstsche Polynom und das Mnmalpolynom glech, d.h χ N (x m N (x für 1 r.

8 De transponerte Matrx N T hat dasselbe charakterstsche Polynom und auch Mnmalpolynom. Nach enem Satz der Vorlesung st dann N ähnlch zu N T und somt st N ähnlch zu N T. Somt gbt es en T mt N T T 1 NT. Weter st N T ähnlch zu A T mttels A T (SNS 1 T (S 1 T N T S T. Somt glt und A st ähnlch zu A T. A T (S 1 T N T S T (S 1 T T 1 NT S T (S 1 T T 1 S 1 AST S T (ST S T 1 A(ST S T Hnwes Wegen den Pfngsferen fndet am 6.Jun (Pfngsdenstag kene Vorlesung und kene Übungen statt. De Abgabe deses Blattes st daher erst am Mttwoch, den 14.Jun. Wr wünschen Ihnen Schöne Pfngsten! Klausurtermn Am Mttwoch, den 19. Jul von Uhr fndet de Klausur m Zuse-HS und n HS 1 (Max-Scheer-HS statt.