Wir betrachten in diesem Abschnitt Matrixspiele in der Maximierungsform, also endliche 2 Personen Nullsummenspiele der Gestalt

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1 Kaptel 3 Zwe Personen Spele 3.1 Matrxspele 3.2 Matrxspele n gemschten Strategen 3.3 B Matrxspele und quadratsche Programme 3.4 B Matrxspele und lneare Komplementartätsprobleme 3.1 Matrxspele Wr betrachten n desem Abschntt Matrxspele n der Maxmerungsform, also endlche 2 Personen Nullsummenspele der Gestalt max x 1 θ 1 (x) max x 2 θ 2 (x) u.d.n. x 1 X 1 u.d.n. x 2 X 2 mt der Egenschaft θ 1 (x) = θ 2 (x) für alle x X := X 1 X 2. Da de Strategemengen X 1 und X 2 endlch snd, bezechnen wr hre Elemente enfach mt X 1 = {1,..., m} und X 2 = {1,..., n}. De Auszahlungen des Spelers 1 können dann bequem mttels der zugehörgen Auszahlungsmatrx A R m n mt den Elementen a := θ 1 (, ) = 1,..., m, = 1,..., n dargestellt werden. Dann st B := A automatsch de Auszahlungsmatrx des Spelers 2. Bevor wr mt engen allgemenen Ergebnssen über Matrxspele fortfahren, begnnen wr mt enem klenen Bespel aus [16]. Bespel 3.1 Wr untersuchen her en Matrxspel mt m = 2, n = 3 und der Auszahlungsmatrx ( ) A := Welche Stratege wrd Speler 1 (= Zelenspeler) snnvoll wählen? Nmmt er de erste Stratege, so legt sen mnmaler Gewnn be 1 (= mnmaler Entrag n der ersten Zele). 43

2 44 KAPITEL 3. ZWEI PERSONEN SPIELE Entschedet er sch für de zwete Stratege, so beläuft sch sen mnmaler Gewnn auf 0 (= mnmaler Entrag n der zweten Zele). Nmmt er daher das Maxmum deser Werte über de Zelen, so beträgt sen mnmaler Gewnn max mn a = 1. Speler 2 (= Spaltenspeler) verhält sch ähnlch: Be Wahl der Stratege 1 hat er enen maxmalen Verlust von 4 (= maxmaler Entrag n Spalte 1). Entschedet er sch hngegen für sene zwete bzw. drtte Stratege, so beträgt sen maxmaler Verlust 10 bzw. 8. Um senen Verlust nsgesamt zu mnmeren, nmmt er das Mnmum über dese Werte. Sen maxmaler Verlust beträgt demzufolge mn max a = 4. Wr zegen m folgenden Resultat ganz allgemen, dass der mnmale Gewnn (auch Maxmn Stratege genannt) stets ene untere Schranke für den maxmalen Verlust (auch als Mnmax Stratege bezechnet) darstellt. Lemma 3.2 Für edes Matrxspel mt Auszahlungsmatrx A R m n glt de Unglechung max mn a mn max a. (3.1) Bewes: Für eden festen Spaltenndex l {1,..., n} und alle {1,..., m} glt zunächst Heraus folgt natürlch max mn a a l. mn a max a l. Da des letztlch für eden Spaltenndex l {1,..., n} der Fall st, ergbt sch max mn a mn max a, wenn wr statt l enfach schreben. De beden n (3.1) auftretenden Größen v := max mn a und v := mn max a heßen auch unter Spelwert und oberer Spelwert des gegebenen Matrxspels. Lemma 3.2 lässt sch hermt kurz schreben als v v. Im Folgenden wrd vor allem der Fall von Interesse sen, be dem her Glechhet glt.

3 3.1. MATRIXSPIELE 45 Zu desem Zweck begnnen wr mt engen Vorüberlegungen, de nsbesondere auf enen anderen Sprachgebrauch m Zusammenhang mt Matrxspelen führen. Se dazu (, ) en Nash Glechgewchtspunkt des gegebenen Matrxspels, also θ 1 (, ) θ 1 (, ) = 1,..., m und θ 2 (, ) θ 2 (, ) = 1,..., n θ 2 = θ 1 θ1 (, ) θ 1 (, ) = 1,..., m und θ 1 (, ) θ 1 (, ) = 1,..., n θ 1 (, ) θ 1 (, ) θ 1 (, ) = 1,..., m, = 1,..., n a a a = 1,..., m, = 1,..., n. En Strategenpaar (, ) mt der Egenschaft a a a = 1,..., m, = 1,..., n wrd als Sattelpunkt des Matrxspels bezechnet. Mt den obgen Überlegungen haben wr dann das folgende Resultat. Satz 3.3 Gegeben se en Matrxspel mt Auszahlungsmatrx A R m n. Dann st das Strategenpaar (, ) genau dann en Nash Glechgewcht, wenn (, ) en Sattelpunkt st. Das nachstehende Resultat besagt nun, dass genau dann en Sattelpunkt (bzw. Nash Glechgewcht) exstert, wenn n (3.1) Glechhet glt, also unterer und oberer Spelwert überenstmmen. Satz 3.4 Gegeben se en Matrxspel mt Auszahlungsmatrx A R m n. Dann exstert genau dann en Sattelpunkt (bzw. Nash Glechgewcht), wenn n (3.1) Glechhet glt. Bewes: Se (, ) zunächst en Sattelpunkt des gegebenen Matrxspels, also a a a = 1,..., m, = 1,..., n. Heraus folgt nsbesondere Des mplzert wederum max a a mn a. v = mn max a a max mn a = v. Wegen Lemma 3.2 glt dann zwangsläufg de Glechhet v = v. Se umgekehrt v = v max mn a = mn max a. (3.2) Aus der Defnton von V sowe v ergbt sch unmttelbar de Exstenz von Indzes und mt v = mn a und v = max a.

4 46 KAPITEL 3. ZWEI PERSONEN SPIELE Aus der Unglechung ergbt sch mt v = v daher Des mplzert aber gerade v = mn mn a a max a = v a = a = max a. a a = 1,..., m und a a = 1,..., n, also st das Indexpaar (, ) en Sattelpunkt des gegebenen Matrxspeles. De wegen Satz 3.4 m Falle der Exstenz von Nash Glechgewchten endeutg bestmmte Größe v := max mn a = mn max a v := v = v heßt der Wert enes Matrxspels. Zum Abschluss deses Abschntts betrachten wr noch ene spezelle Klasse von Matrxspelen. Defnton 3.5 En Matrxspel mt Auszahlungsmatrx A R m n wenn n = m glt und A = A T st. heßt symmetrsch, En symmetrsches Matrxspel m gerade defnerten Snn st etwa das Spel Sten, Schere, Paper aus dem Bespel 1.4. Man beachte ansonsten, dass de Dagonalelemente von A be enem symmetrschen Matrxspel zwangsläufg Null sen müssen. Für symmetrsche Matrxspele glt nun das folgende Krterum. Satz 3.6 En symmetrsches Matrxspel mt Auszahlungsmatrx A R n n bestzt genau dann enen Sattelpunkt (bzw. Nash Glechgewchtspunkt), wenn en Index {1,..., n} exstert mt a 0 = 1,..., n. (3.3) In desem Fall st (, ) en Sattelpunkt und v = 0 der Wert des Matrxspels. Bewes: Se (, ) zunächst en Sattelpunkt, also a a a, = 1,..., n. Spezell für = folgt heraus a a = 0 für alle = 1,..., n. Se umgekehrt {1,..., n} en Index mt der Egenschaft (3.3). Dann folgt mt A = A T, also a = a für alle, = 1,..., n, unmttelbar a = a 0 = 1,..., n.

5 3.2. MATRIXSPIELE IN GEMISCHTEN STRATEGIEN 47 Somt st a 0 a = 1,..., n. Wegen a = 0 st (, ) daher en Sattelpunkt des symmetrschen Matrxspels. Das Krterum (3.3) für symmetrsche Matrxspele st offenbar sehr handlch: Es muss nur ene Zele mt lauter nchtnegatven Enträgen geben. Bespelswese defnert de Auszahlungsmatrx A := en symmetrsches Matrxspel, be dem der Index := 2 dem Krterum aus Satz 3.6 genügt, so dass (2, 2) en Sattelpunkt und daher auch en Nash Glechgewcht des zugehörgen Speles st. Auf der anderen Sete seht man sofort, dass für unser Sten, Schere, Paper Spel ken Index mt der Egenschaft (3.3) exstert. 3.2 Matrxspele n gemschten Strategen Gegeben se weder en Matrxspel mt Auszahlungsmatrx A R m n. Be der Untersuchung solcher Spele haben wr m letzten Abschntt ausschleßlch rene Strategen betrachtet, d.h., de Speler entscheden sch für genau en Element hrer ewelgen Strategemenge. We das Bespel des Sten Schere Paper Spels zegte, muss en solches Spel aber ken Nash Glechgewcht bestzen. Obendren st es ncht mmer snnvoll, sch für genau ene Stratege zu entscheden. Wrd en Spel bespelswese mehrfach wederholt, so macht es velmehr Snn, dass eder Speler ene Stratege mt ener gewssen Wahrschenlchket spelt. Speler 1 wählt also enen Vektor x R m mt x = (x 1,..., x m ) T, m x = 1, x 0 = 1,..., m, =1 Speler 2 wählt enen Vektor y R n mt y = (y 1,..., y n ) T, n y = 1, y 0 = 1,..., n. =1 Dabe gbt x bzw. y de Wahrschenlchket an, mt welcher Speler 1 bzw. 2 de Stratege bzw. wählt. Man nennt des en Matrxspel n gemschten Strategen (bzw. das zum gegebenen Matrxspel zugehörge Matrxspel n gemschten Strategen). Jeder solche Vektor x bzw. y enthält nämlch ene gemschte Stratege. Ist ener deser Vektoren der Enhetsvektor, so sprcht man auch von ener renen Stratege. Des entsprcht gerade dem bsher betrachteten Spezalfall aus dem vorgen Abschntt 3.1.

6 48 KAPITEL 3. ZWEI PERSONEN SPIELE Be enem Matrxspel n gemschten Strategen snd de Strategemengen des Spelers 1 bzw. 2 somt gegeben durch m ˆX := {x R m =1 } x = 1 und x 0 für alle = 1,..., m und Ŷ := {y R n n } y = 1 und y 0 für alle = 1,..., n. =1 Wählt Speler 1 de gemschte Stratege x ˆX und wählt Speler 2 de gemschte Stratege y Ŷ, so st der Erwartungswert für de Auszahlung an den Speler 1 gegeben durch den Ausdruck θ(x, y) := x T Ay. Damt können wr den Begrff des Nash Glechgewchts auf Matrxspele n gemschten Strategen erwetern. Defnton 3.7 Seen ˆX, Ŷ und θ we oben defnert. Dann heßt en Paar (x, y ) ˆX Ŷ en Nash Glechgewcht n gemschten Strategen für das gegebene Matrxspel, wenn θ(x, y ) θ(x, y ) x ˆX und θ(x, y ) θ(x, y) y Ŷ gelten, wenn also (x, y ) en Sattelpunkt von θ st. Der gerade engeführte Begrff enes Nash Glechgewchtes n gemschten Strategen st offenbar nchts anderes als de Defnton des üblchen Nash Glechgewchtes für das 2 Personenspel mt den Auszahlungsfunktonen θ 1 := θ und θ 2 := θ und den Strategemengen X 1 := ˆX und X 2 := Ŷ der Speler 1 und 2. Da de Mengen ˆX und Ŷ bede offenbar nchtleer, konvex und kompakt snd und θ sowohl lnear n x als auch lnear n y st, erhalten wr aus dem Satz 2.45 unmttelbar das folgende Exstenzresultat von Nash [31]. Satz 3.8 ( Exstenzsatz von Nash ) Jedes Matrxspel bestzt mndestens en Nash Glechgewcht n gemschten Strategen. Der Satz 3.8 zegt also enen fundamentalen Untersched auf zwschen Matrxspelen n gemschten Strategen auf der enen Sete und Matrxspelen n renen Strategen auf der anderen Sete. Das nächste Resultat st nsbesondere von großer praktscher Bedeutung, da es das Lösen enes Matrxspels auf en lneares Programm zurückführt. Satz 3.9 Gegeben se en Matrxspel mt Auszahlungsmatrx A R m n. Ferner seen θ, ˆX und Ŷ we oben defnert. Dann st (x, y ) genau dann en Nash Glechgewcht n gemschten Strategen, wenn de beden folgenden Aussagen gelten:

7 3.2. MATRIXSPIELE IN GEMISCHTEN STRATEGIEN 49 (a) x (zusammen mt ener skalaren Größe v ) löst das (prmale) lneare Programm max v,x v u.d.n. xt A v1 T n, m x = 1, x 0. (3.4) =1 (b) y (zusammen mt ener skalaren Größe w ) löst das (duale) lneare Programm mn w,y w u.d.n. Ay w1 m, n y = 1, y 0. (3.5) =1 Herbe bezechnet 1 k := (1,..., 1) T den Ensvektor m R k. Bewes: Se (x, y ) zunächst en Nash Glechgewcht n gemschten Strategen, also Setze θ(x, y ) θ(x, y ) θ(x, y) x ˆX, y Ŷ. (3.6) v := (x ) T Ay und w := (x ) T Ay. Wr behaupten, dass (v, x ) das lneare Programm (3.4) und (w, y ) das lneare Programm (3.5) lösen. Betrachte herzu zunächst (v, x ). Aus (3.6) folgt zunächst v (x ) T Ay für alle y Ŷ. Spezell für de n Ŷ legenden Enhetsvektoren y = e R n lefert des v [(x ) T A] für alle = 1,..., n. Heraus ergbt sch nsbesondere de Zulässgket von (v, x ) für das lneare Programm (3.4). Angenommen, (v, x ) se ncht optmal. Dann exstert en für (3.4) zulässger Vektor ( v, x) mt v > v. Multplkaton von [ x T A] v mt y 0 und anschleßende Summaton ergbt dann den Wderspruch x T Ay = n n [ x T A] y v y = v > v = (x ) T Ay =1 =1 zu der lnken Unglechung n (3.6). Somt st (v, x ) n der Tat ene Lösung von (3.4). Wr betrachten als Nächstes den Punkt (w, y ). Aus (3.6) folgt x T Ay (x ) T Ay = w für alle x R m, spezell für de Enhetsvektoren x = e R m daher [Ay ] w und damt zumndest de Zulässgket von (w, y ) für das lneare Programm (3.5). Angenommen, es gbt enen für (3.5) zulässgen Vektor ( w, ȳ) mt w < w. Multplzeren wr de Unglechung [Aȳ] w dann mt x 0 und summeren wr anschleßend auf, so folgt der Wderspruch (x ) T Aȳ = m x [Aȳ] =1 m x w = w < w = (x ) T Ay =1 zu der rechten Unglechung n (3.6). Also st (w, y ) Lösung von (3.5).

8 50 KAPITEL 3. ZWEI PERSONEN SPIELE Se umgekehrt (v, x ) ene Lösung von (3.4) und (w, y ) ene Lösung von (3.5). Aus den Nebenbedngungen von (3.4) und (3.5) sowe dem starken Dualtätssatz für lneare Programme folgt für alle x ˆX und alle y Ŷ dann Ebenso ergbt sch aus x T Ay w 1 T mx = w = v = v 1 T ny (x ) T Ay. w = w 1 T m x = (w 1 m ) T x (Ay ) T x = ( (x ) T A ) y v 1 T n y = v = w auch w = (x ) T Ay = v. Folglch st θ(x, y ) θ(x, y ) θ(x, y ) x ˆX, y Ŷ, also (x, y ) en Nash Glechgewcht n gemschten Strategen. Wr betrachten kurz en Bespel zu dem obgen Resultat. Bespel 3.10 Betrachte en Matrxspel mt der Auszahlungsmatrx ( ) 1 0 A :=. 1 2 Offenschtlch exstert ken Nash Glechgewcht n renen Strategen. Löst man de zugehörgen lnearen Programme aus dem Satz 3.9, so erhält man de Lösungen x := ( 3 4, 1 ) T ( 1 und y := 4 2, 1 ) T 2 mt dem zugehörgen Wert v := 1. Auf lange Scht kann Speler 1 also enen Gewnn von 2 1 erwarten, wenn er mt 75% de erste Stratege und mt 25% de zwete Stratege wählt. 2 Speler 2 hngegen wrd sene erste und zwete Stratege ewels mt 50% wählen, um senen Verlust auf Dauer enzudämmen auf 1 pro Spel. 2 In der MATLAB R Optmzaton Toolbox steht unter dem Namen lnprog en Löser für lneare Programme zur Verfügung. Deser behandelt lneare Programme der Gestalt mn c T z u.d.n. A n z b n (nequalty constrants), A eq z = b eq (equalty constrants), l z u (l = lower bounds, u = upper bounds). Das lneare Programm aus dem Satz 3.9 (a) bespelswese lässt sch mt dem Varablenvektor z := (v, x) auf dese Gestalt brngen mt Hlfe der Setzungen c := ( 1, 0,..., 0) T R R n,

9 3.2. MATRIXSPIELE IN GEMISCHTEN STRATEGIEN 51 A n := (1 n, A T ) R n (1+n), b n := (0), A eq := (0, 1,..., 1) R 1 (1+n), b eq := (1), l := (, 0,..., 0) T, u := (+,..., + ) T. Entsprechend lässt sch das lneare Programm aus dem Satz 3.9 (b) auf de gewünschte Form brngen und dann ebenfalls mttels lnprog lösen. Wetere Informatonen zum MATLAB R Programm lnprog erhält man durch de Engabe des Befehls help lnprog m MATLAB R Fenster. Zur Illustraton betrachten wr konkret de Daten aus dem Bespel Defnert man herfür de Größen c=[-1 0 0] ; A=[1-1 1; 1 0-2]; b=[0 0] ; Aeq=[0 1 1]; beq=[1]; b=[-nf 0 0] ; lb=[-nf 0 0] ; ub=[]; und schrebt anschleßend [x,fval]=lnprog(f,a,b,aeq,beq,lb,ub), so lefert MATLAB R de Meldung Optmzaton termnated. x = fval =

10 52 KAPITEL 3. ZWEI PERSONEN SPIELE Her st x der Lösungsvektor (mt den Komponenten (v, x 1, x 2 ) n unserer bshergen Notaton) und dem optmalen Zelfunktonswert n fval für das prmale lneare Programm. Deser Zelfunktonswert hat her en anderes Vorzechen als m Bespel 3.10, da das lneare Programm aus dem Satz 3.9 (a) en Maxmerungsproblem st, welches wr zur Behandlung mttels lnprog zunächst n en äquvalentes Mnmerungsproblem umformuleren musssten. 3.3 B Matrxspele und quadratsche Programme Wr betrachten n desem Abschntt B Matrxspele der Gestalt mn x 1 θ 1 (x) mn x 2 θ 2 (x) u.d.n. x 1 X 1 u.d.n. x 2 X 2. Anders als n den beden vorgen Abschntten untersuchen wr (ohne Beschränkung der Allgemenhet) also Spele n Mnmerungsform. De beden endlchen Strategemengen seen we vorher gegeben durch X := X 1 := {1,..., m} und Y := X 2 := {1,..., n}. Dann lassen sch de beden Auszahlungsfunktonen θ 1 und θ 2 (für de etzt m Allgemenen θ 1 θ 2 glt) durch de Matrzen A = (a ) R m n und B = (b ) R m n mt den Elementen a := θ 1 (, ), b := θ 2 (, ) für alle = 1,..., m, = 1,..., n beschreben. Da de zuvor behandelten Matrxspele en Spezalfall der B Matrxspele snd, werden letztere m Allgemenen ebenfalls kene Lösung bestzen. Wr benutzen daher de Idee des letzten Abschntts und gehen glech zu dem zugehörgen B Matrxspel n gemschten Strategen über. Dazu defneren wr weder de beden Mengen ˆX := Ŷ := {x R m m =1 {y R m n =1 } x = 1, x 0 für alle = 1,..., m, } y = 1, y 0 für alle = 1,..., m. Für enen Vektore x ˆX mt x = (x 1,..., x m ) T bezechnet x somt de Wahrschenlchket, dass Speler 1 de Stratege wählt. Entsprechend st de Interpretaton von y = (y 1,..., y m ) T. Defnton 3.11 Seen ˆX und Ŷ we oben defnert. Dann heßt en Paar (x, y ) ˆX Ŷ en Nash Glechgewcht n gemschten Strategen für das gegebene B Matrxspel, wenn gelten. (x ) T Ay x T Ay für alle x ˆX und (x ) T By (x ) T By für alle y Ŷ

11 3.3. BI MATRIXSPIELE UND QUADRATISCHE PROGRAMME 53 De Nash Glechgewchte n renen Strategen snd n der Defnton 3.11 mt enthalten für den spezellen Fall, dass (x, y ) = (e, e ) für gewssen Enhetsvektoren e und e st. Der Zusammenhang zwschen solchen Nash Glechgewchten n renen Strategen und Nash Glechgewchten n gemschten Strategen wrd n dem folgenden Resultat geklärt. Lemma 3.12 Jedes Nash Glechgewcht n renen Strategen enes gegebenen B Matrxspeles st stets auch en Nash Glechgewcht n gemschten Strategen. Bewes: Se (x, y ) en Nash Glechgewcht n renen Strategen, etwa (x, y ) = (e, e ) für den -ten Enhetsvektor e m R m und den -ten Enhetsvektor e m R m. Dann gelten also a = e T Ae e T k Ae = a k k = 1,..., m und b = e T Be e T Be k = b k k = 1,..., n. Für alle gemschten Strategen x ˆX und y Ŷ folgt daher m m x T Ay = x T [Ae ] = x k a k x k a = a = (x ) T Ay und, analog, k=1 n (x ) T By = e T By = y k b k k=1 k=1 n y k b = b = (x ) T By. Also st (x, y ) = (e, e ) auch en Nash Glechgewcht n gemschten Strategen. k=1 Hat man en Nash Glechgewcht n renen Strategen für en gegebenes B Matrxspel gefunden, so besagt das Lemma 3.12 m Prnzp, dass man sch gar ncht weter auf de Suche nach Nash Glechgewchten n gemschten Strategen machen muss, da en solches berets vorlegt. Oft allerdngs gbt es ken solches Nash Glechgewcht n renen Strategen. In desem Fall bldet das Nash Glechgewcht n gemschten Strategen ene alternatve Lösung an. Wr werden etzt kurz argumenteren, warum en solches Glechgewcht stets exstert. De obge Defnton enes Nash Glechgewchtes n gemschten Strategen entsprcht gerade der üblchen Defnton enes Nash Glechgewchtes (für Spele n Mnmerungsform) für das 2 Personenspel mt den Auszahlungsfunktonen ˆθ 1 (x, y) := x T Ay und ˆθ 2 (x, y) := x T By (des snd de Erwartungswerte der Auszahlungen an de Speler 1 und 2) und den Strategemengen ˆX und Ŷ für Speler 1 und 2. Da de Mengen ˆX und Ŷ weder nchtleer, konvex und kompakt snd sowe de Funktonen ˆθ 1 und ˆθ 2 lnear n x und y snd, erhalten wr aus dem Satz 2.45 weder folgendes Exstenzresultat, vergleche den entsprechenden Satz 3.8 für Matrxspele. Satz 3.13 Jedes B Matrxspel bestzt mndestens en Nash Glechgewcht n gemschten Strategen.

12 54 KAPITEL 3. ZWEI PERSONEN SPIELE Wr wollen n desem Abschntt zegen, dass man en Nash Glechgewcht n gemschten Strategen fnden kann, ndem man en zugehörges Optmerungsproblem löst. Deser Ansatz stammt von Mangasaran und Stone [27] und verwendet das quadratsche Programm mn x T Ay + x T By v w u.d.n Ay v1 m, B T x w1 n, x T 1 m = 1, y T 1 n = 1, x, y 0, (3.7) wobe v, w R skalare Größen snd. Her bezechnen 1 m bzw. 1 n weder de Vektoren 1 m = (1,..., 1) T R m bzw. 1 n = (1,..., 1) T R n. Enge wchtge Egenschaften des quadratschen Programms (3.7) snd n dem folgenden Resultat zusammengefasst. Satz 3.14 Se q(x, y, v, w) := x T Ay + x T By v w de Zelfunkton des quadratschen Programms (3.7). Dann gelten: (a) Es st q(x, y, v, w) 0 für alle Vektoren (x, y, v, w), de zulässg für das quadratsche Programm (3.7) snd. (b) Ist (x, y ) en Nash Glechgewcht n gemschten Strategen, so st der zugehörge Vektor (x, y, v, w ) mt v := (x ) T Ay, w := (x ) T By en globales Mnmum des quadratschen Programms (3.7) mt q(x, y, v, w ) = 0. (c) Das quadratsche Programm (3.7) bestzt stets ene Lösung (globales Mnmum), und für ede solche Lösung (x, y, v, w) st q(x, y, v, w) = 0. Bewes: (a) Se (x, y, v, w) en belebger zulässger Punkt. Dann gelten wegen x 0, y 0 sowe Ay v1 m, B T x w1 n offenbar x T Ay v x T 1 m } {{ } =1 Also st q(x, y, v, w) 0. = v und x T By = y T B T x w y T 1 }{{} n = w. =1 (b) Se (x, y ) en Nash Glechgewcht n gemschten Strategen. Wr zegen zunächst, dass (x, y, v, w ) mt v := (x ) T Ay, w := (x ) T By zulässg st für das quadratsche Programm (3.7). Zunächst glt offenschtlch x 0, y 0 sowe (x ) T 1 m = 1, (y ) T 1 n = 1. Ferner st v = (x ) T Ay x T Ay für alle x 0 mt x T 1 m = 1. Spezell für den -ten Enhetsvektor x = e ergbt des v [Ay ] und somt Ay v 1 m. Entsprechend bewest man de Gültgket von B T x w 1 n. Also st (x, y, v, w ) n der Tat zulässg für (3.7). Aus der Defnton von v, w folgt außerdem q(x, y, v, w ) = 0, so dass der Vektor (x, y, v, w ) wegen Tel (a) en globales Mnmum des quadratschen Programms (3.7) st.

13 3.3. BI MATRIXSPIELE UND QUADRATISCHE PROGRAMME 55 (c) Wegen Satz 3.13 bestzt en B Matrxspel ene Lösung n gemschten Strategen. Nach Tel (b) lefert ede Lösung aber schon ene Lösung des zugehörgen quadratschen Programms (3.7), wobe der zugehörge Funktonswert Null st. Des bewest de Behauptung (c). Wr zegen als Nächstes de vollständge Äquvalenz zwschen Nash Glechgewchten n gemschten Strategen auf der enen Sete sowe Lösungen des quadratschen Programms (3.7) auf der anderen Sete. Satz 3.15 Genau dann st (x, y ) en Nash Glechgewcht n gemschten Strategen für das gegebene B Matrxspel mt den Auszahlungsmatrzen A, B R m n, wenn der Vektor (x, y, v, w ) ene Lösung des quadratschen Programms (3.7) mt q(x, y, v, w ) = 0 st. Bewes: Jeder Nash Glechgewchtspunkt lefert wegen Satz 3.14 (b) berets en globales Mnmum des quadratschen Programms (3.7), so dass wr nur noch de Rückrchtung bewesen müssen. Se dazu (x, y, v, w ) ene Lösung von (3.7). Wegen Satz 3.14 st der zugehörge Funktonswert dann Null, woraus wr (x ) T Ay + (x ) T By = v + w (3.8) erhalten. Anderersets genügt (x, y, v, w ) allen Nebenbedngungen des quadratschen Programms (3.7), so dass wr und haben. Zusammen mt (3.8) lefert des (x ) T Ay v (x ) T 1 m = v (x ) T By = (y ) T B T x w (y ) T 1 n = w (x ) T Ay = v und (x ) T By = w. (3.9) Seen nun x, y 0 mt x T 1 m = 1, y T 1 n = 1 belebg gegeben. Wederum aus den Restrktonen n (3.7) folgt dann x T Ay v x T 1 m = v und (x ) T By = y T B T x w y T 1 n = w. Gemensam mt (3.9) bekommen wr nun de Unglechungen x T Ay v = (x ) T Ay und (x ) T By w = (x ) T By. Da x, y belebg gewählte gemschte Strategen waren, folgt somt, dass (x, y ) en Nash Glechgewcht n gemschten Strategen st.

14 56 KAPITEL 3. ZWEI PERSONEN SPIELE Damt st gezegt, dass man enen Nash Glechgewchtspunkt mttels der Lösung enes quadratschen Programms bestmmen kann. Deses quadratsche Programm lässt sch m Prnzp mt den üblchen Methoden der Optmerung lösen. Es se allerdngs erwähnt, dass wr her nur an enem globalen Mnmum nteressert snd und das Programm (3.7) m Allgemenen durchaus lokale Mnma haben kann. Anders verhält es sch n dem Spezalfall enes Nullsummenspels mt B = A. Dann reduzert sch das quadratsche Programm (3.7) auf en lneares Programm. Tatsächlch lässt sch zegen, dass (3.7) n zwe vonenander unabhängge lneare Programme zerfällt, de gerade denen aus dem Satz 3.9 entsprechen. Zur Lösung von quadratschen Programmen der Gestalt mn 1 2 zt Qz + c T z u.d.n. A n z b n, A eq z = b eq, l z u steht n der MATLAB R Optmzaton Toolbox das Programm quadprog zur Verfügung. Das Optmerungsproblem (3.7) lässt sch offenbar n dese Gestalt brngen, ndem man bespelswese z := (v, x, w, y) als Varablenvektor defnert und dann mt den folgenden Setzungen arbetet: Q := m n 0 m 1 0 m m 0 m A + B m n 0 n A T + B T 0 n 0 n n c := ( 1, 0 T m, 1, T n) 0T, ( 1m 0 A n := m m 0 m A 0 n B T 1 n 0 n n ( ) 0m b n :=, 0 n ( ) 0 1 T A eq := m 0 0 T n 0 0 T m 0 1 T, n b eq := (1, 1) T, l := (, 0 T m,, 0 T n) T, u := ( +, +, +, + )T. De Lösung des zugehörgen quadratschen Programmes erhält man dann durch Aufruf von quadprog. Wegen Satz 3.14 sollte man herbe allerdngs den optmalen Zelfunktonswert kontrolleren. Legt deser be Null, so haben wr enen Nash Glechgewchtspunkt berechnet. Anderenfalls war quadprog ledglch n der Lage, en lokales Mnmum zu fnden, das dann kenem Nash Glechgewchtspunkt entsprcht. Deser Fall kann durchaus auftreten, da unser quadratschen Programm aus (3.7) m Allgemenen ncht konvex st. ),,

15 3.3. BI MATRIXSPIELE UND QUADRATISCHE PROGRAMME 57 Bespel 3.16 Wr betrachten en B Matrxspel, dessen Auszahlungsmatrzen n Maxmerungsform gegeben snd durch ( ) ( ) A := und B := Man bestätgt lecht, dass her ken Nash Glechgewcht n renen Strategen exstert. Wr suchen daher en Nash Glechgewcht n gemschten Strategen mt Hlfe des quadratschen Programmes aus (3.7). In MATLAB R könnte de zuvor angedeutete Implementaton we folgt aussehen: n=2; m=2; A=-[1 1; 2 0]; B=-[1 0; 1 4]; Q=[0 zeros(1,m) 0 zeros(1,n) zeros(m,1) zeros(m,m) zeros(m,1) A+B 0 zeros(1,m) 0 zeros(1,n) zeros(n,1) A +B zeros(n,1) zeros(n,n)]; c=[-1 zeros(1,m) -1 zeros(1,n)] ; An=[ones(m,1) zeros(m,m) zeros(m,1) -A zeros(n,1) -B ones(n,1) zeros(n,n)]; bn=[zeros(m,1) zeros(n,1)]; Aeq=[0 ones(1,m) 0 zeros(1,n) 0 zeros(1,m) 0 ones(1,n)]; beq=[1 1] ; lb=[-nf, zeros(1,m), -nf, zeros(1,n)] ; [z,qval]=quadprog(q,c,an,bn,aeq,beq,lb,[]) Als Ausgabe erhält man dann Optmzaton termnated. z =

16 58 KAPITEL 3. ZWEI PERSONEN SPIELE qval = e-16 Wr haben also x = ( 3, ) 1 T sowe y = ( 1, 1 T ) als vermentlch optmales Nash Glechgewcht n gemschten Strategen. Da als optmaler Funktonswert der quadratschen Zelfunkton e 16 0 herausgegeben wrd, kann man de obge gemschte Stratege getrost als Lösung akzepteren. 3.4 B Matrxspele und lneare Komplementartätsprobleme Wr betrachten weterhn en B Matrxspel mt gemschten Strategen. De Mengen ˆX und Ŷ seen dazu we m vorgen Abschntt defnert. Ferner bezechnen wr de zugehörgen Auszahlungsmatrzen weder mt A und B, wobe bede Matrzen m R m n legen. Wr geben n desem Abschntt ene wetere Charakterserung des Nash Glechgewchts n gemschten Strategen an, und zwar unter Verwendung enes lnearen Komplementartätsproblems, vergleche de Defnton Wr ernnern her nur kurz daran, dass en lneares Komplementartätsproblem LCP(q, M) defnert st durch ene Matrx M R n n und enen Vektor q R n. Gesucht st dann ene Lösung des Systems z 0, Mz + q 0, z T (Mz + q) = 0. Derartge Komplementartätsprobleme spelen be velen ökonomschen Glechgewchtsmodellen ene große Rolle. Das Standardverfahren zur Lösung solcher Probleme st der Lemke Algorthmus, der n [26, 25] (für B Matrxspele) engeführt wurde und bespelswese n [29, 5] ausführlch besprochen wrd. Wr gehen an deser Stelle ncht weter auf deses Verfahren en, stellen m Internet aber ene MATLAB R Implementaton zur Verfügung, so dass eder selbst mt desem Verfahren herumexpermenteren kann (nsbesondere m Zusammenhang mt der numerschen Lösung von B Matrxspelen). Zunächst bewesen wr das folgende Resultat, wonach wr ohne Enschränkung davon ausgehen können, dass de Elemente der Matrzen A und B alle postv snd. Lemma 3.17 Seen γ R belebg gegeben und E R m n deenge Matrx, deren Enträge allesamt glech Ens snd. Dann st (x, y ) genau dann en Nash Glechgewcht n gemschten Strategen zum B Matrxspel (A, B), wenn (x, y ) en Nash Glechgewcht n gemschten Strategen zum B Matrxspel (A + γe, B + γe) st.

17 3.4. BI MATRIXSPIELE UND LINEARE KOMPLEMENTARITÄTSPROBLEME 59 Bewes: Se (x, y ) zunächst en Nash Glechgewcht zum Spel mt den Auszahlungsmatrzen (A, B). Dann st m n x 0, y 0, x = 1, y = 1 sowe =1 =1 (x ) T Ay x T Ay für alle x ˆX, (x ) T By (x ) T By für alle y Ŷ. Für alle gemschten Strategen x ˆX folgt dann (x ) T (A + γe)y = (x ) T Ay + γ(x ) T Ey }{{} 1 m = (x ) T Ay + γ (x ) T 1 } {{ m } =1 = (x ) T Ay + γ x T Ay + γ Analog folgt für alle gemschten Strategen y auch = x T Ay + γ x T 1 m } {{ } =1 = x T Ay + γx T Ey }{{} =1 m = x T (A + γe)y. (x ) T (A + γe)y (x ) T (A + γe)y. Also st (x, y ) en Nash Glechgewcht n gemschten Strategen zum B Matrxspel mt den Auszahlungsmatrzen (A + γe, B + γe). Der Bewes der Umkehrung erfolgt analog bzw. durch Addton von γe zu den beden Matrzen A + γe und B + γe. Durch Wahl enes hnrechend großen γ kann man stets errechen, dass de beden Matrzen A + γe und B + γe lauter postve Enträge haben. Wegen Lemma 3.17 können wr daher ohne Enschränkung annehmen, dass A und B selbst berets ausschleßlch postve Enträge bestzen. Als weteres Hlfsresultat benötgen wr noch de nachstehende Charakterserung von Nash Glechgewchtspunkten. Lemma 3.18 Seen x 0, y 0 mt (x ) T 1 m = 1 und (y ) T 1 n = 1 gegeben. Dann st (x, y ) genau dann en Nash Glechgewcht n gemschten Strategen, wenn gelten. (x ) T Ay 1 m Ay und (x ) T By 1 n B T x (3.10)

18 60 KAPITEL 3. ZWEI PERSONEN SPIELE Bewes: Se (x, y ) zunächst en Nash Glechgewcht n gemschten Strategen. Spezell für x = e bzw. y = e folgt dann bzw. (x ) T Ay e T Ay = [Ay ] = 1,..., m (x ) T By (x ) T Be = [(x ) T B] = [B T x ] = 1,..., n und somt de Gültgket von (3.10). Se umgekehrt (x, y ) en Paar von gemschten Stratege Vektoren mt der Egenschaft (3.10). Für alle gemschten Strategen x bzw. y glt dann x T Ay (x ) T Ay x T 1 } {{ m = (x ) T Ay } =1 bzw. y T B T x = (x ) T By (x ) T By y T 1 }{{} n = (x ) T By, =1 so dass (x, y ) en Nash Glechgewchtspunkt st. Nach desen Vorberetungen kommen wr nun zum Hauptresultat deses Abschntts, der Umformulerung, des B Matrxspeles als en lneares Komplementartätsproblem. Satz 3.19 Betrachte en B Matrxspel mt den Auszahlungsmatrzen A, B R m n, deren Enträge ohne Enschränkung allesamt postv seen. Defnere außerdem ( ) ( ) 0m m A 1m M := B T und q :=. 0 n n 1 n Dann gelten: (a) Ist (x, y ) en Nash Glechgewcht n gemschten Strategen, so st ene Lösung von LCP(q, M). ( ) x (x, y) := (x ) T By, y (x ) T Ay (b) Ist (x, y) ene Lösung von LCP(q, M), so st (x, y ) := ( x x T 1 m, en Nash Glechgewcht n gemschten Strategen. y y T 1 n )

19 3.4. BI MATRIXSPIELE UND LINEARE KOMPLEMENTARITÄTSPROBLEME 61 Bewes: (a) Se (x, y ) en Nash Glechgewcht n gemschten Strategen. Dann st α := (x ) T Ay > 0 (wegen A > 0) und β := (x ) T By > 0 (wegen B > 0). Folglch st ( ) x (x, y) := β, y α wohldefnert mt x 0, y 0. Da (x, y ) en Nash Glechgewcht st, glt außerdem (x ) T Ay 1 m Ay und (x ) T By 1 n B T x wegen Lemma Des lässt sch schreben als α 1 m Ay und β 1 n B T x. Gemäß Defnton von x und y st des äquvalent zu Ferner gelten und 1 m Ay und 1 n B T x. (3.11) x T (Ay 1 m ) = x T Ay x T 1 m 1 = (x ) T Ay 1 (x ) T 1 α β } {{ } β } {{ m } =α =1 = 1 1 β β = 0 y T (B T x 1 n ) = x T By y T 1 n = 1 (x ) T By α β } {{ } =β 1 (y ) T 1 α n = 1 1 α α = 0. (3.12) (3.13) Aus x, y 0 sowe (3.11), (3.12) und (3.13) sowe der Defnton von M und q folgt daher, dass z := (x, y) ene Lösung des lnearen Komplementartätsproblems LCP(q, M) st. (b) Se z = (x, y) ene Lösung von LCP(q, M), also x 0, Ay 1 m 0, x T (Ay 1 m ) = 0, (3.14) y 0, B T x 1 n 0, y T (B T x 1 n ) = 0. (3.15) Dann snd x 0, y 0, also x T 1 m > 0, y T 1 n > 0 und deshalb ( ) x (x, y y ) :=, x T 1 m y T 1 n zumndest wohldefnert. Außerdem folgt aus der Defnton sofort x 0, y 0, (x ) T 1 m = 1 und (y ) T 1 n = 1. (3.16)

20 62 KAPITEL 3. ZWEI PERSONEN SPIELE Aus (3.14) bzw. (3.15) ergbt sch ferner bzw. De Defnton von (x, y ) mplzert daher bzw. 1 m Ay und x T 1 m = x T Ay 1 n B T x und y T 1 n = x T By. (x ) T Ay 1 m = 1 x T 1 m 1 y T 1 n x T Ay1 m = 1 y T 1 n 1 m 1 y T 1 n Ay = Ay (x ) T By 1 n = 1 x T 1 m 1 y T 1 n x T By1 n = 1 x T 1 m 1 n 1 x T 1 m B T x = B T x. Wegen (3.16) und Lemma 3.18 st (x, y ) somt en Nash Glechgewcht n gemschten Strategen.